Betygskriterier - bjornjonsson.se

Matematik D (MA1204) 

100 p 

Betygskriterier med 

exempeluppgifter 

Värmdö Gymnasium

Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma D (MA1204) 

Matematik 2005-2006 

Kriterier för betyget Godkänd 

Betygskriterier enligt Skolverket 

• Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och 

tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg. 

• Eleven genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. 

• Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför 

beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de 

tankar som kommer till uttryck. 

• Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar 

eller bevis. 

Kriterier för betyget Väl godkänd 

• Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och 

tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. 

• Eleven deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som 

skriftligt. 

• Eleven gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser sam 

genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt 

som skriftligt. 

• Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådan 

sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till 

uttryck såväl muntligt som skriftligt. 

• Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av 

problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken. 

• Eleven ger exempel på hur matematiken utvecklats och använts genom 

historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. 

Kriterier för betyget Mycket väl godkänd 

• Eleven formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och 

modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt 

matematiskt språk. 

• Eleven analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk 

problemlösning och matematiska resonemang. 

• Eleven deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt 

matematiska bevis. 

• Eleven värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av 

matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet 

och giltighet. 

• Eleven redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för 

utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. 

2 (12)



Lokal tolkning av betygskriterierna, Värmdö Gymnasium 

GODKÄND 

• Du skall kunna lösa enklare typuppgifter. 

• Du skall, med visst stöd, kunna redovisa lösningar så att andra kan följa din tankegång. 

• Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra 

matematiska beräkningar och funktionsritningar. 

VÄL GODKÄND 

• Du skall kunna lösa enklare typuppgifter samt kunna kombinera kunskaper och metoder 

från flera olika områden för att lösa uppgifter där detta krävs. 

• Du skall kunna redovisa din tankegång så tydligt att en oinsatt skall kunna följa den, samt 

använda nödvändiga och tydligt ritade figurer. 



MYCKET VÄL GODKÄND 

• Du skall kunna lösa enklare typuppgifter samt kunna kombinera kunskaper och metoder 

från flera olika områden för att lösa uppgifter där detta krävs. Du skall även kunna lösa 

uppgifter som kräver att du generaliserar tidigare kunskaper på nya problem. 

• Du skall kunna göra självständiga iakttagelser, tolka och värdera dina erhållna resultat och 

dessutom dra egna, relevanta slutsatser från dina resultat. 

• Du skall kunna redovisa din tankegång så tydligt att en oinsatt skall kunna följa den, samt 

använda nödvändiga och tydligt ritade figurer. Du skall även konsekvent kunna använda 

de korrekta matematiska begreppen och det matematiska språket i sitt rätta sammanhang. 



3 (12)



Trigonometri 

Efter avslutad kurs skall eleven 

• kunna använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp, visa trigonometriska 

samband och ge fullständiga lösningar till enkla trigonometriska ekvationer samt kunna 

utnyttja dessa vid problemlösning. 

• kunna rita grafer till trigonometriska funktioner samt använda dessa funktioner som modeller 

för verkliga periodiska förlopp. 

• kunna härleda och använda de formler som behövs för att omforma enkla trigonometriska 

uttryck och lösa trigonometriska ekvationer. 

• kunna beräkna sidor och vinklar i en godtycklig triangel. 

A ENHETSCIRKELN 

• Du ska förstå hur de trigonometriska funktionerna definieras med hjälp av enhetscirkeln. 

• Du ska förstå begreppet radianer. 

• Du ska kunna ge fullständiga lösningar till ekvationerna sin( a ⋅ v + b) 

= k och 

cos( a ⋅ v + b) 

= k , med hjälp av enhetscirkeln. Detta gäller både grader och radianer. 

• Du ska kunna bevisa och använda de formler som behövs för att omforma enkla 

trigonometriska uttryck och lösa trigonometriska ekvationer. 

De formler du ska behärska: sin( − v), sin( 180° 

− v), 

cos( −v), 

cos( 180° 

− v) 

Trigonometriska ettan 

B TRIGONOMETRISKA KURVOR (PERIODISKA FÖRLOPP) 

• Du ska kunna rita grafer till de trigonometriska funktionerna f ( x) 

f ( x) 

= A ⋅ cos( a ⋅ v) 

samt förstå begreppen amplitud och period. 

A ⋅ sin( a ⋅ v) 

• Du ska kunna använda dessa funktioner som modeller för verkliga periodiska förlopp 

4 (12) 

= och 

C TRIANGELSATSERNA 

• Du ska kunna beräkna sidor och vinklar i godtyckliga trianglar med hjälp av area-, sinus- och 

cosinussatsen. Med hjälp av enhetscirkeln ska du kunna avgöra om det finns flera lösningar. 

D BEVIS OCH HÄRLEDNINGAR 

• I detta moment ingår att kunna utföra härledningar och enkla bevis. Dessa kan indelas i 

följande nivåer. 

G: Areasatsen för spetsig vinkel 

Trigonometriska ettan 

Omformningar av typen sin( 180° 

+ v) = − sinv 

och 

2 2 

”uttryck cos x − sin x i cos x ” 

Sinussatsen 

VG: Areasatsen för spetsig och trubbig vinkel 

Visa formeln för cos( 

liknande 

v) 

1 − 

sin x 

”Visa att”-uppgifter av typen 

cos x 

cos x 

= 

1 + sin x 

u + med hjälp av formeln för cos( u − v) 

och



MVG: Cosinussatsen 

Formeln för cos( v) 

u − från grunden 

”Visa att”-uppgifter av typen 

Exempel på uppgifter på olika betygsnivåer 

5 (12) 

tan x − sin x 1 

= 

3 

sin x cos x + cos 

GODKÄND 

Observera att dessa exempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa. 

A 

1. Rita enhetscirkeln och visa med hjälp av den att sinv = sin( 180° 

− v) 

. Motivera! 

2 

2. Visa att ( 2 sin x) 

( 2 + sin x) 

= 3 + cos x 

− . 

3. Visa genom att förenkla vänsterledet att cos( v 270° 

) = − sin( v) 

− . 

4. Beräkna medelpunktsvinkeln v i en cirkelsektor som har radien 30 m och båglängden 75 m. 

Svaret ska anges i radianer. 

5. Ange samtliga lösningar till ekvationen sin 2x 

= −0, 

400 . Svara i grader med en decimal. 

6. Lös fullständigt ekvationen 

7. Lös fullständigt ekvationen 

1 

cos( 2 + 180° 

) = 

2 

x . Svara exakt. 

⎛ x ⎞ 

sin ⎜ + 1⎟ 

= 

⎝ 2 ⎠ 

1 

2 

. Svara i radianer. 

B 

8. I figuren nedan är grafen till en funktion av typen y = A cos(kx) 

ritad. 

Bestäm kurvans ekvation. 

C 

9. Beräkna längden av sidan x i figuren. 

2 

x



10. Beräkna vinkeln v i figuren. Svara i hela grader. 

D 

Se listan ovanför. 

VÄL GODKÄND 


1. En triangel har sidorna 10 cm, 8.0 cm och 9.0 cm. Beräkna arean i alla möjliga fall. Svara i 

hela cm 2 . 

2. Visa formeln för cos( u − v) 

med hjälp av formeln för cos( u + v) 

. Motivera noggrant. 

3. Ange samtliga lösningar till ekvationen 5 sin 4x 

= 3 sin 2x 

. 

4. Visa att 

1 + sin x 1 − cos x 1 

+ = . 

cos x 1 − sin x 1 − sin x 

2 

5. Lös fullständigt ekvationen 4 sin 2x 

= 3 . Svara i grader. 



1. Visa att 

tan x − sin x 

1 

= 

. 

3 

2 

sin x 1 + cos x − sin x 

2. I en triangel ABC är BC = 4,0 cm och AC = 5,0 cm. Vinkeln B är dubbelt så stor som 

vinkeln A. Beräkna triangelns vinklar. 

6 (12)



Derivator 


• kunna förklara deriveringsreglerna och själv i några fall kunna härleda dem för 

trigonometriska funktioner, logaritmfunktioner, sammansatta funktioner, produkt och kvot 

av två funktioner samt kunna tillämpa dessa regler vid problemlösning 

• kunna använda andraderivatan i olika tillämpade sammanhang 

• kunna förklara och använda tankegången bakom någon metod för numerisk ekvationslösning 

samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande 

programvara 

• kunna förklara innebörden av begreppet differentialekvation och kunna ge exempel på några 

enkla differentialekvationer och redovisa problemsituationer där de kan uppstå 

A DERIVATA 

• Derivera x 

sin , cos x och ln x . 

Inse att derivatan av t.ex. sin x är cos x med hjälp av graf. Bevis med hjälp av derivatans 

definition är på MVG-nivå. 

• Derivera sammansatta funktioner (kedjeregeln) för potensfunktioner, exponentialfunktioner, 

sin x , cos x och ln x . 

• Derivera en funktion som är en produkt av två funktioner av ovanstående typer. 

B NUMERISK EKVATIONSLÖSNING 

• Du ska kunna lösa ekvationer numeriskt, t.ex. med iteration eller Newton-Raphsons metod. 

• Du ska kunna lösa ekvationer och derivera numeriskt med hjälp av din grafräknares inbyggda 

funktioner. 

C DIFFERENTIALEKVATIONER 

• Du ska kunna verifiera en given lösning till en differentialekvation genom prövning. 


GODKÄND 


A 

1. Bestäm f ′ ( x) 

då f ( x) 

= x ⋅ ln(x) 

. 

2. Bestäm y′ då y = sin( 2x 

+ 5) 

. 

10 

3. Bestäm y′ ( 2) 

om y ( x) 

= ( 3x 

+ 1) 

. 

sin x 

4. Bestäm y′ (π ) om y( 

x) 

= . 

x 

5. En partikels läge beskrivs av formeln s( t) 

= 2, 

0 + 5, 

0 cos t , där s mäts i meter och t i 

sekunder. Bestäm partikelns hastighet vid tiden t = 10, 

0s 

. 

B 

6. Lös ekvationen e + 2 x = 0 

x . 

7 (12)



3 

7. Beräkna med hjälp av din grafräknare y′ ( 5) 

om y( 

x) 

= 4 cos x . Beskriv kort vad du gör på 

räknaren för att lösa uppgiften. 

C 

8. Visa att y = A cos 2x 

+ B sin2x 

är en lösning till differentialekvationen y ′ + 4 y = 0 . 

VÄL GODKÄND 

Observera att detta exempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa. 

1. Bestäm ( 1) 

f x = x 1 − 2x 

. 

f ′ då ( ) ( ) 50 


Observera att detta exempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa. 

1. Visa med hjälp av derivatans definition att om cos(x) 

Ledning: Om → 0 

8 (12) 

y = så är y′ = − sin(x) 

. 

sin( h) 

cos( h) 

− 1 

h så gäller att → 1 och → 0 

h 

h 

.



Integralkalkyl 


• kunna bestämma primitiva funktioner och använda dessa vid tillämpad problemlösning 

• kunna förklara innebörden av begreppet integral och klargöra sambandet mellan integral och 

derivata samt kunna ställa upp, tolka och använda integraler i olika typer av grundläggande 

tillämpningar 

• kunna redogöra för tankegången bakom och kunna använda någon metod för numerisk 

integration samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande 

programvara för att beräkna integraler 

INTEGRALER 

Du ska kunna: 

• Ta fram primitiva funktioner till potensfunktioner, exponentialfunktioner, sin x , cos x samt 

/ x 

1 och använda dessa vid tillämpad problemlösning. 

• Bestämma konstanten för en primitiv funktion med hjälp av begynnelsevillkor. 

• Förstå den geometriska innebörden av integraler, d.v.s. vad som menas geometriskt med 

∑ 

f ( x) 

⋅ ∆x 

lim( ∆x 

→0) 

• Kunna tolka innebörden av en tillämpad integral, t.ex. vad∫ F ( x) 

⋅ dx står för om F (x) 

är 

kraften för att flytta ett föremål som befinner sig vid läget x . 

• Ställa upp och beräkna integraler: 

– Exakt med hjälp av primitiva funktioner för potensfunktioner, exponentialfunktioner, 

sin x , cos x och ln x . 

– Numeriskt med trapetsformeln (i enklare fall). 

– Numeriskt med räknarens integralfunktioner. 

• Kunna beräkna areor mellan kurvor ovanför och under x-axeln. 

• Kunna skilja på begreppet integral och area och kunna tillämpa detta i praktiska situationer 

som t.ex. befolkningstillväxt. 

9 (12) 

b 

a




GODKÄND 


0, 

5x 

1. Bestäm den primitiva funktion F (x) 

till f ( x) 

= e + 1 som uppfyller villkoret 

F ( 0) 

= 2, 

5 . 

2. Bestäm samtliga primitiva funktioner F (x) 

om 

a) f ( x) 

= 2 cos 3x 

b) f ( x) 

= 2 x 

7 

c) f ( x) 

= 

x 

3. Funktionen n(t) beskriver befolkningsökningstakten mätt i personer/år, vid tidpunkten 

år t. 

1999 

Vad betyder ∫ n ( t) 

⋅ dt ? Förklara kort hur du resonerar. 

1990 

4. Sambandet mellan energin W och effekten P kan skrivas W = P ⋅ t , där t är tiden. Man 

kokar mat i ett kök under 1 timme. Under uppvärmningen, 10 min, drar plattan 1200 W och 

när man vrider ner värmen för att hålla konstant temperatur drar plattan 500 W under 50 

minuter. Teckna energiförbrukningen med hjälp av beteckningen för integraler. Tiden mäts i 

timmar. 

5. En sten, som kastas rakt uppåt med hastigheten 20 m/s, får på grund av tyngdaccelerationen 

approximativt hastigheten v( t) 

= 20 − 10t 

m/s. 

a) Beräkna med hjälp av en integral den sträcka som stenen färdats i höjdled när t = 3, 

0 s . 

b) Förklara svaret i a-uppgiften genom en geometrisk tolkning av integralen i ett 

koordinatsystem. 

c) Teckna med integralbeteckningen ett uttryck som ger hela den sträcka S m som stenen 

färdats i luften. 

0, 

5x 

6. I figuren är kurvan y 1000e − 

= ritad. Beräkna arean av det streckade området. 

Redovisa uppställningen. 

7. Beräkna med hjälp av trapetsformeln ett närmevärde på integralen ∫ 

0 

Räkna med tre delintervall och svara med tre gällande siffror. 

10 (12) 

3 

2 

x + 1 ⋅dx 

.



8. I figuren är kurvan y = f (x) 

ritad. Teckna ett uttryck för summan av de två streckade 

områdenas areor. f (x) 

behöver ej bestämmas. 

9. Beräkna med din grafräknares integralfunktion ett numeriskt värde på integralen ∫− 

Redovisa hur du gör, och svara med tre decimaler. 

VÄL GODKÄND 

11 (12) 

2 

2 

− 

e dx 

x . 


v2 

10. Bestäm integralen ∫ mv dv . 

v 

1 

11. Linjen genom punkterna A och B (se figur) är tangent till kurvan y = 

4 

. 

Punkten A har x-koordinaten 4. Beräkna arean av det skuggade området. 

12. I figuren till höger är en primitiv funktion 

y = F(x) 

till y = f (x) 

ritad. 

Beräkna med hjälp av figuren F (b) 

om 

∫ b 

0 

f ( x) 

dx = 100 . 

2 

x 

2





1. Funktionen f ( x) 

definieras av 

f 

x 

2 

( x) 

= ( t 3) 

∫ 3 − dt 

x ≥ 0 

0 

Vilket är det minsta värde som f ( x) 

kan anta? 

2. I en stad anser man att befolkningstätheten f ( x) 

invånare/kvadratkilometer varierar enligt 

10000 

f ( x) 

= x > 1 

3 

x 

Hur många personer bor det i cirkelringen från x = 1 till x = 5 ? 

Eget arbete 


• kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och 

vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i 

tidigare kurser 

• under eget ansvar analysera, genomföra och redovisa, muntligt och skriftligt, en något mer 

omfattande uppgift där kunskaper från olika områden av matematiken används 

12 (12)

Betygskriterier - bjornjonsson.se

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?