Kurvan y = a sin x + b cos x

4 A = 200, b = 1,5, c = 40°, d = 100
Lösning:
Amplituden är 200.
Perioden är 360°
b = 240°.
Grafen är förskjuten 40° åt
vänster.
d är ”mittlinjen”, 100.
5 a = 2
Ledtråd:
tan ax = 1 ger
ax = 45° + n ∙180°
6 a) 7π
6 ≈ 3,67
b) 229°
7 a) x ≈ ± 0,64 + n · 2π
b) x ≈ 0,44 + n · π eller
x ≈ 1,13 + n · π
Ledtråd:
2x ≈ 0,879 + n ∙ 2π eller
2x ≈ (π – 0,879) + n ∙ 2π
c) x ≈ 1,04 + n · π
d) x ≈ 0,15 + n · π/4 eller
x ≈ 0,52 + n · π/4
8 Lösning:
Formel med vinkel i grader:
v
b =
360° · 2 π r
v i radianer ger:
b = v
2 π · 2 π r = v r
9 a) y ′ = –5 sin x – 3 cos x
b) y ′ = 6x + 4 sin x
10 –3
Ledtråd:
Derivatans värde då x = π 2
11 a) f ′ (t) = 10 cos 2t
b) y ′ = –6x sin (x 2 + 1)
12 0 < x < π 2
13 a) 15 min
b) 2,8 < t < 4,7
Ledtråd:
När är d < 0
Lös detta t ex grafiskt.
14 Ja.
Motivering:
y max = 2 – (–0,5) = 2,5
y ′ = –1,5 cos 3 x y ′ max = 1,5
Blandade övningar kapitel 2
1 a) Period = 180° eller π rad.
Amplitud = 3
b) Period = 720° eller 4π rad.
Amplitud = 4
2 a) y ′ = 10 cos 5x + 3 sin x
b) y ′ = 3(x 2 + 1) 2 ∙ 2x = 6x(x 2 + 1) 2
3 420°
4 8,6 cm
5 x = π 2 + n · 6 π eller
x = 5 π
2 + n · 6 π
6 a) C = 4
b) C = 24
7 B
8 A = 2, k = 3, b = 1
9 sin 25°,
√ 1 4 , cos π 5 , tan π 3
Motivering:
√ 1/4 = 1/2 = 0,5
Enhetscirkel och tabell ger
tan π/3 = √ 3 > 1
sin 25° < sin 30° = 0,5
cos π 6 = 0,5 < cos π 5 < 1
10 x = 5 π
6
Ledtråd:
f ′ = 0 ger ekvationen
cos 2x = 0,5.
11 √ 3
2
12 10
Ledtråd:
Bestäm c om y skrivs
på formen y = c sin (x + v)
13 T ex y = sin 2x eller y = 0,5 sin 4x
Ledtråd:
y ′= k ∙ A cos kx
Utnyttja t ex att cos (n ∙ 2π) = 1
14 x 1 = 2π
9
x 2 = π 3
x 3 = 8π
9
x 4 = 14 π
9
Ledtråd:
2x = x + π/3 + n ∙ 2π
2x = π – (x + π/3) + n ∙ 2π
15 a = 8, c = 4
16 x 1 ≈ 13°, x 2 ≈ 73°, x 3 ≈ 133°
17 Falskt.
Motivering:
Om kurvan är förskjuten i höjdled
så är det största värdet större eller
mindre än amplituden.
18 a) 45 cm 2
Ledtråd:
Använd t ex areasatsen.
b) 29 cm 2
19 T ex k = 4
Ledtråd:
T ex ett värde mellan π och 2π ger
sin k° > 0 och sin k < 0.
20 a) Ca 6 år och 7 månader
( 78,5 mån).
b) – 25 renar/månad (– 25,4 . . . )
Ledtråd:
Derivatans värde då t = 14.
21 y = 3 sin 4x – 1
22 Ekvationen har 6 lösningar.
Ledtråd:
Rita graferna till y = sin 2x och
y = x 2 /10 – 1 och avläs antalet
skärningspunkter.
23 Ja.
Motivering:
Lutningen ges av y′ = 2 cos 2 x + 1
som har största värde 3.
24 a) kl 20
b) mars, oktober
c) 30 mars, 30 september
25 Förklaring:
Vänsterled är bara lika med noll
om täljaren är noll. Täljarens
minsta värde är 1 så ekvationen
saknar lösning.
26 0,21 < t < 0,79
27 a) 3 nollställen
b) x 1 = 0°, x 2 = 180°, x 3 = 360°
c) 5 nollställen
d) x 1 = 0°, x 2 = 107°,
x 3 = 180°, x 4 = 253°,
x 5 = 360°
268 Svar, ledtrådar och lösningar