Metode matematice de optimizare. Metoda aproximării cu funcţii ...

C6. Metode matematice de optimizare. Metoda aproximării cu
funcŃii polinomiale. Metoda gradientului funcŃiei obiectiv. Rolul
tehnicilor de generare şi baleiere în domeniul variabilelor de
proiectare pentru obŃinerea unei soluŃii de start. Aspecte numerice
fundamentale, convergenŃă, criterii de căutare, etc
6.1. Introducere
Scopul acestui capitol este de a prezenta câteva concepte generale privind
optimizarea şi în particular optimizarea structurilor. Metode analitice şi numerice ca şi
SOLUłIA
INIłIALĂ
CERINłE
SATISFĂCUTE
?
NU
MODIFICAREA
SOLUłIEI
IMBUNĂTĂłIRI
?
NU
SOLUłIA
FINALĂ
DA
Fig. 5.1
tendinŃe mai noi, vor fi discutate şi explicate prin intermediul unor aplicaŃii. Pentru
detalii şi o bibliografie extinsă a se vedea [1], [1],...,[12].
Proiectarea inginerească, în general, este un proces iterativ (fig. 6.1), în care
soluŃiile obŃinute din calcul sunt modificate continuu, până când acestea întrunesc
criteriile de evaluare şi acceptabilitate stabilite de proiectant şi de beneficiar. În cadrul
acestui proces, metodologiile de calcul stabilite de proiectanŃi şi experienŃa dobândită
de-a lungul anilor se dovedesc deosebit de utile în adoptarea unor soluŃii constructive
care să corespundă în măsură tot mai mare, dezideratelor impuse proiectării.

Parametrii funcŃionali (presiunea, temperatura, viteza etc.) tot mai ridicaŃi, la
care trebuie să lucreze o serie de utilaje şi echipamente din industria de proces şi din
energetica nucleară, ca şi condiŃiile dure de funcŃionare (încărcarea şi viteza), întâlnite
în exploatarea unor mijloace de transport rutiere, pe calea ferată şi aero-spaŃiale, impun
realizarea unor structuri de rezistenŃă complexe, care să confere durabilitate maximă,
şi siguranŃă sporită în exploatare, în condiŃiile unor consumuri minime de material şi
manoperă.
Proiectarea unor astfel de structuri pentru care se impun soluŃii al căror nivel
de complexitate depăşeşte cu mult posibilităŃile oferite de metodologiile tradiŃionale de
proiectare, se face în prezent cu ajutorul unor programe de calcul specializate, care
pornind de la caracteristicile mecanice ale materialului şi a sarcinilor exterioare,
determină în final atât configuraŃia şi dimensiunile optime, cât şi comportamentul
mecanic al structurii.
GEOMETRIE,
DISCRETIZARE,
ANALIZĂ
DEFINIREA
PARAMETRILOR
DE OPTIMIZARE
GEOMETRIE
DISCRETIZARE
ANALIZĂ
APROXIMAłII
ŞI
OPTIMIZARE
POSTPROCESARE
DA
ESTE
CONVERGENTĂ
REALIZ.
?
NU
BUCLĂ DE OPTIMIZARE
Fig. 5.2
Proiectarea optimală a structurilor de maşini reprezintă un proces de calcul
bazat pe un ansamblu de metode matematice de optimizare, formulate prin
aprofundarea unor concepte ale teoriei elasticităŃii şi plasticităŃii sistemelor
deformabile, sub forma unor algoritmi de calcul. Folosind modelarea structurală liniară
şi neliniară, aceşti algoritmi de minimizare (maximizare) sunt transpuşi în programe de
calcul, care prin introducerea unor criterii privind nivelul tensiunilor şi rigidităŃii, sau
de minimizare a greutăŃii proprii, a cheltuielilor de fabricaŃie etc., se constituie în

metodologii moderne de proiectare a unor structuri optimizate fundamentale pe baze
noi, mai apropiate de realitate.
În calculele de optimizare structurală se consideră că modelul de analiză prin
calcul a structurii este stabilit, iar optimizarea propriu-zisă, reprezentând o serie de
metode şi tehnici de calcul, operează asupra modelului structurii, conducând în final la
optimizarea formei şi dimensiunilor acesteia. Prin urmare, optimizarea structurală în
proiectarea inginerească este un proces de calcul prin care se defineşte un anumit
sistem (structura) sub aspectul formei şi dimensiunilor, în timp ce prin analiza
structurală se urmăreşte determinarea răspunsului modelului unui sistem (structură),
supus acŃiunii unor încărcări exterioare.
Procesul de proiectare a unei structuri optimale poate fi reprezentat sugestiv cu
ajutorul schemei din figura 6.2.
Proiectarea optimală a structurilor reprezintă un proces de reproiectare
automată prin care se încearcă minimizarea sau maximizarea unei cantităŃi specifice
(funcŃia obiectiv), supusă unor limite sau restricŃii sub aspectul răspunsului, folosind
mijloace matematice raŃionale pentru evidenŃierea proiectării îmbunătăŃite.
O proiectare realizabilă este aceea care satisface toate restricŃiile. O proiectare
realizabilă nu poate fi întotdeauna şi optimală. O proiectare optimală se defineşte
printr-un punct în spaŃiul proiectării pentru care funcŃia obiectiv este minimizată sau
maximizată şi proiectarea este realizabilă. Dacă în spaŃiul de proiectare există un
minim relativ, mai pot exista şi alte proiectări optimale.
6.2. NoŃiuni generale ale teoriei optimizării
În calculele de optimizare a structurilor se operează cu o serie de noŃiuni şi
concepte ale teoriei matematice a optimizării, care capătă semnificaŃii specifice
corespunzătoare scopului urmărit şi dezideratelor impuse.
6.2.1. Variabile de proiectare
Sunt cantităŃi numerice reale care trebuie determinate în urma proiectării unei
structuri. Astfel, pentru structura de bare din figura 6.3 considerând cunoscute
încărcarea şi caracteristicile elastice ale materialului, rămân de determinat prin calcul
aria A a secŃiunii tijelor, lungimea l a acestora şi distanŃele d şi h.
Setul de variabile A, l, h, d care determină structura poartă numele de
parametrii de proiectare. Dacă barele sistemului din figură au secŃiunea inelară, în
locul ariei A, intervin ca variabile de proiectare diametrul mediu D şi grosimea δ a
peretelui secŃiunii. În unele probleme în locul secŃiunii A se dau momentele de inerŃie
ale secŃiunii.
Notând cu x vectorul variabilelor de proiectare, acesta are componentele, D, δ,
d, h şi l. În cadrul variabilelor de proiectare pot să apară şi cantităŃi cunoscute
(determinate din condiŃii de funcŃionare a sistemului), care poartă numele de parametri.
Astfel dacă – în cazul de faŃă – distanŃele d, h şi lungimea l a tijelor se
consideră cunoscute, atunci vectorul variabilelor de proiectare va avea numai două
componente (D şi δ).

În funcŃie de natura variabilelor de proiectare există două tipuri de aplicaŃii de
optimizare: optimizare dimensională şi optimizare configurativă. Optimizarea
dimensională se referă la acea clasa de probleme la care modificarea variabilelor de
proiectare nu schimbă geometria problemei sau modul de discretizare. Optimizarea
configuraŃiei se referă la acea clasă de probleme la care orice schimbare a variabilelor
de proiectare produce modificări în geometria problemei sau a discretizării.
În afara problemelor tipice de optimizare dimensională şi de formă mai există o
clasa specială de probleme la care atât parametrii dimensionali cât şi cei de formă se
definesc ca variabile de proiectare.
6.2.2. RestricŃii de proiectare
Un set de valori atribuit variabilelor de proiectare reprezintă o soluŃie de
proiectare care defineşte o structură. Dacă structura respectivă îndeplineşte condiŃiile
pentru care a fost proiectată, aceasta este o structură realizabilă. CondiŃiile care trebuie
să le îndeplinească o structură ca să fie realizabilă poartă numele de restricŃii de
proiectare. Numărul de restricŃii ale unei probleme nu este obligatoriu să fie egal cu
numărul variabilelor de proiectare. În majoritatea cazurilor, numărul restricŃiilor de
proiectare este mai mare decât numărul variabilelor de proiectare. În proiectarea
structurală se întâlnesc două tipuri de restricŃii: restricŃii de comportament şi restricŃii
de mărginire.
RestricŃiile de comportament sunt date de condiŃiile de rezistenŃă şi rigiditate
impuse structurii, care permit acesteia să-şi îndeplinească rolul pentru care a fost
proiectată. Tensiunile echivalente calculate în varianta von Mises reprezintă un
exemplu tipic de condiŃii de comportament în proiectarea structurală (σ ech ≤σ a ).
RestricŃiile de mărginire provin din condiŃiile de limitare a unor variabile de
proiectare. RestricŃiile de proiectare se notează cu r k (k=1...K) şi se pot exprima
explicit în funcŃie de variabilele de proiectare x.
RestricŃiile de comportament determină domeniul în care se face proiectarea.
Ele pot fi formulate pentru o comportare a structurii în domeniul elastic şi în acest caz
proiectarea se face în domeniul elastic. După cum este cunoscut, în cazul solicitării în
domeniul elastic, structurile posedă o importanŃă rezervă de capacitate portantă pe care
proiectarea în acest domeniu nu o poate utiliza. Dacă restricŃiile de proiectare sunt
formulate prin intermediul criteriilor de plasticitate, proiectarea optimală se face în
domeniul plastic.
6.2.3. FuncŃia obiectiv
FuncŃia obiectiv este o funcŃie f(x) definită ca o funcŃie de variabile de
proiectare, (ce figurează şi în restricŃiile de proiectare) care este extremizată în cadrul
procesului de optimizare. Greutatea (sau volumul) unei structuri este un exemplu tipic
de funcŃie obiectiv. Alegerea funcŃiei obiectiv reprezintă unul din cele mia importante
aspecte ale procesului de optimizare. Construirea modelului matematic al unei
probleme de optimizare impune o cunoaştere temeinică a procesului de deformare
studiat. Scrierea incorectă a unei condiŃii, sau omiterea unor condiŃii importante,

conduce la obŃinerea unor rezultate inaplicabile în proiectare, deşi din punct de vedere
matematic acestea pot fi juste.
Există situaŃii în care funcŃia obiectiv este constituită din două sau mai multe
cantităŃi. În asemenea situaŃii se defineşte o funcŃie obiectiv compusă. Astfel dacă f 1 (x)
şi f 2 (x) sunt două funcŃii obiectiv ale unei probleme, se poate defini o funcŃie obiectiv
compusă de forma
f ( x ) = a1 f1(
x ) + a2
f 2(
x ) , (6.1)
unde a 1 şi a 2 sunt constante de pondere.
RestricŃiile r k (k=1...K) şi funcŃia obiectiv f(x) reprezintă modelul problemei de
optimizare formulată. În cadrul unui proces de optimizare, funcŃia obiectiv este
extremizată în vederea găsirii combinaŃiilor de variabile de proiectare pentru care
aceasta capătă valori maxime sau minime.
Dacă se consideră o funcŃie obiectiv
f = f ( x1
,x2
)
(6.2)
dependentă de două variabile, graficul acesteia este dat de suprafaŃa Σ (fig. 6.4.).
IntersecŃia acestei suprafeŃe cu plane paralele cu planul orizontal (x 1 0x 2 ) , dă naştere
unor contururi închise, care proiectate în planul orizontal formează o familie de curbe
circumscrise Γ i . Curbele rezultate din secŃionarea suprafeŃei Γ cu plane mai apropiate
de planul orizontal sunt situate în interiorul curbelor corespunzătoare unor înălŃimi de
secŃionare mai mari, dacă suprafaŃa Σ admite un punct de minim. Dacă suprafaŃa Σ ar
admite un punct de maxim, dispunerea acestor curbe ar fi inversă.
În figura 6.5 se prezintă graficul funcŃiei obiectiv f(x), prin curbele de valoare
f=ct. Este cunoscut că optimul (minimul în cazul de faŃă) pentru f(x), reprezintă
condiŃia ca derivatele parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei obiectiv (6.2) să fie nule.
∂f
( x)
∂f
( x)
= 0 şi = 0 . (6.3)
∂x1
∂x2
Rezolvând acest sistem se obŃin coordonatele punctului de minim. Anularea
gradientului acestei funcŃii este de asemenea o condiŃie pentru determinarea minimului,
necesară, însă nu şi suficientă.
În cazul de faŃa punctul de minim poate fi determinat cu uşurinŃă pe cale
analitică. În multe probleme practice extremele funcŃiilor nu se pot determina analitic
datorită complexităŃii formei acestora. Problemele se complică şi mai mult dacă
variabilele de proiectare sau valori cuprinse între anumite intervale, sau dacă sunt
impuse restricŃii de proiectare. În aceste situaŃii se recurge la metodele numerice pentru
determinarea aproximativă a soluŃiei optime. Domeniul în care este trasat graficul
funcŃiei obiectiv este discretizat într-o reŃea de triunghiuri. Coordonatele vârfurilor
triunghiurilor fiind cunoscute, se calculează valorile funcŃiei obiectiv corespunzătoare
fiecărui vârf, după care folosind un program specializat se determină valoarea minimă
a funcŃiei obiectiv.
În numeroase aplicaŃii practice se pune problema optimizării unei funcŃii
neliniare f(x) supusă unor restricŃii de forma
g
j
( x)
≤ 0; j = 1,..., ng
,
(6.4)
h ( x)
≤ 0; k = 1,..., n ,
k
k

care pot fi liniare sau neliniare, dependente de variabilele de proiectare x 1 , x 2 ,...,x n , care
constituie componentele vectorului variabilelor de proiectare
x = { x1,
x2
,..., xn}
. (6.5)
Având în vedere aspectele menŃionate mai sus, se recurge la optimizarea
numerică. Majoritatea metodelor de optimizare numerică necesită alegerea iniŃială a
unui punct de start x 0 , ale cărui coordonate sunt reprezentate de un set de variabile de
proiectare. Pornind din acest punct, folosind o metodă oarecare se caută un nou punct
x 1 , în care funcŃia f(x) are o valoare mai mică decât în punctul x 0 ş.a.m.d.
Una dintre cele mai comune relaŃii de recurenŃă folosită de algoritmii iterativi
este de forma
q q−1
q
x = x + α*
⋅S
, (6.6)
unde q este indicele iterativ, iar S este vectorul direcŃiei de căutare în spaŃiul definit de
variabilele de proiectare. Mărimea scalară α*, denumită parametrul de salt defineşte
distanŃa de deplasare din punctul x q-1 în punctul x q , aflat pe direcŃia S (fig. 6.6).
Algoritmii de optimizare neliniară bazaŃi pe relaŃia (6.5) pot fi separaŃi în două părŃi.
Prima parte se referă la determinarea direcŃiei de căutare S, în vederea optimizării
funcŃiei obiectiv supusă restricŃiilor. A doua parte se referă la determinarea
parametrului de salt α*, care defineşte mărimea deplasării în direcŃia S.
6.2.4. Sensibilitatea
Studiul sensibilităŃii reprezintă procedura care determină schimbările care
intervin în răspunsul unei cantităŃi ca urmare a modificării unei variabile de proiectare.
Aceste răspunsuri sunt funcŃii de variabilele de proiectare. Toate cantităŃile rezultate
din postprocesare car pot fi folosite ca funcŃii obiectiv şi restricŃii de proiectare, sunt de
asemenea indicate pentru determinarea sensibilităŃii răspunsului.
Există patru tipuri de studii de sensibilitate numite, sensibilitate globală,
sensibilitate de compensare (offset), sensibilitate locală şi sensibilitate de optimizare.
În cazul sensibilităŃii globale variabilele de proiectare sunt schimbate între
limitele inferioare şi superioare într-un număr de paşi determinaŃi. Numărul de paşi
este acelaşi pentru toate variabilele de proiectare.
În cazul sensibilităŃii de compensare sunt specificate valorile unor variabile de
proiectare. Variabilele de proiectare sunt definite fie prin valorile actuale, fie printr-un
raport de perturbare faŃă de valoarea iniŃială.
Sensibilitatea locală se defineşte printr-o perturbare a unei variabile de
proiectare în timp ce celelalte sunt menŃinute neschimbate. Variabilele de proiectare
perturbate sunt definite fie prin valorile actuale, fie prin raportul de perturbare faŃă de
valoarea iniŃială. Gradientul răspunsului cantităŃilor în raport cu variabilele de
proiectare se calculează bazat pe metoda elementelor finite.
În cazul sensibilităŃii de optimizare gradienŃii restricŃiilor de comportament şi
funcŃiei obiectiv se calculează în timpul procesului de optimizare. GradienŃii sunt
obŃinuŃi luând derivatele funcŃiilor de aproximare în raport cu variabilele de proiectare.
Acest tip de sensibilitate se calculează numai când urmează să se facă o optimizare a
proiectării.

6.3. Formularea generală a unei probleme de optimizare
structurală
Aşa cum s-a arătat şi în paragraful anterior în formularea matematică a oricărei
probleme de optimizare trebuie luate în considerare următoarele patru elemente:
a) FuncŃia obiectiv: în cazul optimizării structurale aceasta trebuie să permită
compararea a două soluŃii de proiectare la modificarea variabilelor de proiectare, fiind
o măsură a performanŃelor mecanice şi/sau economice ale structurii. de exemplu, în
formularea funcŃiei obiectiv se pot considera mărimi precum:
- tensiuni şi deplasări maxime;
- costul materialelor, costul producerii tehnologice sau costul operaŃional (în
serviciu);
- masa (volumul) structurii (ObservaŃie: costurile anterioare sunt în general
proporŃionale cu masa structurii).
b) Parametri (variabilele de proiectare) sunt în general legaŃi de geometria
structurii (fig. 6.7) şi trebuie să fie variabile independente.
c) EcuaŃiile de stare: sunt ecuaŃiile ce guvernează problema analizată: de
exemplu condiŃiile de echilibru şi compatibilitate, legi constitutive de material.
d) RestricŃiile: sunt dictate de răspunsul mecanic al structurii (restricŃii de
comportament), sau au caracter tehnologic (restricŃii de mărginire); de exemplu o
anumită dimensiune poate varia într-un interval impus.
RestricŃiile de comportament determină domeniul în care se face proiectarea
structurii: domeniul elastic sau plastic. Din punct de vedere matematic, restricŃiile apar
sub forma unor egalităŃi (şi atunci numărul de variabile independente se reduce), sau
inegalităŃi, care restrâng domeniul admisibil al variabilelor de proiectare, definind
spaŃiul soluŃiilor posibile, denumit spaŃiul de proiectare.
FuncŃia obiectiv notată f(x) şi restricŃiile definesc modelul problemei de
optimizare şi, după felul acestora problema este liniară sau neliniară. Problema de
optimizare numerică (programare matematică), se poate formula astfel:
Să se determine min f(x)=f(x 1 ,x 2 ,...,x n ) cu restricŃiile:
g ( x ) ≤ 0 j = 1,...,n
h ( x ) = 0
k
x ≤ x ≤ xi
i
j
i
k = 1,...,n
g
k
i = 1,...,n
(6.7)
unde x i
şi x i reprezintă valorile limită minimă şi respectiv maximă, pentru fiecare
parametru de proiectare, cu posibile cazuri speciale:
a ) redefinirea funcŃiei obiectiv:
max[( f ( x )] = min[ − f ( x )]
⎡ 1 ⎤
(6.8)
max[( f ( x )] = min⎢
⎥
⎣ f ( x ) ⎦
b) reformularea egalităŃilor:

⎧g1(
x ) = h( x ) ≤ 0
h ( x ) = 0 ⇔ ⎨
, (6.9)
⎩g
2(
x ) = −h(
x ) ≤ 0
c) introducerea de noi variabile pentru a lucra cu valori reale pozitive în două
situaŃii uzuale:
c1) dacă − a ≤ x b , cu a,b>0
se introduce
i ≤
'
'
x = x a cu x ≥ 0
(6.10)
i i +
c2) sau se introduc variabilele
i
+
i
x ,
−
i
x , pozitive, astfel ca
x + i − x
−
i = xi
(6.11)
În cazul unui număr de variabile de proiectare n=2 sau n=3, spaŃiul de
proiectare se poate reprezenta grafic într-un plan, respectiv în spaŃiul tridimensional.
soluŃia optimă (vectorul x*), poate fi identificată şi caracterizată, ca acel punct al
spaŃiului de proiectare, de la care orice deplasare conduce sau la o creştere a valorii
funcŃiei obiectiv, sau la încălcarea (cel puŃin), a unei restricŃii (cazul punctelor x*
reprezentate în fig. 6.8 a,b pentru funcŃia obiectiv f(x 1 ,x 2 ) de două variabile). În primul
caz punctul de minim corespunde punctului de tangenŃă dintre curba f(x)=ct şi curba de
restricŃie g(x)=ct (fig. 6.8 a), iar în cel de-al doilea caz (vertex), soluŃia optimă se
găseşte la intersecŃia celor două curbe corespunzătoare a două restricŃii g 1 (x)=C 1 şi
g 2 (x)=C 2 (fig. 6.8 b).
Problema de optimizare numerică constă în final, în găsirea punctului de optim
x*, folosind metoda cea mai adecvată care să conducă la acesta, plecând de la o soluŃie
iniŃială x 0 . Procesul de optimizare se materializează în acest caz prin parcurgerea în
spaŃiul de proiectare a unui anumit drum între punctul de pornire x 0 şi cel de optim x*
(fig. 6.9).
Exemplul 6.1
Să se studieze structura de bare articulate din fig. 6.10 în cazul minimizării
greutăŃii structurii ce are o comportare liniar elastică. Variabilele de proiectare sunt
ariile secŃiunilor transversale ale barelor. Pentru cazul A 1 =A 3 , σ at =500 MPa, σ ac =250
MPa, P 1 =P 2 =P=10 kN, ρ=2800 kg/m 3 , (α=45 o ), H=0,5 m, să se traseze spaŃiul de
proiectare şi să se precizeze într-o diagramă, punctul de optim.
În cazul cel mai general al barelor de secŃiune diferită sub acŃiunea lui P 1 sau
lui P 2 se observă că restricŃiile problemei sunt:
σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ≤σ at date de P 1
-σ 1 ,-σ 2 ,-σ 3 ≤σ ac date de P 1
σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ≤σ at date de P 2
-σ 1 ,-σ 2 ,-σ 3 ≤σ ac date de P 2
Dacă A 1 =A 3 , P 1 =P 2 =P (structură simetrică), din 2 variabile de proiectare rămân
2 şi din 12 restricŃii rămân 8:
(1) σ 1 ≤σ at date de P 1 ; σ 1 ≤σ at date de P 2 (5)
(2) -σ 2 ≤σ at date de P 1 ; σ 2 ≤σ at date de P 2 (6)
(3) -σ 1 ≤σ ac date de P 1 ; -σ 1 ≤σ ac date de P 2 (7)
(4) -σ 2 ≤σ ac date de P 1 ; -σ 2 ≤σ ac date de P 2 (8)

unde observăm că sub acŃiunea lui P 1 , bara (1) nu poate fi solicitată la compresiune
rezultă că restricŃiile (3) nu pot fi posibile, iar restricŃia (2) este identică cu restricŃia
(6). łinând seama şi de simetrie, din cele 8 restricŃii rămân 3 şi problema minimizării
greutăŃii poate fi reformulată astfel:
Să se minimizeze: ( A , A ) = ρH(
2 A + A ) cu restricŃiile:
σ
σ
1
2
⎛
= P⎜
⎝
⎛
= P⎜
⎝
G
1 2
2
1 2
2A
A ⎞
1
+
2 ⎟ ≤ σ
2
2A
+ A A
1 2 1 2 ⎠
2 A ⎞
1 ⎟ ≤ σ
2
2A
+ A A
1 2 1 2 ⎠
at
at
, (1’)
, (2’)
⎛ A ⎞
P⎜
2
− σ
⎟
3 =
≤ σ
ac
, (4’)
2
A A A
⎝ 2 1 + 2 1 2 ⎠
unde se observă că structura este optimizată în domeniul liniar elastic, restricŃia (2’)
fiind liniară (se reduce A 1 ).
FuncŃia obiectiv este liniară, dar problema este o problemă neliniară (datorită
restricŃiilor 1’ şi 4’).
În cazul datelor precizate spaŃiul de purectare este reprezentat în fig. 6.11. În
această figura sunt reprezentate cele trei restricŃii precum şi liniile (curbele) pentru care
greutatea adimensională a structurii este constantă, punându-se în evidenŃă domeniul
admisibil în planul celor două arii adimensionale.
Studiind regiunea soluŃiilor posibile si punctul de optim O, rezultă:
a) punctul de optim O, nu corespunde unei soluŃii care reprezintă o structură
static determinată (punctul A pe figură în care A 2 =0);
b) punctul de optim se găseşte pe restricŃia (1) dar nu şi pe restricŃia (2) şi
deci în punctul de optim O, nu toate barele sistemului sunt la limita de
tensiune admisibilă sub unul din cazurile de încărcare;
c) punctul B corespunde intersecŃiei a două restricŃii (1’ şi 4’) pentru care se
ating simultan valorile tensiunilor σ at şi -σ ac .
Se observă că fiecare set de încărcări conduce la un nou set de restricŃii, ceea
ce face ca problemele practice să se complice foarte mult. Optimul nu este neapărat o
structură static determinată, sau cu toate elementele la limita de tensiune.
Exemplul 6.2
Să se studieze structura din fig. 6.12, determinându-se sarcina maximă posibilă
pe care o poate prelua în condiŃiile extinderii comportării materialelor în domeniul
A2
plastic (pentru simplificare se admite A
1
= ).
2
Tensiunile din bare în acest caz sunt:
⎛
⎞
⎜
1
σ
⎟
1 = P ,
⎝ 2A1
+ 2A2
⎠

⎛ ⎞
⎜
1
σ
⎟
2 = P .
⎝ A1
+ 2A2
⎠
A2
Pentru A
1
= rezultă
2
σ 2 P 1
σ
1
= = .
2 A1
3 2
Dacă se admite că materialul barelor se comportă după schematizarea lui
Prandtl, cu E p =0, (fig. 6.13), se poate trasa diagrama de variaŃie a tensiunilor din bare
în funcŃie de sarcina aplicată P (fig. 6.14).
După cum rezultă din figura 6.14 când tensiunile din bara doi ating limita de
1
curgere, în bara unu tensiunea σ 1 este σ
2 . Prin urmare în acest caz nu se poate
2
realiza o optimizare cu toate elementele structurii solicitate la limita de curgere. Dacă
sarcina P creşte în continuare, până când şi tensiunea din bara unu devine σ 1 =σ c , se
obŃine sarcina de cedare P lim . În momentul în care materialul din bara doi atinge limita
de curgere (σ 2 =σ c ), sarcina P este
⎛ σc
⎞⎛
A2
⎞
3
Pelastic
= N1
2 + N 2 = ⎜ ⎟ 2 + σ c A2
= σc
A2
2
⎜
⎟
,
⎝ ⎠⎝
2 ⎠
2
A2
iar Plim
= σ
c
A2 + σ
c
A1
2 = σc
A2
+ σ
c
2 = 2σ
c
A2
.
2
Ca urmare P limită >P elastic obŃinându-se o creştere importantă a sarcinii capabile.
Volumul total al structurii corespunzător celor două situaŃii este:
a) pentru P=P elastic :
= A H + 2 A H 2 = A H + 2A
H = A H .
V 2 1
2 2 3 2
Cum
2 P
A2 = rezultă
3 σ
3 P 2PH
V = 3 ⋅ H = .
2 σc
σc
b) pentru P=P limită
P
A = 2
2 rezultă
σ
c
c
3 PH
V = 3A
2 H = .
2 σc
Deplasarea pe verticală a punctului O din figura 6.12 calculată cu metoda
Mohr-Maxwell este
3 PH
τ
el
=
2 EA
2

3
Pentru P=P elastic = σ c A2
rezultă
2
2 PH σc
H
τel
= =
3 EA2
E
Pentru a doua stare limită, deplasarea nu mai poate fi calculată cu metoda
Mohr-Maxwell. Întrucât bara centrală s-a deformat plastic. Conform notaŃiilor din fig.
6.15
o
δ = δ cos α = cos 45
δ
1 δ
1
N l
=
EA
1 1
1
N1H
2 2N1H
= =
A2
EA2
E
2
2( P − N )H ( P − N
( P − N
2
2
=
EA
)H
2
2
δ =
= 2
.
2
2
)
=
2(
P − N
EA
2
EA2
EA2
2
unde N 2 =σ c A 2 .
Când P=P limită =2σ c A 2
σ c H
δ = 2 = 2δel
E
iar curba sarcină-deplasare are forma din figura 6.16.
În acest caz special se observă că pentru P=P lim curgerea apare în toate cele 3
bare. În general doar 2 bare cedează înainte ca întreaga structură să cedeze, sau (n 1 ) din
(n) bare cedează înainte de cedarea întregii structuri.
Cazul corespunde situaŃiei în care proiectantul nu este interesat de sarcina
pentru care unul din elementele structurii atinge o stare limită, ci de sarcina maximă
posibilă pe care o poate prelua structura fără a-şi pierde funcŃionalitatea denumită
sarcina limită.
Estimarea sarcinii limită în acest exemplu este acoperitoare datorită faptului că
în calcul s-a considerat schematizarea curbei caracteristice cu modul de plasticitate nul.
Problema poate fi generalizată pentru cazul sarcinilor multiple, (fig. 6.10)
folosind conceptul sarcinii limită.
În acest caz problema se formulează astfel:
Să se găsească min V. = 2HA1 + HA2
+ 2HA3
, cu restricŃiile:
⎛ A2
⎞
σ
c ⎜ A1
+
⎟ P
1
,
2 ≥
⎝ ⎠
σ A + A P
( ) ,
c 1 3
≥
1
⎛ A2
⎞
σ
c ⎜ A3
+
⎟ P2
,
2 ≥
⎝ ⎠
σ A + A P
( ) ,
c 1 3
≥
2
2
2
)H

problema fiind liniară atât ca funcŃie obiectiv cât şi ca restricŃii. Considerând P 1 =P 2 =P
şi A 1 =A 3 restricŃiile devin
⎧ ⎛ A2
⎞
⎪σc
⎜ A1
+ ⎟ ≥ P
⎨ ⎝ 2 ⎠
⎪
⎩σc
( A1
+ A1
) ≥ P
⎧ x2
⎪x1
+ ≥1
sau ⎨ 2
⎪
⎩2x1
≥1
A1
A2
cu x1 = şi x2 = .
P / σ P / σ
c
c
V
Se notează cu V ~ = = 2 2x1
+ x2
, un volum adimensional
HP
σ
c
SpaŃiul de proiectare, în acest caz este reprezentat în fig. 6.17 unde s-au figurat
cele două restricŃii şi modul de variaŃie a lui V ~ .
x2
În cazul A 2 = 2A1
deci x
1
= optimul este în punctul O şi V ~
2
3
corespunzător este V ~ = deci
2
3 PH PH
Vopt
= = 2,
121 .
2 σc
σ
c
În cazul admiterii comportării structurii în domeniul elastic, corespunzător
PH
punctului O din figura 6.11 se obŃine Vopt
= 2,
639 în timp ce structura static
σ
PH
determinată reprezentată prin punctul A de pe aceeaşi figură conduce la V = 2 , 828 .
σc
Se observă deci o ameliorare substanŃială a volumului optim în cazul folosirii
conceptului de sarcină limită.
În plus optimul este situat într-un vertex şi problema este de tipul cunoscut sub
numele de programare liniară.
6.4. Minimizarea funcŃiilor de o variabilă
c
Se consideră funcŃia obiectiv f(x) pentru care ne propunem să găsim
f ( x )
min
x∈R
Pentru aceasta exista două posibilităŃi:
- directă, de localizare a minimului lui f(x),
(6.12)

- indirectă, prin localizarea şi rafinarea rădăcinilor lui f’(x), unde prin
localizare se înŃelege restrângerea intervalului în care se află minimul (sau
rădăcina căutată), iar rafinarea este etapa în care se obŃine rapid o precizie
ridicată a aproximaŃiei respective.
Localizarea directă a minimului se face printr-un algoritm dezvoltat prin
analogie cu metoda bisecŃiei de rezolvare a unei ecuaŃii. Astfel dacă rădăcina unei
ecuaŃii f(x)=0 se află în intervalul [a, b] pe care f(x) are valori opuse ca semn la capete,
restrângerea intervalului se face prin alegerea unei valori x, la mijlocul intervalului şi
menŃinerea în procesul iterativ a intervalului [a, x] sau [x, b] pentru care f(x) are în
continuare valori de semn schimbat la capete. Prin analogie pentru localizarea unui
minim este nevoie de 3 puncte a

x3 = x2
− ρ(
x2
− x1
); ρ∈[
0,
1]
, (6.16)
unde dacă f’(x 3 )>0, atunci x*∈[x 1 , x 3 ] (cazul din figura 6.20), respectiv f’(x 3 )

6.6.1. Metoda direcŃiilor alternative
Metoda este prezentată aici pentru clarificarea caracteristicilor generale
specifice metodelor de ordinul zero. Plecând de la o valoare de start x, se încearcă
minimizarea funcŃiei obiectiv prin varierea fiecărei coordonate x i , pe rând:
repetă:
pentru i=1, n
găseşte α astfel încât f(x+αe i ) este minimizată
x→x+e i
sfârşit
până când se obŃine convergenŃ)ă.
ObservaŃie: o iteraŃie reprezintă un ciclu de variere a fiecărei componente x i , iar
e i este vectorul unitate după direcŃia i, în R n .
O dezvoltare a acestei metode folosind o căutare multidirecŃională a fost
realizată de Dennis şi Tuczon.
n
Metoda construieşte un simplex definit de n+1 vectori { v i } 0 în Rn (pentru
cazul a n variabile de proiectare) şi este ilustrată în fig. 6.22 pentru n=2.
Vârfurile sunt {v 0 , v 1 , v 2 } şi se consideră f ( v ) = min f ( v )
0 i .
i
Scopul metodei este de a produce un simplex cu valori inferioare ale funcŃiei
obiectiv. În primul pas vârfurile v 1 şi v 2 sunt reflectate pe direcŃiile ce unesc v 0 şi v 1 ,
respectiv v 0 şi v 2 , obŃinându-se r 1 şi r 2 şi deci un nou simplex {v 0 , r 1 , r 2 }. Dacă
f(r i )

( n + 1 + n −1)
Q
p =
n 2
(6.25)
Q
q = ( n + 1 −1)
n 2
unde e k este vectorul unitate după direcŃia k. Se evaluează apoi funcŃia f(x) în aceste
vârfuri şi se notează cu x h , x e , x s , valorile maximă, minimă şi cea de a doua după
valoarea maximă.
Valoarea x h este înlocuită cu un vârf în care f(x) are o valoare mai mică,
folosind trei operatori: reflexie, contracŃie şi expansiune.
Reflexia creează un nou punct x r în lungul liniei ce uneşte x h şi centrul x ,
determinat de cele n-1 vârfuri rămase
n
1
x = ∑ xi
, i ≠ h . (6.26)
n
i=
1
Vârful e determinat cu
xr
= x + α(
x − xh
) , (6.27)
unde α este un coeficient de reflexie (în mod normal α=1).
Dacă f r =f(x r ), satisface condiŃia f e

1 ⎛ 1 2 2 ⎞
f ( x1
,x2
) = mγ⎜
− α1x1
+ x1
+ x ⎟
2 ⎝ 2 ⎠
A1
l1
h P
unde m = ; γ = ; α = ; p = .
A l l EA
2
2
1
2
2
1 ⎛
+ ⎜
1x1
2
− α +
⎝
1
2
x
2
1
2
x
−
γ
Considerând m=5; γ=4; α 1 =0,02; p =2⋅10 -5 şi cu x 0 ={2, 2}, se cere să se
determine min f(x) folosind algoritmul simplex secvenŃial.
Rezolvare
Este prezentată pe larg prima iteraŃie. Se consideră un simplex de mărime 1 şi
se obŃine iniŃial S φ ={{2;2}, {2,96593; 2,25882}, {2,25882; 2,96593}} cu valorile
funcŃiei obiectiv {343, 696; 918, 432; 525, 267}.
Se observă că performanŃele vârfului al doilea sunt cele mai slabe (funcŃia
obiectiv are o valoare maximă) deci acest vârf trebuie modificat.
Centrul segmentului ce uneşte primul şi al treilea vârf este dat de {2,12941;
2,48296}. FaŃă de acesta se realizează o reflexie cu α=1, obŃinându-se vârful de
coordonate {1,29289; 2,7074} cu valoarea funcŃiei obiectiv (140, 739}. Deoarece în
această direcŃie funcŃia obiectiv deserveşte, chiar sub valoarea celui de-al treilea vârf
iniŃial se realizează o expansiune de coeficient β=2, obŃinând vârful {0,456377;
2,93125} cu valoarea funcŃiei {9,94421} şi după prima iteraŃie. Simplexul devine
{{2,2}; {2,25882; 2,965934}; {0,456377; 2,93125}}.
După 50 de iteraŃii valoarea minimă a funcŃiei este –25,632 pentru x 1 =0,02,
x 2 =1,6002.
IteraŃiile respective prezentate în fig. 6.24.
6.6.3. Metoda Complex
Metoda Complex propusă de Box în 1965, [14] este o metodă foarte utilizată
în cazul unor probleme de dimensiuni medii, având eventual şi variabile discrete.
Metoda are două faze, generând o mulŃime iniŃială de soluŃii care este
îmbunătăŃită progresiv, prin eliminarea celor mai slabe soluŃii (pentru care funcŃia
obiectiv are valori mari).
Fazele caracteristice sunt:
a) iniŃierea prin care se generează un set de soluŃii iniŃiale P astfel: o soluŃie ce
satisface restricŃiile este admisă direct, o soluŃie care nu respectă restricŃiile este adusă
către centrul zonei formate de soluŃiile posibile la jumătatea distanŃei de soluŃii posibile
la jumătatea distanŃei dintre punctul respectiv şi centrul zonei. Procesul poate fi repetat
dacă soluŃia continuă să încalce restricŃiile.
b) optimizarea propriu-zisă. În această fază, mulŃimea P (complex) se
deplasează către optim prin mutarea punctului (caracterizat de cea mai defavorabilă
valoare a funcŃiei obiectiv), către o valoare mai bună (mai mică).
Dacă P’ este mulŃimea restului punctelor şi X c este centrul zonei definită de P’,
noile coordonate ale lui X w sunt date de:
'
X = X + r( X − X )
(6.31)
wi
ci
ci
wi
⎞
⎟
γ
⎠
4
− γ
px
1

deci X w este reflectat cu factorul de reflectare r.
'
Dacă X w
nu satisface restricŃiile sau are o valoare a funcŃiei obiectiv mai
mare, (în cazul minimizării unei funcŃii), decât cea mai mare valoare din setul P’,
atunci X este adusă la jumătatea distanŃei dintre centrul X c şi X :
'
w
'
' ( X wi + X ci )
X wi = (6.32)
2
Procesul se repetă dacă în continuare soluŃia nu reprezintă o ameliorare a
valorii funcŃiei obiectiv.
Stocarea algoritmului se realizează atunci când valorile funcŃiei obiectiv nu
diferă (cu o toleranŃă admisă) pentru ultimele 5 puncte analizate.
Box a arătat că valorile optimale pentru algoritm sunt:
r=1,3 (6.33)
iar numărul de puncte din setul P este n P =2n, unde n P este numărul de variabile de
proiectare.
Van Bladel [15] optimizează metoda în cazul variabilelor discrete impunând:
r=2 iar n P =2n+2 (6.34)
Exemplul 6.4
Pentru structura de bare articulate din fig. 6.25 se cere minimizarea volumului
structurii cu restricŃia ca deplasarea punctului de aplicare a forŃei P să nu depăşească o
deplasare impusă (ambele bare fiind din acelaşi material de modul de elasticitate
longitudinală E).
Volumul structurii este dat de:
v = 10 ⋅ L ⋅ A1
+ L ⋅ A2
,
iar deplasarea punctului de aplicate a forŃei P este
PL ⎛
⎞
⎜
10 10 1
δ =
+ ⎟ .
E
⎝ 9A1 9A2
⎠
2
A1
A2
v EL δ
Notând a1 = , a2
= , V = , ∆ = , se realizează
2
2
3
L L L P L
adimensionalizarea, problema devenind
min V = 10a1
+ a2
cu restricŃia
10 10 1
∆ = + ≤ ∆
9a
a
1
9
2
a
unde ∆ a =0,176.
Dacă a 1 , a 2 sunt valori reale optimul este dat de a 1 =22,086; a 2 =6,984;
V=76,826.
În continuare se prezintă rezultatele obŃinute, considerând variabile întregi şi
pozitive:
20≤a 1 ≤50
1≤a 2 ≤31.
'
w

Se creează un punct iniŃial de coordonate {30;3} şi apoi 6 puncte aleatoare
prezentate în tabelul 6.1.
Punctul X 2 care are valoarea maximă pentru funcŃia obiectiv este reflectat faŃă
de centrul setului P’ (fig. 6.26).
Folosind relaŃia (6.31) cu r=2,
'
a 1
=34+2×(34-49)=4
'
a 2
=138+2×(13,8-3)=36.
'
X 2
este dat de
' '
a1 , a2
:
Punct a 1 a 2 V
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
30
49
34
31
40
35
3
4
28
29
2
7
97,9
159
135,5
127
128,5
117,7
Tabelul 6.1
Punct a 1 a 2 V
x 1
x 3
x 4
x 5
x 6
30
34
31
40
35
3
28
29
2
7
97,9
135,5
127
128,5
117,7
Centru 34 13,8
Tabelul 6.2
'
a '
2
Deoarece a 1 ∉[20,50] şi nici ∉[1,31] se adoptă:
'
a 1
=20
'
a 2
=31
şi noile valori ale funcŃiei obiectiv şi respectiv deplasării (normalizate) sunt:
V =
10 × 20 + 31 = 94,
2
10 10 1
∆ = + = 0179 , > 0175 ,
9 × 20 9 × 31
'
Deoarece restricŃia nu se respectă, X 2
este mutat către centru, la jumătatea
distanŃei, conform relaŃiei (6.32):
" 20 + 3
a1
= = 27
2
" ( 31 + 13,
8)
a2
= = 22
2
Cu aceste valori, volumul si deplasarea devin:

V = 10 × 27 + 22 = 107,
4
10 10 1
∆ = + = 0,
1359 < 0175 ,
9 × 27 9 × 22
Punctul (27,22) este deci acceptat şi noul set P este cel din tabelul 6.3.
Punct A 1 A 2 V
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
30
27
34
31
40
35
3
22
28
29
2
7
97,9
107,4
135,5
127
128,5
117,7
Tabelul 6.3
În această fază X 3 este reflectat, procesul fiind continuat până când cinci
puncte sunt eliminate, obŃinându-se optimul căutat:
a 1 =22;
a 2 =8;
V=77,57.
Pentru a verifica faptul că acest punct reprezintă valoarea optimă, se restartează
procesul cu acest punct de start. Figura 6.27, arată marginile noului spaŃiu de proiectare
care este redus la jumătate faŃă de spaŃiul iniŃial, adică:
20≤a 1 ≤35
1≤a 2 ≤16.
Setul P şi performanŃele optimizării sunt prezentate în figura 6.28, procedura
terminându-se rapid datorită faptului că punctul de start este de fapt soluŃia optimală.
Pentru fiecare nou punct este trasată valoarea funcŃiei obiectiv (volumul sistemului de
bare). Primele 6 puncte sunt generate aleator, neexistând tendinŃa de minimizare în faza
de iniŃiere. În faza de optimizare propriu-zisă, deoarece fiecare nou punct are
performanŃe mai bune decât cel mai slab punct, existent deja, este posibilă apariŃia unor
maxime locale, deplasarea setului P către optim fiind mai rapidă la începutul fazei de
optimizare. La restartare, setul P are performanŃe mai slabe decât setul anterior
restartării, optimul fiind însă determinat într-un număr redus de paşi.
EvoluŃia numărului de puncte din P (v.fig. 6.28) arată că la punctul 38
(sfârşitul primului ciclu), în P încă există toate punctele concentrate în jurul valorii de
optim, la punctul 58 existând un singur punct final (valoarea de optim).