Subiecte MATLAB

Problema 1. S¼a se calculeze integrala dubl¼a
Z Z 2
(y sin x + x cos y)dxdy:
Problema 2. Rezolva¸ti problema:
0
y 0 = 1 y 2 ; y(0) = 0:
folosind ode23 ¸si ode45. Calcula¸ti eroarea global¼a, ¸stiind c¼a solu¸tia exact¼a
este
y(x) = e2x 1
e 2x + 1
¸si veri…ca¸ti c¼a este O(h p ).
Problema 3. Ecua¸tia atractorului Lorenz
d x
=
d t
ax + ay;
d y
= bx
d t
y xz;
d z
=
d t
cz + xy
are solu¸tii haotice care sunt sensibil dependente de condi¸tiile ini¸tiale. Rezolva¸ti
numeric pentru a = 5, b = 15, c = 1 cu condi¸tiile ini¸tiale
x(0) = 2; y(0) = 6; z(0) = 4; t 2 [0; 20];
cu toleran¸ta T = 10 4 . Repeta¸ti pentru
(a) T = 10 5 ;
(b) x(0) = 2:1.
Compara¸ti rezultatele cu cele ob¸tinute anterior. În …ecare caz reprezenta¸ti
gra…c.
Problema 4. G¼asi¸ti primele 10 valori pozitive pentru care x = tgx.
Problema 5. Sa se aproximeze ln 2 pornind de la o integral¼a convenabil¼a.
Compara¸ti cu aproximanta furnizat¼a de MATLAB.
1

Problema 6. S¼a se aproximeze
Z 1
Ce probleme pot s¼a apar¼a?
0
sin x
d x:
x
Problema 7. Pornind de la o integral¼a convenabil¼a, s¼a se aproximeze cu
8 zecimale exacte.
Problema 8. Func¸tia eroare, erf, se de…ne¸ste prin
erf(x) = 2
Z x
p e t2
d t:
Tabela¸ti valorile acestei func¸tii pentru x = 0:1, 0:2, : : : , 1, utilizând func¸tia
quad. S¼a se compare rezultatele cu cele furnizate de func¸tia MATLAB erf.
Problema 9. (a) Utiliza¸ti func¸tia quad din MATLAB pentru a aproxima
Z 2
1
0
1
sin p d t:
jtj
(b) De ce nu apar probleme de tip împ¼ar¸tire la zero în t = 0?
Problema 10. S¼a se reprezinte pe acela¸si gra…c pentru [a; b] = [0; 1], n = 11,
func¸tia, interpolantul Lagrange ¸si cel Hermite pe por¸tiuni în cazurile:
(a) xi =
(b) xi =
i 1
n 1 , i = 1; n, f(x) = e x ¸si f(x) = x5=2 ;
i 1
n 1
2 , i = 1; n, f(x) = x 5=2 .
Problema 11. Fie punctele Pi 2 R 2 , i = 0; n. S¼a se scrie o func¸tie MAT-
LAB care determin¼a o curb¼a parametric¼a polinomial¼a de grad n ce trece
prin punctele date. Testa¸ti func¸tia citind interactiv punctele cu ginput ¸si
reprezentând apoi gra…c punctele curba astfel determinat¼a.
Problema 12. Fie punctele Pi 2 R 2 , i = 0; n. S¼a se scrie o func¸tie MATLAB
care determin¼a o curb¼a parametric¼a spline cubic ce trece prin punctele date.
Testa¸ti func¸tia citind interactiv punctele cu ginput ¸si reprezentând apoi
gra…c punctele curba astfel determinat¼a.
2

Problema 13. Consider¼am datele x = -5:5; y = [0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0];
S¼a se determine coe…cien¸tii aproximantei polinomiale de grad 7 în sensul
celor mai mici p¼atrate corespunz¼atoare ¸si s¼a se reprezinte pe acela¸si gra…c
aproximanta ¸si polinomul de interpolare Lagrange.
Problema 14. Densitatea sodiului sodiului (în kg/m 3 ) pentru trei temperaturi
(în C) este dat¼a în tabela
Temperatura Ti 94 205 371
Densitatea i 929 902 860
Determina¸ti densitatea pentru T = 251 prin interpolare Lagrange.
Problema 15. Aproxima¸ti
y =
1 + x
1 + 2x + 3x 2
pentru x 2 [0; 5] folosind interpolarea Lagrange ¸si spline. Alege¸ti cinci noduri
¸si reprezenta¸ti pe acela¸si gra…c func¸tia ¸si interpolan¸tii. Reprezenta¸ti apoi
erorile de aproximare.
Problema 16. Determina¸ti o aproximare discret¼a în sensul celor mai mici
p¼atrate de forma
y = exp( x)
pentru datele
x y
0.0129 9.5600
0.0247 8.1845
0.0530 5.2616
0.1550 2.7917
0.3010 2.2611
0.4710 1.7340
0.8020 1.2370
1.2700 1.0674
1.4300 1.1171
2.4600 0.7620
Reprezenta¸ti gra…c punctele ¸si aproximanta.
Indica¸tie: logaritma¸ti.
3

Problema 17. Determina¸ti o aproximare discret¼a în sensul celor mai mici
p¼atrate de forma
y = c1 + c2x + c3 sin( x) + c4 sin(2 x)
pentru datele
i xi yi
1 0.1 0.0000
2 0.2 2.1220
3 0.3 3.0244
4 0.4 3.2568
5 0.5 3.1399
6 0.6 2.8579
7 0.7 2.5140
8 0.8 2.1639
9 0.9 1.8358
Reprezenta¸ti gra…c datele ¸si aproximanta.
Problema 18. Se consider¼a sistemul
2x1 x2 = 1
xj 1 + 2xj xj+1 = j; j = 2; n 1
xn 1 + 2xn = n
(a) S¼a se genereze matricea sistemului folosind diag.
(b) S¼a se rezolve folosind descompunerea lu.
(c) S¼a se genereze matricea cu spdiags, s¼a se rezolve cu \, comparând
timpul de rezolvare cu timpul necesar pentru rezolvarea aceluia¸si sistem
cu matrice dens¼a.
(d) S¼a se estimeze num¼arul de condi¸tionare al matricei coe…cien¸tilor folosind
condest.
Problema 19. O analiz¼a de tip element …nit a sarcinii pe o structur¼a ne
4

conduce la urm¼atorul sistem
2
0 0
6 0 0
6 0 0
6 0
4 0
0
0
0
0
3 2
7 6
7 6
0 7 6
7
0 7 x = 6
7 6
0 5 4
0 0 0
unde = 482317, = 2196:05 ¸si = 6708:43. Aici x1, x2, x3 reprezint¼a
deplas¼ari laterale, iar x4, x5, x6 reprezint¼a deplas¼ari rota¸tionale (tridimensionale)
corespunzând for¸tei aplicate (membrul drept).
(a) Determina¸ti x.
(b) Cât de precise sunt calculele? Presupunem întâi date exacte, apoi
k Ak=kAk = 5 10 7 .
Problema 20. S¼a se genereze
Matrice simetrice si pozitiv de…nite cu intr¼ari aleatoare (folosi¸ti ideea
de la descompunerea Cholesky).
Matrice ortogonale cu intr¼ari aleatoare (folosi¸ti descompunerea QR).
Problema 21. Calcula¸ti e…cient suma
nX 1
Sn = ;
k2 pentru n = 20; 200. Cât de bine aproximeaz¼a Sn suma seriei
1X 2 1
S = =
k2 6 ?
k=1
k=1
Problema 22. Scrie¸ti un …¸sier M de tip func¸tie care evalueaz¼a dezvoltarea
MacLaurin a func¸tiei ln(x + 1):
ln(x + 1) = x
x 2
2
+ x3
3
15
0
15
0
25
0
3
7 ;
7
5
n+1 xn
+ ( 1) + : : :
n
Convergen¸ta are loc pentru x 2 [ 1; 1]. Testa¸ti func¸tia MATLAB pentru
valori ale lui x din [ 0:5; 0:5] ¸si veri…ca¸ti ce se întâmpl¼a când x se apropie
de -1 sau 1.
5

Problema 23. Care este cea mai mare valoare a lui n cu proprietatea c¼a
Sn =
nX
k 2 < L;
k=1
unde L este dat? Rezolva¸ti prin însumare ¸si utilizând formula care d¼a pe Sn.
Problema 24. S¼a se genereze matricea triunghiular¼a a coe…cien¸tilor binomiali,
pentru puteri mergând de la 1 la un n 2 N dat.
Problema 25. Scrie¸ti un script MATLAB care cite¸ste un întreg ¸si determin¼a
scrierea sa cu cifre romane.
Problema 26. Scrie¸ti o func¸tie sau un script care rezolv¼a sistemul liniar
A k x = b pentru o matrice p¼atratic¼a A ¸si un întreg pozitiv k, utilizând descompunerea
LU a lui of A ¸si f¼ar¼a a calcula explicit matricea A k . (Indica¸tie:
Interpreta¸ti problema ca o rezolvare secven¸tial¼a de k sisteme liniare.)
(a) Realiza¸ti un gra…c de tip contur al func¸tiei
f(x; y) = e (4x2 +2y 2 ) cos 8x + e 3((2x+1=2) 2 +2y 2 ):
pentru 1:5 < x < 1:5, 2:5 < y < 2:5, ar¼atând numai contururile la
nivelul f(x; y) = 0:001. Ve¸ti ob¸tine un mesaj prietenos.
(b) Reprezenta¸ti suprafa¸ta parametric¼a dat¼a de
x = u(3 + cos v) cos 2u; y = u(3 + cos v) sin 2u; z = u sin v 3u
pentru 0 u 2 , 0 v 2 .
Problema 27. Polinoamele Cebî¸sev de grad n se de…nesc prin
Tn(x) = cos(n arccos x); 1 x 1:
Ele satisfac T0(x) = 1, T1(x) = x, ¸si rela¸tia de recuren¸t¼a
Tn+1(x) = 2xTn(x) Tn 1(x); n 1:
Scrie¸ti o func¸tie chebeval(x,N) care evalueaz¼a toate polinoamele Cebî¸sev
de grad cel mult N în toate punctele vectorului coloan¼a x. Rezultatul va …
un tablou de dimensiune length(x) pe N+1.
6

Problema 28. Un mod de a calcula func¸tia exponen¸tial¼a e x este de a considera
dezvoltarea Taylor trunchiat¼a în jurul lui x = 0,
e x = 1 + x x2 x3
+ + + : : : :
1! 2! 3!
Din nefericire pentru jxj mare, pentru a atinge o precizie dat¼a este nevoie
de un num¼ar mare de termeni. O proprietate special¼a a exponen¸tialei este
e 2x = (e x ) 2 . Aceasta conduce la o metod¼a numit¼a scalare ¸si ridicare la
p¼atrat (scaling and squaring method): se împarte x la 2 repetat pân¼a când
jxj < 1=2, ¸si se utilizeaz¼a dezvoltarea Taylor (16 termeni sunt mai mult
decât este necesar), ¸si se ridic¼a la p¼atrat repetat. Scrie¸ti o func¸tie expss(x)
care realizeaz¼a ace¸sti trei pa¸si. (Func¸tiile cumprod ¸si polyval pot ajuta la
implementarea dezvolt¼arii Taylor.) Testa¸ti func¸tia dumneavoastr¼a pentru
x = 30; 3; 3; 30.
Problema 29. Fie x ¸si y vectori coloan¼a ce descriu vârfurile unui poligon,
date în ordine. Scrie¸ti func¸tiile polyperim(x,y) ¸si polyarea(x,y) care calculeaz¼a
perimetrul ¸si aria unui polygon. Pentru arie, utiliza¸ti o formul¼a
bazat¼a pe teorema lui Green:
A = 1
2
nX
k=1
(xkyk+1 xk+1yk) :
Aici n este num¼arul de vârfuri ¸si prin de…ni¸tie, xn+1 = x1 ¸si yn+1 = y1.
Testa¸ti func¸tia pentru un p¼atrat ¸si pentru un triunghi echilateral.
Problema 30. G¼asi¸ti o expresie MATLAB de o linie care creeaz¼a matricea
A de tip n n ce satisface
aij =
1; dac¼a i j este prim
0; altfel
Problema 31. Presupunem c¼a o surs¼a de date produce o serie de caractere
extrase dintr-o mul¸time de M simboluri distincte. Dac¼a simbolul k este
produs cu probabilitatea pk, entropia de ordinul întâi a sursei se de…ne¸ste
prin
MX
H1 =
k=1
7
pk log 2 pk:

H1 este num¼arul de bi¸ti pe simbol necesari pentru a codi…ca un mesaj
lung, adic¼a, ea m¼asoar¼a cantitatea de informa¸tie ¸si deci succesul poten¸tial
al oric¼arei strategii de compresie. Valoarea H1 = 0 corespunde cazului unui
singur simbol — nici o informa¸tie— când toate cele M simboluri au probabilit¼a¸ti
egale, atunci H1 = log 2 M. Scrie¸ti o func¸tie [H,M] = entropy(v)
care calculeaz¼a entropia unui vector v. Probabilit¼a¸tile se vor calcula empiric
determinând intrarile unice (folosind unique), ¸si apoi num¼arând apari¸tiile
…ec¼arui simbol ¸si împ¼ar¸tind la lungimea lui v. Testa¸ti func¸tia folosind o
imagine existent¼a în MATLAB, tastând load clown, v = X(:);.
Problema 32. Multe instrumente …nanciare simple care au pl¼a¸ti regulate
egale (cum ar … împrumuturi sau anuit¼a¸ti ale invest¸tiilor) se pot modele prin
ecua¸tia
(1 + r)t 1
F = P ;
r
unde P este plata regulat¼a, r este rata …x¼a a dobânzii (de exemplu, r = 0:05
pentru o dobând¼a de 5%), t este num¼arul de intervale de plat¼a scurse, iar
F (t) este valoarea acumulat¼a a instrumentului la momentul t. r este u¸sor
de ob¸tinut prin rezolvarea ecua¸tiei. G¼asi¸ti r când P = 200, t = 30 ¸si F ia
valorile 10000,15000,: : : ,40000.
Problema 33. Reamintim identitatea
e = lim
n!1 rn; rn = 1 + 1
n
Realiza¸ti un gra…c standard ¸si un gra…c log-log al lui e rn pentru n =
5; 10; 15; : : : ; 500. Ce ne arat¼a gra…cul log-log despre comportarea asimptotica
a lui e rn când n ! 1?
Problema 34. Juca¸ti urm¼atorul “joc haotic” . Fie P1, P2, ¸si P3 vârfurile
unui triunghi echilateral. Începe¸ti cu un punct oarecare în interiorul triunghiului.
Alege¸ti aleator unul din cele trei vârfuri (cu aceea¸si probabilitate)
¸si deplasa¸ti-v¼a spre el pân¼a la jum¼atatea distan¸tei dintre punct ¸si vârf.
Repeta¸ti nede…nit. Dac¼a reprezenta¸ti gra…c toate punctele ob¸tinute se va
vedea foarte clar un anumit ¸sablon. (Indica¸tie: Este mai u¸sor dac¼a utiliza¸ti
numere complexe. Dac¼a z este complex, atunci plot(z) este echivalent cu
plot(real(z),imag(z)).)
8
n
:

Problema 35. (a) Genera¸ti 100 de matrice aleatoare cu randn(100), ¸si
reprezenta¸ti gra…c (pe acela¸si gra…c) valorile lor proprii prin puncte din
planul complex. (Vor … 10000 de puncte.) Utiliza¸ti axis equal pentru
a face unit¼a¸tile pe ax¼a egale. Rezultatul este interesant.
(b) Repta¸ti exprimentul pentru 100 de matrice aleatoare complexe de forma
complex(randn(100),randn(100)). Observa¸ti vreo diferen¸t¼a calitativ¼a
între acest caz ¸si cel precedent?
Problema 36. Presupunem c¼a x este un vector coloan¼a. Calcula¸ti, f¼ar¼a a
utiliza cicluri sau rami…ca¸tii, matricea A dat¼a de
8
< 1
; dac¼a i 6= j
aij = (xi xj) 2
:
1; altfel
(Un mod de a face aceasta este atribuirea direct¼a la elementele diagonale ale
lui A. Utilizând stilul cu indexare linie/coloan¼a, aceasta necesit¼a trucuri, dar
vezi problema 30.)
Problema 37. Scrie¸ti o func¸tie care rezolv¼a sistemul liniar A k x = b pentru o
matrice p¼atrat¼a A un întreg pozitiv k ¸si un vector b dat, utilizând factorizarea
LU a lui A ¸si f¼ar¼a a calcula explici matricea A k . (Indica¸tie: Interpreta¸ti
problema ca o rezolvarea secven¸tial¼a a k sisteme liniare.)
Problema 38. Examina¸ti valorile proprii ale familiei de matrice
DN = N 2
2
2
6 1
6 0
6
4 0
1
2
1
0
0
1
2
. ..
: : :
0
0
1
. ..
1
: : :
: : :
: : :
. ..
2
3
1
0 7
0 7
. 7
1 5
1 0 0 : : : 1 2
unde DN este N N, pentru valori cresc¼atoare ale lui N, de exemplu, N =
32; 64; 128. Cea mai mic¼a valoare proprie converge c¼atre un multiplu întreg
al unui num¼ar simplu.
Problema 39. O problem¼a clasic¼a de matematic¼a aplicat¼a este determinarea
zerourilor func¸tiei Bessel J (x) pentru o valoare …xat¼a a indicelui . G¼asi¸ti
toate zerourile lui J1=2(x) pentru x 2 [0; 10].
9

Problema 40. Func¸tia W a lui Lambert este inversa func¸tiei f(x) = xe x .
Ea nu are o expresie analitic¼a simpl¼a. Scrie¸ti o func¸tie W = lambert(x) care
evalueaz¼a func¸tie lui Lambert W în orice x > 0. (Indica¸tie: Rezolva¸ti ecua¸tie
x = ye y în func¸tie de y pentru x dat, utilizând fzero.)
Problema 41. G¼asi¸ti valoarea x 2 [0; 1] ce minimizeaz¼a cea mai mare valoare
proprie a matricei A(x) = xM + (1 x)P , unde M este un p¼atrat magic
5 5 iar P este matricea Pascal 5 5.
Problema 42. Scrie¸ti o rutin¼a care calculeaz¼a polinomul de interpolare Lagrange
pentru o func¸tie dat¼a f ¸si un set de noduri dat x0; x1; : : : ; xn. Aplica¸tie
pentru f(x) = 1
1+25x2 ¸si nodurile xk = cos j
, unde n este dat: s¼a se reprezinte
n
pe acela¸si gra…c f ¸si Lnf pentru n = 21.
10