problem - Fysikum

STOCKHOLMS UNIVERSITET
FYSIKUM
Tentamensskrivning del 1 i Fysik B för Basåret
Fredagen den 13 april 2012 kl. 9.00 - 13.00
(Denna tentamen avser första halvan av Fysik B, kap 2 - 8 i Heureka. Fysik B)
Hjälpmedel: Miniräknare (ej grafräknare) och formelsamling.
Fullständiga lösningar med utförliga motiveringar krävs för att varje uppgift skall ge
maximalt 4 poäng.
OBS! I denna tentamen är antalet värdesiffror detsamma som antalet utskrivna siffror.
US
1. a) Mellan polerna på en hästskomagnet, där flödestätheten är
0,50 T, befinner sig en rak ledare med 3,0 cm av sin längd.
Genom ledaren flyter strömmen 1,8 A i riktning enl. fig.
Beräkna storleken och ange riktningen (rita) hos den kraft
som påverkar ledaren.
(2p)
b) I det homogena elektriska fältet mellan två laddade
metallplattor placeras en laddning q = −16 nC.
Kraften på laddningen är 4,0 mN och riktad enl. fig.
Rita ut några elektriska fältlinjer med riktningspilar
samt beräkna den elektriska fältstyrkan.
(2p)
Lösning:
a) Magnetfältet i gapet är riktat från nordpol N mot sydpol S. Magnetiska kraften ges av
F = B⋅I⋅l som med insatta värden ger F = 0,50⋅1,8⋅0,030 = 0,027 N=27 mN
med riktningen uppåt enligt högerhandsregeln.
b) Definition av elektrisk fältstyrka ∣⃗E∣= F q ger
∣⃗E∣= 4⋅10−3
16⋅10 −9 N/C = 2,5⋅105 N/C = 0,25 MN/C
Kraften på den negativa laddningen är riktad mot den
undre plattan, som således är positiv. Elektriska fältlinjer
har riktning från plus mot minus och framgår av figuren.
Svar: {
a) 27 mN riktning uppåt
b) 0,25 MN/C

2. a) Ekolod kan användas för att bestämma vattendjup med hjälp av korta ljudpulser. En
vanlig frekvens hos detta utraljud är 200 kHz. Utbredningshastigheten i vatten sätts
till 1463 m/s. Beräkna våglängden i vattnet.
(1p)
b) Två små högtalare (H 1 och H 2 ) i ett stort rum sänder ut likadana ljudvågor med
samma frekvens och fas i luft. Våglängden är 85 cm. Beräkna ljudvågornas period.
(1p)
552 cm
• P
c) Samma uppställning som i b) används
för att studera interferens. En person
befinner sig i punkten P i rummet.
Kommer denne person att uppfatta ett
ljudmaximum, ett ljudminimum eller
ett mellanting?
(2p)
H 1
H 2
680 cm
Lösning:
a) λ = v f
ger λ = 1463
200⋅10 3 m = 7,32⋅10−3 m = 7,32 mm
b) f = v λ med T = 1 f = λ 0,85
och ljudhastigheten 340 m/s får vi T = s = 2,5 ms
v 340
c) Gångskillnaden = 680 - 552 cm = 128 cm. Vi undersöker hur många våglängder detta
motsvarar 128 = 1,5 . 1,5 λ innebär att vågorna är i motfas i P och alltså dämpas
85
ljudet i denna punkt.
{
a) 7,32 mm
Svar: b) 2,5 ms
c) ljudminimum i P
3. a) En kula P kan röra sig utan friktion på ett
horisontellt bord.Den är fäst i ett snöre och
roterar moturs i en cirkulär bana.
När kulan är i punkten Q brister snöret.
En av personerna A - G, som står kring bordet,
träffas av kulan. Vem?
(1p)
b) I startögonblicket lämnar den levande kanonkulan
rörets mynning med farten 9,0 m/s.
Riktningen är 42 ⁰ i förhållande till horisontalplanet.
"Kanonkulan" har massan 60 kg.
Efter hur lång tid når ”kanonkulan” sin högsta punkt,
och hur hög fart har den då?
(2p)
c) Hur stor impuls tillfördes ”kanonkulan” inne
i kanonröret, om den var i vila från början? (1p)

Lösning:
a) E
b) I mynningen är utgångshastigheten i vertikal led v 0y
= 9,0·sin(42 0 ) m/s = 6,022 m/s.
v y
=v 0y
− g⋅t ger tiden till maxhöjd där v y = 0: t = 6,022 s = 0,613 s . I kastbanans
9,82
högsta punkt är v = v 0x
= 9,0·cos(42 0 ) m/s = 6,688 m/s
c) Impulsen I = Δ p . Vi beräknar kanonkulans rörelsemängd p = mv dvs
p = 60⋅9,0 kgm/s = 540 kgm/s ≈ 5,4⋅10 2 kgm/s . Eftersom initialhastigheten är noll
blir Δ p = p . Dvs I = 5,4·10 2 kgm/s.
{ a) E
Svar: b) 0,61 s och 6,7 m/s
c) 5,4⋅10 2 kgm/s
4. Man har två långa raka isolerade ledare, l 1 och
l 2 , som skär varandra under rät vinkel. Pga
isoleringen finns ingen elektrisk kontakt
mellan ledarna i skärningspunkten. Punkten P
ligger i samma plan som ledarna.
a) Till en början är ledare l 2 strömlös. Det flyter
en ström endast genom den vertikala ledaren
l 1 i riktning uppåt i figuren. Strömstyrkan
uppgår till 2,0 A.
Bestäm den magnetiska flödestätheten till
storlek och riktning i P.
(2p)
b) Med oförändrad ström i ledaren l 1 sänds nu en ström även i den horisontella ledaren
l 2 åt höger i figuren. Strömstyrkan i denna uppgår till 5,0 A.
Bestäm nu den magnetiska flödestätheten till storlek och riktning i P.
(2p)
Lösning:
a) Högerhandsregeln visar att det magnetiska flödet är cikulärt kring ledaren och riktat
in i papperets plan. Flödestätheten ges av B = μ 0
2π ⋅I där d är avståndet från ledaren
d
så att B = 2,0⋅10 −7 ⋅ 2,0
0,25 = 1,6⋅10−6 T = 1,6 μT
b) Flödeslinjerna är cirkulära omkring l 2 och riktade ut från papperets plan i P och
beräknas såsom i a) B = 2,0⋅10 −7 ⋅ 5,0
0,10 = 10⋅10−6 T = 10 μT Resulterande fältet i
P blir då (10 – 1,6) μT = 8,4 μT och riktat ut ur papperets plan.
Svar: {
a) 1,6 μT in i papperets plan
b) 8,4 μT ut ur papperets plan
5. Man har åstadkommit två mycket närliggande små hål i en skiva. Avståndet mellan
hålen är 0,17 mm. Hålen bildar en dubbelspalt. Parallellt ljus från en He/Ne laser
med våglängden 632,8 nm riktas vinkelrätt mot dubbelspalten.
På en vit vägg 5,0 m från dubbelspalten observeras ett interferensmönster.
a) Vilken färg har de ljusa interferensfläckarna på väggen? (1p)
b) Det observerbara interferensmönstrets totala bredd kan anses vara avståndet mellan
5:e ljusmaxima på ömse sidor om mitten. Beräkna detta avstånd på väggen. (3p)

Lösning:
a) Det ljus som reflekteras av väggen har våglängden 632,8 nm vilket upplevs som rött
ljus.
b) Konstruktiv interferens från dubbelspalten uppträder för vinklar som ges av uttrycket
sin α n
= n⋅ λ d
där d är avståndet mellan spaltöppningarna och vinkeln mäts från den
ingående laserstrålens förlängning. Det gäller även att tan α n
= x n
där l är avståndet
l
till väggen och x n är avståndet till den n:e fransen på väggen räknat från den centrala
mittstrålen (n = 0). α 5
= arcsin(5⋅ λ d ) och x 5 = l⋅tan α n Insatta värden ger
α 5 = arcsin(5⋅ 632,8⋅10−9
0,17⋅10 −3 ) = 1,066 0 och x 5 = 5⋅tan (1,066 0 ) = 0,093 m . Totala
bredden blir 2·0,093 = 0,186 m ≈ 19 cm.
Svar: {
Röda
19 cm
6. Två lättrörliga vagnar rör sig mot varandra
enligt bilden. Vid sammanstötningen
fastnar de i varandra och fortsätter sedan
tillsammans.
a) Beräkna deras fart och rörelseriktning efter
sammanstötningen.
(2p)
b) Är sammanstötningen elastisk? (Motivera med beräkningar). (2p)
Lösning:
a) Vi använder oss av rörelsemängdens bevarande och beräkar denna vektorstorhet före
kollisionen. Kalla riktningen åt höger positiv och den vänstra vagnen med massan
2,0 kg nr 1.
p = m 1
v 1
+ m 2
v 2 så att p = [2,0⋅9,0+1,0⋅(−6,0)] kgm/s = 12 kgm/s
Kalla den gemensamma hastigheten efter stöten V. Då gäller att p = (m 1 + m 2 )V .
Följaktligen är (2,0+1,0)V = 12 kgm/s så att V = 4,0 m/s i positiv riktning (höger).
b) Vi undersöker rörelseenergin före och efter sammanstötningen.
Före: E k
= 1 2 (m v 2 1 1+ m 2
v 2 2
) så att E k
= 1 2 (2,0⋅9,02 + 1,0⋅6,0 2 ) J = 99 J
Efter: E k
= 1 2 (m 1+ m 2
)V 2 så att E k
= 1 2 3⋅4,02 = 24 J
Rörelseenergin bevaras inte, dvs stöten är inte elastisk.
Svar: {
a) 4,0 m/s åt höger i bilden
b) Oelastisk
7. Ett flygplan utför en loop, en vertikal cirkelbana, med radien
2400 m. Flygplanet har farten 720 km/h i banans lägsta del.
Piloten väger 86 kg.
a) Rita en figur som tydligt visar alla krafter, som verkar på
piloten, när flygplanet befinner sig i den nedersta delen av
banan. Det skall klart framgå om någon kraft är större än
någon annan.
(1p)
b) Antag att piloten sitter på en badrumsvåg. Vad visar denna
våg då flygplanet befinner sig i banans lägsta punkt? (3p)

Lösning:
a) Två krafter påverkar piloten, hans tyngd och normalkraften
från sätet.
För att tvinga piloten att följa cirkelbanan måste den
resulterande kraften vara riktad mot cirkelbanans centrum.
Normalkraften måste vara större än tyngden.
b) Resulterande kraft är en centripetalkraft.
F N
- mg = F c
F N
= F c
+ mg = m⋅v2 + mg =
r
m( v2
r ) + g
v = 720 km/h = 720 m/s = 200 m/s
3,6
Om piloten sitter på en våg, kommer kraften PÅ VÅGEN att vara reaktionskraften
till F N
enligt Newtons tredje lag. Eftersom vågen är graderad i kg visar den
m
( v2
r + g )
g
= m( v2
r⋅g + 1 ) eller 86⋅ (
200 2
2400⋅9,82 + 1 ) (kg) = 232 (kg) Svar: {
a) se figur
b) 232 kg
8. Man vill separera två heliumisotoper. Den ena, 3 He, har massan 3,0160 u och den
andra, 4 He, har massan 4,0026 u (där 1 u = 1,66054·10 -27 kg).
En jonstråle med envärt positiva joner som består av bägge jonslagen skickas genom
en masseparator bestående av korsade elektriska och magnetiska fält. Bägge fälten är
vinkelräta mot jonernas rörelseriktning. De planparallella, elektriskt laddade
plattorna är 10,0 cm långa längs rörelseriktningen och avståndet mellan dem 2,00 cm.
Spänningen mellan plattorna är 300 V och den magnetiska flödestätheten är 21,6 mT.
4
He + joner passerar mellan plattorna utan att länkas av och fortsätter genom ett litet
cirkulärt hål ut i ett fältfritt område. På 0,50 m avstånd från utgångshålet passerar
jonerna genom en platta P (se figuren). I denna finns ett hål med diametern 2,5 mm,
vilket motsvarar strålens divergens. 4 He + jonerna passerar rätlinjigt genom hela
anordningen. Tyngdkraftens inverkan är försumbar.
a) Bestäm 4 He + jonernas hastighet. (1p)
b) 3
He + joner har hastigheten 799,8 km/s i den blandade strålen.
Kommer dessa joner genom hålet i P eller stoppas de av den sista plattan? (3p)

Lösning:
a) Det elektriska fältet ger upphov till en kraft riktad nedåt på positivt laddade partiklar.
Denna kraft kompenseras av en uppåtriktad precis lika stor kraft orsakad av det
magnetiska fältet. När fälten är vinkelräta gäller e⋅∣⃗E∣= e⋅∣⃗v∣⋅∣⃗B∣ eller v = ∣ ⃗E∣
∣⃗B∣ . Den
elektriska fätstyrkan beräknas ur ∣⃗E∣= U l
avståndet mellan plattorna. Vi får alltså
300
v =
0,0200⋅0,0216 m/s = 694,4⋅103 m/s ≈ 694 km/s
där U är spänningen mellan plattorna och l
b) Det elektriska fältet genererar en lika stor kraft på alla enekelladdade joner. Kraften
från det magnetiska fältet beror av hastigheten och skiljer sig således mellan
jonslagen. För 3 He + blir den magnetiska kraften
F M = 1,602⋅10 −19 ⋅799,8⋅10 3 ⋅0,0216 N = 2,7676⋅10 −15 N . Kraften orsakad av det
elektriska fältet är F E
= 1,602⋅10 −19 ⋅ 300
0,0200 N = 2,403⋅10−15 N . Resulterande kraft
i vertikal led blir därför 3,646·10 -16 N. Denna kraft åstadkommer en acceleration
uppåt i y-led. Passagetiden i fältområdet är olika för de olika jonslagen och uppgår
för 3 He + till t = s
v x
vilket ger t = 0,10
799,8⋅10 3 s = 125⋅10−9 s = 125 ns . Sträckan som
avverkas i y-led under passagen kan nu beräknas Δ y = 1 2 ⋅a⋅t 2 = 1 2 ⋅F m ⋅t 2 varav
Δ y = 1 2 ⋅ 3,646⋅10 −16
) 2 m = 0,569⋅10 −3 m = 0,57 mm Detta är
3,016⋅1,66054⋅10 −27⋅(125⋅10−9
en rätt blygsam avvikelse men hastigheten i y-led i det fältfria området ges av
3,646⋅10 −16
v y
= a⋅t och uppgår till v y =
m/s = 9100 m/s
3,016⋅1,66054⋅10 −27⋅125⋅10−9
0,50
Gångtiden för den 0,50 m långa löpsträckan är
799,8⋅10 = 3 0,6252⋅10−6 s som ger
upphov till en avdrift av 9100⋅0,6252⋅10 −6 m = 5,69⋅10 −3 m = 5,7 mm . Totala
avdriften är alltså > 6 mm vilket leder till att 3 He + stoppas av den sista plattan.
Svar: {
a) 694 km/s
b) He + 3 kan ej passera