Cuvinte cheie

z
5.2.2. Soluţia ecuaţiei undelor sferice
y
r
Ψ(r, t)
n
x
� Undele sferice sunt undele ale
căror suprafaţă de undă este o sferă centrată
în jurul punctului în care s-a produs
perturbaţia care a generat unda.
Toate punctele suprafeţei sferice de undă se
găsesc în aceeaşi stare de perturbare şi, prin urmare,
funcţia de undă depinde doar de modulul razei
vectoare, dar nu şi de orientarea acesteia.
� Concluzia este că funcţia de undă caracteristică unei unde sferice este o funcţie
doar de modulul razei vectoare şi momentul de timp :
Ψ = Ψ(r, t)
Pentru a găsi formula matematică generală corespunzătoare undelor sferice
procedăm astfel :
dar :
� observăm că :
∂Ψ
∂Ψ
∂r
=
∂x
∂r
∂x
2 2 2 ∂r
∂ x + y + z x x
r = x + y + z ⇒ =
=
=
∂x
∂x
2 2 2
x + y + z r
deci :
∂Ψ
x ∂Ψ
=
∂x
r ∂r
� calculăm derivata a doua în raport cu x
2
2
∂ Ψ ∂ ⎛ x ∂Ψ
⎞ 1 ∂Ψ
∂ ⎛ 1 ⎞ ∂Ψ
x ∂ ⎛ ∂Ψ
⎞ 1 ∂Ψ
x ∂r
∂Ψ
x ∂ Ψ ∂r
= = + x + ⎜ ⎟ = − +
2 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
2
2
∂x
∂x
⎝ r ∂r
⎠ r ∂r
∂x
⎝ r ⎠ ∂r
r ∂x
⎝ ∂r
⎠ r ∂r
r ∂x
∂r
r ∂r
∂x
sau :
2
2
2 2
∂ Ψ 1 ∂Ψ
x ∂Ψ
x ∂ Ψ
= − +
2
3
2 2
∂x
r ∂r
r ∂r
r ∂r
� Analog :
2
2
2 2
∂ Ψ 1 ∂Ψ
y ∂Ψ
y ∂ Ψ
= − +
2
3
2 2
∂y
r ∂r
r ∂r
r ∂r
2
∂ Ψ 1 ∂Ψ
z
= −
2
3
∂z
r ∂r
r
∂Ψ
z
+ 2
∂r
r
∂ Ψ
2
∂r
� substituind aceste derivate în ecuaţia generală a undelor :
2
2
101
2
2
2
2