Kurvan y = a sin x + b cos x

2 

Trigonometri och 

grafer 

Centralt innehåll 

✱ Trigonometriska funktioners grafer 

och dess egenskaper. 

✱ Grafiska metoder för att lösa 

trigonometriska ekvationer. 

✱ Härledning och användning av 

deriveringsregler för trigonometriska 

och sammansatta funktioner. 

✱ Strategier för matematisk problemlösning. 

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och 

volym, skala och likformighet samt trigonometri. 

50

238876744 

894789475 

7547 

15343274 

55 

112 

777 

1 

482398678567 

894789475849 

Inledande aktivitet 

FRÅN ENHETSCIRKEL TILL KURVA 

1 Använd enhetscirkeln och din räknare. 

a) Gör en tabell där 

x är vinklarna 0°, 30°, 

60°, 90°, . . . , 360° och 

y är vinklarnas 

sinusvärde. 

b) Rita på ett rutat papper 

ett koordinatsystem där 

en ruta i x-led motsvarar 30° och 

en ruta i y-led motsvarar 0,2. 

y 

1 

v 

O 

Pricka in tabellens punkter och skissa 

grafen. 

c) Kontrollera grafen till y = sin x med 

grafräknare. 

1 

x 

d) Undersök med grafräknare hur grafen till 

y = sin x ser ut i intervallet 

–720° ≤ x ≤ 720°. Förklara. 

2 Använd din grafräknare. 

a) Jämför graferna till y = 2 sin x och 

y = 0,5 sin x med y = sin x. Rita en skiss 

och beskriv likheter och skillnader. 

b) Jämför graferna till y = sin 2x och 

y = sin 0,5x med y = sin x. Rita en skiss 

och beskriv likheter och skillnader. 

c) Hur beror grafen till y = A sin kx av värdet 

på A och k Formulera en slutsats. 

51

2.1 Trigonometriska kurvor 

Sinus- och cosinuskurvor 

Många fenomen i naturen är periodiska och upprepar sig regelbundet. 

Några exempel är dagens längd under ett år, ebb och flod samt olika 

svängningar och vågrörelser. 

För att kunna beskriva dessa fenomen med matematiska modeller 

behöver vi periodiska funktioner. 

Vi börjar med att undersöka hur sin x varierar under ett varv 

i enhetscirkeln. 

Enhetscirkel 

1 

y 

Vi avläser de markerade 

punkternas y-koordinater 

och gör en tabell och graf. 

–1 

x 

1 

–1 

sinuskurvan Värdetabell Graf med fem punkter Kontroll med grafräknare 

x y = sin x 

0° 0 

1 

y 

2 

90° 1 

180° 0 

270° –1 

360° 0 

1 

90° 360° 

x 

0° 

2 

360° 

period 

Vi har nu ritat en sinuskurva i ett intervall med längden 360°. 

Kurvans utseende upprepas obegränsat i båda riktningarna. 

Vi säger att sinusfunktionen är periodisk med perioden 360°. 

1 

y 

y = sin x 

x 

270° 

90° 90° 270° 450° 

1 

52 2.1 Trigonometriska kurvor

På liknande sätt får vi för cosinusfunktionen: 

cosinuskurvan Värdetabell Graf med fem punkter Grafritande räknare 

x y = cos x 

0° 1 

1 

y 

2 

90° 0 

180° –1 

270° 0 

360° 1 

1 

180° 360° 

x 

0° 

2 

360° 

Om vi ritar både sinuskurvan och cosinuskurvan i samma koordinatsystem, 

ser vi att de är förskjutna i x-led i förhållande till varandra. 

Cosinuskurvan får vi genom att förskjuta sinuskurvan 90° åt vänster. 

1 

y 

y = cos x 


x 

 

360° 180° 180° 

1 

360° 

Exempel 1 Hur skiljer sig kurvan y = 3 sin x från kurvan y = sin x 

Svaret är enkelt: y-koordinaterna till kurvan y = 3 sin x får vi genom att multiplicera alla 

y-koordinater till kurvan y = sin x med 3. 

x 0° 90° 180° 270° 360° 

sin x 0 1 0 –1 0 

3 sin x 0 3 0 –3 0 

y 

y max 

1 

Amplituden 

y = 3 sin x 


x 

4 

1 

180° 

360° 

0° 

360° 

y min 

4 

amplitud 

största värdet – minsta värdet 

En sinuskurvas amplitud är 

2 

y = 3 sin x har amplituden 3, maximivärdet 3 och minimivärdet –3. 

2.1 Trigonometriska kurvor 53

Exempel 2 Hur skiljer sig kurvan y = sin 4x från kurvan y = sin x 

Utseendet på kurvan y = sin x upprepas efter 360°. 

Utseendet på kurvan y = sin 4x upprepas då 4x = 360°, alltså efter 90°. 

Vi ritar graferna. 

1 

y 


y = sin 4x 

90° 90° 

360° 

x 

1 

Vi ser i figuren att funktionen y = sin 4x har perioden 90°. 

Perioden kan beräknas 360° 

4 = 90° 

På motsvarande sätt har y = cos x 2 perioden 360° 

1/2 = 720° 

Amplitud och period påverkas inte av att en kurva förskjuts. 

Sammanfattning 

y = A sin kx har amplituden A och perioden 360° 

k 

y = A cos kx har amplituden A och perioden 360° 

k 

2101 Funktionen y = 1,5 sin 2x är given. 

a) Ange amplitud, största värde och minsta värde. 

b) Bestäm perioden. 

c) Skissa kurvan för hand och kontrollera med räknare. 

Vi jämför med y = A sin kx 

a) Amplituden A = 1,5, största värdet = 1,5 och minsta värdet = –1,5. 

b) k = 2 perioden = 360° 

2 = 180° 

c) Dela intervallet 0° till 180° i fyra lika delar. Markera fem punkter så att kurvan kan 

skissas. Kontrollera med räknaren, inställd på grader (deg). 

y 

Maximivärde och 

största värde 

1 

2 

x 

90° 

180° 

0° 

180° 

1 

2 


2102 Du vet att y = sin x har perioden 360°. 

Förklara hur du då får perioden för 

a) y = sin 10x b) y = sin 0,1x 

2103 Har y = sin 3x och y = cos 3x samma 

period 

2104 Bestäm perioden för 

a) y = sin 4x c) y = cos 2x 

b) y = sin 0,75x d) y = cos x 3 

2105 a) Skissa för hand kurvan y = 2 sin x. 

b) Ange det största och minsta värde som 

2 sin x kan anta. 

c) Ange kurvans amplitud. 

2106 Bestäm kurvans amplitud och period. 

a) y = 4 cos x 

b) y = 100 sin 2,5x 

c) y = –50 cos 5x 

d) y 

10 

20° 

x 

2109 Rita graferna till y = sin x och 

y = cos x i samma koordinatsystem. 

a) Vilka likheter respektive skillnader 

finns mellan graferna 

b) För vilka x-värden i intervallet 

0°≤ x ≤ 360° 

gäller att cos x < sin x 

2110 a) Skissa kurvan till y = – sin x 

b) Ange det största och minsta värde som 

funktionen y = –2 sin x kan anta. 

2111 Har ekvationen 4 sin x = sin x någon 

lösning Motivera. 

2112 För vilka värden på A saknar ekvationen 

A sin 5x = 1,2 lösningar 

2113 Grafen visar hur kurvan y = sin x skär 

linjerna y = ±k i fyra punkter i intervallet 

0° ≤ x ≤ 360°. 

Bestäm summan x 1 + x 2 + x 3 + x 4 . 

1 

y 

x 1 

x 2 

x 3 

x 4 

y = k 

x 

y = –k 

2107 Ge ett exempel på en funktion med 

perioden 200° och amplituden 2,5. 

2108 a) Skissa för hand två perioder av 

kurvan y = 2 sin 4x 

b) Kontrollera din skiss med grafräknare. 

2114 Utgå från att f (x) = sin x och att 

f (a) = 0,3 och beräkna summan 

f (a) + f (a + 360°) + f (a + 720°) + 

+ ... + f (a + 3 600°). 

2115 Beräkna utan att använda räknare 

summan 

sin 1° + sin 2° + sin 3° + 

+ ... + sin 358° + sin 359°. 


Grafritande räknare 

Du ska kunna lösa ekvationer och olikheter exakt med algebraiska 

metoder. Men som ett komplement är grafritande räknare ett utmärkt 

verktyg för att undersöka funktioner och på ett överskådligt sätt lösa 

ekvationer och olikheter grafiskt. 

2116 Visa grafiskt att ekvationen sin 2x = 0,5 har fyra lösningar 

i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°. 

Rita graferna till funktionerna 

y = sin 2x och y = 0,5. 

2 

0° 

360° 

2 

Graferna skär varandra på fyra ställen. 

Det innebär att sin 2x = 0,5 har fyra lösningar i intervallet. 

2117 Lös grafiskt ekvationen 

cos 0,5x = 0,7 


2118 Hur många lösningar har 

ekvationen sin x = cos x i 

intervallet 0° ≤ x ≤ 360° 

2119 Hur avläser du perioden 

för kurvan y = sin 0,6x 

2120 Undersök: 

För vilka positiva värden på a har 

ekvationen sin x = a i intervallet 

0° ≤ x ≤ 360° 

a) två lösningar 

b) en lösning 

c) ingen lösning 

2121 Lös ekvationen 

cos 2x = 0,5 i intervallet 500° ≤ x ≤ 700° 

a) grafiskt 

b) algebraiskt. 

2122 Olikheten cos x < k har en lösning 

120° < x < 240° . Vilket värde har k 

2123 För vilka värden på b saknar ekvationen 

3 sin 4x + b = 0 lösningar 

2124 Det finns ett enkelt samband mellan 

antalet lösningar till ekvationen 

sin kx = a 

i intervallet 0° ≤ x ≤ 360° och värdet på k, 

där k är ett positivt heltal och 0 < a < 1. 

Ta reda på detta samband. 


Aktivitet 

✽ Undersök 

Trigonometriska kurvor 

Använd fönsterinställningarna: 

X min = – 180° X max = 360° 

Y min = – 3 Y max = 3 

Tips: När du undersöker flera 

kurvor samtidigt är det 

lättare att se skillnad på 

dem om du låter kurvorna 

ha olika linjetyper. 

3 

–180° 

3 

360° 

Materiel: Grafräknare 

1 a) Rita i samma fönster 

y = sin x och y = sin x + 2 

Vad skiljer graferna åt 

b) Undersök för olika värden på a : 

Hur är grafen till y = sin x + a 

förskjuten i förhållande till y = sin x 

2 a) Rita i samma fönster 

y = sin x och y = sin (x + 60°) 

Gör avläsningar på graferna. 

Vad skiljer graferna åt 

3 Undersök för olika positiva värden på v : 

Hur är grafen till y = sin (x – v) 


4 Undersök och ange en funktion på formen 

y = sin (x ± v) 

som har en graf identisk med grafen till 

a) y = cos x 

b) y = – sin x 

5 Formulera kortfattat hur grafen till 

y = A sin (x ± v) + b 

påverkas av värdena på A, v och b. 

b) Undersök för olika positiva värden på v : 

Hur är grafen till y = sin (x + v) 


Motivera varför. 


Förskjuta kurvor 

Exempel 1 

Vi ska visa hur man får kurvan till y = sin (x + v) + d genom att utgå från 

y = sin x. 

Om vi utgår från 

y = sin x och adderar 2 

till alla y-koordinater får vi 

funktionen y = sin x + 2 . 

Hela grafen förskjuts 2 

enheter uppåt. Amplituden är 

fortfarande 1, men y-värdena 

varierar nu mellan 1 och 3. 

y y = sin x + 2 

3 

2 

1 

1 


y = sin x är förskjuten 

2 enheter uppåt. 

180° 

360° 

x 

Kontrollera graferna 

med din grafräknare. 

Exempel 2 

Om vi utgår från y = sin x 

och förskjuter den 30° åt 

höger förändras inte 

amplituden eller perioden. 

Vi får funktionen 

y = sin (x – 30°) eftersom 

(x – 30°) går från 0° till 360° 

när x går från 30° till 390°. 

1 

1 

y 

y = sin x y = sin (x – 30°) 

360° x 

30° 

180° 390° 

En period = 360° 

y = sin x är förskjuten 30° åt höger. 

Kontrollera graferna 

med din grafräknare. 


Kurvan till y = sin (x + v) + d kan vi få genom att förskjuta y = sin x 

d > 0 ger att kurvan är förskjuten d enheter uppåt. 

d < 0 ger att kurvan är förskjuten d enheter nedåt. 

v > 0 ger att kurvan är förskjuten v grader till vänster. 

v < 0 ger att kurvan är förskjuten v grader till höger. 

Cosinuskurvor förskjuts på samma sätt. 

2125 

a) Beskriv hur grafen till y = sin (x + 45°) – 2 är förskjuten i 

förhållande till y = sin x. 

b) Bestäm största och minsta värde för funktionen y = 4 + 3 sin x 

a) Grafen är förskjuten 2 enheter nedåt och 45° åt vänster i 

förhållande till y = sin x. 

b) y = 3 sin x har amplituden 3 och y-värdena varierar därför 

mellan – 3 och 3. 

y = 4 + 3 sin x är förskjuten 4 enheter uppåt i förhållande 

till y = 3 sin x. y-värdena varierar därför mellan 1 och 7. 

Största värde = 7 och minsta värde = 1. 


2126 Antag att du har ritat kurvan y = sin x. 

Hur får du då kurvan 

a) y = sin x + 5 c) y = sin (x + 55°) 

b) y = sin x – 2,5 d) y = sin (x – 35°) 

2127 Ange sinuskurvans ekvation. 

a) y 

2133 Viktoria påstår att en sinuskurva alltid kan 

skrivas som en cosinuskurva. Har hon rätt 

2134 y 

1 

1 

360° 

x 

1 

x 

360° 

Hur ska du förskjuta 

a) y = sin x för att få grafen ovan 

b) y = cos x för att få grafen ovan 

b) y 

1 

–60° 300° 

2128 Ange största och minsta värde för 

funktionen 

a) y = 2 sin x + 3 c) y = – 5 – cos x 

b) y = 3 – 4 sin x d) y = cos x – 10 

2129 Ge ett eget exempel på en funktion 

vars största värde är 12 och 

minsta värde är – 10. 

2130 Bestäm talet a så att y = 5 sin x + a 

aldrig skär x-axeln. 

2131 Hur ska du förskjuta kurvan 

y = cos x för att få kurvan 

a) y = cos (x + 60°) + 3,5 

b) y = cos (x – 20°) – 1,5 

2132 Kurvan y = sin 3x förskjuts 36° 

åt höger. Vilken ekvation får den 

nya kurvan 

x 

2135 Bestäm A och v i y = A sin (x – v) om 

y max = 3 och y (0) = – 1,5. 

(A > 0, 0° < v < 90°) 

2136 Hur är kurvan y = 3 cos (2x + 50°) 

förskjuten i förhållande till y = 3 cos 2x 

2137 För vilket värde på a är funktionens 

största värde 8, om y = 5 – a sin 2x 

2138 Rita kurvorna y = sin x och 

y = cos (x + 270°) i samma fönster 

på din grafritare. 

a) Vilken slutsats är rimlig att dra från 

graferna 

b) Bevisa din slutsats. 

2139 Bestäm p och q så att funktionen 

y = p sin (2x – 10°) – 2q 

får minsta värdet 3 och största värdet 5. 

2140 Rita kurvan med din grafräknare. 

Ange en annan formel för funktionen. 

Motivera. 

a) y = cos 2 x + sin 2 x 

b) y = cos x + sin (90° – x) 

c) y = cos x + √ 3 sin x 


Ekvationen för en sinusformad kurva 

2141 Figuren visar grafen till en sinusfunktion. 

Bestäm en ekvation av 

typen y = A sin kx + d för denna 

kurva. 

7 

3 

y 

Perioden = 400°, d v s 

360° 

= 400° och k = 0,9. 

k 

Amplituden A = 

A = 7 – (–1) 

2 

= 8 2 = 4 

maximivärdet – minimivärdet 

2 

Jämfört med y = 4 sin 0,9x gäller: 

Förskjutningen i y-led är 3 enheter uppåt. 

Ny ”mittlinje” är y = 3, dvs d = 3. 

y = 4 sin 0,9x + 3 

0° 

Till sist bör du kontrollera med grafritande 

räknare att denna ekvation ger rätt graf. 2 

Svar: Kurvans ekvation är y = 4 sin 0,9x + 3. 

1 

1 

8 

200° 

x 

400° 

400° 

2142 Rita en skiss av kurvan y = 5 sin 2(x + 45°) – 4. 

Kurvan har samma amplitud och period 

som y = 5 sin 2x , dvs amplituden 5 och 

5 

y 

y = 5 sin 2x 

perioden 360° 

2 = 180°. 

Förskjutningen i x-led är 45° till vänster. 

Förskjutningen i y-led är 4 enheter nedåt. 

Den nya ”mittlinjen” är y = – 4. 

–45° 

5 

9 

x 

180° 

y = –4 

y = 5 sin 2(x + 45°) – 4 

Kontrollera grafens utseende med din räknare. 

OBS Om funktionen y = 5 sin 2(x + 45°) – 4 skrivs y = 5 sin (2x + 90°) – 4 

kan det vara svårare att se förskjutning 45°. 


2143 Bestäm en funktion av typen 

y = a sin bx som ger grafen 

a) y 

4 

2148 Funktionen y = 200 sin 5x + 300 

ger grafen 

c 

y 

60° 

x 

b 

b) y 

2 

30° 

2144 Skissa grafen utan hjälpmedel. Kontrollera 

sedan med din grafräknare. 

a) y = sin 0,5x + 1 

b) y = 2 cos 2x + 2 

2145 Hur många perioder har kurvan 

y = sin 4x i intervallet 0°≤ x ≤ 360° 


y = a sin b(x + v) som ger grafen 

y 

2 

10° 

2147 Vilka av de sex funktionerna ger grafen 

y 

A y = – sin x 

1 

B y = – cos x 

x 

C y = sin (x + 180°) 

180° 

D y = cos (x + 180°) 

E y = sin (x – 90°) 

F y = – cos (x – 90°) 

x 

x 

Bestäm talen a, b och c. 


y = a sin b(x + v) + d som ger grafen 

1 

1 

2 

y 

60° 

a 

2150 Skissa grafen till y = 1 – 0,5 sin (3x – 90°). 

Kontrollera med din grafräknare. 

2151 Rita en enkel skiss till grafen av funktionen 

y = A sin 360° (x – C) + D 

B 

där A, B, C och D är positiva. Markera 

i figuren var talen A, B, C och D kan 

avläsas. 

2152 f (x) = A sin kx + b 

Putte påstår att graferna till f (–x) och – f (x) 

är identiska. Har han rätt eller fel 

Motivera. 

x 

x 


Kurvan y = tan x 

Funktionen y = tan x har perioden 180°. Vi kan visa detta med omskrivningen 

tan (x + 180°) = sin( x + 180° 

) 

cos( x + 180° 

) 

= 

− sin x 

− cos x 

= sin x 

cos x 

= tan x 

Vi börjar därför med att rita kurvan på ett intervall av längden 180° och 

vi väljer intervallet –90° < x < 90°. 

Observera att tan x ej är definierad för de x-värden då cos x = 0, 

t ex x = –90° och x = 90°. 

värdetabell 

x –90° –89° –80° –45° –20° 0° 20° 45° 80° 89° 90° 

tan x 

ej 

def. 

–57,3 –5,7 –1 –0,4 0 0,4 1 5,7 57,3 

ej 

def. 

graf 

När x närmar sig 90° från vänster 

kommer tan x att växa obegränsat. 

y 

y = tan x 

När x närmar sig – 90° från höger 

kommer tan x att avta obegränsat. 

asymptoter Linjerna x = –90° och x = 90° 

kallas lodräta asymptoter. 

1 

y = k 

x 

Figuren visar att en ekvation 

av typen tan x = k, där k 

är ett godtyckligt tal, har en och 

endast en lösning inom en period. 

–60° 

1 

60° 

 

Ekvationen tan x = k 

Den fullständiga lösningen till 

tan x = k är x = tan –1 k + n · 180° 

Vi ritar en graf med flera 

perioder med grafritande 

räknare. 

Kontrollera också hur 

din räknare reagerar om 

du försöker beräkna 

tan (–90°) och tan (90°). 

–360° 

4 

360° 

–4 


1,73 

y 

tan v och enhetscirkeln 

Vi kan inte avläsa tan v direkt i enhetscirkeln. 

1 

Men om vi ritar in linjen x = 1 i enhetscirkeln 

kan vi använda denna för att avläsa tangens värde. 

Förlängningen av radien bildar 

tillsammans med x = 1 och x-axeln en 

rätvinklig triangel där t ex 

–1 

60° 

1 

x 

motstående katet 

tan 60° = 

närliggande katet = y-värdet ≈ 1,73 

1 

–1 

1 

y 

Vi kan för alla vinklar avläsa tan v där radiens 

förlängning skär x = 1. Detta eftersom 

tan v = tan (v + n ∙180°) och tan (– v) = – tan v. 

tan 150° = tan (– 30° + 180°) = – tan 30° ≈ – 0,58 

–1 

−0,58 

150° 

1 

x 

–1 

2153 

a) Vilken period har y = tan 2x 

b) Hur många lösningar har ekvationen 

tan 2x = 0,9 i intervallet 0° ≤ v ≤ 360° 

3 

a) Perioden är 180° 

2 = 90° 

b) Varje period har en lösning. 

I intervallet 0° ≤ v ≤ 360° ryms fyra perioder. 

Ekvationen har fyra lösningar. 

0° 

–3 

360° 

2154 

Bestäm med en decimal samtliga lösningar till ekvationen 

a) tan 2x = 0,9 b) sin x = – 3,1 cos x 

a) tan 2x = 0,9 b) sin x = – 3,1 cos x Dividera med cos x. 

2x = tan –1 0,9 + n ∙ 180° 

sin x 

cos x = –3,1 

2x = 41,987. . . + n ∙ 180° tan x = –3,1 

x ≈ 21,0° + n ∙ 90° x = tan –1 (–3,1) + n ∙ 180° 

x ≈ –72,1° + n ∙ 180° 

x ≈ 107,9° + n ∙ 180° 

Adderar vi en 

period till –72,1° 

blir svaret positivt. 


2155 Vilken period har 

a) tan x c) tan x 3 

b) tan 2x d) tan 0,2 x 

Lös ekvationen och svara med en decimal. 

2156 a) tan x = 0,6 b) tan x = –5 

2157 a) tan 2x = 1,3 b) tan 3x + 0,4 = 0 

2158 a) tan x 2 = 0,2 b) 2 tan x 3 + 5 = 0 

2159 a) sin x = 0,8 cos x b) 2 sin x = cos x 

2160 Har tan x något största eller minsta värde 

Motivera. 

2161 Finn två olika värden på x, ett positivt och 

ett negativt, så att tan x = 1. 

2166 Lös ekvationen. Svara med en decimal. 

a) sin x – 3 cos x = 0 

b) 5 sin x + 2 cos x = 0 

2167 Förenkla tan 190° – sin 10° 

cos 10° utan räknare. 

2168 Undersök om ekvationen tan 3x = 3,08 

har några lösningar mellan 200° och 300°. 

Ange i så fall dessa. 

2169 Undersök grafiskt om 

tan x = tan (180° – x). 

2170 För vilka vinklar v i intervallet 0 till 360° är 

tan v negativt Motivera ditt svar. 

2171 Bestäm ekvationen till grafen 

a) b) 

y 

y 

2162 Antag att sin x = 0,6 och cos x = 0,8. 

Vilket värde har då tan x 

1 

360° 

x 

720° 

1 

360° 

y = 1 x 

720° 

2163 Beräkna tan 270° med din räknare. 

Förklara ditt svar. 

2164 Grafen visar y = tan kx . Vilket värde har k 

1 

y 

10° 

x 

90° 

2165 Bestäm utan räknare 

tan a + tan (a + 180°) + tan (a + 360°) 

om du vet att tan a = 5. 

1 

2172 Undersök om tan x = – 

för 

tan( x + 90° 

) 

alla värden på x. Visa i så fall detta. 

2173 Ekvationen 4 tan 5(x + 10°) = 1 saknar 

lösningar i intervallet 180° < x < a°. 

Vilket är det största möjliga värdet på a 

2174 Lös ekvationen 4 cos 2 x + 2 sin x cos x = 1 

genom att först använda trigonometriska 

ettan. 

2175 Finn ett x > 0 så att 

tan –1 (2x) = cos –1 ⎛ 1 ⎞ 

⎝ 

⎜ 

x + 1⎠ 

⎟ 


Kurvan y = a sin x + b cos x 

Exempel 

Astra undersöker funktionen 

y = 2 sin x + 3 cos x med sin 

grafritande räknare. 

5 

y = 2 sin x + 3 cos x 

Astra tycker grafen ser ut som 

en sinusfunktion med 

amplituden ca 3,5. 

90° 

360° 

Kan summan 2 sin x + 3 cos x 

skrivas som en sinusfunktion 

på formen c sin (x + v) 

5 

allmänna fallet Vi utgår från det allmänna fallet y = a sin x + b cos x där a, b > 0. 

Om funktionen kan skrivas som y = c sin (x + v) ger det 

ekvationssystemet 

⎧ y = a sin x + b cos x 

⎨ 

⎩y = c sin (x + v) 

⎧ y = a sin x + b cos x 

⎨ 

⎩y = c cos v · sin x + c sin v · cos x 

Den andra ekvationen kan vi skriva 

om med additionsformeln för sinus. 

Vi ser att ekvationerna är identiska om 

⎧ a = c cos v 

⎨ 

⎩b = c sin v 

Vi använder detta ekvationssystem för att få fram formler för 

c respektive v. 

Om ekvationerna kvadreras och adderas ledvis får vi 

a 2 + b 2 = c 2 cos 2 v + c 2 sin 2 v 

a 2 + b 2 = c 2 (cos 2 v + sin 2 v) 

c = √ a 2 + b 2 

Trigonometriska ettan 

Vi utgår från ekvationssystemet igen. Om den andra ekvationen divideras 

ledvis med den första får vi 

tan v = b a 

Vi kan alltså skriva om y = a sin x + b cos x som en sinusfunktion 

y = c sin (x + v) där v beräknas med formeln tan v = b a 

och c = √ a 2 + b 2 


Exempel forts 

Astras funktion y = 2 sin x + 3 cos x (a = 2, b = 3) kan 

skrivas på om på formen y = c sin (x + v) där: 

tan v = b a = 2 v = tan ⎛ 2⎞ 

–1 ⎜ ⎟ 

3 

⎝ 3⎠ ≈ 33,7° 

c = √ a 2 + b 2 = √ 13 ≈ 3,6 

y = 2 sin x + 3 cos x ≈ 3,6 sin (x + 33,7°) 

Vi kan på samma sätt även skriva om kurvor på formen y = a sin x – b cos x 


2 2 

y = a sin x + b cos x = a + b · sin (x + v) 

2 2 

y = a sin x – b cos x = a + b · sin (x – v) 

Då a > 0, b > 0, tan v = b , 0° < v < 90°. 

a 

2176 Skriv om funktionen y = 7 sin x – 24 cos x på formen 

y = c sin (x – v) och ange funktionens största värde. 

c = √ 7 2 + 24 2 = 25 

v = tan –1 (24/7) ≈ 73,7° 

y ≈ 25 sin (x – 73,7°) 

y = 25 är funktionens största värde. 

Kontrollera på din räknare att 

Y 1 = 7 sin x – 24 cos x och 

Y 2 = 25 sin (x – 73,7°) 

ger samma graf och att det 

100° 

största värdet är 25. 

30 

400° 

30 


2177 Bestäm grafiskt största värdet för y. 

a) y = 6 cos x – 3 

b) y = 15 – 4 sin (x + 35°) 

c) y = 33 sin x + 56 cos x 

d) y = 65 sin x – 72 cos x 

2178 Skriv om uttrycket på formen 

y = c sin (x + v). Ange c exakt och v 

med en decimal. Kontrollera ditt svar 

grafiskt. 

a) y = 6 sin x + 8 cos x 

b) y = 10 sin x + 24 cos x 

c) y = 8 sin x – 15 cos x 

d) y = 7 sin x – 9 cos x 

2179 Vilket är det minsta värde som funktionen 

f (x) = 10 + 60 sin x + 11 cos x kan anta 

2184 Funktionen y = a sin x + (a + 1) cos x 

är given. 

a) Bestäm det positiva talet a så att funktionens 

största värde blir 29. 

b) Ange det minsta positiva x-värde för 

vilket y antar sitt största värde 29. 

2185 Lös ekvationen algebraiskt. 

Svara med hela grader. 

a) 3 sin x + 4 cos x = 1 

b) 10 sin x + 24 cos x = 27 

c) 2 sin x – cos x = 2 

2186 Rita grafen till funktionen 

f (2 x) = 3 sin 2x + cos 2 x – sin 2 x 

Resultatet antyder att f (2 x) kan skrivas på 

formen y = c sin (x + v). Visa detta. 

2180 Förklara kortfattat varför största värdet 

för y = 5 cos x + 3 sin x inte blir 

5 + 3 = 8. 

2187 

8 

y 

2181 Lös grafiskt ekvationen sin x + √ 3 cos x =1 


2182 Skriv summan av de två graferna nedan på 

formen y = c sin (x + v). 

y 

1 

360° 720° 

x 

0,3 

360° 720° 

x 

Ange ekvationen till kurvan ovan på 

formen y = a sin x + b cos x 

2188 Härled och visa i detalj hur man kan skriva 

om y = a sin x – b cos x (a > 0, b > 0) till 

en sinusfunktion. 

2183 Går funktionen y = 2 sin x + cos 2x att 

skriva på formen y = c sin (x + v) 

2189 Går det att skriva y = a sin x + b cos x 

som en cosinusfunktion 


2.2 Radianbegreppet 

Ett nytt vinkelmått 

Exempel Indra undersöker derivatan av sin x 

med sin symbolhanterande räknare. 

Räknaren, inställd på grader, ger att 

f (x) = sin x har derivatan 

f´(x) ≈ 0,017 453 29 cos x 

Indra undrar om derivatan av sin x verkligen 

måste vara så krånglig 

Svaret är nej, men för att kunna hitta 

enklare samband måste vi använda oss 

av ett annat vinkelmått än grader. 

Det finns flera olika vinkelmått. 

grader När vi mäter med grader är ett varv 360°. 

Grader användes redan av de babyloniska 

astronomerna och förmodligen är det antalet 

dagar på ett år som är bakgrunden. 

nygrader, gon 

radian 

Ett varv kan också sägas vara 400 nygrader, 

eller 400 gon. Vinkelmåttet används bl a 

inom lantmäteri för att underlätta 

beräkningar. Derivatan av sin x blir inte 

enklare med nygrader. 

Ett helt annat sätt att mäta vinklar utgår 

från cirkelbågens längd. Om vi i enhetscirkeln 

markerar en båge med längden 1 längdenhet, 

får vi en vinkel som kallas 1 radian, vilket 

skrivs 1 rad. Figuren visar några 

medelpunktsvinklar i radianer. 

2 

x 

v 

1 

1 

v 

1 

v 

1 

v 

1 

Radie = 1 Radie = 1 Radie = 1 Radie = 1 

Båge = 1 Båge = 2 Båge = x Båge = 2π 

v = 1 radian v = 2 radianer v = x radianer v = 2π radianer 

68 2.2 Radianbegreppet

Definition 

En vinkel är 1 radian 

om den i en cirkel ger 

en båge av radiens längd. 

r 

r 

1 radian 

Mellan grader och radianer får vi följande omvandlingsformler: 

Samband grader – radianer 

Ett varv = 360° = 2π rad, d v s 180° = π rad 

π 

1° = rad ≈ 0,017 45 rad 

180 

1 rad = 180° ≈ 57,3° 

π 

För radianer utelämnas ofta beteckningen helt. Skriver vi sin 2 så ska 

detta tolkas som ”sinus för 2 radianer”. Menar vi ”sinus för 2 grader” 

måste vi skriva sin 2°. De formler och samband som vi tidigare har visat för 

vinklar i grader gäller också för vinklar i radianer. 

På räknare brukar ”deg” stå för grader, ”gra” för nygrader och ”rad” för 

radianer. Det är viktigt att du kan kontrollera och ändra räknarens 

inställning. 

2201 

Omvandla 

a) 98,1° till radianer b) 6,07 radianer till grader. 

π 

a) Sambandet 180° = π ger att 1° = 

π 

180 

98,1° = 98,1 ∙ 

180 ≈ 1,71 

b) Sambandet 180° = π ger att 1 rad = 180° 

π 

6,07 = 6,07 ∙ 180° 

π ° ≈ 347,8° 

2202 

Bestäm exakt sin π 3 

180° = π ger direkt att π 3 = 180° 

3 = 60° 

sin π 3 =sin 60° = √ Exakta värden finns 

3 

2 i tabell och formelblad. 

2.2 Radianbegreppet 69

2203 Lös följande trigonometriska ekvationer. 

Svara i radianer med två decimaler. 

a) sin x = 0,93 c) tan x = 1,9 

x 

b) cos 2x = – 0,54 d) sin 

⎛ + π ⎞ 

⎝ 3 4⎠ = 0,98 

a) sin x = 0,93 

Om räknaren är ställd på grader (degree) 

så är sin –1 (0,93) = 68,434... ≈ 68,4°. 

Om räknaren är ställd på radianer 

så är sin –1 (0,93) = 1,194... ≈ 1,19 radianer. 

Vi räknar i radianer. Perioden är 360° = 2π. 180° = π 

x ≈ 1,19 + n · 2π eller x ≈ π – 1,19 + n · 2π 

x ≈ 1,95 + n · 2π 

b) cos 2x = – 0,54 

2x ≈ ± 2,14 + n · 2π 

x ≈ ± 1,07 + n · π 

c) tan x = 1,9 

Perioden är 180° = π 

x ≈ 1,09 + n · π 

d) sin ⎛ ⎝ x 3 + π 4⎞ 

⎠ = 0,98 

x 

3 + π 4 ≈ 1,370 + n · 2π eller x 

3 + π ≈ π – 1,370 + n · 2π 

4 

x 

3 ≈ 0,585 + n · 2π x 

≈ 0,986 + n · 2π 

3 

x ≈ 1,76 + n · 6π 

x ≈ 2,96 + n · 6π 

Lösningar i radianer till grundekvationerna: 


sin x = k cos x = k tan x = k 

– 1 ≤ k ≤ 1 – 1 ≤ k ≤ 1 k godtyckligt tal 

x = v + n · 2π x = ± v + n · 2π x = v + n · π 

eller 

x = π – v + n · 2π 

där v = cos –1 k där v = tan –1 k 

där v = sin –1 k 


2204 Förklara hur du omvandlar från 

a) grader till radianer 

b) radianer till grader. 

2205 Omvandla till radianer. 

Svara med två decimaler. 

a) 34,3° b) 193,4° c) 698° 

2206 Omvandla radiantalet till grader. 

Svara med en decimal. 

a) 0,282 b) 5,74 c) – 10 

2207 Motivera varför 

a) 90° = π rad b) 4π rad = 720° 

2 

2208 Visa att 

a) 300° = 5π 

3 

2π 

rad b) rad = 120° 

3 

2209 Beräkna med räknare 

a) sin 2° b) sin 2 

2210 Varför ger räknaren ett större värde för 

sin (1) om den är inställd på radianer än om 

den är inställd på grader 

2211 Beräkna sin π + cos 5π utan räknare. 

2 

Kontrollera ditt svar med räknare. 

2212 Lös ekvationen fullständigt. Svara i 

radianer med två decimaler. 

a) sin x = 0,4 c) sin x = – 0,2 

b) cos x = 0,9 d) tan x = 5 

2213 Lös ekvationen fullständigt utan 

räknare. Använd enhetscirkeln. 

Svara i radianer 

a) sin x = 1 c) cos x = –1 

b) sin x = 0 d) cos x = 0 

2214 Lös ekvationen fullständigt utan 

räknare. Svara exakt. 

a) sin 2 x = 0,5 c) cos (x – π 4 ) = √ 2 

2 

b) tan 2 x = 1 d) tan (x + π 6 ) = 3 

2215 Beräkna utan räknare. 

a) tan (– 6 π) + cos 9 π 

4 

b) sin 

⎛ 

− 

⎝ 

⎜ 

3 

4 

π⎞ 

⎠ 

⎟ 

– tan 

⎛ π 

− 

⎞ 

⎝ 

⎜ 

⎠ 

⎟ 

4 

2216 Finns det någon vinkel som har 

samma värde i radianer och grader 

2217 Lös ekvationen i det angivna intervallet. 

Kontrollera ditt resultat grafiskt. 

π 

a) 20 – 3 cos t = 22, 0 ≤ t ≤ 24 

12 

b) 12 sin ( π 4 t – π ) + 20 = 30, 0 ≤ t ≤ 8 

5 

2218 Är det någon skillnad om du skriver 

a) sin 2 x eller (sin x) 2 

b) tan –1 x eller (tan x) –1 

2219 Lös ekvationen 

a) sin 2x – sin x = 0 

2 sin x cos x 

b) 

= 1 

2 2 

sin x + cos x 

2220 Två punkter P och Q på enhetscirkeln 

har x-koordinaterna 0,4 och 0,5. 

Hur lång är cirkelbågen mellan P och Q 

2221 Låt f (x) = cos –1 (cos x) 

a) Vad betyder f (x) och vad bör det bli 

b) Testa ditt svar i a) genom att 

beräkna f (x) för x = 1, 2, 3, 4. 

c) Försök förklara resultatet i b). 


Cirkelsektorn och radianer 

Exempel 

Med radianer som vinkelmått 

får vi nya enkla samband för 

cirkelsektorns båge och area. 

Cirkelbågens längd är 

(vinkelns andel av hela varvet) × (hela cirkelns omkrets) 

Om medelpunktsvinkeln är 60° 

så är bågens längd = 60° × hela cirkelns omkrets. 

360° 

Om medelpunktsvinkeln är 2 radianer 

så är bågens längd = 2 × hela cirkelns omkrets. 

2π 

På motsvarande sätt kan vi härleda nya formler för cirkelsektorn: 

r 

v 

cirkelbåge 

cirkelsektor 

medelpunktsvinkel 

Cirkelsektorns 

båge och area 

Cirkelbågens längd b 

Vinkeln v mäts i grader. Vinkeln v mäts i radianer. 

v 

b = 

360 · 2π r b = v 

2π · 2π r = v · r 

Cirkelsektorns area A 

Vinkeln v mäts i grader. 

A = 

A = 

v 

360 · π r 2 A = 

v 

360 · 2π r · r 2 = b ⋅ r 

2 

Vinkeln v mäts i radianer. 

v 

2π · π r 2 = v 

A = v ⋅ r ⋅ r 

2 

= b ⋅ r 

2 

⋅ r 2 

2 

2222 

En cirkelsektor med radien 2,5 m har medelpunktsvinkeln 

0,75 radianer. 

a) Bestäm cirkelbågens längd. 

b) Bestäm cirkelsektorns area. 

a) Bågen b = v · r = 0,75 · 2,5 m ≈ 1,9 m 

b) Arean A = v · r 2 

2 

0,75 · 2,52 

= m 2 ≈ 2,3 m 2 

2 

Du kan också använda formeln A = b⋅r 

2 


2223 Beräkna längden av cirkelbågen samt 

cirkelsektorns area om radien är 6,5 m 

och medelpunktsvinkeln är 

a) 0,45 rad c) 2,87 rad 

b) 82° d) 173° 

2224 Bestäm vinkeln v i grader om 

a) r = 120 m och b = 3,2 m 

b) r = 0,47 m och b = 0,56 m 

2225 I en enhetscirkel har 

punkten P vinkeln 

v = 2,3 radianer. 

Hur lång är bågen b 

v 

2226 En rund 6-bitars tårta har diametern 

20 cm. Vilken omkrets har en bit 

r 

–1 

P 

1 

–1 

b 

y 

v 

b 

1 

x 

2229 Förklara hur du med hjälp av definitionen 

av 1 radian kan ange ett uttryck för 

cirkelbågens längd om radien är a cm och 

medelpunktsvinkeln är 2 radianer. 

2230 Latituden för en punkt P definieras som 

vinkeln POE, där OE är 

radien, 6 370 km, 

P 

i ekvatorcirkeln och bågen 

PE är en del av meri- 

O 

dianen genom P. Sveriges 

E 

sydligaste punkt Smygehuk 

har latitud 55,3°. 

a) Hur långt från ekvatorn ligger Sveriges 

sydligaste punkt 

b) Sverige är cirka 157 mil långt. Vilken 

latitud har Sveriges nordligaste punkt 

2231 En drivrem är spänd över två runda hjul 

med radierna 15 cm och 16 cm. 

a) Hur många radianer vrider sig det större 

hjulet när det mindre vridit sig ett varv 

b) Drivremmen har hastigheten 5,0 m/s. 

Bestäm vinkelhastigheten i radianer 

per minut för de båda hjulen. 

2227 Sekundvisaren på en klocka är 1,3 cm. 

Hur långt rör sig visarspetsen på 20 s 

2228 Från jorden ser vi månen under en vinkel 

av 0,5°. Uppskatta månens diameter om 

avståndet till månen är 384 000 km. 

2232 Ange ett uttryck för cirkelsegmentets area 

(det färgade området). 

v 

r 

2233 Två cirklar med radien 1,0 m är placerade 

så att deras medelpunkter är 1,0 m 

ifrån varandra. Hur stor area täcker de 

tillsammans 


2.3 De trigonometriska funktionernas derivator 

Derivatan av sin x och cos x 

Vi ska nu bestämma derivatan av f(x) = sin x 

då vinkeln x anges i radianer. 

Om vi skissar hur grafens lutning varierar 

så verkar det troligt att derivatan är en 

cosinusfunktion, se figur intill. 

+ 

0 

– 


0 

+ 

Vi använder derivatans definition 

för f(x) = sin x. 

f 

derivatans definition f ′ (x) = lim ( x+ 

h ) − f ( x ) sin( x+ 

h) − sin x 

= lim 

h→0 

h 

h→0 

h 

differenskvot 

Vi använder additionssatsen för sinus och omformar differenskvoten 

sin( x+ h) − sin x sin 

= x cos h + cos x sin h − sin x = 

h 

h 

sin cos sin 

= x h − x cos 

+ x sin h = sin x · cos h − 1 sin h 

+ cos x · 

h 

h 

h 

h 

Eftersom sin x och cos x inte beror av h, 

bestäms derivatans värde av gränsvärdena: lim cos 

h→0 

h 

h 

− 1 sin h 

och lim 

h→0 

h 

Vi undersöker gränsvärdena numeriskt med räknaren inställd på radianer. 

h cos h – 1 

h 

0,1 

0,001 

0,00001 

–0,049 958 35 

–0,0005 

–0,000005 

sin h 

h 

0,998 33417 

0,99999983 

1 

gränsvärden 

Av tabellen är det rimligt att dra slutsatsen att 

lim cos h − 1 sin h 

= 0 och lim = 1 

h→0 

h 

h→0 

h 

74 2.3 De trigonometriska funktionernas derivator

Vi kan nu slutföra härledningen av derivatan till sin x. 

sin( x+ 

h) − sin x 

f ′ (x) = lim = 

h→0 

h 

⎛ 

= sin x · lim cos h − 1 ⎞ 

⎛ 

h→ 

⎝ 

⎜ 

h ⎠ 

⎟ 

0 

+ cos x · lim sin 

h→ 

⎝ 

⎜ 

0 h 

f ′ (x) = sin x ∙ 0 + cos x ∙ 1 = cos x 

h⎞ 

⎠ 

⎟ 

På liknande sätt kan vi visa att f (x) = cos x har derivatan f ′ (x) = – sin x. 


Om x anges i radianer får vi enkla derivator till sin x och cos x. 

f (x ) = sin x har derivatan f ' (x ) = cos x. 

f (x ) = cos x har derivatan f ' (x ) = – sin x. 

2301 

Bestäm f ′ ⎛ ⎝ 

π 

2 ⎞ ⎠ 

f (x) = 3 sin x – 2 cos x 

då f(x) = 3 sin x – 2 cos x 

f ′ (x) = 3 cos x – 2 (– sin x) = 3 cos x + 2 sin x 

f ′ ⎛ ⎝ 

π 

2 ⎞ ⎠ = 3 cos ⎛ ⎝ 

π 

2 ⎞ ⎠ + 2 sin ⎛ ⎝ 

π 

2 ⎞ ⎠ = 3 ∙ 0 + 2 ∙ 1 = 2 

Svar: f ′ ⎛ ⎝ 

π 

2 ⎞ ⎠ = 2 

2302 

För vilka x-värden har grafen till f (x) = sin x en tangent med 

lutningen 0,5 Svara exakt. 

Vi söker x-värden så att f ′ (x) = 0,5. 

f (x) = sin x 

f ′ (x) = cos x 

cos x = 0,5 

x = ± π 3 + n · 2π 

ger ekvationen 

Svar: Lutningen är 0,5 då x = ± π 3 + n · 2π 

2.3 De trigonometriska funktionernas derivator 75

Bestäm f ′ (x). 

2303 a) f (x) = 2 sin x c) f (x) = – 5 cos x 

b) f (x) = 3 cos x d) f (x) = – 9 sin x 

2304 a) f (x) = 2 cos x + 5 sin x 

b) f (x) = 1 – 2 cos x + 1,3 sin x 

c) f (x) = 3x – 0,2 sin x 

d) f (x) = x 3 – cos x 

3 

2305 Vad krävs för att y = sin x ska ha den 

enkla derivatan y ′ = cos x 

2306 Bestäm 

a) f ′ (0) då f (x) = x 2 – 2 sin x + 3 

b) h ′ (π) då h (t) = 0,7 sin t – 1,1 cos t 

c) s ′ (1,2) då s (r) = 3,2 cos r + 0,3 r 3 

2307 a) Vilken lutning har tangenten till 

y = sin x i punkten (0, 0) 

b) Bestäm ekvationen för tangenten till 

y = sin x i punkten (0, 0). 

2308 Bestäm ekvationen för tangenten till 

kurvan y = cos x då x = π /2. 

2309 a) För vilka vinklar i intervallet 0 ≤ x ≤ 2π 

är derivatan till y = sin x negativ 

b) Rita med grafräknaren derivatan till 

y = sin x. (t ex Y = nDeriv(sinX,x,x) ). 

och kontrollera ditt svar i a). Motivera! 

2310 Lös ekvationen f ′ (x) = 0 om f (x) = sin x. 

Tolka och kommentera ditt svar. 

2311 Vilket är det största värdet derivatan 

till f (x) = 1,5 sin x kan ha Motivera. 

2312 Funktionen f (x) = A sin x + B cos x 

är given. Ange talen A och B om 

f (0) = 4 och f ′ (0) = 5. 

2313 Bestäm det exakta värdet av f ′ ( π 4 ) om 

f (x) = sin x – cos x 

2 3 

2314 Bestäm för vilka x-värden kurvan 

f (x) =0,3 x + cos x har en extrempunkt. 

2315 y = sin x har i origo tangenten y = x. 

För ”små” x-värden är därför sin x ≈ x. 

a) Undersök grafiskt och jämför sin x med 

x om x = 0,11. 

b) Gäller sambandet sin x ≈ x för ”små” 

x-värden, även för vinkelenheten grader 

2316 Bestäm exakt ekvationen för två tangenter 

till y = sin x som har lutningen 0,5. 

2317 Med räknaren inställd på radianer fann vi 

att 

lim cos h – 1 = 0 och lim sin h 

h 

h = 1 

h → 0 h → 0 

(se tabellen på s. 74) 

a) Undersök och bestäm på samma sätt 

gränsvärdena med räknaren inställd på 

grader. 

b) Vad blir derivatan av sin x om x anges 

i grader istället för radianer 

2318 Härled derivatan till f (x) = cos x. 

2319 Bestäm gränsvärdet 

sin( x+ 

h) − sin ( x − h) 

lim 

h→0 2h 

Kommentera ditt resultat. 

2320 Går det att bestämma talet a så att 

funktionen 

x + a x < 0 

f (x) = ⎧ ⎨ 

⎩ cos x x ≥ 0 

för x = 0 får en 

a) sammanhängande graf 

b) tangent i punkten 


Aktivitet 

Kedjeregeln 

✽ Undersök 

Du kan derivera olika typer av funktioner, t ex: 

y = x 4 + 3x + 2 y ′ = 4 x 3 + 3 

y = 4 e x 

y ′ = 4 e x 

y = 3 sin x y ′ = 3 cos x 

Nu ska du undersöka hur derivatan ser ut för så 

kallade sammansatta funktioner. De består av en 

”yttre” funktion och en ”inre” funktion. 

Sammansatt 

funktion 

Yttre funktion 

Inre funktion 

y = (e x + 1) 3 ”upphöjt till 3” e x + 1 

y = (sin x + 3) 4 ”upphöjt till 4” sin x + 3 

2 Tudor undersöker ytterligare en sammansatt 

funktion. Stämmer derivatan med det mönster 

du fann i uppgift 1 

3 Försök att fomulera en generell regel för 

hur man ska derivera en sammansatt 

funktion y = f (g(x)). 

Denna regel kallas ofta kedjeregeln. 

y = sin (x 2 + 1) ”sinus för” x 2 + 1 

De sammansatta funktionerna kan skrivas på 

den generella formen y = f ( g (x)). 

1 Tudor undersöker derivatorna till de tre funk- 

tionerna ovan med en symbolhanterande räknare. 

Studera skärmbildens resultat och försök 

hitta ett mönster. Hur beror derivatan av den 

yttre respektive inre funktionen 

Formulera ett samband med ord. 

En sammansatt funktion består av en yttre och en 

inre funktion. 


Derivatan av sammansatta funktioner 

sammansatt funktion 

yttre och inre funktion 

En funktion av typen y = sin 3x kan ses som sammansatt av två 

funktioner, en yttre funktion y = sin u och en inre funktion u = 3x. 

Vi börjar med att ge exempel på några sammansatta funktioner. 

Sammansatt funktion Yttre funktion Inre funktion 

y = cos 2x y = cos u u = 2x 

y = (2x) 3 y = u 3 u = 2x 

y = (2x + 1) 4 y = u 4 u = 2x + 1 

y = sin 2 x = (sin x) 2 y = u 2 u = sin x 

y = f ( g (x)) y = f (u) u = g (x) 

I dessa exempel kan vi bestämma f ′ (u) och g ′ (x). 

Vi vill nu undersöka om derivatan av den sammansatta funktionen 

y = f ( g(x)) kan uttryckas med hjälp av f ′ (u) och g ′ (x). 

Exempel Vilken derivata har den sammansatta funktionen y = (1 + x 3 ) 2 

I detta fall kan vi utveckla parentesen och sedan derivera 

y = (1 + x 3 ) 2 = 1 + 2 x 3 + x 6 y ′ = 6 x 2 + 6 x 5 

Kan vi få detta resultat med hjälp av den yttre och inre funktionens 

derivata 

Den yttre funktionen y = f (u) = u 2 har derivatan f ′ (u) = 2u = 2(1 + x 3 ). 

Den inre funktionen u = g (x) = 1 + x 3 har derivatan g ′ (x) = 3x 2 

Produkten av f ′ (u) och g ′ (x) ger derivatan av den sammansatta 

funktionen: 

y ′ = f ′ (u) · g ′ (x) = 2(1 + x 3 ) · 3 x 2 = 6x 2 (1 + x 3 ) = 6x 2 + 6x 5 

allmänt 

Detta resultat kan också troliggöras med ett allmänt resonemang: 

g( x+ h) − g( x) 

g ′ (x) ≈ 

ger att g (x + h) ≈ g (x) + g ′ (x) · h 

h 

y ′ ≈ f ( g ( x + h )) − f ( g ( x )) f( g( x) + g¢ ( x) ⋅h) − f( g( x)) 

≈ 

= 

h 

h 

= f ( u + k ) − f ( u ) f( u) + f¢ ( u) ⋅k − f( u) 

Vi sätter g (x) = u 

≈ 

= 

h 

h 

och g '(x) · h = k 

f¢ ( u)⋅ 

k f¢ ( g( x)) ⋅ g¢ 

( x) 

⋅ h 

= 

= 

= f ′ ( g (x)) · g ′ (x) 

h 

h 

Deriveringsregeln vi funnit kallas kedjeregeln. Den kan skrivas: 

Kedjeregeln 

Om y = f ( u ) och u = g ( x ) så gäller för y = f (g (x )) att y ' = f ' (g (x )) · g ' (x ) 


2321 Derivera 

a) y = sin 5x c) y = (1 + sin x) 3 

b) y = 3 cos (2π x + 3) d) y = sin 5 2x 

a) y = sin 5x 

y′ = cos 5x · 5 = 5 cos 5x 

Yttre: y = sin u Inre: u = 5 x 

y' = ”yttre derivata” × ”inre derivata” 

b) y = 3 cos (2 π x + 3) Yttre: y = 3 sin u Inre: u = 2 π x + 3 

y′ = –3 sin (2π x + 3) · 2π = – 6π sin (2π x + 3) 

c) y = (1 + sin x ) 3 Yttre: y = u 3 Inre: u = 1 + sin x 

y′ = 3(1 + sin x) 2 · cos x 

d) y = sin 5 2 x = (sin 2 x) 5 Yttre: y = u 5 Inre: u = sin 2x 

OBS sin 2x är också en sammansatt 

y′ = 5 sin 4 2 x · cos 2 x · 2 = 10 sin 4 2 x · cos 2 x funktion. 

2322 Ange först yttre och inre funktion 

och derivera sedan 

a) y = sin 2x c) y = (x 3 + 4) 5 

b) y = 2 cos (0,5x – 1) d) y = cos 2 x 

Derivera 

2323 a) y = sin 9x b) y = cos 0,3x 

2324 a) y = 15 sin x b) y = 3 cos 2π x 

3 

2325 a) y = 2 sin (5x + 1) 

b) y = 4 cos ( π 2 x – 3) 

2326 a) y = sin 2 x b) y = cos 3 x 

2327 Bestäm k så att kurvan y = sin kx 

har lutningen 2 i origo. 

2328 Ange med hjälp av kedjeregeln en enkel 

deriveringsregel för funktioner av typen 

y = cos kx där k är en konstant. 

2329 Vilka av nedanstående funktioner är inte 

sammansatta och går inte att derivera med 

kedjeregeln 

A y = sin x ∙ cos x C y = ln x 2 

x 

B y = cos (cos x) D y = 

sin x 

Derivera med avseende på x. 

2330 a) y = (1 + cos x) 4 b) y = sin (1 + x 3 ) 

2331 a) y = sin 4 (2x – 1) b) y = sin (cos x) 

2332 a) y = (1 + sin ax) n 

b) y = A sin (bx + c) + d 

2333 Bestäm ekvationen för tangenten till 

kurvan 

y = 3 sin 2x – cos 2x då x = 3 π 

4 

2334 Finn en funktion F som har derivatan 

a) F ′ (x) = sin 2x b) F ′ (x) = cos 0,5x 

2335 Bestäm dy 

dx 

om y = sin x° = sin πx 

180 

Tolka ditt resultat. 

2336 I den sammansatta funktionen 

F (x) = f ( g (x)) 

är g (x) = cos x och f ′ (–1) = 2. 

Bestäm F ′ (π). 

2337 Visa att kurvan y = sin 2 kx + b har 

största lutningen k. 


2.4 Tillämpningar och problemlösning 

Vi kan för alla reella tal t finna värden på sin t och cos t. 

När vi ska beskriva periodiska förlopp med trigonometriska funktioner 

representerar talet t ofta tiden. För att få en enkel derivata använder vi 

radianer om inget annat anges. 

2401 En modell för hur vattentemperaturen y °C på den 

grekiska ön Naxos varierar under året beskrivs med funktionen 

y = 5 sin (0,0172t – 2,22) + 19 

där t är tiden i dygn räknat från årsskiftet. 

a) Bestäm funktionens period och amplitud. 

b) Vilken är den lägsta och den högsta vattentemperaturen 

under året 

c) När kan man tidigast åka till Naxos om man vill att 

vattentemperaturen ska vara minst 20 °C 

d) Beräkna y ′ (121) genom att algebraiskt derivera y. 

Kontrollera med räknarens deriveringsfunktion. 

e) Tolka värdet av y ′ (121). 

a) Funktionen y = sin kx har perioden 2π om x är i radianer. 

k 

2π 

Perioden = dygn = 365,301... ≈ 365 dygn. 

0,0172 

Amplituden = 5 °C. 

Svar: Perioden är 365 dygn och amplituden är 5 °C. 

b) Det största värdet för sin (0,0172t – 2,22) är 1 och det minsta är –1. 

Högsta vattentemperaturen = (5 · 1 + 19) °C = 24 °C. 

Lägsta vattentemperaturen = (5 · (–1) + 19) °C = 14 °C.

Problemlösningsstrategi 

1. Förstå problemet c) Frågan ”När är y = 20” ger ekvationen 

2. Gör upp en plan 5 sin (0,0172t – 2,22) + 19 = 20 

där t ligger i intervallet 0 till 365. 

Vi kan välja att lösa ekvationen algebraiskt eller grafiskt. 

3. Genomför planen Algebraiskt Grafiskt 

Vi skriver om ekvationen till 25 

sin (0,0172t – 2,22) = 0,2 

vilket ger 

0,0172t – 2,22 = 0,201 

t ≈ 141 

Det svarar mot den 21 maj. 

eller 

(141, 20) (300, 20) 

13 

0 365 

0,0172t – 2,22 = π – 0,201 

t ≈ 300 

Det svarar mot den 27 oktober. 

4. Värdera resulatet Den tidigaste tidpunkten är omkring 20 maj, vilket verkar rimligt. 

Svar: Man kan tidigast åka till Naxos ca 20 maj. 

d) y = 5 sin (0,0172t – 2,22) + 19 

y ′ = 5 cos (0,0172t – 2,22) · 0,0172 

y ′ (121) = 5 · 0,0172 · cos (0,0172 · 121 – 2,22) = 0,085 … ≈ 0,1 

Med räknarfunktionen nDeriv eller dy/dx får vi t ex 

nDeriv(5 sin (0,0172t – 2,22) + 19, X, 121) = 0,085 … ≈ 0,1 

e) Att y ′ (121) = 0,1 betyder att vid t = 121, d v s ca 1 maj, 

stiger vattentemperaturen med hastigheten 0,1 °C/dygn. 

Algebraiskt 

eller grafiskt 

Ofta kan vi välja mellan att lösa en uppgift grafiskt eller algebraiskt. 

En algebraisk metod kan ge exakta svar, medan en grafisk ibland kan vara 

snabbare. Vissa uppgifter går bara att lösa algebraiskt, men ibland är det 

svårt eller t o m omöjligt att finna algebraiska metoder. Därför är det viktigt 

att behärska både algebraiska och grafiska metoder för att, t ex vid problemlösning, 

kunna välja den lämpligaste metoden. 

2.4 Tillämpningar och problemlösning 81

2402 I en växelströmskrets varierar strömmen 

y A enligt funktionen 

y = 0,70 sin 100π t 

där t är tiden i sekunder. 

a) Bestäm strömmens största värde. 

b) Ange växelströmmens period. 

2403 Vid en mätning varierar en persons 

blodtryck y mmHg enligt funktionen 

y = 100 + 20 sin 5,2t 

där t är tiden i sekunder. 

a) Bestäm högsta och lägsta blodtryck. 

b) Bestäm amplitud och period. 

c) Beräkna och tolka y(3) och y ′ (3). 

2407 Vilket är det största möjliga värdet på 

derivatan till funktionen 

y = 4 – 2 cos 0,571x Motivera. 

2408 Sant eller falskt Motivera! 

”Om värdet på k i funktionen y = A sin kx 

är större än π, har funktionen en period som 

är mindre än 2.” 

2409 

2404 Varför bör vi använda radianer när vi 

använder trigonometriska funktioner i 

matematiska modeller 

2405 Ställ upp en funktion som har ett största 

värde 5 och ett minsta värde –3. 

2406 Temperaturen y °C utanför ett hus varierar 

under ett dygn enligt funktionen 

y = 4,5 – 8,5 sin ⎛ πt ⎞ 

⎝ 

⎜ 

12⎠ 

⎟ 

där t är tiden i timmar räknat från 

midnatt. 

a) Vad är temperaturen klockan 10.00 

b) Bestäm grafiskt när under dygnet som 

temperaturen är lägst respektive högst. 

c) Beräkna y ′ (16) algebraiskt. Kontrollera 

med räknarens numeriska derivering. 

d) Vad betyder y ′ (16) i detta fall 

En biolog har under lång tid studerat 

antalet lodjur inom ett område. 

Hennes resultat visas i diagrammet. 

Antal 

60 

40 

20 

y 

2009 2010 2011 2012 

x 

År 

a) Ställ upp en funktion som modell för hur 

antalet lodjur har varierat. 

b) Hur många lodjur finns det i slutet av år 

2015 om antalet fortsätter att variera 

enligt modellen 

2.4 Tillämpningar och problemlösning

2410 Enligt en prognos kommer ett företag att 

sälja y enheter per månad enligt ekvationen 

y = 4 000 + 2 000 cos (π t/6) 

där t är tiden i månader efter årsskiftet. 

Skissa grafen för ett år för hand, utan att 

använda räknaren. 

2411 

När vi andas in och ut varierar luftströmmens 

hastighet med tiden. Vid en 

mätning på en person i vila gavs lufthastigheten 

v (t) liter/s efter t sekunder av 

v (t) = 0,85 sin (π t /3). 

a) Vad var den totala tiden för en inandning 

och en utandning 

b) Bestäm och tolka vad v ′ (t) beskriver 

i detta fall. 

c) Bestäm det största värdet för v ′ (t). 

d) Hur förändras funktionen v (t) om 

personen istället joggar 

2415 Dagens längd y h i Stockholm varierar 

approximativt enligt sinusfunktionen 

y = 49 

4 + 25 2π( x − 82) 

sin 

4 365 

där x är tiden i dygn och x = 1 svarar 

mot 1 januari. 

a) Hur lång är den längsta dagen 

b) Hur lång är den kortaste dagen 

c) Bestäm algebraiskt när dag och natt 

är lika långa, kontrollera grafiskt. 

d) Bestäm och tolka vad y ′ (x) beskriver. 

2416 Enligt en modell kan dagens längd y h 

i Göteborg beräknas med funktionen 

y = 5,51 sin (0,017 165 x – 1,394) + 12,25 

där x är tiden i dygn räknat från årsskiftet. 

a) Bestäm funktionens period. 

b) Beräkna när dagens längd ökar som 

snabbast och hur fort den då ökar. 

2412 Lös ekvationen x 2 = sin x. 

2413 Bestäm y ′ (π) om y = e sin x 

2414 Bestäm y ′ (x) om y (x) = sin 2 x + cos 2 x. 

Förklara ditt resultat. 


2417 Vattendjupet y m vid en kaj ändras på 

grund av tidvattnet enligt ekvationen 

y = 5,0 + 2,0 cos π( t − 2) 

6 

där t är tiden i timmar räknat från 

midnatt. 

a) När kan ett lastfartyg som kräver 

6,0 meters djup lägga till vid kajen 

b) Bestäm när vattendjupet stiger respektive 

sjunker som snabbast samt hur fort 

djupet då ändras. 

2418 I en växelströmskrets är t tiden i s, 

spänningen är 

u = û sin (314t – 0,52), û = 65 V, 

och strömmen är 

i = î sin 314t, î = 0,72 A. 

Ange strömmen vid den första tidpunkt 

(t > 0) då spänningen är 0 V. 

2419 Undersök och bestäm ett samband för 

skärningspunkterna mellan 

y = sin x + x och y = x. 

2420 Vilken period har funktionen 

y = 5 sin x ∙ cos x Motivera! 

2421 y 

°C 

17 

8 

1 

3,8 

9,8 

Figuren visar dygnsmedeltemperaturen 

för en ort i södra Sverige. 

a) Bestäm en funktion 

y = A sin (bx + c) + d 

som ger denna graf. 

b) Beräkna och tolka y (8). 

c) Beräkna och tolka y ′ (8). 

2422 Ställ upp en trigonometrisk funktion 

som uppfyller y ′′ + 9 y = 0. 

x 

mån 

84 2.4 Tillämpningar och problemlösning

Aktivitet 

✽ Laborera 

Finn en funktion 

Materiel: Fjäder, stativ, vikter, linjal, tidtagarur, 

grafräknare 

1 Häng en vikt i fjädern så den hänger stilla 

utan att svänga upp och ned. Detta är viktens 

jämviktsläge där läget i y-led är 0. 

a) Sätt vikten i lätt svängning upp och ned. 

Mät tiden för 10 svängningar från viktens 

nedersta läge. Mät avståndet mellan viktens 

nedersta och översta läget. 

b) Bestäm med hjälp av dina mätvärden 

svängningens periodtid och amplitud. 

c) Ställ upp en funktion på formen y = A sin kt 

som visar hur viktens läge i y – led varierar 

med tiden t s där k = 2π 

T 

Kontrollera din funktion med grafräknare. 

2 a) Sätt vikten i en ny mindre svängning och 

bestäm svängningens periodtid, amplitud 

och funktion på formen y = A sin kt. 

b) Jämför ditt resultat med tidigare 

svängning. Vilka likheter och skillnader 

ser du Kontrollera gärna din slutsats med 

ytterligare undersökningar. 

3 Hur förändras svängningens periodtid om 

du upprepar försöket med en lite tyngre eller 

lättare vikt Gör först en hypotes och undersök 

sedan med mätningar. 

4 Denna typ av svängning kallas harmonisk 

svängning. Teoretiskt kan man visa att 

svängningens periodtid är oberoende av 

svängningens amplitud och kan beräknas med 

formeln T = 2π 

√ m där m är viktens massa i kg 

k 

och k är en fjäderkonstant. 

Bestäm med hjälp av dina mätvärden 

fjäderkonstanten k. 

5 Gör en klocka. 

a) Beräkna teoretiskt den vikt som ger 

svängningstiden 1 s. 

b) Kontrollera med mätningar om din 

klocka går rätt. 


Tema 

Radiovågor 

En antenn kan sedan fånga upp radiovågorna 

till en mottagare, som sorterar bort bärvågen och 

överför variationerna till högtalaren. Där blir de 

ljud igen som vi kan uppfatta. 

Den första radiosändningen över Atlanten 

genom fördes 1901 av italienaren Marconi. 

I Sverige startade utsändningarna av radio 1923 

och TV 1956. 

y 

T 

A = amplitud 

a = 2π 

t T = 2π f 

O 

T = periodtid, s 

Bärvåg: y = A sin at 

f = frekvens, Hz 

Mast med antenner för radio, tv, tele och data. 

All modern kommunikationsteknik som radio, tv, 

mobiltelefoni etc bygger på våra kunskaper om 

elektromagnetiska vågor. På 1860-talet lyckades 

fysikern James Clerk Maxwell formulera de 

ekvationer som beskriver vågornas utbredning. 

En elektromagnetisk våg, som t ex radiovågor, 

utbreder sig med ljusets hastighet, ca 3 ∙ 10 8 m/s. 

Radiovågor har hög frekvens. Med frekvens menar 

vi antal perioder per sekund, vilket mäts i enheten 

Hertz, Hz. Sambandet mellan en vågs frekvens, f, 

och dess periodtid, T s, är 

Exempel på moduleringar om ljudet 

som ska överföras har signalen y = m sin bt. 

O 

y 

AM-våg: y = A ∙ m sin bt ∙ sin at 

Amplituden moduleras. 

t 

f = 1 T eller T = 1 f 

y 

Varje radiostation sänder ut en sinusformad 

bärvåg med hög frekvens. På olika sätt kan vi 

sedan modulera bärvågen så att den bär med sig 

informationen om ljudet den ska överföra. 

Vi kan t ex variera bärvågens amplitud, AM 

(amplitudmodulering) eller frekvensen, FM 

(frekvensmodulering). 

O 

FM-våg: y = A sin (at + m sin bt ). 

Frekvensen moduleras. 

t 

86 2.4 Tillämpningar och problemlösning

Exempel 

En radiostation sänder på en bärvåg med frekvensen 106,4 MHz. 

Varje sekund svänger då vågen 106,4 ∙ 10 6 perioder vilket ger 

Periodtid, T = 1 f = 1 

106,4 · 10 ≈ 9,40 ∙ 6 10–9 s 

Om bärvågens amplitud är 1 ger det att bärvågen kan skrivas 

y = A sin at = A sin 2π 

T t = A sin 2π f = sin (2π · 106,4 · 106 · t) 

1 En radiokanal sänder på bärvågen 99,7 MHz. 

a) Hur många perioder svänger bärvågen varje 

sekund 

b) Beräkna bärvågens period. 

c) Hur lång tid tar det för radiosignalen att 

färdas 100 mil 

2 Ett ungt mänskligt öra uppfattar ljud mellan 

20 – 20 000 Hz. 

Vilka periodtider har de ljudvågor örat kan 

uppfatta 

3 En mobiltelefon tar emot signaler med 

periodtiden 1 ns = 1 ∙ 10 –9 s. 

Vilken frekvens har denna signal 

4 En våglängd är den längd en våg 

färdas under en period, dvs 

(vågens hastighet) ∙ (vågens periodtid). 

Vilken våglängd har en bärvåg med 

frekvensen 100 MHz 

5 Ange en bärvåg på formen y = A sin at som 

har frekvensen 100 MHz och amplituden 5. 

6 En bärvåg y = 3 sin 4t ska överföra signalen 

y = 2 sin t. 

Använd din grafräknare och bestäm största och 

minsta värde för 

a) AM-vågen: y = 3 ∙ 2 sin t ∙ sin 4t 

b) FM-vågen: y = 3 sin (4t + 2 sin t) 

7 Undersök med din räknare för några olika 

värden på a funktionen 

y = 2 ∙ sin ax ∙ sin 6x. 

Kan vi få en ”ren” sinuskurva 

8 Undersök med din räknare för några olika 

värden på a funktionen 

y = 2 sin (6x + sin ax). 

Vad händer när a > 6 


Aktivitet 

✽ Diskutera 

Sant eller falskt 

Diskutera i par eller grupp. Arbeta utan räknare. 

Sant eller falskt Motivera svaret. 

1 Perioden för y = sin 2x är 720° 

2 Differensen mellan största och minsta värdet 

för en sinusfunktion kallas amplitud. 

3 π 9 

rad är en större vinkel än 18°. 

4 sin 4 är mindre än noll. 

5 Funktionen y = 2 cos 3x – 2 har minimivärdet 

0. 

6 Det finns två x-värden i intervallet 

0 ≤ x ≤ π för vilka tan x inte är definierad. 

7 I en cirkelsektor med radien 3 cm och medelpunktsvinkeln 

3 rad är bågens längd 6 cm. 

8 Ekvationen cos v = 0,5 saknar lösningar i 

intervallet π ≤ x ≤ 2 π 

9 Ekvationen tan x = a har alltid en lösning, 

oavsett värdet på a. 

10 Det finns tangenter till kurvan 

y=1, 5cos ( 2x 

− π ) som har lutningen 2. 

3 

11 Kurvan y = cos (x – 60°) och kurvan 

y = cos x skär varandra tre gånger i intervallet 

2 

0° ≤ x ≤ 360° 

sin cos 

12 Om f (x) = x x π 

− så är f ′( ) = 

2 2 

4 

2 2 

12 Ekvationen sin x = cos x har 

lösningen x= π + n 

π 

4 ⋅ 2 

1 

2 

88 2 Trigonometri och grafer

Sammanfattning 2 


Sinus- och cosinuskurvor 

y = A sin kx Period: 360°/k Amplitud: A 

2 

1 

1 

2 

y 

y = 2 sin x, amplitud = 2 


90° 

y = sin 2x, 

period = 180° 

y = sin (x + v) + d är från sin x förskjuten 

◗◗ 

uppåt om d > 0, nedåt om d < 0 

◗◗ 

åt höger om v < 0 och åt vänster om v > 0. 

Cosinuskurvor förskjuts på samma sätt. 

y 

1 

y = cos (x + 60°) y = cos (x – 30°) 

1 

360° 

y = cos x 

60° 60° 180° 240° 300° 360° 


y = tan x = sin x/cos x 

Period =180° 

Kurvan närmar sig 

linjerna x = – 90° och 

x = 90° där den ej är 

definierad. 

90° 


y = a sin x + b cos x = √ a 2 + b 2 · sin (x + v) 

y = a sin x – b cos x = √ a 2 + b 2 · sin (x – v) 

där a > 0, b > 0, tan v = b/a, 0° < v < 90° 

1 

1 

y 

90° 

x 

x 

x 

Radianbegreppet 

Ett varv = 360° = 2π rad, dvs 180° = π rad 

π 

1° = rad ≈ 0,001745 rad 

180 

1 rad = 180° 

π ≈ 57,3° 

För en cirkelbåge ger v i radianer 

b = v · r 

Bågen b = v ∙ r 

v 

r 

Arean A = v · r 2 

2 = b · r 

2 

Grundekvationerna i radianer 

sin x = k (–1 ≤ k ≤ 1) 

x = v + n ∙ 2π eller 

x = (π – v) + n ∙ 2π där v = sin –1 k 

cos x = k (–1 ≤ k ≤ 1) 

x =± v + n ∙ 2π där v = cos –1 k 

tan x = k (k godtyckligt tal) 

x = v + n ∙ π 

där v = tan –1 k 

De trigonometriska funktionernas derivator 

x i radianer ger att 

y = sin x har derivatan y ′ = cos x 

y = cos x har derivatan y ′ = –sin x 

Kedjeregeln 

En sammansatt funktion y = f ( g (x)) har 

y′= f′(g(x)) ∙ g′(x) 

yttre derivatan · inre derivatan 

Exempel: 

y = sin 5x 

y ′= cos 5x ∙ 5 = 5 cos 5x 

y = sin 2 x = (sin x) 2 y′= 2 sin x ∙ cos x 

Tillämpningar och problemlösning 

I de flesta tillämpningar använder vi 

radianer för att få en enklare derivata. 

Allmän problemlösningsstrategi 

1. Förstå problemet 3. Genomför planen 

2. Gör upp en plan 4. Värdera resultatet 

2 Trigonometri och grafer 89

Kan du det här 2 

Moment 

Begrepp som du ska kunna 

använda och beskriva 

Du ska ha strategier för att kunna 

Trigonometriska 

kurvor 

Sinuskurva 

Cosinuskurva 

Period 

Amplitud 



• bestämma kurvors period och amplitud 

• skissa och bestämma sinus- och 

cosinuskurvor med olika förskjutningar 

• lösa trigonometriska ekvationer och 

olikheter grafiskt 

• lösa ekvationer av typen tan ax = k 

• bestämma amplitud och förskjutning för 

y = a sinx + b cosx 

Radianbegreppet Radian • omvandla mellan grader och radianer 

• beräkna värden och lösa ekvationer med 

radianer 

• beräkna cirkelsektors båge och area. 

De trigonometriska 

funktionernas 

derivator 

Derivatan till sin x och cos x 

Sammansatt funktion 

Kedjeregeln 

• bestämma derivator för sin x, cos x och 

sammansatta funktioner. 

Tillämpningar och 

problemlösning 

• lösa olika matematiska problem och 

tillämpningar. 


Diagnos 2 


1 Bestäm period och amplitud för kurvan. 

10 

y 

100° 

2 Låt y = 4 sin x 3 

a) Ange period och amplitud. 

b) Skissa kurvan i stora drag. 

c) Undersök grafiskt för vilka x i intervallet 

0 < x < 720° som 4 sin x 3 > 2 

3 Sant eller falskt Motivera. 

”Funktionerna y = 2 sin x och y = 1,5 cos 2 x 

har lika många lösningar till ekvationen y = 1 

i intervallet 0 < x < π .” 

4 Bestäm de positiva talen A, b, c och d så att 

funktionen y = A sin b ( x + c ) + d ger grafen 

100 

y 

60° 

5 Ekvationen tan a x = 1 har lösningen 

x = 22,5° + n ∙ 90° . Bestäm a. 

x 

x 

Radianbegreppet 

6 Omvandla 

a) 210° till radianer b) 4 radianer till grader. 

7 Lös ekvationen fullständigt. Svara i radianer 

med två decimaler. 

a) cos x = 0,8 c) tan ( x – 0,25) = 1 

b) sin 2 x = 0,77 d) sin (8x – 1,1) = 0,1 

8 Visa hur formeln för en cirkelsektors båge 

förändras om medelpunktsvinkeln ges 

i radianer istället för grader. 

De trigonometriska funktionernas derivator 

9 Derivera 

a) y = 5 cos x – 3 sin x b) y = 3 x 2 – 4 cos x 

10 Vilken lutning har tangenten till kurvan 

y = 3 cos x – 2 sin x i den punkt där x = π /2 

11 Derivera 

a) f(t) = 5 sin 2t b) y = 3 cos (x 2 + 1) 

12 För vilka x i intervallet 0 < x < π har 

y = cos 2 x en negativ derivata 

Tillämpningar och problemlösning 

13 En jordbävning till havs skapar en stor våg. 

Vattendjupet d m i en hamn som nås av vågen 

ges av 

d(t) = 11 – 12 sin 2πt 

15 0 ≤ t ≤ T 

där t är tiden i min och T perioden. 

a) Bestäm vågens period. 

b) Mellan vilka tidpunkter är hamnen 

torrlagd 

14 Nils påstår att för y = 2 – 0,5 sin 3x är 

funktionens största värde större än derivatans 

största värde. Har han rätt 

Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan xxx. 


Blandade övningar kapitel 2 

Del I 

Utan räknare 

1 Ange period och amplitud för 

8 Figuren visar grafen till funktionen 

y = A sin kx + b 

Ange konstanterna A, k och b. 

(NP) 

a) y = 3 sin 2x b) y = 1 + 4 cos 0,5x 

y 

2 Derivera 

a) y = 2 sin 5x – 3 cos x 

3 

2 

b) y = (x 2 + 1) 3 

1 

x 

3 Omvandla 7π 

3 

till grader. 

–60° 

–1 

30° 60° 120° 180° 

4 Bestäm längden av cirkelsektorns båge. 

(cm) 

9 Skriv i storleksordning med den minsta först. 

Motivera ditt svar. 

2,0 radianer 

sin 25° cos π 5 √ 1 4 

tan π 3 

4,3 

5 Ange samtliga lösningar, i radianer, till 

ekvationen sin x 3 = 0,5. 

6 Bestäm det positiva talet C så att 

funktionen f (x) = C sin 5x + 8 

a) får maximivärdet 12 

b) uppfyller villkoret f (π/6) = 20. 

7 Vilken eller vilka av nedanstående ekvationer 

har två lösningar i intervallet 0 ≤ x ≤ π 

A cos x = –0,3 

B sin x = 0,8 

(NP) 

10 Derivatan till funktionen 

f (x) = sin 2x – x har ett nollställe i 

intervallet π/2 < x < π 

Ange detta nollställe. Svara i radianer. 

11 Bestäm lutningen för tangenten till kurvan 

y = sin 2 x i den punkt där x = π/6. 

12 Vilket är det största värdet som funktionen 

y = 6 sin x + 8 cos x kan anta 

13 Ge en funktion på formen y = A sin kx 

för vilken y′(π) = 2. 

14 Lös ekvationen sin 2x = sin (x + π /3) 

i intervallet 0 < x < 2π 


Del II 

Med räknare 

15 En ton låter olika på olika instrument. Förklaringen 

till detta är att klangen består av en 

grundton och flera övertoner och att övertonerna 

är olika starka på olika instrument. 

Om y = a sin x motsvarar grundtonen så 

beskriver y = b sin 2 x den 1:a övertonen och 

y = c sin 3 x den 2:a övertonen o s v. 

Figuren visar grafen till y = a sin x + c sin 3x. 

Funktionen beskriver en grundton och dess 

andra överton. 

Bestäm konstanterna a och c. 

8 

4 

–4 

–8 

y 

30° 

180° 

360° 

x 

16 Bestäm i hela grader de lösningar till 

ekvationen tan 3x = 0,810 som ligger i 

intervallet 0° ≤ x ≤ 180°. 

17 Sant eller falskt ”En kurvas amplitud är lika 

med dess största värde.” 

Motivera ditt svar. 

18 Figuren visar en cirkel 

med radien 9,5 cm. 

a) Beräkna 

triangelns area. 

b) Beräkna det 

färgade cirkelsegmentets 

area. 

19 Finn ett värde på k så att sin k° > sin k. 

20 Antalet renar inom ett område uppskattas till 

y = 3 900 + 1 200 cos 0,04 t 

9,5 

94° 

t månader efter årsskiftet 2010/11. 

9,5 

a) Hur lång tid efter årsskiftet 2010/11 slutar 

antalet renar att minska 

b) Vilken förändringshastighet ger modellen 

för 1 mars 2012 

21 Bestäm en funktion på formen 

y = A sin kx + B som uppfyller villkoren: 

◗◗ 

A > 0 

◗◗ 

Värdemängden är – 4 ≤ y ≤ 2 

◗◗ 

De lokala maximipunkterna har 

x-koordinaterna x = π 8 + n · π för alla heltal n. 

2 

(NP) 

22 Bestäm antalet lösningar till ekvationen 

2 

x 

sin2x 

= − 1, där x mäts i radianer. 

10 

 

23 Har kurvan y = sin 2x + x någon största 

lutning 

(cm) 

(NP) 


24 För att programmera en automatisk ström- 

brytare har en elingenjör satt upp en matematisk 

modell som anger den tidpunkt M på 

dygnet vid vilken det börjar bli mörkt på en 

viss ort: 

M = 19 – 4 cos π( 360 − t ) 

180 

där M är tiden i timmar (M = 12,5 motsvarar 

kl 12.30) och t är tiden i dagar (t = 1 motsvarar 

den 1 januari). I modellen förutsätts alla 

månader omfatta 30 dagar. 

Beräkna enligt modellen 

a) när det börjar bli mörkt i mitten av april 

b) i vilka månader de dagar ligger då det 

börjar bli mörkt klockan 18 

c) när under året tidpunkten för mörkrets 

inbrott ändras snabbast. 

(NP) 

25 Förklara varför ekvationen 

2 sin (2 x – π / 4) + 3 

= 0 

cos 2 x + 1 

saknar lösningar. 

26 Vattenvolymen i en insjö, V (t) m 3 , där t är 

tiden i år, kan uppskattas med formeln 

72 000 

V (t) = 300 000 – cos π t – 45 000 t 

π 

0 < t < 1 

Variationerna i V beror dels av nederbörden, 

dels av vattenuttaget till ett kraftverk. 

För vilka värden på t i det angivna intervallet 

ökar insjöns vattenvolym 

Utredande uppgifter 

Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter 

följande kriterier: 

• vilka matematiska kunskaper du har visat 

• hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat 

dina slutsatser 

• hur väl du har redovisat ditt arbete och 

genomfört dina beräkningar. 

27 Du ska undersöka antalet nollställen till 

funktionen 

y = a sin x + b sin 2 x (a ≠ 0, b ≠ 0) 

a) Undersök grafiskt antal nollställen 

till funktionen 

y = 3 sin x + sin 2x (0 ≤ x ≤ 360°) 

Visa med en enkel skiss. 

b) Lös ekvationen 3 sin x + sin 2x = 0 

algebraiskt ( 0 ≤ x ≤ 360° ). 

c) Undersök grafiskt antalet nollställen 

till funktionen 

y = 4 sin x + 7 sin 2x (0 ≤ x ≤ 360°) 

Visa med en enkel skiss. 

d) Lös ekvationen 4 sin x + 7 sin 2x = 0 

algebraiskt (0 ≤ x ≤ 360°). 

e) Undersök hur antalet nollställen 

till funktionen y = a sin x + b sin 2x 

varierar med valet av konstanterna a och b 

(0 ≤ x ≤ 360°). 

28 Lina tittar i en gammal almanacka och ser att 

i Göteborg 2009 var solen ovanför horisonten 

enligt följande: 

1/1: 08.58 – 15.34 1/9: 06.15 – 20.08 

1/3: 07.08 – 17.42 1/12: 08.33 – 15.29 

1/6: 04.24 – 21.56 

a) Uppskatta med hjälp av värdena ovan när 

dagen var som längst. 

b) Använd din räknare/dator och anpassa en 

funktion till värdena. Beräkna, med hjälp av 

din funktion, vilken dag som var längst år 

2009. 


Blandade övningar kapitel 1–2 

Del I 

Utan räknare 

1 Omvandla 720° till radianer. 

2 Bestäm cos 7 π . 

3 Derivera y = sin 2 x 

2 

4 Vilket är det största värde som funktionen 

y = 5 sin x – 7 kan anta 

5 Ekvationen sin x = 0,94 har enligt räknaren 

en lösning x ≈ 70°. 

Ange ekvationens lösningar i intervallet 

90 °< x < 450° 

6 Bevisa med ett indirekt bevis att x ≤ 8 

ger att 16 – 2x ≥ x – 8 

7 Bestäm cos 2x då sin x = 0,6. 

8 Figuren visar grafen till funktionen 

y = a + b sin 2x 

Bestäm konstanterna a och b. 

3 

2 

y 

y = a + b sin 2x 

9 Ange samtliga lösningar till 

ekvationen 2 cos 3 x – 1 = 0 

4 

10 Förenkla sin (x + 90°) + cos (x + 90°) 

11 a) Bestäm en funktion som ger grafen 

2 

1 

y 

30° 180° 

b) Finns det fler Motivera. 

360° 

x 

12 Bestäm var tangenten till kurvan 

y = cos x – 0,5x i punkten (π; –1– π 2 ) 

skär x-axeln. 

13 Ange en egen funktion som uppfylller 

att f (π /4) = 2 och f ′ (π /4) = 0. 

2sin 

2x 

14 a) Visa att ekvationen 

= 4 

2 

1 − sin x 

kan omformas till tan x = 1. 

b) Lös ekvationen tan x = 1 fullständigt. 

15 Lös ekvationen sin 2 x = cos 

2 x 

1 

π 

2 

π 

x 

(NP) 

16 Funktionen f (x) = 2 sin 2 x – sin 2x är given. 

Visa att f (x) = 1 – 2 cos 

⎛ π 

2x − 

⎞ 

⎝ 

⎜ 

4⎠ 

⎟ 

17 Bevisa att om n är ett heltal och n 3 + 5 är 

udda så är n ett jämnt tal. 


Del II 

Med räknare 

22 Förenkla cos (a + b) + cos (a – b) och 

skriv sedan produkten 2 cos 75° ∙ cos 20° 

som en summa. 

18 Bestäm de lösningar till ekvationen 

cos 2x = 0,45 som ligger i intervallet 

0 ≤ x ≤ π. 

19 I triangeln ABC är vinkeln A = 8,8°, 

sidan AB = 75 cm och sidan AC = 68 cm. 

Hur lång är sidan BC 

20 Vilka x ger att sin x = cos x Motivera. 

21 Temperaturen i en sjö uppmättes under ett 

molnigt sommardygn. 

Temperaturen visade sig följa funktionen 

y (t) = 15 + 2 sin 0,26t där t är antalet 

timmar efter kl 12.00. 

a) Bestäm y′ 

() t 

b) Beräkna y ′( 10) 

c) Tolka vad y ′( 10 ) betyder för vattnets 

temperatur. 

(NP) 

23 Triangeln AB P är given enligt figur. Beräkna 

avståndet från punkten P till sidan AB. 

A 

P 

52° 42° 

6,6 

(m) 

24 Bestäm en cosinusfunktion som ger grafen. 

9000 

6000 

3000 

y 

10° 

20° 

25 Undersök grafiskt och visa med en enkel skiss 

om det finns några v så att 

2 sin (v + 12°) = cos (v + 23°) 

för 0° < v < 180° 

Ange i så fall detta/dessa värden. (NP) 

x 

B 

26 Rita grafen y = sin x 

x 

lim sin x 

x = 1 

x → 0 

och motivera att 


27 Figuren visar en kvadrat och grafen till en 

funktion. 

Välj en trigonometrisk funktion vars graf liknar 

den i figuren och bestäm kvadratens area 

för den funktion du valt. 

28 I en del andra länder används funktionerna 

secant: 

y 

sec x = 1/cos x 

cosecant: csc x = 1/sin x 

cotangens: cot x = 1/tan x 

Bevisa att sec 2 x + csc 2 x = csc 2 x ∙ sec 2 x 

29 Bestäm med hjälp av derivata det minsta 

värdet till funktionen 

f (x) = 2 sin 3 x – x i intervallet 1 ≤ x ≤ 2. 

3 

Svara exakt. 

x 

(NP) 

Utredande uppgifter 

Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter 

följande kriterier: 

• vilka matematiska kunskaper du har visat 

• vilka slutsatser du har kommit fram till 

• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört 

dina beräkningar. 

31 Du ska nu undersöka funktionen 

y = A sin x + B 

a) Visa att funktionens största värde är 

dubbelt så stort som funktionens minsta 

värde då A = 1,5 och B = 4,5. 

b) Låt B = 1,8 och bestäm A så att 

y = 2⋅ 

y 

max 

min 

c) Visa att ymax 

=2⋅ ymin 

alltid gäller då 

B = 3A. 

32 Triangeln ABC är rätvinklig. 

a) Välj ett värde på en av de spetsiga 

vinklarna och beräkna summan 

sin A + sin B + sin C. 

b) Undersök hur summan 

sin A + sin B + sin C varierar. 

30 I en cirkel med radien r är en triangel ABC 

inskriven. Sidan AB är större än cirkelns radie 

och den är lika lång som sidan AC. 

Bågen BC är lika med cirkelns radie. 

Beräkna förhållandet mellan sträckan BC 

och sträckan AC utan att införa några 

närme värden. Svara såväl exakt som 

med tre decimaler. 

A 

C 

B 


Motivering: 

Kvadraten av ett udda tal är udda. 

Summan av två udda tal är jämn, 

dvs om vi bara har udda tal så är 

VL jämn medan HL är udda, vilket 

ger motsägelse. 

18 a) x = n ∙ 180° 

b) x ≈ 13,9° + n ∙ 90° 

x ≈ 47,1° + n ∙ 90° 

19 Enhetscirkelns ekvation är 

x 2 + y 2 = 1 vilket med 

x = cos v och y = sin v ger 

trigonometriska ettan. 

20 a > 2/3 eller a < – 2/3 

Ledtråd: 

Lösning saknas om cos 3 x > 1 

eller cos 3 x < – 1 , dvs 3 a /2 > 1 

eller 3 a /2 < – 1 

21 Ledtråd: 

Gör ett motsägelsebevis. 

Antag att VL > 4 och visa 

med hjälp av formel för dubbla 

vinkeln att det ger en motsägelse. 

22 T ex sin 4x = 

= 4 sin x cos x (1 – 2 sin 2 x) 

Ledtråd: 

Formeln för dubbla vinkeln ger 

sin 4x = 2 sin 2x cos 2x 

23 x ≈ ± 65,5° + n ∙ 360° 

Ledtråd: 

Skriv om VL till (1 – cos 2 x)/2 och 

sätt cos x = t 

24 Ledtråd: 

a 2 + 3 = (a – 1)(a + 1) + 4 

Motivera varför HL är delbar 

med 4. 

25 a) 46,6° 

b) Formeln ger 

sin A 2 √ = 5 32 

med lösning A = 46,6° 

c) Ledtråd: 

Formel för dubbla vinkeln 

cos A = 1 – 2 sin 2 A 2 

Kombinera detta med 

cosinussatsen. 

26 180° om a = –1 eller a = 1. 

27 a) (2 cos v, 2 sin v) 

b) Ledtråd: 

Sätt in koordinaterna från a) 

i cirkelns ekvation x 2 + y 2 = 2 2 

2 

2102 a) Perioden är 360°/10 = 36° 

Kommentar: 

När x går från 0° till 36° så 

går 10x från 0° till 360°. 

b) Perioden är 

360° 

0,1 = 3 600° 

2103 Ja. 

Motivering: 

Båda funktionerna har 

perioden 360°/3 = 120°. 

2104 a) 90° 

b) 480° 

c) 180° 

d) 1 080° 

Ledtråd: 

k = 1 3 

2105 a) y 

1 

y = 2 sin x 

90° 360° 

b) Största värde = 2 

Minsta värde = –2 

c) Amplituden = 2 

2106 a) Amplitud = 4 

Period = 360° 

b) Amplitud = 100 


c) Amplitud = 50 

Period = 72° 

Ledtråd: 

Amplituden är alltid ett 

positivt tal. 

Amplituden = 

största värdet – minsta värdet 

= 

2 

d) Amplitud = 10 

Period = 80° 

x 

2107 T ex y = 2,5 sin 1,8x 

Ledtråd: 

360° 

k = 200° 

2108 a) b) 

y 

2 

y = 2 sin 4x 

90° 

x 

180° 

2109 a) Kurvorna är identiska men 

förskjutna 90° i förhållande 

till varandra. 

b) 45° < x < 225° 

2110 a) y 

1 

y = –sin x 

x 

90° 360° 



2111 Ja, ekvationen har 

en lösning x = 0° + n ∙ 180°. 

Motivering: 

VL = HL = 0 om sin x = 0 

2112 –1,2 < A < 1,2 

2113 720° 

Ledtråd: 

x 1 + x 2 = 180° 

x 3 = 360° – x 2 

x 4 = 360° – x 1 

2114 3,3 

Ledtråd: 

Alla termer har samma värde. 

2115 0 

Ledtråd: 

sin 359° = sin (–1°) = – sin 1° 

sin 358° = –sin 2°, o.s.v. 

Addera par som har summan 0. 

2117 x ≈ 91,1° 

2118 Två. 

Motivering: 

Graferna skär varandra på två 

ställen. 

2119 Avläs t ex avståndet mellan 

två på varandra följande 

maxpunkter. 

Perioden = 600° 

Svar, ledtrådar och lösningar 261

2120 a) 0 < a < 1 

Ledtråd: 

Linjen y = a ska skära 

kurvan y = sin x på två 

ställen i intervallet. 

b) a = 1 

c) a > 1 

2121 a) b) 

x 1 = 510°, x 2 = 570°, x 3 = 690° 

Ledtråd: 

Ekvationens lösning är 

x = ± 30° + n · 180° 

2122 k = –0,5 

Ledtråd: 

cos x = –0,5 har lösningen 

x = 120° och x = 240° 

i intervallet. 

2123 b < –3 och b > 3 

2124 Antal lösningar = 2k 

Ledtråd: 

Varje period ger 2 lösningar. 

2126 a) y = sin x förskjuts 5 enheter 

uppåt. 

b) y = sin x förskjuts 2,5 

enheter nedåt. 

c) y = sin x förskjuts 55° 

åt vänster. 

d) y = sin x förskjuts 35° åt 

höger. 

2127 a) y = sin x + 3 

b) y = sin (x + 60°) 

2128 

Största värde Minsta värde 

a) 5 1 

b) 7 –1 

c) –4 –6 

d) –9 –11 

2129 T ex y = 11 sin x + 1 

Ledtråd: 

Börja med att beräkna 

amplituden. 

2130 a > 5 eller a < –5 

Ledtråd: 

Kurvan y = 5 sin x ska 

förskjutas uppåt eller nedåt mer 

än amplituden 5. 

2131 a) y = cos x förskjuts 60° åt 

vänster och 3,5 enheter 

uppåt. 

b) y = cos x förskjuts 20° åt 

höger och 1,5 enheter nedåt. 

2132 y = sin 3 (x – 36°) 

eller y = sin (3x –108°) 

Ledtråd: 

I kurvans ekvation y = sin 3x 

ska x ersättas med (x – 36°) 

2133 Viktoria har rätt. 

Motivering: 

Förskjuter vi en sinuskurva 

i sidled får vi en cosinuskurva, 

t ex y = sin (x + 90°) = cos x 

2134 a) y = sin x ska förskjutas 180° 

åt höger eller vänster. 

b) y = cos x ska förskjutas 90° 

åt vänster eller 270° åt 

höger. 

2135 A = 3, v = 30° 

Ledtråd: 

y(0) = –1,5 ger 

–1,5 = 3 sin (– v) 

– v = sin –1 (– 0,5) 

2136 25° åt vänster. 

Ledtråd: 

cos (2x + 50°) = cos 2 (x + 25°) 

2137 a = 3 eller a = –3 

Ledtråd: 

Vi får största värdet då 

sin 2x = –1 eller då sin 2x = 1. 

2138 a) Att sin x = cos (x + 270°) 

b) Lösning: 

Additionsformeln för cosinus 

ger cos (x + 270°) = 

= cos x ∙ cos 270° – sin x ∙ sin 270° = 

= cos x ∙ 0 – sin x ∙ (–1) = sin x 

2139 p = 1 , q = – 2 eller 

p = –1 , q = –2 

2140 a) Kurvans ekvation kan 

skrivas y = 1 

Motivering: 

Trigonometriska ettan. 

b) Kurvans ekvation kan 

skrivas y = 2 cos x 

Motivering: 

sin (90° – x) = cos x 

c) Kurvans ekvation kan 

skrivas y = 2 sin (x + 30°) 

Motivering: 


y = 0 då x är t ex –30°, 150° 

eller 330°. 

cos 150° + √ 3 ∙ sin 150° = 0 

Största värde då x = 60° 

cos 60° + √ 3 ∙ sin 60° = 2 

2143 a) y = 4 sin x 

Motivering: 

En sinusfunktion med amplituden 

4 och perioden 360°. 

b) y = 2 sin 2x 

Motivering: 

En sinusfunktion med amplituden 

2 och perioden 180°. 

2144 a) y = sin 0,5 x + 1 

y 

1 

360° 720° 

Ledtråd: 

Amplitud = 1 

Period = 360°/0,5 = 720° 

y = sin 0,5x förskjuts 

1 enhet uppåt. 

b) y = 2 cos 2x + 2 

2 

2145 4 perioder 

Motivering: 

En period är 90°. 

2146 y = 2 sin 6(x – 10°) 

2147 B, D, E 

y 

90° 180° 

x 

x 

262 Svar, ledtrådar och lösningar

2148 a = 36°, b = 300, c = 500 

Ledtråd: 

a är halva perioden, 

b är förskjutningen uppåt och 

c är största värdet. 

2149 y = 1,5 sin 2(x + 30°) – 1 

Ledtråd: 

Amplituden är 1,5 och perioden 

180°. Jämfört med y = 1,5 sin 2x 

är grafen förskjuten 30° åt 

vänster och 1 enhet nedåt. 

2150 

2151 y 

1 

y 

30° 150° 

Ledtråd: 

Funktionen kan skrivas 

y = 1 – 0,5 sin 3(x – 30°) 

D 

C 

2152 Putte har fel. 

Motivering: 

sin (–x) = –sin x ger 

f (–x) = A sin k(–x) + b = 

= –A sin kx + b 

– f (x) = – (A sin kx + b) = 

= –A sin kx – b 

A 

2155 a) 180° 

b) 90° 

c) 540° 

Ledtråd: 

180°/ (1/3) 

d) 900° 

2156 a) x ≈ 31,0° + n ∙ 180° 

b) x ≈ – 78,7° + n ∙ 180° 

2157 a) x ≈ 26,2° + n ∙ 90° 

b) x ≈ –7,3° + n ∙ 60° 

Ledtråd: 

tan 3x = –0,4 

B 

x 

x 

2158 a) x ≈ 22,6° + n ∙ 360° 

b) x ≈ – 204,6° + n ∙ 540° 

Ledtråd: 

tan x 3 = –2,5 

2159 a) x ≈ 38,7° + n ∙ 180° 

b) x ≈ 26,6° + n ∙ 180° 

Ledtråd: 

tan x = 0,5 

2160 Nej. 

Motivering: 

tan x = sin x 


När cos x närmar sig noll kan 

kvoten bli hur stor eller liten 

(negativ) som helst. 

2161 T ex 45° och –135°. 

Ledtråd: 

45° minus en period är –135°. 

2162 0,75 ⎛ 0,6⎞ 

⎝ 0,8⎠ 

2163 Räknaren visar Ma Error eller 

liknande. 

Motivering: 

tan x är inte definierat då 

cos x = 0, dvs då 

x = 90° + n ∙ 180° 

2164 k = 6 

Ledtråd: 

Perioden är 30°. 

2165 15 

Motivering: 

tan a = tan (a + 180°) = 

= tan (a + 360°) 

2166 a) x ≈ 71,6° + n ∙ 180° 

b) x ≈ –21,8° + n ∙ 180° 

2167 0 

Ledtråd: 

tan 190° = tan 10° 

sin 10° 

= tan 10° 

cos 10° 

2168 x ≈ 204° och x ≈ 264° 

2169 Nej, graferna överensstämmer 

inte. 

2170 90° < x < 180°, 

270° < x < 360° 

Motivering: 

tan x = sin x 


I andra kvadranten är sin x 

positiv och cos x negativ. 

I fjärde kvadranten tvärtom. 

2171 a) y = tan 0,5 x 

b) y = 1 – tan x 

2172 Ja, graferna överensstämmer. 

Bevis: 

1 

– 

= 

tan( x + 90° 

) 

= – cos( x + 90° 

) = 

sin( x + 90° 

) 

cos x cos 90° − sin x sin 90° 

= – = 

sin x cos 90° + cos x sin 90° 

⎛ sin x ⎞ 

= − − 

⎝ 

⎜ 

cos x ⎠ 

⎟ = tan x 

2173 a ≈ 208,8 

Ledtråd: 

Finn den minsta lösningen som 

är större än 180°. 

2174 x = 135° + n ∙ 180° eller 

x ≈ 71,6° + n ∙ 180° 

Ledtråd: 

Ersätt 1 i HL med cos 2 x + sin 2 x. 

Division med cos 2 x och förenkling 

ger tan 2 x – 2 tan x – 3 = 0 

tan x = –1 och tan x = 3 

2175 x = 2 3 

Ledtråd: x + 1 

tan v = 2x 

v 

1 

cos v = 

1 + x 1 

Använd Pythagoras sats. 

2177 a) 3 b) 19 c) 65 d) 97 

2178 a) y = 10 sin (x + 53,1°) 

b) y = 26 sin (x + 67,4°) 

c) y = 17 sin (x – 61,9°) 

d) y = 130 sin (x – 52,1°) 

2x 


2179 –51 

Ledtråd: 

Skriv om till 

y = 10 + 61 sin (x + v) 

y min = 10 – 61 

2180 Förklaring: 

sin x och cos x är förskjutna 

i förhållande till varandra och 

har inte sina största värden 

samtidigt. 

2181 x = 90° och x = 330° 

2182 y = 1,5 sin (x + 36,9°) 

Ledtråd: 

Graferna är y = 1,2 sin x och 

y = 0,9 cos x. 

2183 Nej. 

Motivering: 

sin x och cos 2x har olika 

perioder. 

2184 a) a = 20 

b) x ≈ 43,6° 

2185 a) x ≈ –42° + n ∙ 360° eller 

x ≈ 115° + n ∙ 360° 

b) Ingen lösning. 

Ledtråd: 

Omskrivning och förenkling 

ger sin (x + 67,4°) = 27 

26 > 1 

c) x = 90° + n ∙ 360° eller 

x ≈ 143° + n ∙ 360° 

2186 y = 2 sin (2x + 30°) 

Ledtråd: 

cos 2x = cos 2 x – sin 2 x 

2187 y = 2 sin x + 2 cos x 

Ledtråd: 

Förskjutning 45° ger a = b. 

2188 Ledtråd: 

Jämför med härledningen 

för y = a sin x + b cos x och 

justera den. 

2189 Ja. 

Motivering: 

Funktionen går att skriva 

y = c sin (x + v) och alla sinusfunktioner 

kan skrivas som en 

förskjuten cosinusfunktion. 

2204 a) Multiplicera med 

π 

180 

180° = π rad ger 

1° = 

π 

180 radianer 

b) Multiplicera med 180° 

π 

180° = π rad ger 

1 rad = 180° 

π 

2205 a) 0,60 c) 12,18 

b) 3,38 

2206 a) 16,2° c) –573,0° 

b) 328,9° 

2207 a) Motivering: 

180° = π rad ger direkt 

90° = π 2 rad 

b) Motivering: 

1 varv motsvarar 2π rad. 

2 varv motsvarar 4π rad 

eller 720°. 

2208 a) Lösning: 

π 

300° = 300 ∙ 

180 = 

= 300 π 

180 = 30 π 

18 = 5 π 

3 

b) Lösning: 

2 π 

3 = 2 π 

3 · 180° 

π = 120° 

2209 a) sin 2° ≈ 0,03 

b) sin 2 ≈ 0,91 


Se t ex enhetscirkeln, 

sin 1° är ett litet värde nära 0. 

1 rad = 180° 

π ≈ 57° 

sin 57° är betydligt större. 

2211 0 

2212 a) x ≈ 0,41 + n · 2π eller 

x ≈ 2,73 + n · 2π 

b) x ≈ ± 0,45 + n · 2π 

c) x ≈ – 0,20 + n · 2π eller 

x ≈ 3,34 + n · 2π 

d) x ≈ 1,37 + n · π 

2213 a) x = π/2 + n · 2π 

b) x = n · π 

c) x = π + n · 2π 

d) x = π/2 + n · π 

2214 a) x = π/12 + n · π eller 

x = 5π/12 + n · π 

Ledtråd: 

Se tabell för exakta värden. 

b) x = π/8 + n · π/2 

c) x = n · 2π eller 

x = π/2 + n · 2π 

d) x = π/6 + n · π 

2215 a) √ 2 

2 (eller √ 1 

2 ) 

Lösning: 

tan (–6π) + cos ⎛ 9π 

⎝ 4 ⎞ ⎠ = 

= tan 0 + cos ⎛ π 

⎝ 4 ⎞ ⎠ = 

= 0 + √ 2 

=√ 2 

2 2 

b) 1 – √ 2 

2 

2216 Ja, 0° = 0 rad. 

2217 a) t ≈ 8,8 och t ≈ 15,2 

Ledtråd: 

Lös ekvationen fullständigt. 

Undersök, med olika n, 

vilka lösningar som ligger i 

intervallet. 

b) t ≈ 2,1 och t ≈ 3,5 

2218 a) Nej 

b) Ja 

Motivering: 

v = tan – 1 x ger tan v = x 

(tan x) – 1 1 

= 

tan x 

2219 a) x = n ∙ π eller 

x = ± π 3 + n ∙ 2π 

Ledtråd: 

Använd formeln för dubbla 

vinkeln. Faktorisering ger 

sedan sin x = 0 

eller cos x = 1 2 

b) x = π 4 + n ∙ π 

Ledtråd: 

Ekvationen kan förenklas 

till sin 2x = 1. 


2220 0,11 (0,112…) 

Ledtråd: 

Bågen är i enhetscirkeln lika 

lång som vinkeln i radianer. 

Bestäm vinklarna som ger 

cos v = 0,4 och cos v = 0,5. 

2221 a) Om x är en vinkel så är 

f (x) = x. 

b) x 1 2 3 4 

f (x) 1 2 3 2,283 

c) Förklaring: 


Om cos x = k och 

cos –1 k = x så måste 

cos x begränsas till ett 

intervall där varje tillåtet 

k bara ger ett x. 

Vi har valt 0 ≤ x ≤ π. 

För x > π återfår vi det x i 

detta intervall för vilket 

cos x = cos 4. 

2223 a) 2,9 m 9,5 m 2 

b) 9,3 m 30,2 m 2 

c) 18,7 m 60,6 m 2 

d) 19,6 m 63,8 m 2 

2224 a) 1,5° 

b) 68° 

2225 2,3 längdenheter 

Ledtråd: 

Om radien är 1 så är bågen lika 

med vinkeln i radianer. 

2226 30,5 cm (30,47…) 

Ledtråd: 

v = 360° 

6 , O = 2r + b 

2227 2,7 cm (2,72…) 

2228 3 ∙ 10 3 km 

Ledtråd: 

För en så liten vinkel 

är diametern ≈ cirkelbågen. 

π 

x 


Bågen är 2a cm. Definitionen 

ger att bågen är a cm om medelpunktsvinkeln 

är 1 radian. Fördubblas 

vinkeln så fördubblas 

bågen. 

2230 a) 6 150 km (6 148,11...) 

b) 69,4° 

2231 a) 15 π rad ≈ 5,9 rad 

8 

b) r = 15 cm: v = 2000 rad/min 

r = 16 cm: v = 1875 rad/min 

Ledtråd: 

Bestäm hur många varv 

hjulen roterar per minut, 

1 varv = 2π rad. 

2232 A = r2 

(v – sin v) 

2 

Ledtråd: 

Använd areasatsen. 

2233 ⎛ 4π 

⎝ 3 + √ 3⎞ 

2 ⎠ m2 

Ledtråd: 

Beräkna båda cirklarnas area 

minus gemensam area. 

Den gemensamma arean kan 

delas upp t ex i en cirkelsektor 

(se färgad area i figur) och två 

cirkelsegment (ofärgade). 

2303 a) f ′(x) = 2 cos x 

b) f ′(x) = –3 sin x 

c) f ′(x) = 5 sin x 

d) f ′(x) = –9 cos x 

2304 a) f ′(x) = –2 sin x + 5 cos x = 

= 5 cos x – 2 sin x 

b) f ′(x) = 2 sin x + 1,3 cos x 

c) f ′(x) = 3 – 0,2 cos x 

d) f ′(x) = 1 3 + sin x 

3 

Ledtråd: 

f (x) = 1 3 x – 1 3 cos x 

2305 Vi måste använda vinkelenheten 

radianer. 

2306 a) f ′ (0) = –2 

Ledtråd: 

Bestäm först 

f ′( x) = 2x – 2 cos x 

Beräkna sedan 

f ′(0) = 2 ∙ 0 – 2 cos 0 

b) h ′ (π) = – 0,7 

c) s ′ (1,2) ≈ – 1,7 

2307 a) 1 

Ledtråd: 

Derivatans värde då x = 0. 

b) y = x 

Ledtråd: 

y = kx + m 

k = 1 och (0, 0) ger m = 0. 

2308 y = – x + π 2 

2309 a) π 2 < x < 3π 

2 

Ledtråd: 

Kurvan y = sin x avtar i detta 

intervall. 

b) Motivering: 

Derivatans värde är 

negativt, dvs under x-axeln, 

i intervallet. 

2310 x = π 2 + n ∙ π 

Tolkning: 

För dessa x-värden har tangenten 

lutningen 0, dvs funktionen 

har lokala max- eller minvärden. 

2311 1,5 

Motivering: 

f ′ (x) = 1,5 cos x 

har största värdet 1,5. 

2312 A = 5, B = 4 

2313 √ 2 

4 + √ 2 

6 = 5 √ 2 

12 

2314 x ≈ 0,30 + n · 2π eller 

x ≈ 2,84 + n · 2π 

Ledtråd: 

Extrempunkter har y′ = 0. 

2315 a) sin 0,11 ≈ 0,11 

b) Nej. 

Motivering: 

sin 0,11° ≈ 0,0019 


2316 T ex y = 0,5x + 

y = 0,5x – 

3 

2 

3 

− π 

2 6 

5 

− 

π 

6 

2317 a) lim cos h – 1 = 0 

h → 0 h 

lim sin h 

h = 0,01745 . . . 

h → 0 

b) y ′ ≈ 0,01745 cos x 

2318 y ′ = – sin x 

Ledtråd: 

Ställ upp differenskvoten och 

använd additionssatsen för 

cosinus. 

2319 cos x 

Kommentar: 

Denna differenskvot är symmetrisk 

runt punkten (x, sin x) och 

ger samma resultat som 

sin (x + h) – sin (x) 

h 

2320 a) Ja, a = 1 

b) Nej, f ′(x) = 1 för x < 0 

och f ′(0) = 0. 

y 

1 

π/2 

2322 a) Yttre funktion: y = sin u 

Inre funktion: u = 2x 

y ′ = cos 2 x ∙ 2 = 2 cos 2 x 

b) Yttre funktion: y = 2 cos u 

Inre funktion: u = 0,5x – 1 

y ′ = – 2 sin (0,5x – 1) ∙ 0,5 = 

= – sin (0,5x – 1) 

c) Yttre funktion: y = u 5 

Inre funktion: u = x 3 + 4 

y ′ = 5(x 3 + 4) 4 ∙ 3x 2 = 

= 15x 2 ∙ ( x 3 + 4) 4 

d) Yttre funktion: y = u 2 

Inre funktion: u = cos x 

y ′ = 2 cos x ∙ (– sin x) = 

= –2 cos x ∙ sin x 

2323 a) y ′ = 9 cos 9x 

b) y′ = –0,3 sin 0,3x 

x 

2324 a) y ′ = 5 cos x 3 

Ledtråd: 

Inre derivata är 1 3 

b) y ′ = –6π sin 2π x 

2325 a) y ′ = 10 cos (5x + 1) 

b) y ′= – 2 π sin ⎛ π 

⎝2 x – 3⎞ ⎠ 

2326 a) y ′ = 2 sin x ∙ cos x 

2327 k = 2 

b) y ′ = –3 cos 2 x ∙ sin x 

2328 y = cos kx ger y ′ = –k sin kx 

2329 A (produkt av funktioner) 

D (kvot av funktioner) 

2330 a) y ′ = –4 sin x (1 + cos x) 3 

b) y ′ = 3x 2 cos (1 + x 3 ) 

2331 a) y ′ = 8 cos (2x – 1) ∙ sin 3 (2x – 1) 

Ledtråd: 

y = (sin (2 x – 1)) 4 

Inre derivatan är 

2 cos (2x – 1). 

b) y ′ = –cos (cos x) ∙ sin x 

2332 a) y ′ = n (1 + sin ax) n – 1 ∙ a cos ax = 

= na cos ax (1 + sin a x) n – 1 

b) y ′ = Ab cos (bx + c) 

2333 y = –2x + 3π 

2 – 3 

Ledtråd: 

k = – 2 

x = 3π 

4 ger y = – 3 

2334 a) T ex F(x) = –0,5 cos 2x 

b) T ex F(x) = 2 sin 0,5x 

2335 d y 

d x = π 

cos x ≈ 0,01745 cos x 

180 

Tolkning: 

Med vinkelenheten grader har 

sin x derivatan 

π 

cos x ≈ 0,01745 cos x 

180 

2336 F ′(π) = 0 

Ledtråd: 

F ′(π) = f ′(g(π)) ∙ g ′(π) = 

= f ′ (cos π) ∙ (– sin π) = 

= f ′ (–1) ∙ (– sin π) 

2337 Ledtråd: 

y ′ = 2 k sin kx ∙ cos kx = k sin 2kx 

2402 a) 0,70 A 

b) 0,02 s 

Ledtråd: 

2 π 

Period, T = 

100 π 

2403 a) Högsta = 120 mmHg 

Lägsta = 80 mmHg 

b) Amplitud = 20 

Period = 1,2 s (2π/5,2) 

c) y(3) ≈ 102, 

y′(3) ≈ –103 

Tolkning: 

Vid tiden 3 s är blodtrycket 

102 mmHg och minskar med 

hastigheten 103 mmHg/s. 

Kommentar: 

Blodtrycket varierar med 

hjärtas slag varför förändringshastigheten 

blir hög. 

2404 Vi vill ofta bestämma förändringshastigheter 

och radianer 

ger en enklare derivata. 

2405 T ex y = 4 sin x + 1 

2406 a) 0,3 °C (0,25) 

b) Lägst: kl 06.00 (– 4 °C) 

Högst: kl 18.00 (13 °C) 

c) y′ (16) ≈ 1,1 

Ledtråd: 

πt 

y′ = – 8,5 cos 

⎛ ⎞ 

⎝ 

⎜ 

12⎠ 

⎟ · π 

12 = 

= – 17 π cos 

24 

⎛ πt ⎞ 

⎝ 

⎜ 

12⎠ 

⎟ 

d) Kl 16.00 stiger temperaturen 

med hastigheten 1,1 °C/h. 

2407 1,142 

Motivering: 

y ′ = 1,142 sin 0,571 x 

har största värdet 1,142 

eftersom sin 0,571 x ≤ 1 

2408 Sant. 

Motivering: 

Perioden 2π är mindre än 2 

k 

om k > π. 

π 

2409 a) y = 20 · sin 

⎛ 

⎝ 

⎜ 

2 x ⎞ 

⎠ 

⎟ + 40 

Ledtråd: 

Amplituden = 20, 

Perioden = 4 år, 

Mittlinjen y = 40. 

b) 20 st 


2410 

4000 

y 

y = 4000 + 2000 cos(πt/6) 

2411 a) 6 s 

Ledtråd: 

Bestäm perioden. 

t 

12 mån 

b) v ′ (t) = 0,85 · π cos ⎛ π t⎞ 

3 ⎝ 3 ⎠ 

Tolkning: 

Derivatan ger hur snabbt 

luftströmmens hastighet 

förändras. 

c) 0,85 · π ≈ 0,89 liter/s 2 

3 

d) Amplituden 0,85 ökar och 

perioden minskar, 

dvs k = π 3 ökar. 

2412 x = 0 och x ≈ 0,88 

Ledtråd: 

Lös ekvationen grafiskt. 

2413 –1 

Ledtråd: 

y ′ = cos x ∙ e sin x 

2414 y ′ (x) = 0 

Förklaring: 

y (x) kan förenklas till 1 med 

hjälp av trigonometriska ettan. 

2415 a) 18,5 h 

b) 6 h 

c) Dygn 80 och dygn 267, dvs 

21 mars och 24 september. 

Ledtråd: 

y = 12 ger efter omskrivning 

ekvationen 

sin 2 π( x − 82 ) 

= – 0,04 

365 

d) y′ = 5 π cos 

2 π (x – 82) 

146 365 

Tolkning: 

y ′ (x) beskriver hastigheten 

som dagens längd ändras 

med. 

2416 a) 366 dygn 

b) y′ max ≈ 0,095 för x ≈ 81, 

d v s 21 mars ökar dagens 

längd med 0,095 h/dygn. 

Ledtråd: 

y′ är störst då 

cos (0,017 165 x – 1,394) = 1 

2417 a) y ≥ 6,0 för 0 ≤ t ≤ 4 och 

12 ≤ t ≤ 16. 

b) Kl 11 och kl 23 stiger vattnet 

med hastigheten 1,0 m/h 

(π/3). 

Kl 05 och kl 17 sjunker 

vattnet med hastigheten 

1,0 m/h (π/3). 

Ledtråd: 

y ′ = – π 6 · 2,0 · sin π (t – 2) 

6 

2418 0,36 A 

Ledtråd: 

t ≈ 0,001 66 s 

2419 Skärningspunkternas 

koordinater ges exakt av 

(n · π, n · π) där 

n = 0, –1, 1, –2, 2, ... 

Ledtråd: 

Vi söker de x-värden då 

sin x = 0 (se enhetscirkeln), 

y = x ger y-koordinaten. 

2420 π rad 

Motivering: 

y kan skrivas om till 

y = 2,5 sin 2x. 

2421 a) y = 9 sin (0,524x – 2,0) + 8 

Ledtråd: 

y = 9 sin ⎛ π 

⎝6 (x – 3,8)⎞ ⎠ + 8 

b) y (8) ≈ 15 

Vid månadsskiftet aug/sept 

är dygnsmedeltemperaturen 

15 °C. 

c) y′ (8) ≈ – 2,7 

Vid månadsskiftet aug/sept 

sjunker dygnsmedeltemperaturen 

med 2,7 °C/månad. 

2422 T ex y = sin 3x 

Tema: Radiovågor 

1 a) 99,7 ∙ 10 6 st 

b) 1,00 ∙ 10 –8 s 

c) 3,3 ∙ 10 –3 s 

Ledtråd: 

Radiovågens hastighet är 

3 ∙ 10 8 m/s. 

2 Mellan 5 ∙ 10 –5 s och 0,05 s. 

3 1 ∙ 10 9 Hz = 1 GHz 

4 3 m 

5 y = 5 sin (2π ∙ 100 ∙ 10 6 ∙ t) 

6 a) Största värde ≈ 5,57 

Minsta värde ≈ –5,57 



7 Ja, om a = 6 

8 När a ≤ 6 har alla lokala max 

y = 2 och alla lokala min y = –2. 

När a > 6 är största värde 2 och 

minsta värde –2, vi har dock 

lokala max med mindre värde än 

2 och lokala min med högre värde 

än –2. 

Diagnos 2 

1 Period = 400°, amplitud = 15 

2 a) Period = 1 080°, amplitud = 4 

b) 

y 

4 

–4 

270° 

c) 90° < x < 450° 

3 Sant. 

Motivering: 

De har båda 2 skärningspunkter 

med y = 1 i intervallet. 

x 

1080° 


4 A = 200, b = 1,5, c = 40°, d = 100 

Lösning: 

Amplituden är 200. 

Perioden är 360° 

b = 240°. 

Grafen är förskjuten 40° åt 

vänster. 

d är ”mittlinjen”, 100. 

5 a = 2 

Ledtråd: 

tan ax = 1 ger 

ax = 45° + n ∙180° 

6 a) 7π 

6 ≈ 3,67 

b) 229° 

7 a) x ≈ ± 0,64 + n · 2π 

b) x ≈ 0,44 + n · π eller 

x ≈ 1,13 + n · π 

Ledtråd: 

2x ≈ 0,879 + n ∙ 2π eller 

2x ≈ (π – 0,879) + n ∙ 2π 

c) x ≈ 1,04 + n · π 

d) x ≈ 0,15 + n · π/4 eller 

x ≈ 0,52 + n · π/4 

8 Lösning: 

Formel med vinkel i grader: 

v 

b = 

360° · 2 π r 

v i radianer ger: 

b = v 

2 π · 2 π r = v r 

9 a) y ′ = –5 sin x – 3 cos x 

b) y ′ = 6x + 4 sin x 

10 –3 

Ledtråd: 

Derivatans värde då x = π 2 

11 a) f ′ (t) = 10 cos 2t 

b) y ′ = –6x sin (x 2 + 1) 

12 0 < x < π 2 

13 a) 15 min 

b) 2,8 < t < 4,7 

Ledtråd: 

När är d < 0 

Lös detta t ex grafiskt. 

14 Ja. 

Motivering: 

y max = 2 – (–0,5) = 2,5 

y ′ = –1,5 cos 3 x y ′ max = 1,5 

Blandade övningar kapitel 2 

1 a) Period = 180° eller π rad. 

Amplitud = 3 

b) Period = 720° eller 4π rad. 

Amplitud = 4 

2 a) y ′ = 10 cos 5x + 3 sin x 

b) y ′ = 3(x 2 + 1) 2 ∙ 2x = 6x(x 2 + 1) 2 

3 420° 

4 8,6 cm 

5 x = π 2 + n · 6 π eller 

x = 5 π 

2 + n · 6 π 

6 a) C = 4 

b) C = 24 

7 B 

8 A = 2, k = 3, b = 1 

9 sin 25°, 

√ 1 4 , cos π 5 , tan π 3 

Motivering: 

√ 1/4 = 1/2 = 0,5 

Enhetscirkel och tabell ger 

tan π/3 = √ 3 > 1 

sin 25° < sin 30° = 0,5 

cos π 6 = 0,5 < cos π 5 < 1 

10 x = 5 π 

6 

Ledtråd: 

f ′ = 0 ger ekvationen 

cos 2x = 0,5. 

11 √ 3 

2 

12 10 

Ledtråd: 

Bestäm c om y skrivs 

på formen y = c sin (x + v) 

13 T ex y = sin 2x eller y = 0,5 sin 4x 

Ledtråd: 

y ′= k ∙ A cos kx 

Utnyttja t ex att cos (n ∙ 2π) = 1 

14 x 1 = 2π 

9 

x 2 = π 3 

x 3 = 8π 

9 

x 4 = 14 π 

9 

Ledtråd: 

2x = x + π/3 + n ∙ 2π 

2x = π – (x + π/3) + n ∙ 2π 

15 a = 8, c = 4 

16 x 1 ≈ 13°, x 2 ≈ 73°, x 3 ≈ 133° 

17 Falskt. 

Motivering: 

Om kurvan är förskjuten i höjdled 

så är det största värdet större eller 

mindre än amplituden. 

18 a) 45 cm 2 

Ledtråd: 

Använd t ex areasatsen. 

b) 29 cm 2 

19 T ex k = 4 

Ledtråd: 

T ex ett värde mellan π och 2π ger 

sin k° > 0 och sin k < 0. 

20 a) Ca 6 år och 7 månader 

( 78,5 mån). 

b) – 25 renar/månad (– 25,4 . . . ) 

Ledtråd: 

Derivatans värde då t = 14. 

21 y = 3 sin 4x – 1 

22 Ekvationen har 6 lösningar. 

Ledtråd: 

Rita graferna till y = sin 2x och 

y = x 2 /10 – 1 och avläs antalet 

skärningspunkter. 

23 Ja. 

Motivering: 

Lutningen ges av y′ = 2 cos 2 x + 1 

som har största värde 3. 

24 a) kl 20 

b) mars, oktober 

c) 30 mars, 30 september 


Vänsterled är bara lika med noll 

om täljaren är noll. Täljarens 

minsta värde är 1 så ekvationen 

saknar lösning. 

26 0,21 < t < 0,79 

27 a) 3 nollställen 

b) x 1 = 0°, x 2 = 180°, x 3 = 360° 

c) 5 nollställen 

d) x 1 = 0°, x 2 = 107°, 

x 3 = 180°, x 4 = 253°, 

x 5 = 360° 


e) 5 nollställen då –2b < a < 2b 

3 nollställen då 

a ≤ –2b och a ≥ 2b 

28 a) I mitten av juni. 

Ledtråd: 

Gör en tabell med dagens nummer 

och längd i timmar. 

b) Dag 170, d.v.s. den 19/6. 

Blandade övningar kapitel 1 – 2 

1 4π 

2 –1 

Ledtråd: 

Använd enhetscirkeln. 

3 y ′ = cos 2x 

4 – 2 

5 x 1 = 110° och x 2 = 430° 

Ledtråd: 

Lösningarna är 

x ≈ 70° + n ∙ 360° och 

x ≈ (180° – 70°) + n ∙ 360° 

6 Ledtråd: 

Visa att 16 – 2x < x – 8 

ger att x > 8. 

7 0,28 

Ledtråd: 

cos 2x = 1 – 2 sin 2 x 

8 a = 2, b = –1 

9 x = ± π 9 + n · 2 π 

3 

Ledtråd: 

Skriv om till cos 3x = 0,5. 

10 cos x – sin x 

11 a) y = 2 sin (x – 30°) 

b) Ja. 

Motivering: 

Vi kan förskjuta sinuskurvan 

i a) ett helt antal perioder 

eller beskriva grafen med en 

cosinusfunktion t ex 

y = 2 cos (x – 120°) 

12 x = –2 

Ledtråd: 

Tangentens ekvation är 

y = –0,5x – 1 

13 T ex y = 2 sin 2x eller 

y = sin 2x + 1 

14 a) Ledtråd: 

Använd t ex 

sin 2x = 2 sin x cos x och 

”trigonometriska ettan”. 

b) x = 45° + n ∙ 180° eller 

x = π 4 + n · π 

15 x = 45° + n · 90° eller 

x = π 4 + n · π 2 

Ledtråd: 

Lös ekvationerna 

sin x = cos x och sin x = – cos x. 

Alt: sin 2 x – cos 2 x = 0 ger 

cos 2x = 0. 

16 Ledtråd: 

Skriv om 1 – √ 2 cos (2x – π/4) 

med additionsformeln, formeln 

för dubbla vinkeln och 

trigonometriska ettan. 

17 Ledtråd: 

Gör ett indirekt bevis. 

Visa att om n är udda så är n 3 + 5 

ett jämnt tal. 

Utnyttja att ett udda tal 

multiplicerat med ett udda tal 

är ett udda tal. 

18 x ≈ 0,55 och x ≈ 2,59 

19 13 cm 

Ledtråd: 

Använd cosinussatsen. 

20 x = 45° + n ∙ 180° eller 

x = π 4 + n · π 

Motivering: 

Ekvationen kan skrivas 

tan x = 1. 

21 a) y′ (t) = 0,52 cos 0,26t 

b) y′ (10) = – 0,45 

c) y′ (10) = – 0,45 betyder att 

temperaturen kl 22.00 sjönk 

med hastigheten 0,45 grader/ 

timme. 

22 cos 95° + cos 55° 

Ledtråd: 

a = 75°, b = 20° 

23 3,5 m 

24 y = 3 000 cos 18x + 6 000 

25 Det finns en vinkel, v ≈ 12°, 

som uppfyller villkoren. 

26 Motivering: 

Zoomar vi in grafen där x = 0 

ser vi att y närmar sig 1 då x 

närmar sig 0. 

27 T ex grafen y = cos x ger en 

kvadrat med arean 0,55 a.e. 

Ledtråd: 

Vi får en kvadrat om x = y. 

Lös t ex ekvationen x = cos x 

grafiskt med räknaren i radianer. 

28 Ledtråd: 

Insättning ger 

1 

cos 2 x + 1 

sin 2 x = 1 

cos 2 x · sin 2 x 

Visa att VL kan skrivas om till HL. 

29 – √ 3 

3 – 5 π 

9 

30 2 sin 0,25 ≈ 0,495 

Ledtråd: 

Om M är cirkelns medelpunkt 

så är vinkeln BMC 1 radian. 

Randvinkelsatsen ger vinkeln 

BAC. 

Höjden från sida BC till A ger 

en rätvinklig triangel. 

31 a) y mas = 1,5 + 4,5 = 6,0 

y min = – 1,5 + 4,5 = 3,0 

b) A = 0,6 

c) y = A sin x + B 

y mas = A + B = A + 3A = 4A 

y min = – A + B = – A + 3A = 2A 

32 a) T ex A = 20° ger B = 70° och 

sin A + sin B + sin C = 

= sin 20° + sin 70° + sin 90° ≈ 

≈ 2,28 

b) Summans största värde är 

1 + √ 2. Minsta värde saknas. 

Ledtråd: 

Undersök y = sin x + cos x + 1. 

Använd derivata i i intervallet 

0 < x < π/2 eller skriv om till 

y = √ 2 sin ( x + 45°) + 1

Kurvan y = a sin x + b cos x

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?