utveckling av modeller för dynamiska svarsfunktioner i turbinrotorer

Återsubstituering av resultatet i (4.25) ger värdet på förstärkningsfunktionen vid resonans
enligt (4.37).
28
1
Φ resonans =
2
(4.37)
2ζ
1−
ζ
Utnyttjas nu (4.25) och (4.37) tillsammans ges de frekvenser för vilka förstärkningen är 1 2
gånger den maximala. Dessa är de två halveffektspunkter (eng. half-power points) som
utnyttjas för dämpningsbestämningen 1 . Resultatet är rötterna till en kvadratisk ekvation i
ω ω . Rötterna ges av (4.38).
( ) 2
n
2
2
ω
( 1−
2ζ
) ± 2ζ
1−
ζ ⇒ ≈ 1±
ζ
⎛ ω ⎞ 1 ⎛ ω ⎞
2
Φ ⎜ Φ
=
2
ω ⎟ =
⇒
2
⎜
ω ⎟
resonans
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
ω n
(4.38)
I sista ledet antages dämpningen vara svag vilket gör att de kvadrerade dämpningstermerna
kan försummas. Om en Taylorutveckling av högerledet trunkeras efter första termen ges
uttryck för de två rötterna som motsvarar intervallgränserna ωa och ωb i Figur 4.3. Om
rötterna subtraheras från varandra ges relationen (4.39).
ω − ω
b
ω
n
a
≈ 2ζ
(4.39)
Detta sista uttryck ger nu möjligheten att uppskatta strukturens dämpning genom att betrakta
resonansspektret. Då dämpningen bestäms vid en resonansfrekvens tillåter metoden att de
modala dämpvärdena bestäms för enskilda svängningsmoder i strukturen. Av (4.39) kan även
slutsatsen dras att ju smalare en resonanstopp är i frekvensspektret, desto mindre dämpad är
motsvarande frekvens.
Denna metod är behäftad med viss risk. Mätdata som är angiven i glest placerade punkter
(låg samplingsfrekvens) gör att bedömningen av förstärkningsfunktionens maxvärde och
därmed gränserna för frekvensintervallet blir osäker. Det finns en risk att maximalamplituden
underskattas vilket leder till en överskattning av frekvensintervallets bredd som i sin tur
resulterar i ett för högt värde på dämpningsförhållandet ζ.
4.2.6 Proportionell dämpning
Om dämpningsmatrisen C kan uttryckas som en linjärkombination av massmatrisen M och
styvhetsmatrisen K är det möjligt att diagonalisera matriserna. Denna diagonalisering, då
modvektorerna är ortogonala mot M, C och K, gör att systemet beskrivs av okopplade
differentialekvationer som kan lösas var och en för sig. De separerade ekvationerna kan sedan
användas vid till exempel modsuperposition. Om dämpningsmatrisen C är möjlig att
1
Dessa punkter ligger 3 dB under maximalamplituden vilket motsvarar hälften av den maximala förstärkningen.
En sinussignals effekt är proportionell mot roten ur dess amplitud, det vill säga P / P = 1 2 och
ut in
( 1/
2 ) 3
20 log ≈ dB.