Kurvan y = a sin x + b cos x

Vi kan nu slutföra härledningen av derivatan till sin x.
sin( x+
h) − sin x
f ′ (x) = lim =
h→0
h
⎛
= sin x · lim cos h − 1 ⎞
⎛
h→
⎝
⎜
h ⎠
⎟
0
+ cos x · lim sin
h→
⎝
⎜
0 h
f ′ (x) = sin x ∙ 0 + cos x ∙ 1 = cos x
h⎞
⎠
⎟
På liknande sätt kan vi visa att f (x) = cos x har derivatan f ′ (x) = – sin x.
Sammanfattning
Om x anges i radianer får vi enkla derivator till sin x och cos x.
f (x ) = sin x har derivatan f ' (x ) = cos x.
f (x ) = cos x har derivatan f ' (x ) = – sin x.
2301
Bestäm f ′ ⎛ ⎝
π
2 ⎞ ⎠
f (x) = 3 sin x – 2 cos x
då f(x) = 3 sin x – 2 cos x
f ′ (x) = 3 cos x – 2 (– sin x) = 3 cos x + 2 sin x
f ′ ⎛ ⎝
π
2 ⎞ ⎠ = 3 cos ⎛ ⎝
π
2 ⎞ ⎠ + 2 sin ⎛ ⎝
π
2 ⎞ ⎠ = 3 ∙ 0 + 2 ∙ 1 = 2
Svar: f ′ ⎛ ⎝
π
2 ⎞ ⎠ = 2
2302
För vilka x-värden har grafen till f (x) = sin x en tangent med
lutningen 0,5 Svara exakt.
Vi söker x-värden så att f ′ (x) = 0,5.
f (x) = sin x
f ′ (x) = cos x
cos x = 0,5
x = ± π 3 + n · 2π
ger ekvationen
Svar: Lutningen är 0,5 då x = ± π 3 + n · 2π
2.3 De trigonometriska funktionernas derivator 75