Ângulos no plano

Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoÂngulos• Ângulo é a figura formada pela união dos pontos de duas semirretas com origem no mesmo ponto.A^^VA ∪ VB = AVB ou simplesmente V.VQαBPV é o vértice, VA e VB são os lados e α é a medida do ângulo.P pertence à região angular convexa.Q pertence à região angular côncava.• Ângulo raso é o nome dado ao ângulo formado por duas semi-retas colineares e opostas.180º ^VA ∪ VB = AB ⇔ med (AVB) = 180º ou π radAVBO ângulo raso divide o plano em duas regiões convexas.• Ângulo geométrico é aquele que tem uma media entre 0º e 180º. ( 0º< α < 180º )O conceito de ângulo geométrico é muito importante para evitar confusões em relação ao número deângulos apresentados por uma mesma figura. Numa contagem de ângulos, só devem ser consideradosaqueles que são geométricos, ou seja, não se deve contar ângulos rasos nem ângulos cuja medida seja maiordo que 180º.O ângulo raso não é geométrico e, por isso, não deve ser contado para nomear o polígono que o possui. Otriângulo, por exemplo, é um polígono que possui uma infinidade de ângulos rasos mas apenas três ângulosgeométricos.• Ângulo agudo é aquele que tem uma medida entre 0º e 90º. ( 0º < α < 90º )• Ângulo reto é aquele que mede 90º. ( α = 90º )• Ângulo obtuso é aquele que tem uma medida entre 90º e 180º. ( 90º < α < 180º )CCagudoobtusoretoretoAVBAVBPares de ângulos• Ângulos adjacentes são aqueles que têm uma semirreta comum.VαβAB^med ( AVB ) = α^med ( BVC ) = βCmed ( AVC ^) = α + β• Ângulos complementares são aqueles cujas medidas somam um ângulo reto. ( α+β = 90º )• Ângulos suplementares são aqueles cujas medidas somam um ângulo raso. ( α+β = 180º )1

Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoBissetriz de um ânguloÉ a semi-reta que tem origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos adjacentes demesma medida.A^α/2VS é a bissetriz do ângulo AVB.^Vmed ( AVB ) = αα/2S^^med ( AVS ) = med ( BVS ) = αB2Um cruzamentoDuas retas concorrentes determinam quatro ângulos geométricos que podem ser todos retos, quando asretas são perpendiculares ou podem ser dois agudos e dois obtusos, quando as retas são oblíquas.rr βαβαssr ⊥ s ⇒ 4 ângulos retos r s ⇒ 4 ângulosQuatro ângulos, mas apenasduas medidas suplementares:α+β = 180º2 agudos opostos pelo vértice de medida αe2 obtusos também o.p.v. de medida βDois cruzamentosDuas retas paralelas e uma transversal determinam oito ângulos geométricos que podem ser todos retos,quando a transversal for perpendicular às paralelas, ou podem ser quatro agudos e quatro obtusos, quando atransversal for oblíqua às paralelas.trs // rαβ αα ββ αβt ⊥ r ⇒ 8 ângulos retos t r ⇒ 8 ângulos:ts // rr4 agudos de medida α e4 obtusos de medida βOito ângulos, mas apenasduas medidas suplementares:α+β = 180ºNa figura ao lado, os pares de ângulos correspondentes são:x e ay e bz e cw e dyztxwSão alternos internos:São alternos externos:a e zb e wc e xd e ySão colaterais internos:São colaterais externos:a e wb e zc e yd e xrbcads // r2

Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoTrês cruzamentosTrês retas concorrentes em três pontos distintos determinam doze ângulos geométricos e um triângulo.β+γααβ+γtrβα+γ α+γβγα+βα+βγO teorema angular de Tales diz que: a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é180º. E o teorema do ângulo externo diz que: prolongando-se um dos lados de um triângulo, obtém-se umângulo externo cuja medida é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele, ou seja,igual à soma das medidas dos ângulos internos dos outros vértices do triângulo.Ângulos de um triânguloO teorema angular de Tales nos garante que a soma das medidas dos três ângulos internos de umtriângulo é igual à medida de um ângulo raso: 180º ou π radianos. Mas, além disso, devemos saber que emtodo triângulo, o maior lado está oposto ao maior ângulo e o menor lado está oposto ao menor ângulo. Senão houver maior ângulo, então não haverá maior lado e se não houver menor ângulo então não haverámenor lado.Os triângulos são classificados de duas maneiras distintas:sα+β+γ = 180ºACUTÂNGULO – quando todos os seus ângulos forem agudos.• Quanto às medidas dos ângulos: RETÂNGULO – quando um de seus ângulos for reto.OBTUSÂNGULO – quando um de seus ângulos for obtuso.ESCALENO – quando as três medidas são diferentes.• Quanto às medidas dos lados: ISÓSCELES – quando pelo menos duas das medidas coincidem.EQUILÁTERO – quando todos os lados têm a mesma medida.De acordo com estas classificações, não é possível que um triângulo seja simultaneamente acutângulo eretângulo, por exemplo, mas um triângulo equilátero é também um triângulo isósceles.Acutânguloα < 90ºAβ < 90ºγ < 90ºBβαγCγ é retoα+β = 90ºCA e CB são os catetose AB é a hipotenusaβBNote que as três alturas do triângulo acutângulo são internas e encontram-se num mesmo ponto chamadoortocentro do triângulo.No caso do triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é a única visível, pois as outras duascoincidem com os próprios catetos então o ortocentro do triângulo retângulo é o vértice do seu ângulo reto.Se um dos catetos for considerado como base então o outro cateto será a altura. Assim a área do triânguloretângulo pode ser obtida tanto da metade do produto dos catetos quanto da metade do produto entra ahipotenusa e a altura relativa.O triângulo mais perigoso de ser estudado é o triângulo obtusângulo, pois apenas uma de suas alturas éinterna, as outras duas ficam do lado de fora do triângulo e são representadas pelos segmentos que indicam adistância entre o vértice de um de seus ângulos agudos até a reta suporte do lado oposto.Temos o hábito de indicar as medidas dos lados de um triângulo pelas mesmas letras que designam seusos vértices opostos só que minúsculas, assim: BC = a, AC = b e AB = c.3AαBβγÂnguloexternoβ do α ∆ABCsCu // ABNa figura acima, os ângulos indicados commedida α são correspondentes e os indicadoscom medida β são alternos internos.RetânguloαACObtusânguloα+β < 90ºγ > 90ºBβγCαA

Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoQuatro cruzamentosQuando dois pares de retas paralelas determinam um paralelogramo temos um total de dezesseis ângulosque podem ser todos retos caso o paralelogramo seja retângulo ou podem ser oito agudos e oito obtusos.tβ αα ββ αα βαu // tβ αDezesseis ângulos, mas apenasα β rduas medidas suplementares.α+β = 180ºβ αβs // rOs lados opostos de um paralelogramo são paralelos entre si e têm a mesma medida. Além disso, osângulos internos dos vértices opostos de um paralelogramo também têm a mesma medida.Polígonos convexose NAe Ai ABi Be BCEste polígono convexo possui:n vértices: A , B , C , D , E , F , ... , NNi Nn-ágonoi V + e V =180ºe Fi FFi Ee Ei Ci DEe Ce DDn lados: AB , BC , CD , DE , EF , ... , NAn⋅(n – 3) diagonais: AC , AD , AE , AF , ... , BD , BE , BF , …2n ângulos internos: i A , i B , i C , i D , i E , i F , ... , i NEm todo polígono convexo, a somadas medidas do ângulo interno e doexterno de mesmo vértice é 180º.Si + Se S= n ⋅ 180ºNa verdade, o número de ângulos externos de um polígono convexo é 2n, pois há dois deles em cadavértice, mas como os ângulos externos de um mesmo vértice têm a mesma medida (o.p.v), contamos apenasum em cada vértice para enunciar as formulas a seguir:• A soma de todos os ângulos internos de um polígono convexo é: Si = (n – 2) ⋅180º• A soma de todos os ângulos externos de um polígono convexo é constante: Se = 360º150º60ºPentágono equilátero150º108º 108º108º 108º• O polígono cujos lados têm todos amesma medida é chamadoEQUILÁTERO.108º108º 108º• O polígono cujos ângulos internosPentágono equiângulotêm todos a mesma medida échamado EQUIÂNGULO.108º 108º 108º• O polígono que é simultaneamenteequilátero e equiângulo deve serchamado polígono REGULAR.Pentágono regular4

Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoO triângulo é o único polígono que se forequilátero também será equiângulo, por issopodemos chamar o triângulo regular de triânguloequilátero.O quadrilátero equilátero é o losango.O quadrilátero equiângulo é o retângulo.O quadrilátero regular é o quadrado.60º60º 60ºAlguns polígonos são inscritíveis e outros são circunscritíves em circunferências.GABOCFEDHeptágono inscritoCircunferência circunscritaO centro O determinadopelas mediatrizes dos ladosé chamado de circuncentro.Pentágono circunscritoCircunferência inscritaO centro I é determinadopelas bissetrizes dos ângulosinternos do polígono. Ele échamado de incentro.ABEIDCTodo triângulo é inscritível e circunscritível. Já, os losangos são apenas circunscritíves e os retângulosapenas inscritíveis, a não ser que estejamos diante de um quadrado .ABABIOAICOBCDCD“ Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em circunferências de mesmo centro ”FEαA I ≡ O DBCO raio do círculo circunscrito é também o raio do polígono, aopasso que o raio do círculo inscrito é o apótema do polígono.Cada ângulo interno do polígono regular de n lados mede:(n – 2)⋅180ºnCada ângulo externo do polígono de n lados regular mede:360ºnNa figura, α representa a medida do ângulo central dopolígono regular, que coincide com a medida do ângulo externoem qualquer polígono regular.Nomenclatura dos polígonos convexos:n = 3 Triângulo n = 7 Heptágono n = 11 Undecágono n = 15 Pentadecágonon = 4 Quadrilátero n = 8 Octógono n = 12 Dodecágonon = 5 Pentágono n = 9 Eneágono n = 13 Tridecágonon = 6 Hexágono n =10 Decágono n = 14 Tetradecágono n = 20 2 Icoságono5

Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoÂngulos na circunferência• Ângulo central é aquele que possui como vértice o centro de uma circunferência.B^med( AVB ) = med( AB ) = αV ≡ OαAαA medida do ângulo é igual a medida do arco dacircunferência determinado por este ângulo não importa qualseja o raio desta circunferência desde que seu centro coincidacom o vértice do ângulo.Se α = 80º, então tanto o ângulo quanto o arco da figura• Ângulo inscrito é aquele cujo vértice é um ponto pertencente à circunferência.VβBA2β^med( AVB ) = 1 ⋅ med( AB ) = β2A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida doarco da circunferência determinado por ele. Não importa qualseja o A posição do seu vértice V, desde que ele esteja situadono contorno da circunferência que contêm o arco.• Arco capaz é o lugar geométrico dos pontos do semiplano que observam um segmento sob um mesmoângulo.V 2V 1xxB^ ^ ^ ^med(AV1B ) = med(AV2B ) = med(AV3B ) = med(AV4B ) = …V 3V 4xxxASe dois pontos A e B determinam um arco de circunferência.Para todo ponto V deste arco, a medida do ângulo oposto aolado AB no triângulo AVB será a mesma.V 5Outras posições relativas entre ângulos e arcosSejam A, B, C e D pontos de uma circunferência, ordenados no sentido horário, que determinam arcos AB eCD com medidas diferentes e V o ponto de intersecção das retas determinadas pelas extremidades destesarcos.1º caso: V é ponto do interior da circunferência.V = AC ∩ BD2º caso: V é ponto exterior à circunferência:V = AD ∩ BCαABxVDCβx = α + β2^med( AVB ) = xmed( AB ) = αmed( CD ) = βαABβDCxx = α – β2V