Ângulos no plano

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Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoBissetriz de um ânguloÉ a semi-reta que tem origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos adjacentes demesma medida.A^α/2VS é a bissetriz do ângulo AVB.^Vmed ( AVB ) = αα/2S^^med ( AVS ) = med ( BVS ) = αB2Um cruzamentoDuas retas concorrentes determinam quatro ângulos geométricos que podem ser todos retos, quando asretas são perpendiculares ou podem ser dois agudos e dois obtusos, quando as retas são oblíquas.rr βαβαssr ⊥ s ⇒ 4 ângulos retos r s ⇒ 4 ângulosQuatro ângulos, mas apenasduas medidas suplementares:α+β = 180º2 agudos opostos pelo vértice de medida αe2 obtusos também o.p.v. de medida βDois cruzamentosDuas retas paralelas e uma transversal determinam oito ângulos geométricos que podem ser todos retos,quando a transversal for perpendicular às paralelas, ou podem ser quatro agudos e quatro obtusos, quando atransversal for oblíqua às paralelas.trs // rαβ αα ββ αβt ⊥ r ⇒ 8 ângulos retos t r ⇒ 8 ângulos:ts // rr4 agudos de medida α e4 obtusos de medida βOito ângulos, mas apenasduas medidas suplementares:α+β = 180ºNa figura ao lado, os pares de ângulos correspondentes são:x e ay e bz e cw e dyztxwSão alternos internos:São alternos externos:a e zb e wc e xd e ySão colaterais internos:São colaterais externos:a e wb e zc e yd e xrbcads // r2
Curso de linguagem matemática – Professor Renato TiãoTrês cruzamentosTrês retas concorrentes em três pontos distintos determinam doze ângulos geométricos e um triângulo.β+γααβ+γtrβα+γ α+γβγα+βα+βγO teorema angular de Tales diz que: a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é180º. E o teorema do ângulo externo diz que: prolongando-se um dos lados de um triângulo, obtém-se umângulo externo cuja medida é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele, ou seja,igual à soma das medidas dos ângulos internos dos outros vértices do triângulo.Ângulos de um triânguloO teorema angular de Tales nos garante que a soma das medidas dos três ângulos internos de umtriângulo é igual à medida de um ângulo raso: 180º ou π radianos. Mas, além disso, devemos saber que emtodo triângulo, o maior lado está oposto ao maior ângulo e o menor lado está oposto ao menor ângulo. Senão houver maior ângulo, então não haverá maior lado e se não houver menor ângulo então não haverámenor lado.Os triângulos são classificados de duas maneiras distintas:sα+β+γ = 180ºACUTÂNGULO – quando todos os seus ângulos forem agudos.• Quanto às medidas dos ângulos: RETÂNGULO – quando um de seus ângulos for reto.OBTUSÂNGULO – quando um de seus ângulos for obtuso.ESCALENO – quando as três medidas são diferentes.• Quanto às medidas dos lados: ISÓSCELES – quando pelo menos duas das medidas coincidem.EQUILÁTERO – quando todos os lados têm a mesma medida.De acordo com estas classificações, não é possível que um triângulo seja simultaneamente acutângulo eretângulo, por exemplo, mas um triângulo equilátero é também um triângulo isósceles.Acutânguloα < 90ºAβ < 90ºγ < 90ºBβαγCγ é retoα+β = 90ºCA e CB são os catetose AB é a hipotenusaβBNote que as três alturas do triângulo acutângulo são internas e encontram-se num mesmo ponto chamadoortocentro do triângulo.No caso do triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é a única visível, pois as outras duascoincidem com os próprios catetos então o ortocentro do triângulo retângulo é o vértice do seu ângulo reto.Se um dos catetos for considerado como base então o outro cateto será a altura. Assim a área do triânguloretângulo pode ser obtida tanto da metade do produto dos catetos quanto da metade do produto entra ahipotenusa e a altura relativa.O triângulo mais perigoso de ser estudado é o triângulo obtusângulo, pois apenas uma de suas alturas éinterna, as outras duas ficam do lado de fora do triângulo e são representadas pelos segmentos que indicam adistância entre o vértice de um de seus ângulos agudos até a reta suporte do lado oposto.Temos o hábito de indicar as medidas dos lados de um triângulo pelas mesmas letras que designam seusos vértices opostos só que minúsculas, assim: BC = a, AC = b e AB = c.3AαBβγÂnguloexternoβ do α ∆ABCsCu // ABNa figura acima, os ângulos indicados commedida α são correspondentes e os indicadoscom medida β são alternos internos.RetânguloαACObtusânguloα+β < 90ºγ > 90ºBβγCαA
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