Kurvan y = a sin x + b cos x

2.3 De trigonometriska funktionernas derivator
Derivatan av sin x och cos x
Vi ska nu bestämma derivatan av f(x) = sin x
då vinkeln x anges i radianer.
Om vi skissar hur grafens lutning varierar
så verkar det troligt att derivatan är en
cosinusfunktion, se figur intill.
+
0
–
y = sin x
0
+
Vi använder derivatans definition
för f(x) = sin x.
f
derivatans definition f ′ (x) = lim ( x+
h ) − f ( x ) sin( x+
h) − sin x
= lim
h→0
h
h→0
h
differenskvot
Vi använder additionssatsen för sinus och omformar differenskvoten
sin( x+ h) − sin x sin
= x cos h + cos x sin h − sin x =
h
h
sin cos sin
= x h − x cos
+ x sin h = sin x · cos h − 1 sin h
+ cos x ·
h
h
h
h
Eftersom sin x och cos x inte beror av h,
bestäms derivatans värde av gränsvärdena: lim cos
h→0
h
h
− 1 sin h
och lim
h→0
h
Vi undersöker gränsvärdena numeriskt med räknaren inställd på radianer.
h cos h – 1
h
0,1
0,001
0,00001
–0,049 958 35
–0,0005
–0,000005
sin h
h
0,998 33417
0,99999983
1
gränsvärden
Av tabellen är det rimligt att dra slutsatsen att
lim cos h − 1 sin h
= 0 och lim = 1
h→0
h
h→0
h
74 2.3 De trigonometriska funktionernas derivator