1ª fase - N3 OMP - EM e PV.indd

NÍVEL IIIPROVA 1 - 1ª FASEOLIMPÍADA DEMATEMÁTICADO POLIEDROInstruções para a prova123Verifique se este caderno de questões contém um total de 25 questões de múltipla escolha.Caso o caderno apresente alguma diferença, solicite ao fiscal da sala um outro caderno de questões. Nãoserão aceitas reclamações posteriores.Para cada questão, existe apenas uma resposta correta.Você deve ler cuidadosamente cada uma das questões e escolher a alternativa que corresponda àresposta adequada. Essa alternativa (a, b, c, d ou e) deve ser preenchida completamente no itemcorrespondente na folha de respostas que você recebeu, segundo o modelo abaixo. Observe:3ª PROVAFRANCISCO.SILVA24-04-2012 (11:34)4567A A A AERRADO ERRADO ERRADO CORRETONão será permitida nenhuma espécie de CONSULTA nem o uso de máquina calculadora.É proibido pedir ou emprestar qualquer material durante a realização da prova.Você terá 3 horas para responder a todas as questões e preencher a folha de respostas.Não é permitida a saída antes de 90 minutos de duração da prova.Boa prova!

20 Considere três retas paralelas r, s e t, tal que a distância entrer e s é a e entre s e t é b, conforme a figura. Sobre estas retasapoia-se um triângulo equilátero de vértices A, B e C.b)32c)2( a+ b)⋅2 2ACDetermine a área deste triângulo.a) a 2 + ab + b 2d) a + ab + b3⋅ ( a + ab+b )3B2 22 2e) 2 ⋅ ( a + ab+b )321 Na figura a seguir, temos um trapézio ABCD e suas diagonaisAC e BD. Os triângulos AEB e DEC possuem áreas α e β,respectivamente.ABEabrsthPodemos afirmar que AH é igual a:ONa) 2b) 3c) 2 2d) 3 25e)223 Um triângulo retângulo possui ângulos agudos iguais a α e β.⎛ α⎞βDetermine o valor de tg tg⎝⎜2⎠⎟ ⋅ ⎛ ⎞⎝⎜2⎠⎟ em função dos raios dascircunferências inscrita (r) e da circunscrita (R).RRa)d)2 r+R2R+2rrRb)e)2 r+rR−rRc)2 R+r24 Na figura a seguir, ABCD e CEF são respectivamente umquadrado e um triânguloequilátero de lado 2. As bases DC eCF são colineares. A reta AF intersecta o lado do quadrado e dotriângulo nos pontos G e H.A21B1GHE3ª PROVAFRANCISCO.SILVA24-04-2012 (11:34)DSe a altura deste trapézio é h, determine a base média destetrapézio.2a) α+ αβ + β⎛ α β⎞d) ⎜ +hh h⎟⎝ ⎠b)αβe) ( 2 ) 2α+βh 2hc) α+ 2βh22 O triângulo ABC da figura é acutângulo e H e O seu ortocentroe circuncentro, respectivamente.ACD 2 C 2 FDetermine o raio da circunferência inscrita no triângulo CGH.5+1a)2d)43+ 3+523b)c)3+ 2 3+513+ 5+2e)3+ 2 3+525 Em um ∆ABC, cujo baricentro é G, a reta determinada pelovértice A e pelo ponto médio M do segmento BG intercepta olado BC em E. Determine a razão EB : EC.a) 1 d) 1 26b) 2 3e) 2 5HOc) 1 4CNBPágina 4 de 4Nível III – Prova 1 – 1a fase 2012