Kurvan y = a sin x + b cos x

Sammanfattning 2
Trigonometriska kurvor
Sinus- och cosinuskurvor
y = A sin kx Period: 360°/k Amplitud: A
2
1
1
2
y
y = 2 sin x, amplitud = 2
y = sin x
90°
y = sin 2x,
period = 180°
y = sin (x + v) + d är från sin x förskjuten
◗◗
uppåt om d > 0, nedåt om d < 0
◗◗
åt höger om v < 0 och åt vänster om v > 0.
Cosinuskurvor förskjuts på samma sätt.
y
1
y = cos (x + 60°) y = cos (x – 30°)
1
360°
y = cos x
60° 60° 180° 240° 300° 360°
Kurvan y = tan x
y = tan x = sin x/cos x
Period =180°
Kurvan närmar sig
linjerna x = – 90° och
x = 90° där den ej är
definierad.
90°
Kurvan y = a sin x + b cos x
y = a sin x + b cos x = √ a 2 + b 2 · sin (x + v)
y = a sin x – b cos x = √ a 2 + b 2 · sin (x – v)
där a > 0, b > 0, tan v = b/a, 0° < v < 90°
1
1
y
90°
x
x
x
Radianbegreppet
Ett varv = 360° = 2π rad, dvs 180° = π rad
π
1° = rad ≈ 0,001745 rad
180
1 rad = 180°
π ≈ 57,3°
För en cirkelbåge ger v i radianer
b = v · r
Bågen b = v ∙ r
v
r
Arean A = v · r 2
2 = b · r
2
Grundekvationerna i radianer
sin x = k (–1 ≤ k ≤ 1)
x = v + n ∙ 2π eller
x = (π – v) + n ∙ 2π där v = sin –1 k
cos x = k (–1 ≤ k ≤ 1)
x =± v + n ∙ 2π där v = cos –1 k
tan x = k (k godtyckligt tal)
x = v + n ∙ π
där v = tan –1 k
De trigonometriska funktionernas derivator
x i radianer ger att
y = sin x har derivatan y ′ = cos x
y = cos x har derivatan y ′ = –sin x
Kedjeregeln
En sammansatt funktion y = f ( g (x)) har
y′= f′(g(x)) ∙ g′(x)
yttre derivatan · inre derivatan
Exempel:
y = sin 5x
y ′= cos 5x ∙ 5 = 5 cos 5x
y = sin 2 x = (sin x) 2 y′= 2 sin x ∙ cos x
Tillämpningar och problemlösning
I de flesta tillämpningar använder vi
radianer för att få en enklare derivata.
Allmän problemlösningsstrategi
1. Förstå problemet 3. Genomför planen
2. Gör upp en plan 4. Värdera resultatet
2 Trigonometri och grafer 89