FÃ¥r
FÃ¥r
FÃ¥r
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Hållfasthetslära - enkla bärverk, TMHL02<br />
Sammanfattning<br />
(Får ej medföras på tentamen)<br />
Fö 1. Jämvikt, spänning, deformation, töjning<br />
Tre typer av grundsamband<br />
1. Jämvikt<br />
2. Deformationssamband<br />
3. Materialsamband<br />
Normalspänning<br />
Medelvärde<br />
σ= P A<br />
Spänning i en punkt<br />
Spänningskoncentration:<br />
Jämvikt:<br />
Normaltöjning<br />
Medelvärde:<br />
Töjning i en punkt<br />
Vid stora deformationer:<br />
∆P<br />
σ= lim<br />
∆A → 0 ∆A<br />
σ max<br />
= K t<br />
σ nom<br />
dσ x (x)<br />
+ k<br />
dx x<br />
(x)=0<br />
ε= δ L för δ L<br />
ε= d u<br />
d x<br />
ε=ln L L 0<br />
Dragprov<br />
Fö 2 Materialmodeller<br />
spänning<br />
s<br />
E<br />
töjning<br />
En materialmodell: Hookes lag<br />
ε= σ E för |σ|
ottgräns σ B , R m<br />
sträckgräns σ s , R eL , R eH<br />
förlängningsgräns σ 0,2 , R p0,2<br />
utmattningsgräns σ u<br />
Fler materialmodeller:<br />
Hookes lag med temperaturterm<br />
ε= σ E +α∆T (för |σ|
Superposition - lösningar kan adderas (eftersom endast linjära samband<br />
förekommer)<br />
Flytlastförhöjning<br />
β= P f − P s<br />
P s<br />
där P f är kollapslast och P s den last som ger begynnande plasticering<br />
Fö 4 Skjuvning<br />
Snittstorheter: tvärkraft T och vridande moment M v<br />
Skjuvspänning (medelvärde)<br />
τ= T A<br />
Vridning av tunnväggigt rör<br />
Skjuvspänning vid hörn<br />
τ= M v<br />
2π R 2 t = M v<br />
W v<br />
τ xy<br />
=τ yx<br />
Skjuvning (skjuvtöjning) - ändring av en rät vinkel<br />
En materialmodell (Hookes lag)<br />
Materialparametrar:<br />
skjuvmodul G, där<br />
γ= ∂u<br />
∂y + ∂v<br />
∂x<br />
γ= τ G (för |τ|
Fö 5 Vridning<br />
Vridning av tunnväggigt cirkulärt rör<br />
Tunnväggigt rör med godtyckligt tvärsnitt<br />
A är den av medellinjen inneslutna arean<br />
Allmänt gäller<br />
τ max<br />
τ= M v<br />
2πR 2 t = M v<br />
W v<br />
Θ= M v L<br />
G 2πR 3 t = M v L<br />
GK v<br />
τ max<br />
= M v<br />
2 At min<br />
= M v<br />
W v<br />
Θ= M v L<br />
GK v<br />
där K v<br />
= 4A 2 / ⌠ ⌡ s<br />
ds<br />
t(s)<br />
= M v<br />
W v<br />
och Θ= M v L<br />
GK v<br />
eller Θ= ⌠ ⌡ 0<br />
L M v (x) dx<br />
G(x) K v (x)<br />
W v är vridmotståndet (ges av tvärsnittets form), GK v är vridstyvheten,<br />
G är skjuvmodulen och K v är vridstyvhetens tvärsnittsfaktor (ges av<br />
tvärsnittets form)<br />
Flytlastförhöjning<br />
β= M vf − M vs<br />
M vs<br />
där M vs är det moment som ger begynnande plasticering och<br />
M vf är fullplasticeringsmomentet (kollapslasten)<br />
Vridproblemen kan vara statiskt bestämda eller statiskt obestämda. För<br />
lösningsgång i de två fallen - se stångbärverk<br />
Elastisk-plastisk vridning (linjärt elastiskt, idealplastiskt material)<br />
vrid<br />
M v = M 1 =0;<br />
τ vrid<br />
= 0<br />
a<br />
r<br />
vrid<br />
a<br />
r<br />
M v = M 2 > M 1 ;<br />
τ vrid<br />
= M 2<br />
W v<br />
r<br />
a<br />
4
vrid<br />
a<br />
r<br />
M v = M 3 > M 2 ;<br />
τ vrid<br />
= M 3<br />
W v<br />
r<br />
a<br />
vrid<br />
a<br />
r<br />
s<br />
M v = M vs = M 4 > M 3 ;<br />
τ max<br />
=τ s<br />
= M vs<br />
W v<br />
τ vrid<br />
= M vs<br />
W v<br />
r<br />
a<br />
vrid<br />
a<br />
elast.<br />
plast.<br />
r<br />
s<br />
M v = M 5 > M 4 = M vs ;<br />
τ max<br />
=τ s<br />
för r >ρ;<br />
r<br />
τ vrid<br />
=τ s<br />
för r M 5 ;<br />
τ max<br />
=τ s<br />
för r >ρ;<br />
r<br />
τ vrid<br />
=τ s<br />
för r M 6 ;<br />
τ max<br />
=τ s<br />
för alla r<br />
Man får (här)<br />
M vf<br />
= 4 3 M vs<br />
Avlasta momentet M vf . Detta åstadkommes genom att man på den belastade<br />
stången superponerar momentet M vf (= 4M vs /3) men riktat åt motsatt håll.<br />
Man får<br />
vrid<br />
M v = M vf - M vf =0;<br />
s<br />
a<br />
r<br />
vrid<br />
a<br />
4 s 3<br />
s<br />
r<br />
1<br />
3 s<br />
τ(r)=τ s<br />
− 4 3 τ s<br />
τ(r) är kvarstående spänningar (restspänningar,<br />
residualspänningar) i stången efter avlastningen.<br />
r<br />
a<br />
5
Area-storheter<br />
Area<br />
Statiskt ytmoment<br />
här<br />
Yttröghetsmoment<br />
Fö 6 Plana ytors geometri<br />
A = ⌠ dA<br />
⌡ A<br />
S A’<br />
= ⌠ z dA<br />
⌡ A’<br />
S A<br />
= ⌠ z dA = 0 ty origo i tp<br />
⌡ A<br />
I y<br />
= ⌠ z 2 dA<br />
⌡ A<br />
Rektangulärt tvärsnitt<br />
Cirkulärt tvärsnitt<br />
Steiners sats<br />
I y<br />
= BH3<br />
12<br />
I y<br />
= π R 4<br />
4<br />
I y<br />
= I A’ tp<br />
+ e 2 A’<br />
Fö 6 Balkböjning: snittstorheter<br />
Samband mellan snittstorheter och spänningar<br />
N = ⌠ σ<br />
⌡ x<br />
dA T y<br />
= ⌠ τ<br />
A ⌡ xy<br />
dA T z<br />
= ⌠ τ<br />
A ⌡ xz<br />
dA<br />
A<br />
M x<br />
= M vrid<br />
= ⌠ (τ<br />
⌡ xz<br />
⋅ y −τ xy<br />
⋅ z) dA<br />
A<br />
M y<br />
= ⌠ ⌡ A<br />
σ x<br />
⋅ z dA och M z<br />
=− ⌠ ⌡ A<br />
σ x<br />
⋅ y dA<br />
Samband mellan snittstorheter (N, T z och M y ) och utbredd last p(x) och q(x)<br />
(N/m)<br />
N<br />
M T<br />
x<br />
z<br />
q( x)<br />
p( x)<br />
M<br />
T<br />
N<br />
dN<br />
=−p(x)<br />
dx<br />
(1)<br />
dT z<br />
=−q(x)<br />
dx<br />
(2)<br />
dM y<br />
dx<br />
= T(x) (3)<br />
6
Sambanden (2) och (3) ger diff.ekv<br />
d 2 M y<br />
dx =−q(x)<br />
2<br />
som integreras två gånger.<br />
Integrationskonstanterna bestäms ur rand- villkor (RV). Två av storheterna<br />
T(0), T(L), M(0) och M(L) måste kunna förutsägas<br />
Fö 7 Balkar: normalspänningar<br />
Normalspänning i balk p g a N och M y :<br />
σ= N A + M y ⋅ z<br />
I y<br />
Normalspänning i balk p g a M y och M z :<br />
σ= M y ⋅ z<br />
− M z ⋅ y<br />
OBS minus-tecknet<br />
I y I z<br />
Balkens deformation:<br />
där R är balkens krökningsradie<br />
Plastisk böjning av balk<br />
Flytlastförhöjning<br />
1<br />
R = M EI<br />
β= M f − M s<br />
M s<br />
M s är det moment som ger begynnande plasticering<br />
M f är det moment som ger kollaps<br />
Fö 8 Balkar: skjuvspänningar<br />
Skjuvspänning p g a tvärkraft T<br />
τ(x, z)= T(x) S A’(z)<br />
Ib(z)<br />
där S A’ är statiskt ytmoment för del-arean A’<br />
I är yttröghetsmoment (för hela arean A)<br />
b är längden av arean A’:s begränsningslinje<br />
Skjuvspänning vid tyngdpunkten<br />
τ tp<br />
=µ T A<br />
där µ är Jouravskifaktorn<br />
Skjuvcentrum<br />
Den punkt som tvärkraftens verkningslinje ska gå igenom för att balken ska<br />
utsättas för ren böjning (och ingen vridning)<br />
7
Fö 9 Elastiska linjens differentialekvation<br />
Differentialekvation (DE) och randvillkor (RV)<br />
EI = konstant<br />
EI = EI(x)<br />
DE:<br />
DE:<br />
EI w IV (x)=q(x)<br />
{ EI(x) w’’(x)}’’ = q(x)<br />
RV:<br />
RV:<br />
w(0), w(L)<br />
w(0), w(L)<br />
w’(0), w’(L)<br />
w’(0), w’(L)<br />
M(x) = − EIw’’(x) M(x) = − EI(x)w’’(x)<br />
där x = 0 eller L<br />
där x = 0 eller L<br />
T(x) = EIw’’’(x)<br />
T(x)=− d<br />
−<br />
{ EI(x) w’’(x)}<br />
dx<br />
där x = 0 eller L<br />
där x = 0 eller L<br />
Som randvilllkor väljs en av (w och T) samt en av (w’ och M) vid varje ände<br />
(eller möjligen en kombination av w och T eller en kombination av w’ och M)<br />
Exempel 12/10<br />
x<br />
Q<br />
= q L 0<br />
L, EI<br />
12/10<br />
12/27<br />
MA M( 0)<br />
T( 0)<br />
R A<br />
M(L)<br />
T(L)<br />
R B<br />
Stödreaktioner:<br />
EI w(x)=q 0<br />
x 4<br />
24 − 5 q 0 L<br />
8<br />
x 3<br />
6 + q 0 L 2<br />
x 2<br />
8 2<br />
R A<br />
= T(0)=−EI w’’’(0)= 5 8 q 0 L<br />
M A<br />
=−M(0)=EI w’’(0)= 1 8 q 0 L 2<br />
R B<br />
=−T(L)=EI w’’’(L)= 3 8 q 0 L<br />
8
Fö 10 Elementarfall och superposition<br />
- Dela upp balksystemet (inför snittstorheter, stödreaktioner mm) så att kända<br />
elementarfall erhålls<br />
- Teckna deformationer. Använd superposition om flera laster verkar på<br />
samma balkdel<br />
- Deformationssamband ger de obekanta storheterna<br />
Exempel<br />
P<br />
a, EI a<br />
a, EI<br />
P /2<br />
M<br />
O<br />
Θ= P 2 ⋅ a 2<br />
2 EI + M ⋅ a EI<br />
= 0 ger M =−Pa<br />
4<br />
δ= P 2 ⋅ a 3<br />
= 1 24<br />
3 EI + M ⋅ a 2<br />
2 EI = Pa3<br />
EI<br />
Pa 3<br />
EI<br />
⎧ 1<br />
⎨<br />
⎩<br />
6 − 1 8<br />
= 1 PL 3<br />
= 1 PL 3<br />
24 ⋅ 8 EI 192 EI<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
9
Fö 11 Balk på fjädrande underlag<br />
Differentialekvation:<br />
med lösning<br />
EI w IV (x)+kw(x)=q(x)<br />
w(x)=w part<br />
(x)+w hom<br />
(x)<br />
där<br />
w hom<br />
(x)={C 1<br />
cos λx + C 2<br />
sin λx } e λx +{C 3<br />
cos λx + C 4<br />
sin λx } e −λx<br />
och<br />
λ 4 = k / 4EI<br />
Randvillkor ger konstanterna C 1 till C 4 .<br />
Differentialekvation:<br />
Böjsvängande balk<br />
med lösning<br />
EI w IV (x, t)+mẅ(x, t)=q(x, t)<br />
w(x, t)=w part<br />
(x, t)+w hom<br />
(x, t)<br />
För den homogena delen ansätts<br />
w hom<br />
(x, t)=X(x) T(t)<br />
vilket ger<br />
X(x)={C 1<br />
cosh µx + C 2<br />
cos µx + C 3<br />
sinh µx + C 4<br />
sin µx }<br />
där<br />
µ 4 = mω 2 / EI<br />
och för T(t) kan man i regel använda<br />
Randvillkor ger konstanterna C 1 till C 4 .<br />
T(t)=e iωt<br />
10