LÄ°NEER MODELLER

A.O.F.F. Döner Sermaye
I şletmesi Yay ınlar ı
No: 38
LİNEER MODELLER
Y = Xfi+
= (X' X) - 1X'Y
Prof. Dr. Fikri AKDEN İZ Doç.Dr. Fikri ÖZTÜRK
ANKARA
1996

ÖNSÖZ
Bu kitap Prof Dr. Fikri Akdeniz'in 1978 y ılından itibaren ve Doç.Dr.
Fikri Öztürk'ün 1985 y ılından itibaren okutmakta olduklan Lineer
Modeller dersindeki ders notlar ının bir kısmının düzenlenmesi sonucu
ortaya ç ıkmıştır. Ders notlann ın ve kitab ın hazırlanışında büyük ölçüde
F.A.Graybill'in kaynaklarda gösterilen kitaplar ından faydalan ılmıştır.
Graybill'in anlatış tarz ı geometrik yorumlarla desteklenmeye çal ışılmıştır.
Böyle bir kitab ı yazmaktaki amaçlar ımızdan ba şl ıcas ı lisans üstü
eğitimine yeni başlayan yüksek lisans öğrencileri ile lisans e ğitimini
sürdüren son sınıf öğrencilerine türkçe bir kaynak olu şturmakt ır. Kitap ile
hedefienen, ö ğrencilere veya Lineer Modeller ile ilgilenmeyi dü şünenlere
başlangıç kavramlanm ve giri ş konularını iyi bir düzeyde verip bundan
sonraki bilgileri öğrenmelerini kolayla ştıracak bir temel olu şturmakt ır.
Kitap dört bölümden olu şmaktadır. Ana hatlar olarak birinci
bölümde; vektör uzay ı, dik izdüşürn, ikinci bölümde; matrislerin
genelle ştirilmi ş inversleri, üçüncü bölümde; normal da ğılımlı rasgele
vektörlerin karesel founlann ın dağıl ımları ve dördüncü bölümde; Lineer
Modeller'de tahmin ve hipotez testi konular ı üzerinde durulmaktadır.
Bölüm sonralarmdaki problemler konuyu tamamlay ıcı niteliktedir. Az
sayıda olmas ına özen gösterilen problemlerin baz ılan konu içindeki
teoremlerin ispatlanmas ı olup bu ispatlar birçok kitapta bulunabilir.
Lineer Modeller'e giri ş niteliğinde olan bu kitabm, okuyucular
tarafından gelecek ele ştiri ve tavsiyelerle daha iyi bir hale gelece ği
kanaatindeyiz. Var olabilecek her türlü yazan ve mant ık hatas ından dolayı
okuyucuların ho şgörüsüne sığınırız.
Bilgisayar dizgisi s ıras ında yard ımlanm gördüğümüz de ğerli yüksek
lisans öğrencisi Zafer Küçülc'e ve kitab ın baskıs ını gerçekle ştiren Ankara
Üniversitesi Fen Fakültesi Teksir Merkezi yönetici ve çal ışanlarına
teşektirlerirnizi sunan.
Prof Dr. Fikri Akdeniz
Çukurova Üniversitesi
Matematik Bölümü
Doç.Dr. Fikri Öztürk
Ankara Üniversitesi
Istatistik Bölümü
15 Şubat 1996

İÇ İNDEK İLER
Gösterimler
1.Bölüm Genel Bilgiler
1.1 Vektör Uzaylan
1.2 İç Çarp ım ve Normlu Vektör Uzaylar ı 6
1.3 Alt Vektör Uzaylar ı ve İzdü şüm 12
1.4 Lineer Dönü şüm 19
Problemler 26
2.Bölüm Matrisler ve Genelle ştirilmi ş İnversler
2.1 Baz ı Hatırlatmalar 28
2.1.1 Matrislerin Kö şegensel Matrislere İndirgenmesi 29
2.1.2 Özdeğerler, Özvektörler ve Spektral Ayn şım 32
2.1.3 Parçalanmış Matrisler ve Matrislerin Kronecker Çarp ımı 35
2.1.4 Pozitif Tammh Matrisler 36
2.1.5 Idempotent Matrisler 37
2.1.6 Bir Matrisin izi (Trace) ve Rank ı İle Ilgili Baz ı Teoremler 38
2.1.7 Karesel ve Lineer Formlann Türevleri 41
2.1.8 Fonksiyonlarm Maksimum ve Minimum De ğerleri 47
2.2 Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü ve Matrisler İçin
Genelle ştirilmi ş İnvers Kavram ı 49
2.3 Bir Optimizasyon Problemi ve
Moore-Penrose Genelle ştirilmi ş İnversi 55
2.4 Matrislerin Genelle ştirilmi ş inversteri 66
2.4.1 Penrose Denklemleri 66
2.4.2 {1,2} -Ko şullu İnversler 69
2.4.3 {1,2,3} -Ko şullu ve {1,2,4}-Ko şullu İnversler 70
2.4.4 {1,3 }-Ko şullu ve {1,4} -Ko şullu İnversler 71
2.4.5 Kısıtlı Genelle ştirilmi ş İnversler 72
2.4.6 En-Küçük Kareler ve A ğırl ıkl ı Genelle ştirilmi ş İnversler 74
2.4.7 Parçalanmış Matrislerin Genelle ştirilmi ş İnversleri 76
Problemler 79

3.Bölüm Normal Dag ıl ıml ı Rasgele Vektörlerin
Karesel Formlar ın ın Dag ıl ımlar ı
3.1 Normal Dağı lım 81
3.2 Çok Değişkenli Normal Da ğılımda Marjinal ve
Ko şullu Dağılımlar 87
3.3 Ki-Kare Dağılımı 95
3,4 t-Dağılımı 102
3.5 F-Dağıl ımı 104
3.6 Karesel Formlar ın Dağılmılan 106
3.7 Karesel Formlar ın Beklenen Değeri ve Varyans ı 113
3.8 Normal Da ğılıml ı Rasgele Vektörlerin Lineer ve Karesel
Formlarm ın Ba ğımsızlığı. Cochran Teoremi 114
3.9 Karesel Foıııılar ın Dağıhmlan İle Ilgili Bazı Örnekler 115
Problemler 119
4.Bölüm Lineer Model
4.1 Baz ı Lineer Model Örnekleri 123
4.1.1 Bir Aç ıklayıcı Deği şkenli Lineer Modeller 123
4.1.2 Birden Çok Aç ıklayıcı Değişkenli Lineer Modeller.. 126
4.1.3 Tasanm Modelleri 130
4.1.4 Varyans Bile şenleri ve Kan şık Modeller 135
4.1.5 Rasgele Katsayılı Modeller 137
4.1.6 Ölçme Hatas ı Içeren Modeller 140
4.2 Parametre Tahmini 141
4.2.1 1.Durum (c — N (0,0 2 I)) 141
4.2.2 2.Durum (e- (O, 0-2n) 153
4.2.3 3.Durum N(0,0-2V)) 156
4.2.4 Karar Kuram ı Açıs ından Parametre Tahmini 159
4.2.5 Lineer Tahmin Edilebilme 166
4.3 Hipotez Testi 180
4.3.1 Tam Rankl ı Modelde Hi3=h Hipotezi 181
4.3.2 Olabilirlik Oram Test İstatistiğinin Lagrange Çarpanlar ı
Yöntemi İle Elde Edilmesi 187
4.3.3 Olabilirlik Oram Test İstatistiğinin Bazı Gösterimleri ve
Özel Halleri 190

4.3.4 Tam Rankl ı Olmayan Modelde Hp= o Hipotezi 198
4.4 Güven Aral ıklan 201
4.4.1 Bireysel Güven Aral ıklan 201
4.4.2 Eş Anl ı Güven Aral ıklan 203
4.4.3 Tam Rankl ı Olmayan Modellerde Güven Aral ıklan 207
4.5 Baz ı Lineer Model Uygulamalar ı 208
4.5.1 öngörii (Prediction) Aral ıklan 208
4.5.2 Tolerans Noktalar ı 211
4.5.3 Kalibrasyon Problemi 213
4.5.4 Lineer Modellerin Özde şliği 218
4.5.5 Basit Lineer Modellerde Paralellik ve Kesi şme 220
Hipotezleri
4.5.6 Kesi şme Noktas ının Tahmini 223
4.5.7 Optimal Tasar ım 226
4.5.8 Varyans Analizi Tablosu 229
4.5.9 Bir Faktörlü ve İki Faktörlü Deney Tasar ımı 233
4.5.10 Varsayımlann Smanmas ı 240
Problemler 244
Kaynaklar

GÖSTERİMLER
R : reel say ılar kümesi.
R n : reel say ıların sıral ı n-lilerinin kümesi ve ayn ı zamanda Euclide iç
çarp ım ı ile donatılmış standart vektör uzay ı .
Rnxm : elemanlan reel say ılar olan n x m tipinde matrislerin kümesi.
R nx1 : n-bile şenli sütun vektörlerinin uzay ı .
R ıxn n-bile şenli sat ır vektörlerinin uzay ı .
x : sütun vektörü (X E R n xl , X E R n ).
x' : satır, vektörü (x, €R1xn).
A' : A matrisinin transpozu (A E Rnxm ise A' E İ nxn ).
"A) A matrisine kar şılık gelen lineer dönü şümün veya kısaca A nın
görüntü uzay ı .
[A] : A matrisinin sütun vektörlerinin gerdi ği uzay ([A] = R(A)).
N (A) : A matrisine kar şıl ık gelen lineer dönü şümün çekirdeği.
S(A) : A matrisinin satır vektörlerinin gerdi ği uzay.
Pu ,v : V alt uzay ı boyunca I/ alt uzay ı üzerine izdü şüm dönü şümü.
Pu : LI alt uzayı üzerine dik izdü şüm dönüşümü.
A — , A (1) : A matrisinin {1}-ko şullu genelle ştirilmi ş inversi (genelle ştirilmi
ş inverslerinden birisi).
A{ 1 } : A matrisinin {1}-ko şullu genelle ştirilmi ş inverslerinin kümesi.
A + : A matrisinin Moore-Penrose tipi genelle ştirilmi ş inversi.
FO ,q) serbestlik dereceleri p,q olan F dağılımı .
F a;p,q : serbestlik dereceleri p,q olan F dağılımında, solundaki alan a
olan değer.

I.Boıtim
GENEL B İLGİLER
1
Bu bölümde tan ımı verilmeyen ve yeterince aç ıklanamayan baz ı
kavramlar ile ispat ı verilmeyen baz ı teoremler îçin kaynaklarda belirtilen
Graybill (1983) ile Eaton (1983) 'nun kitaplanna bak ılabilir.
1.1 VEKTÖR UZAYLARI
Bu k ı s ımda vektör uzaylar ı ile ilgili baz ı temel kavram ve özellikler
hat ırlat ılacakt ır.
TANIM 1.1.1 , A boş olmayan bir küme ve
*:AxA —>A
bir i şlem olmak üzere :
a) (a* h)* e = a* (b* c)
b Va E A için a* e = e* a= a olacak şekilde e E A var,
c) Va e A için a* a -' = a-1 *a = e olacak şekilde a-1 E A var,
özellikleri sağland ığında (A,*) ikilisine veya * i şlemi alt ında A kümesine
bir grup denir.
Bir grupta b) özelli ğini sağlayan ve birim eleman, yada etkisiz
eleman ismini ta şıyan eleman ın bir tek olduğu kolayca gösterilebilir.
Gerçekten; i e A ele ınan ı da b) özelliğini sağl ıyorsa i elemanin ın e
üzerindeki etkisi,
e*i=i*e=e
biçiminde olacakt ır. Diğer taraftan e nin i üzerindeki etkisi,
i*e=e*i=i
olduğundan e = i d ır.

2
Bir grupta bir eleman için c) özelligini sa ğlayan ve ters eleman ismini
ta şıyan eleman ın bir tek olduğunu gösteriniz.
ÖRNEK 1.1.1 Elemanlar ı reel say ılar olan 2 x 2 lik regüler matrislerin
kümesi,
G = {[ X :x,y,Z,VE R ve xv — O}
ve
i şlemi,
*:G x G -> G
r x yl * r a
vj [c
= r xa + yc xb + ydl
d j L + vc +
olmak üzere (G,*) ikilisi bir g,rupdur. Bu grubun birim eleman
eleman ıd ır ve bir eleman ın ters eleman' da,
o
[o ı l
d ır. (Problem 1.1)
v
xv -
xv
Y
xv - yz
xv - _
Bir gruptaki i şlem deği şmeli ise bu gruba de ğişmeli grup veya Abel
grubu denir.
TANIM 1.1.2 (A,*, ®) üçlüsü için:
i) (A,*) ikilisi bir Abel grubu (e bu grubun birim eleman')
ii) (A - {e} ,O) ikilisi bir Abel grubu
iii) (a* 1))0 e = c ® (a* b)= (c a)* (c ® b)
özellikleri sağland ığında bu üçlüye veya * ile ® i şlemleri alt ında A
kümesine bir eisim denir.

Bildiğimiz gibi R reel say ılar, toplama ve çarpma i şlemleri altında
bir cisi ııı olacak şekilde olu şturulmu ştur. Yani (R,+,.) üçlüsü bir cisimdir.
Q rasyonel say ılar kümesi olmak üzere, (Q, + ,.) da bir cisimdir. R ile Q nun
her ikisi de say ılarda toplama ve çarpma i şlemleri alt ında birer cisim
olmalanna ra ğmen R kümesinin elemanlan taml ık özelliğine de sahiptir,
yani reel say ılar ın her Chaushy dizisi R de yak ınsakt ır.
Kompleks say ılar da kompleks say ılar için toplama ve çarpma
i şlemleri alt ında bir cisimdir. Bundan sonra vektör uzay ı kavram ında yer
alacak olan cisi ın R reel say ılar cismi olacakt ır.
TANIM 1.1.3 bo ş olmayan bir küme ve la ile • i şlemleri,
G: rxv-->v • : RxV -41 7
biçiminde olmak üzere;
i) (V, o) bir Abel gubu,
ii) v ıı,v E V ve a,h e R için
o) (a.b)•v=a•(b•v)
b) (a + b)• v (a • v)(1)(b • v)
c) a • (v (s.€ u) (a • v)ED (a • u)
d) l•v=v
özellikleri sağlandığında (V,R,ED,•)dörtlüsüne veya, ED vektör toplama ve
• skaler ile çarpma i şlemleri alt ında V kümesine R cismi üzerinde bir
vektör uzay ı denir. v nin elemanlanna da vektör denir.
ÖRNEK 1.1.2 R" reel say ılar ın s ıral ı n-lilerinin kümesi,
e.D.R" x R" R''
i şlemi,
ve
i şlemi,
(al ,a2 , ..,a„)G (bi ,b2 ,...,h„) ((al +l1,a, + b2 ,...,a„ + b„)
• . R x R" --> R"
c • (al ,a2 ,...,a„) =
olmak üzere, (R",R,e),•)bir vektör uzay ıd ır. Bu vektör uzay ını R 1" ile
gösterelim. Bu uzay ın elemanlanna n-bile şenli sat ır vektörleri denir.
3

4
Rnx kümesi,
a,
olmak üzere,
i şlemi,
a„
89 : R" xl x R" xl --> R" >

Rix" nin elemanlar ın ı
a'= (ai,a2 ,...,an )
5
Xk =(Xk ı , Xk2 , •••,Xkıı )
biçiminde gösterece ğiz.
Rlxn veya Rnxl
R ix" ile R"x l uzaylan farkl ı iki vektör uzay ıd ır. R"
sözkonusu olduğunda hangisinden bahsedildi ği aç ık olarak anla şılıyorsa
üçü de R" ile gösterilecektir. Özel olarak R" standart vektör uzay ı
dendiğinde, lex l sözkonusu olaca ğın ı belirtelim.
ÖRNEK 1.1.3 Itn>"" kümesi nx m boyutlu reel elemanl ı matrislerin kümesi
olmak üzere matris toplam ı ve matrislerin skaler ile çarp ımı işlemleri
alt ında M"' , R üzerinde bir vektör uzay ıdır. (Problem 1.5)
ÖRNEK 1.1.4 o bo ş olmayan bir küme ve v , si dan R ye tanımlı
fonksiyonlar ın kümesi olsun.
i şlemi,
ve
i şlemi,
ED:17 xV---> V
(f ,g)—> f g
f g:S2 —>
f g(x) = f (x)+ g(x)
•:RxV ---> V
(c,f)—> c • f
c• f:S2—> R
x—> c• f(x)= cf(x)
olmak üzere V kümesi bu i şlemler ile R üzerinde bir vektör uzay ıdır.
(Problem 1.6)

6
Kar ışıkl ığa yol açmad ığı takdirde bir V vektör uzay ında skaler ile
çarpma i şlemini gösteren • i şareti, reel say ılardaki çarpma i şlemindeki
nokta i şareti ııde olduğu gibi yaz ı l ınamakta ve vektörleri toplama i şareti, Ce
yerine de + i şareti yaz ı l ınaktad ır. Örneğin u, ı, E V ve a,b ER için
(a • u)(13(b • v) yerine k ısaca au+bv yaz ılacakt ır.
1.2 İÇ ÇARPIM VE NORMLU VEKTÖR UZAYLAR
Bu k ı s ımda bir vektör uzay ın elemanlar ına pozitif bir reel say ı
kar şı l ık getiren ve genellikle vektörün büyüklü ğü olarak yorumlanan norm
kavram ı ile vektör uzay ın iki eleman ına bir reel say ı karşı l ık getiren ve
vektörler aras ında ili şki veya aç ı gibi kavramlann tan ımlanmas ında faydal ı
olan iç çarp ım kavram ı hat ırlat ılacakt ır.
TANIM 1.2.1 V bir vektör uzay ı olmak üzere
fonksiyonu:
II II : v
v
R
i) Vv için 111112 O
ii)11111= O cş = O
ili) Va ER ve Vv EV için
iv) V ıı,v E V için
il" +
özelliklerini sa ğlad ığında, 1111 fonksiyonuna norm 11v11 sayıs ına
vektörtiniin normu, (V,1111) ikilisine de nonnlu vektör uzay ı denir.
ÖRNEK 1.2.1 R de,
x -->I1x11= lxl= { -
x
x x < 0
fonksiyonu bir normdur.

ÖRNEK 1.2.2 R" standart vektör uzay ında,
7
aeR" için :
1 )IIaII =
P
2) IhII = ( Eki )"„ P , p > 1 (Ip normu)
İ =i
3) =
ai2)1/2
i =1
(Euclide normu)
olarak tan ımb 11.11 fonksiyonlar ı birer normdur.
ÖRNEK 1.2.3 R"'” vektör uzay ında A =(aij ) E le x " için,
a) HAN = max(
i 1
n „
b) IIAL= max( E lau l)
j= i
e) 11A112 = (A' A n ın en büyük &değeri) ! /2
d) 11/111£ = (Z E a 2 .) 112
i=ij=1
e) IlAll= E E lau l
i=1j=1
f )IIAII= max{la ul : i = 1,2,...,n , j =
olarak tan ıml ı fonksiyonlar birer normdur.

8
ÖRNEK 1.2.4 [a,h] c I? kapal ı aral ığı üzerinde tamml ı reel değerli sürekli
fonksiyonlar ın kümesi t' olsun. v kümesi Örnek 1.1.4 deki i şlemler ile R
üzerinde bir vektör uzay ıd ır.
11.11
f --> lif II = (
bi( f (x)) 2 dx) 1/2
a
fonksiyonu t' üzerinde bir normdur.
TANIM 1.2.2 v bir vektör uzay ı olmak üzere,
fonksiyonu :
(u, v) -->
i) < 11,v >=
ii)
a,b e R için;
< bv,z >= a +b < v,z >
iii) v 0 için < v,v> > 0 , v =O için < v,v >-= O
özelliklerini sağladığında, < u,v > say ı s ına ıl ile v nin iç çarp ım ı ve
(V,) ikilisine de iç çarp ım uzay ı denir.
ÖRNEK 1.2.5 R" standart vektör uzay ında a,b e R n için ,
n
=
= ı
olarak tan ınd ı fonksiyonu bir iç çarp ımd ır. Bu iç çarp ıma Euclide iç
çarp ı m ı denir. Bu iç çarp ım ile birlikte R" standart vektör uzay ına Euclide
uzay ı denir. Bu iç çarp ıma vektörlerin skaler çarp ımı da denir ve
a' b =
ı
gosterimi kullan ılmaktad ır.
n

ÖRNEK 1.2.6 Rnxin de A, B E R' için
9
< A, R >= E E aijk
i =t j= ı
olarak tan ım!' fonksiyonu bir iç çarp ımd ır.
n
ııı
ÖRNEK 1.27 Örnek 1.2.4 deki v vektör uzay ında f ,g EV için
h
< f ,g >= f (x)g(x)dx
olarak tan ım ı' fonksiyonu bir iç çarp ımd ır.
TEOREM 1.2.1 (V,) bir iç çarp ım uzay ı olmak üzere,
(< ıı , ı, >)2 t ı,u >< v}»
d ır. (Cauchy-Schwarz
ISPAT • (Problem 1.7)
TEOREM 1.2.2 (V,) bir iç çarp ım uzay ı olmak üzere iç çarp ım
yard ım ıyla tan ınd ı,
1[1. I - -4 R
İSPAT• (Problem 1.7)
Il -4111111 < > = (< 1d,11 >) Y2
fonksiyonu V de bir normdur.

10
Bir iç çarpl ın uzay ında ayr ıca bir norm verilmemi şse norm olarak bu
iç çarp ıma dayal ı 11.11

vektörleri (2,2,0) , (0,0,3) e R 3 s ıral ı üçlüsüne kar şılık gelen A(2,2,0) ,
B(0,0,3) noktalar ı ve 0(0,0,0) noktas ı yard ım ıyla bir dik koordinat
sisteminde OA , OB yönlendirilmi ş doğru parçalara olarak gösterilirse
Şekil 1.2.1 deki gibi sezgilerimize hitab eden bir görünüm ortaya ç ıkar.
11
B
lig_11=
Nrş
-= O cos(a,b) = O
3. eksen
alb
O
2.ek?sen
I.eksen
Şekil 1.2.1
TANIM 1.2.3 M boş olmayan bir küme olmak üzere,
fonksiyonu,
d:MxM -41?
i) d (x,y) O
ii) d(x,y)=0 x= y
iii)
d(x,y) = d (y,x)
özelliklerini sağlad ığında, d fonksiyonuna M kümesinde metrik, (M,d)
ikilisine metrik uzay ve d(x,y) say ıs ına x ile y elemanları aras ındaki
uzakl ık denir.
ÖRNEK 1.2.9 R reel say ılar kümesinde,
d(x,y)=Ix
- yi
olarak tamml ı d fonksiyonu bir metriktir.

12
ÖRNEK 1.2.10 (V,11.11) bir nonnlu vektör uzay ı olmak üzere,
d(rı,v)= lıu - v ıı
olarak tamml ı d fonksiyonu V de bir metriktir.
ÖRNEK 1.2.11 R 3 x I Euclide uzay ında a,h E R3x Ivektörleri için,
3
= (k - a,) 2 ) 1/2
olmak üzere, d(a,b) say ıs ı , a ile b vektörleri aras ındaki uzakl ık yerine a ile
b vektörlerine kar şı l ık gelen A ile B noktalar ı aras ındaki uzakl ık olarak
yorumlanmaktad ır. (Bak şekil 1.2.1)
1.3 ALT VEKTÖR UZA YLARI VE İZDÜŞÜM
TANIM 1.3.1 V bir vektör uzay ı ve M c V olmak üzere, her x,y ER için
ax+ by EM oluyorsa M ye v nin alt vektör uzay ı denir.
V nin bir M alt vektör uzay ın ın kendisi de bir vektör uzay ıd ır. Alt
vektör uzay ı yerine k ısaca alt uzay da diyece ğiz.
V bir vektör uzay ı ve ev olmak üzere bu vektörlerin
lineer bile şimi olarak yaz ılabilen vektörlerin kümesi,
ın
'Tan{ Vi , V2 , ... V„, } = { V E V:v = E Cıi vi , ai ER, i = 1,2,...,m
i=1
bir alt vektör uzay ıdır. Bu alt vektör uzay ına vi ,v2 ,... vn, vektörlerinin gerdi ği
uzay denir.
ÖRNEK 1.3.1 R 3 x I de,
a= 3 , b=
0
0
1
, c=
O
1

olmak üzere Şekil 1.3.1 deki gösterimde span{a} alt uzay ındaki vektörlerin
uç nokatalann ın geometrik yeri bir do ğru, span{b,c} alt uzay ındaki
vektörlerin ise bir düzle ındir. K ısaca a vektörü bir do ğru, b ile c vektörleri
de bir düzlem germektedir denir .
13
Şekil 1.3.1
k
TANIM 1.3.2 V bir vektör uzay ı ve vi ,v2 ,..., vk E V olmak üzere Eaiv; = o
i=1
olacak şekilde tümü s ıfır olmayan al ,a2 , ..., ak E R say ılar ı varsa v l ,v2 ,...,vk
ğıml ı vektörler, aksi halde, yani
vektörlerine lineer ba
k
= O = 0 , i = I,2,..., k
oluyorsa vi v,
vk vektörlerine lineer ba ğıms ız vektörler denir.
TANIM 1.3.3 V bir vektör uzay ı, S kümesi (S c V) lineer bağıms ız
vektörlerin bir kümesi olmak üzere V nin herbir eleman ı S deki vektörlerin
lineer bile şimi olarak yaz ılabiliyorsa S ye V nin bir baz ı denir. V bir iç
çarp ım uzay ı ve S deki vektörler birbirine dik oldu ğunda S ye ortogonal
baz denir. Bir ortogonal bazdaki vektörler birim normlu ise bu baza
ortononnal baz denir.
V nin bütün bazlan ayn ı say ıda elemana sahiptir. Baz ın eleman
say ı s ına I' nin boyutu denir ve dim(V) veya boy(V) biçiminde gösterilir.

14
✓ bir vektör uzay ı ve S ={v i ,v2 ,...,vk } bir baz olmak üzere bir v ev
eleman ı bir tek biçimde,
v = E a;v;
i=1
olarak yaz ı l ır. R , = say ılanna v vektörünün bu baza göre
bile şenleri denir. v iç çarp ım uzay ı ve S ortogonal bir baz ise,
d ır.
v
>
i. ı

olmak üzere, f, ya v vektörünün M üzerine dik izdü şümü, e ya da v
vektörünün m' üzerine dik izdü şümü denir.
15
111'112 = Il ,'112 P112
Şekil 1.3.2
ÖRNEK 1.3.2 (V , < ,>) bir iç çarp ım uzay ı olsun. Bir x EV vektörünün
gerdigi Npaıı{x} alt uzay ı üzerine bir v E V vektörünün dik izdü şümünü Şekil
1.3.3 den geometrik olarak ifade edersek,
olmak üzere,
= cos( v, x)
1 < , x >
= x < x, x >
d ır.
c^? = v
< v,x>
x
Şekil 1.3.3

16
ÖRNEK 1.3.3 (v , ) iç çarp ım uzay ında M c V alt uzay ının bir
ortogonal baz ı vi , v2 ,..., vk ise bir v EV vektörünün M üzerine dik izdü şümü
olan vektör,
d ır.
k
V =
V i
i.i < ,Vi >
(V , < ,>) bir iç çarp ım uzay ı ve x1 ,x2 ,...,x„ vektörleri v nin bir baz ı
olduğunda bu baz yard ım ıyla V nin bir ortogonal baz ı, Gram-Schmidt
yöntemi ile bildi ğimiz gibi, a şağıdaki gibi elde edihnektedir.
1
1. v l = —
11x1
2. k =i,2,...,n- 1 için,
Vk+1 =
k
Xk+1- >
1=1
Böyle elde edilen v ,v2 ,..., ►„ vektörleri V nin bir ortonormal baz ıdır.
k
1=1
> v
ÖRNEK 1.3.4 R 3 x I Euclide uzay ında,
1 O 1
2_Ci = 2 , X2 = [2 , _X3 = 1
vektörleri lineer ba ğıms ızd ır.
= 4
O 0 1
olduğundan x , x2 , x3 vektörlerinin olu şturduğu baz ortogonal de ğildir.
Gram-Schmidt yöntemi ile,
2 /
0

v, =
1
—2 /
— < X2,1, 1 > 1,111 (x2 < x2 , > ) = 1 / 0
17
ve
113 =
O
0
1
elde edilir. {v i ,v,,v3 } kümesi R 3 " için bir ortonormal bazd ır.
ÖRNEK 1.3.5 R 3 ' 1 de,
ve
olsun.
x i =
O
,x, =
0 0
M = span{xi,x 2 }
v = 3
4
vektörünün M üzerine dik izdü şümünü bulal ım.
M yi geren x i ,x2 vektörleri ortogonal de ğildir. Örnek 1.3.4 deki
v 1 ,v2 vektörleri ortonormal ve M = span{v1,v2} d ır. Buna göre v nin M
üzerine dik izdü şümü,

18
i«; = < vv_ i > + < vv_ 2 > v 2 =
8
2/ NT-5-
0
-2/
1, ,r5
0
_ _
2
3
0
d ır. ( Şekil 1.3.4)
Şekil 1.3.4
Bu örnekteki x l ve x2 sutun vektörleri ile
M = ,X2] =
matrisini olustural ım.
1
O
0
2
O
M 'M = [ 54 41
(A4m) - ' = [ 1 -1
-1 5/ 4
(Mm) --1 =
O
112 O
OI
1 O O
m(A4m) - ' = 0 1 0
O 0 0
olmak üzere,

19
/i4(M'M) -1 M'v = 3
0
=
d ır. Görüldüğü gibi M(M'A İ/) -I M matrisi v vektörünü 1") ya dönü ştürdü. Bu
sonucu irdeleyiniz.
1.4 L İNEER DÖNÜŞÜM
TANIM 1.4.1 V, W vektör uzaylar ı olmak üzere,
A : V ---> W
--> A (v)
fonksiyonu her 11,1' E V ve a,h E R için ,
A(ar + hıı )= aA(v)+hA(u)
özelli ğine sahipse, A fonksiyonuna V den W ye bir lineer dönü şüm,
R(A)= {Iv : wEW, 3v EV için w = A(v)}
kümesine A lineer dönü şümünün değer kümesi ve
N (A) -= { v : v EV , A(v) = O }
kümesine A lineer dönü şümünün çekirdeği denir.
Bir A : V W lineer dönü şümünün de ğer kümesi R(A) c W ,W da
bir alt vektör uzay ı ve çekirdeği N (A)c v , v de bir alt vektör uzay ıdır.
R(A) uzay ının boyutuna A dönü şümünün rank ı denir ve r(A) ile gösterilir.
hoy(V) -= hoy(N(A))+ boy(R(A))
Şekil 1.4.1

20
v vektör uzay ından W vektör uzay ına tan ımlanabilecek lineer
dönü ştimlerin kümesi L(v, w) ile gösterilsin. Fonksiyonlar için Örnek 1.1.4
de tamml ı, fonksiyonlar ı toplama ve skalar ile çarpma i şlemleri alt ında
A E L (V w) kümesi bir vektör uzay ıd ır.
V vektör uzay ının bir baz ı vi , v 2 ,...,v,„ olsun. Bir A : V lineer
dönti ştimtinün bilinmesi demek
{v i , v2 ,..., v„,} baz vektörlerinin
dönüşümleri olan A (v i ) , A (v 2 ) , , A(v m ) E W vektörlerinin bilinmesi
demektedir. Bu durumda bir V E V için,
olmak üzere,
V =
i =1
d ır.
A(v)= ci A(v i )
ı =1
V vektör uzay ın ın bir baz ı v2 ve W vektör uzay ının bir baz ı
olmak üzere A G ,W) yani A , V den W ya bir lineer
dönü şüm olsun. j = 1,2,...,m için vi baz vektörünün
W daki baz vektörlerinin lineer bile şimi olarak,
A (1 , j )= ai jwi + a2 jw2+...+anjw,
A(v j ) EW dönüşümü
biçiminde yaz ı ls ın. A lineer dönüşümünün bilinmesi demek . A(v i )
(i=1,2,...,m) vektörlerinin bilinmesi, yani aıj ,a2 ,...,anj
katsay ılar ın ın bilinmesi demektir. Bu katsay ılar ile oluşturulan,
(j = 1,2,...,m)
Anx ıı a =
al I a12 al ın
a21 a22 a2nı
•
_ani an2 "' anın
matrisine A lineer dönü şümüne kar şılık gelen matris denir.

Tersine, bir An „,„ matrisi ve v ıı i ıı bir {v 1 , v2 ,...,v„,} baz ı ile w nun bir
{w i ,w2 ,...,w,,} baz ı ile ba şlay ıp j = 1,2,..., in için,
A(v j )= aij w i + a2 j w2 +...+ani w n
olarak tam ınlamrsa, A bir lineer dönt ıştımdür.
I' nin {vi , v2 ,..., v,„}, W nun bazlar ı için A lineer
dönii şürne kar şı l ık gelen matris Anx „,= (aii.)„„, olsun. Bir v E V vektörü
için,
olmak üzere,
ni
V = Zcivi
21
A(v)= E c A(1 , j )
j=1
ıır
n
=Ci ai"
1=1 i=1
n
ırı
= E (Z aije j )wi
.1=1
i=1
n
ın
= E (E aıjej)wi
i=1
d ır. v nin lineer dönü şümü olan A(v) vektörünün W da { w 1 ,2,•••,w w n }
baz ına göre bile şenleri Anx ,„ matrisi ile v sütun vektörünün çarp ımındaki
bile şenlerdir. Bir A lineer dönüşümüne kar şıl ık gelen A nx „, matrisi,
karışıkl ığa yol açmad ığı takdirde yine A ile gösterilir.
Rmx I den lex° 'e tan ıml ı bir A lineer dönü şümüne standart bazlara
göre kar şı
v R rn xl
l ık gelen matris n x m boyutlu A matrisi ise, bir
vektörünün görüntüsü A matrisi ile v vektörünün çarp ımı olan,
A(v) = Av
vektörüdür.

22
ÖRNEK 1.4.1
A : R 2x ıı R 3x1 xi + X2
x ---> A(x) = x 1 +2x2
xl X2
dönti ştünü bir lineer dönü şümdür. R2 x I ve R 3 x I deki standart bazlara göre
bu lineer dönü şüme kar şı l ık gelen matris,
- 1 -
A([ 10]) = 1 = 1.e i +1.e2 +1.e3
1
olmak üzere,
A( [01- = = Lel+ 2.e2 —1.e3
-1
1 1
A3 x 2 = 1
1 —1
d ır. A lineer dönü ştimtiniin değer kümesi,
R(A)={y E R3 3x ER2x1 ,Ax= y}
olmak üzere
I?(A)= span 1,
d ır. A lineer dönü şümünt ı değer kümesi, bu lineer dönü şüme kar şıl ık gelen
A matrisinin sütun vektörlerinin gerdi ği alt lızayd ır. Bir A matrisinin sütun
vektörlerinin gerdi ğ i R(A) lızay ın ı [A] biçiminde de göSterece ğiz.

TANIM 1.4.2 (6',lı bir lineer dönüşüm
olmak üzere Vx,y EV için,
< x,Ay >=< A'x,y>
eşitliğini sağlayan lineer dönü şümüne A n ın ek dönü şümü denir.
Bir A lineer dönü ştımünün ek dönüşümüne kar şı l ık gelen matris A
ya kar şı l ık gelen matrisin transpozudur. (Reel say ılar cisminde çal ıştığım ız'
yeniden hat ırlatal ım.)
23
bir vektör uzay ı , M ile N tümleyen iki alt uzay,
t' M E1) N
ve v E t' için,
v=u+e , uEM,eEN
olmak üzere N boyunca M üzerine izdü şüm dönüşümü olan,
A:t'—> 1'
v --> Av = u
dönüşümü bir lineer dönü şümdür. Bu dönü şüm için,
R(A) =
d ır. Ayr ıca,
olduğundan,
d ır.
N(A)= N .
AA(v)= A(A(v))=. A(u)=u
AA = A 2 = A
M boyunca N üzerine izdü şüm dönü şümü de bir lineer dönü şümdür
ve / birim dönü şümü gösterınek üzere, bu dönü şüm / - A dır.
denir. A
u = Av vektörüne ı" nin N alt uzay ı boyunca M üzerine izdü şümü
izdü şüm dönü şümü bir lineer dönü şüm olmak üzere PA,1
biçiminde gösterilir. PA,İ .A, ayn ı zamanda N boyunca M üzerine izdü şüm
dönü şümüne kar şı l ık gelen matrisi de göstersin.

24
1)2 1)
14•\
olmak üzere PA idempotent bir matristir.
ve
A:nx ıı E 1.(1' ,1') idempotent bir matris olmak üzere,
v = R(A ) ,CD N(A)
A = PR(.1). , v
d ır. Gerçekten, v E v için, A idempotent olduğunda,
v = Av + (I - A)v , Av E R(A) , (I A)v E N (A)
d ır.
V = ci) ED• • • @vi< olmak üzere ı = 1,2,•••, k için Pi :V - ı V dönüşümü
v nin L; üzerine izdü şümü olsun . O zaman
a)Pi 2 = 1i
, i = 1,2,---, k
Pi =0 , ixj ,
c)11+ 12 +•• • +
= I
d ır . Bu Özellikler , v E V yektörününün v; E V; , i = 1,2,—, k ve
= V I + V2 +• • • + Vk
olacak şekilde bir tek biçimde yaz ılmas ın ın bir sonucudur
(v,)bir iç çarp ım uzay ı, M , V nin bir alt uzay ı ,
v = m
ıvıl
ve v E 1 - için,
v = + , İ"; E M , e EMl

25
olmak üzere M üzerine dik izdü ştim dönüşümü olan
pt, fr' -> M
-> (v) =
dönü şümü bir lineer dönü şümdür,
ve ayr ıca
R( P m ) = M
p A2 1,‘4,
= Pm.
d ır . Gerçekten , x l = zl + "£; i , X2 = 22 + , xi,x2 E V , 21, e M E Mi
olmak üzere,
< XI , X2 - (.1-;1 .£.;1
=- ( 21, 22)±(1 , k‘ı >
= ( 21, 22)
=< 21,A2+2)
olduğundan
= (PA py i , X2)
d ır
P = P
M M
dik izdti ştim dönü ştımü bir lineer dönüşüm olmak üzere PAI ye
kar şıl ık gelen matris
pw2 = pm =
den dolay ı idempotent ve si ınetrik bir matristir .

26
PROBLEMLER
/. / Örnek 1.1.1 deki (G,*) ikilisinin bir grup oldu ğunu gösteriniz.
1.2 A bo ş olmayan bir küme ve de, A daıın A ya bire-bir fonksiyonlarm
kümesi olsun.
0:1;x1;—>1;
(1,x)-->
og
i şlemi fonksiyonlarda bile şke i şlemi, yani
.f o gA —> A
x —> f o g(x) = (g(x))
olsun. (F,o) ikilisinin bir grup oldu ğunu gösteriniz. A sonlu say ıda elemanl ı
ve eleman say ıs ı it ise nin eleman say ısı nedir?
1.3 (A,* ,O) bir cisi ın olmak üzere *,® i şle ınlerinin birim elemanları e,i
olsun. a,h c A, a i için (a® x)*h = e denkleminin çözümünü bulunuz. Bu
denklemin R reel say ılar ve C komplex say ılar cisimlerinde kar şılığını
yaz ı n ız ve çözümünü bt ıluntız.
1.4 Örnek 1.1.2 deki (R ı xn ,R,G),. ) ile (rl x ,
C' R,G31,*) nin birer vektör uzay ı
olduğunu gösteriniz.
1.5 R"'"' kümesi,
A =
al I
a2 1
al 2
a22
• '
" •
aleti
(12in
= (aıi )
an 1
an 2
"
anni _
gibi ıı x ın boyutlu tnatrislerin kümesi olmak üzere ,

27
(D: Rn x ın x Rn x ı»
IZn x ııı
(A,B)—> AED B =(a,+bii )
0:1?x Itn> " —> Rnxin
(c, A)—> e: • A (ca ii )
i şlemleri için (1?""' ,R,12 ),e) nin bir vektör uzay ı olduğunu gösteriniz.
1.6 Örnek 1.1.4 de sözkonusu olan,
1' = {f:f,s2da ıd? ye bir fonksiyon}
kümesini ıı, örnekte tan ıml ı i şlemler ile R üzerinde bir vektör uzay ı
olduğunu gösteriniz.
1.7 Teorem 1.2.1 ve Teorem 1.2.2 yi ispatlay ın ız.
1.8 Örnek 1.2.9 da tan ım ı' d fonksiyonunun bir metrik oldu ğunu gösteriniz.
1.9 R 4 'I Euclide uzay ında
5
olsun. v vektörünün :
4
1
0 0
a)sımm b)van■
c),span
0 0
0 0 1
alt uzaylar ı üzerine dik izdü şümlerini bulunuz.
1
1
O
O
,
1
O
0
O
1
0
0
0
0
1

28
2.BÖLÜM
MATR İSLER ve GENELLE ŞTİRİLMİŞ İNVERSLER
2.1 BAZI HATIRLATMALAR
1) A:n x p tipinde reel say ılar ın bir matrisi olmak üzere, RP den R" ye bir
lineer dönü şüm belirler.
A: RP R"
b --> Ab
A matrisinin
lineer dönüşümün görüntü kümesi R(A) , A
matrisinin sütun vektörlerinin R" de gerdi ği R(A)A1={Alrb E RP}
alt
uzay ıd ır. A matrisinin sat ır vektörlerinin gerdi ği S(A) = {c' A:c E .1?"} uzay ı
RP nin bir alt uzay ıd ır.
R(A) = R(A A') , S(A) = S(A'A)
d ır.
A matrisinin rank ı lineer bağıms ız sütun (sat ır) vektörit say ısı olmak
üzere,
rank(A) = boy(R(A)) = boy(S(A))
d ır. A: n x p ise raıık(A) 5 min
p} d ır.
2) a) Bir C matrisi için AC = B R(B) c R(A)dır.
b) R(AC) c R(A) d ır. Eğer C singüler değilse R(AC) = R(A)dır.
3) C singüler de ğilse Rank(AC) = Rank(A). Genelde,
d ır.
Rank(AB) < min{Rank(A),Rank(B)}
4) a) (AB)' = B' A' b) (AB) - 1 = B -1 A -1 c) (A -1), = ( A ,)-1
d) det(AB)= det(A)det(B) e) det(kA n„)= k" det(An„)

5) A:n x n , A' A = I ise A matrisine ortogonal ınatris denir. A nın sütun
vektörleri R" de bir ortogonal baz olu şturmaktad ır.
a) (det(A)) 2 = ı olmak üzere det(A) +1 veya --1 d ır.
b) A-1 = A'
c) AA' = I d ır. A n ın sat ır vektörleri de R" de bir ortonormal baz
olu şturmaktad ır.
d) Ortogonal matrise kar şılık gelen lineer dönü ştime de ortogonal
dönüşüm denir.
IIAx — Ay 2 -=(Ax— Ay)'(Ax-- Ay)
=(x — Y)' A( — Y) Y)' ("X — Y) -=- k — YII 2
olmak üzere ortogonal dönü şümler Euclide metri ğinde uzakl ıklan ve
(Ax, Ay> -= A' Ay = y = (1c,y>
olmak üzere Euclide iç çarp ımında aç ılan korumaktad ır (deği şmez
b ırakmaktad ır).
2.1.1 MATR İSLERIN KÖŞEGENSEL MATR İSLERE
İNDİRGENMES İ
A:n x p tipinde bir matris olmak üzere, A matrisi üzerindeki
aşağıdaki işlemleri (elemanter sat ır işlemleri) göz önüne alal ım.
ii )Matrisin bir satırı (veya sütununu) bir c sabiti ile çarpmak.
k .sat ırı c sabiti ile çarpmak demek A matrisinin soldan singüler
olmayan,
29
= j=k }
Ek(c)=(eij)nxn , eu =
0, k
matrisi ile çarpmakt ır. k. sütunu c sabiti ile çarpmak, A matrisini sağdan
m x m boyutlu Ek (C) matrisi ile çarpmak demektir.
i2) r. satırm (sütunun) yerine "r. satır(sütun) + s. satım
(sütunun) c katılım " yaz ılması.

30
r. sat ır için bu i şlemi yapmak dernek A matrisini soldan singüler
olmayan a şağıdaki gibi bir matrisle çarpmak demektir.
1 i = j
E„.(c) = >,„ , = c , i=r, j=s
0 , diğer durumlarda
Sütunlar için bu i şlemi yapmak için A matrisi sağdan böyle bir
matris ile çarp ılmaktad ır.
i3 ) İki satırın (sütunun) yerinin değiştirilmesi.
r. sat ır ile s. satırm yerini değiştirmek demek A matrisini soldan
Es(-1)E,(-1)E,(1)E,(- 1) matrisi ile çarpmak demektir. Sütunlann yerini
deği ştirmek için benzer çarpun sa ğdan yap ılmaktadır.
Bir matris sat ır i şlemleri yap ılarak e şelon forma getirilebilir. Bir
matrisin e şelon formda olmas ı demek, bir sat ınn elemanlar ının ya tümü
s ıfır yada 1 olan eleman ın solundakiler s ıfır (sağındakiler olmayabilir) ve
bir sütunda 1 varsa di ğer elemanların 0 olması demektir.
1) A:n x k matrisi (sat ır i şlemlere kar şıl ık gelen matrislerin çarp ımı olan) bir
B: x ıı singüler olmayan matrisi ile çarp ılarak e şelon forma getirilebilir.
2) A: ıı x k , rank(A)= r , matrisi için singüler olmayan B: n x n (satır
i şlemlerine kar şı l ık gelen) ve C: k x k (sütun i şlemlerine kar şıl ık gelen)
matrisleri vard ır öyleki,
d ır. Ayr ıca,
BAC =[Ir
O O
A = B-1[4 1C-1
O O
= Bıci
olmak üzere, A:n x k matrisi ranklan r olan Bİ :n x r ve C:1 :r xrı
matrisin çarp ımı olarak yaz ılabilir.
gibi iki

3) A: ıı x n matrisi için singüler olmayan B:n x n matrisi vard ır öyleki, BA üst
üçgenseldir (kö şegenin alt ındaki elemanlar s ıfırdır).
4) A: ıı x ıı ve A simetrik bir matris ise BA B' köşegen matris olacak şekilde
singüler olmayan B: n x ıı matrisi vard ır.
Buraya kadar geçen özellikler sat ır ve sütun i şlemlerine kar şıl ık
gelmektedir. Şimdi bir matrisi üst üçgensel matrise dönü ştüren bir
ortogonal matrisin bulunmas ı ile ilgili Hausholder yöntemini hatırlatal ım.
A:n x k tipinde bir matris olsun, u = o veya = t olduğunda 1- 2uut
matrisi ortogonaldir.Birim nonnlu u vektörü öyle belirlenebilir ki,
(1- uu')A matrisinin ilk sütunu belki birinci eleman d ışında s ıfırlardan
oluşsun. a , A n ın birinci sütun vektörii olmak üzere,
31
(1- 2uu')ai = b (b =
o
0
olacak şekilde u bulunsun. Eğer ai = o ise u =o (bu durumda b = O) al in
yaln ız brinci bile şeni s ıfırdan farkl ı ise yine u =o dır. Diğer durumlarda,
ve
olmak üzere,
b =
C2 = (ai - b)( a l - b)
e
olarak al ınırsa 1- 2uu' ortogonal olur ve I - 2uu' ortogonal matrisinin A
ile çarp ım ı sonucu A n ın birinci sütununda birinci eleman ın dışındakiler
s ıfır olur. Böyle elde edilen matrisin birinci sat ır ve sütunu d ışındaki
(n - 1) x - 1) boyutlu matris için benzer yoldan / 2u 2 û2 matrisi
bulanabilir. Bu i şlem ilk ad ımdak ı (n - 1) x (n - 1) boyutlu matrisi soldan

32
- 2u 2 ıı; matrisi ile çarpmakla veya A matrisinin ilk ad ım sonundaki halini
soldan
ı o
o /-2u 2 u 2 ]
ortogonal matrisi ile çarpmakla yap ılabilir. Böyle devam edilip, ortogonal
matrislerin çarp ım ının da ortogonal olduğu gözönüne al ınırsa aşağıdaki
sonuca ula şıl ır.
5) A:nxk , n > k olmak üzere B ortogonal matrisi vard ır öyle ki, T:k x k
üst üçgensel olmak üzere,
dır.
BA =[ T]
O
6) A:nxk , ıı , olmak üzere, Q:nx(n- k), QQ' = I matrisi ve R: k x k
üst üçgensel matrisi vard ır öyle ki,
A = QR
d ır. (Q matrisi 5) deki B nin ilk n-k sat ınndan olu şan matris ve R = T
olabilir) Bu ayn şuna QR ayn şımı denir.
2.1.2 ÖZDE ĞERLER, ÖZVEKTÖRLER ve SPEKTRAL AYRI ŞIM
x n tipinde reel say ılara bir matrisi olmak üzere, A ya göre bir
polinom denklemi olan, det(A - il) = o denklemine A nın karakteristik
denklemi ve köklerine A n ın özdeğerleri denir.
v o için Av = 2v oluyorsa v vektörüne 2 özde ğerine kar şıl ık gelen
özvektör denir. Bir özde ğere birden çok özvektör kar şıl ık gelebilir.

A: ıı x matrisi simetrik olduğunda:
a) Özdeğerleri reel say ılard ır. Rank(A) = r ise o sayısı n-r katl ı
özdeğerdir. A ; $ 2 2 özdeğerlerine kar şıl ık gelen Av = , Aw = 2, 2 w
özvektörleri için vi w d ır.
b) A matrisinin rank ı s ıfırdan farkl ı özdeğerlerin say ıs ına (katl ı özdeğerler
kat ı kadar say ı l ınak şart ıyla) e şittir.
c) Bir A ; özdeğeri k katl ı ise,
Av =
denklemini sağlayan k tane ortogonal v özvektörü vard ır, s ıfır vektörü ile
birlikte bu k tane özvektör bir vi alt vektör uzay ı (özdeğer uzay ı)
gennektedir. A nin farkl ı özvektörleri 21,A 2 ,.. ,Ar olmak üzere bunlara
karşıl ık gelen Vi ,V2 özdeğer uzaylar ı birbirine dik ve
dır.
R" = Yi @v2 .2)...Eov,
d) A n ın özde ğerleri 2 1 ,22 ,...,2„, ve
33
/1-1 o 0
o 2 o
O 0 2,,
olsun. P: ıı x ıı ortogonal matrisi (P'P = I) A n ın normlannu ş
özvektörlerinin matrisi (e şit özdeğerler için kar şı l ık gelen özde ğer uzaym ın
ortononnal baz vektörleri) olmak üzere,
dır.
D=
AP = DP A = PDP'
A = PDP' = .1,i v i v i
i=i
gösterimine A matrisinin spektral ayr ışım ı (spectral decomposition) denir.
A 2 = En 2.21 v
i = ı
olmak üzere, biçimsel olarak, c E R için,

34
veya
A c = E ıfi v i v i
i=1
f (A) f i v
= ı
gibi gösterimler operatör hesab ında kullan ılmaktadır.
Bir matrisin tekil de ğer ayr ışım ı (singular value decomposition):
A:nxp tipinde bir matris, rank(A) = r olmak üzere Q :nxn,
P: p x p ortogonal matrisleri vard ır öyleki,
A = Q[oD 0]
biçiminde yaz ıl ır. Burada, Q matrisi AA' nın ve P matrisi A'A nın
normlanm ış özvektörlerinin matrisleridir. D matrisi, AA' matrisinin (A'A
matrisinin) s ıfırdan farkl ı di (d; > 0,i = 1,2,...,r) özdeğ-erlerinin,
D=
.sia1: O
o
O V2.12 o
o o
kö şegen matrisid ır. Q matrisinin ilk r sütunundan olu şan matris Or x r
(Q;Q1 = Ir) P matrisinin ilk r sat ırından oluşan matris x p (PI P; =
olmak üzere,
A = Q İ DP;
d ır. Tersine, bu gösteri ınden yakandakine geçmek için D matrisi s ıfır
matrisleri ile geni şletilecek ve Q1 ile Ii matrisleri ortogonal matrisler
olacak şekilde geni şletileeeklerdir. A matrisinin böyle bir gösterimine tekil
değer ayr ışıını ve D matrisinin elemanlenna A n ın tekil değerleri denir.

2.1.3 PARÇALANM1 Ş MATR İSLER ve
MATR İSLERIN KRONECKER ÇARPIMI
35
x n tipinde bir matris ve det(B) O olsun. Bu matris
B
[B2111 B 212]
13 13
x n i ,B 12 x n2 , B21 :112 x n ı , B22 : n2 x n2 , n ı + n2 biçiminde
parçalans ın.
1) Eğer B, singüler de ğilse,
det(B) = det(B 22 )det(B 11 - Bi2 B221 B21)
2) Eğer B„ singüler de ğilse,
det(B)= det(B„)det(B 22 -
3) B nin inversi B olmak üzere,
B, = [A„
A,, A„ Jf
A,,:n, x ıı, /12 , : ıı, x 1, , A22 : İİ2 X /12 biçiminde parçalans ın. Eğer Bil ve
B22 singüler değilse,
A ıı = [BI ı BI2B22B21] - 1
A22 = [ 822 - B21 13 1-11B12 F l
Al2 = - B1-11 B12 [B22 - B2IB1 İ1 B12] -1
p
A21 = -1322 /321 [ 1-' 11 - B12B22.'-' 21
] 1
d ır.
B -1 =
- Bı 2B2211321] - B 1 - 1 11312[B22 - B2 ı Bl ı Bı 2 1-1
- B B [B 22 21 11 - BI2B221 B21]
[ 1322 - B2 I Bşil B ı 2

36
x n ı, B: p x q tipinde matrisler olmak üzere,
a11B
a12 B
aim B
A ® B = (ai
a21B
a22B
•• •
a2m B
a„İ B
a„2B
•• •
a,„„B
matrissine A ile B nin Kronecker çarp ım ı denir.
a) 00A=A00=0
b) (A,- M® B = A,® B + A 2 0 B
c) AO(B,+ B 2 ) , A® B ı l AOB 2
d) aA® bB = abA® B
e) (A 1 A 2 ) 0(13 1 132 ) = (A l ® Bi )(A2 082 )
f)(AOB)-1=
A - ı ®B -1
g) (A® B)' = A' ® B'
2.1.4 POZITIF TANIMLI MATR İSLER
Aux,/ tipinde bir matris olsun.
1) A' = A
2) Vy E Rn için y ' Ay > o
ise A matisine pozitif tammlid ır denir. Eğer,
1) A' = A
2) V y E le için y ' Ay O
3)3 y E R" için y ' Ay = o
ise A matrisine pozitif yar ı tan ımlıdır denir.

37
Pozitif tan ıml ı veya pozitif yar ı filmini' bir matrise negatif olmayan
matris denir.
1) n x n tipinde A = (akk ) matrisinin pozitif tan ımlı bir matris olmas ı için
gerek ve yeter şart k = 1,2 , .., ıı için,
a11
au
• • •
al],
det
a2I
a22
• • •
a2k
> O
olmas ıd ır.
ai i
cıi 2
•
akk
2) A:n x n pozitif tan ıml ı bir matris olduğunda özde ğerleri pozitiftir.
A: ıı x ıı pozitif yar ı tan ıml ı bir matris ise A 'n ın özdeğerleri negatif değildir
ve en az biri s ıfırd ır.
3) A:n x n matrisi pozitif tan ıml ı bir matris olduğunda regüler C: n x n matris
vard ır, öyle ki
d ır.
(." AC = I
4) A: ıı x r ı matrisi pozitif tan ıml ı olduğunda üst üçgensel T matrisi vard ır,
öyle ki
dir.
A = T' T
2.1.5 İDEMPOTENT MATR İSLER
B:n x ıı
matris denir.
matrisi için BB = B (B 2 = B) ise B ınatrisine idempotent
Şimdi idempotent matrislerle ilgili baz ı özellikleri hat ırlatal ım.

38
1) I3:n x n matrisi idempotent ve rank(B) = n ise B = I dır,
2) B: n x n matrisi idempotent ve rank(B) < tı ise B pozitif yar ı tanımlı bir
matristir.
3) B: n x n ve rank(B) = p olsun
a) B idempotent ise B s ıfırdan farkl ı p tane özdegere sahiptir ve
bunlar ın her biri +1'e e şittir.
b) B simetrik ise B 'nin idempotent olmas ı için gerek ve yeter ko şul
B 'nin herbiri s ıfırdan farkl ı p tane özdegerinin olmas ıd ır.
4) ı dempotent bir matrisin ozdegerleri ya s ıfır yada birdir.
5) A n x ıı tipinde (si ınetrik) idempotent bir matris olsun;
a) A' (si ınetrik) idempotenttir .
b) P ortogonal ise P'AP (simetrik) idempotenttir.
c) P regüler ise PAP -I idempotenttir.
d) / - A simetrik idempotenttir.
e) AA' = A'A ise A'A ve AA' matrisleri simetrik ve idempotenttirler.
2.1.6 B İR MATR İSİN İZİ (TRACE) ve RANKI İLE İLGİLİ BAZI
TEOREMLER
A: ıı x ıı tipinde bir matris olmak üzere A 'n ın izi,
Ir (A) =cın
olarak tammland ıgun hat ırlatall ın.

1) A ve Bnxn tipinde iki matris ve a,b e R olmak üzere,
ir(aA + bB)= aır(A)+Mr(B)
d ır.
39
2) A ve B n x n tipinde iki matris olsun.
ıt.(AB) , tr(BA)
d ır.
3) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)
4) A: ıl x ı r tipinde bir matris ve Q:n x n tipinde singüler olmayan bir matris
ise,
d ır.
tr(A) = tr(0A0 -1 )
5) A: ıı x ır tipinde bir matris ve P:n x rr ortogonal bir matris ise,
tr(A) = tr(PA P')
6) A:n x ıl tipinde ve özde ğerleri olan bir matris ise,
tr(A) =
ı =1
tr(A k ) =E11,,k
dır.
7) A idempotent bir matris ise,
rank(A) = tr(A)
dır.
8) A: ıı x m tipinde bir matris ise,
d ır.
nı
lr(A' A) = tr(A A') =~»,./2
tz ı

40
9) A: ıı x t ı ve A simetrik özdegerleri A,, „ ise,
d ır.
ni rt
11. ( A ' 11) =2 2
,ı• - 1 ı , ı
10) A:t ı x m , tr(A' A)= A=0 din
11) x:t ı x 1 tipinde bir vektör, A:n xi ı tipinde bir matris ise,
d ır.
x' Ax = tr(Axx')
12) A:k x k tipinde negatif olmayan bir matris ve 2,, A n ın en büyük
özdegeri olsun. Bu durumda (A O) ;
a) ir(An1) A, ._[tr(An)j n 1I
tr(A")
'
herhangibir n tam say ı s ı için.
d ır.
11 1n
b) lim[fr("1 = linl[ ır(A n
tr(An)
) .1 =
"- fm
13) A:k x k tipinde A, 2, 2, özdeğerlerine sahip bir matris olsun.
x' A x
a) /1 1 = max , x O
x xx
x' Ax
b) = min , x O
x
x' Ax
C) 2k S — — s 21 , herhengi x o için.
x

41
2.1.7 KARESEL ve L İNEER FORMLARIN IVREVLER İ
Birçok durumlarda çok de ği şkenli fonksiyonlarm k ısmi türevleri ile
ilgileniriz. Örne ğin,
f (x) = f (x l , x2 , x3) = 6x 12 - 2x ix2 +2x32 , - co < < Go i 1,2,3
fonksiyonu için k ısmi türevler,
cY(2,:) = 12xi — 2x2
cY(Y)
c"kı
xi
= 4x
â3 3
olmak üzere bu k ısm ı türevleri a şağıdaki gibi bir vektör ile gösterebiliriz.
12xi — 2x2 .-
ı
—2x
4 X3
Genel olarak,
f : Rn —> R
olmak üzere,

42
cy
(3c2
•
ten _
fonksiyonl ına, f nin x vektörüne göre türevi denir. Bu türev esas ında f
nin gradiyent vektörüdür.
(
f
cix 2 (2x, (3,,i ) n xn
olarak tanunl ı ınatris fo ııksiyonuna
nin Hessian matrisi denir.
X = (xii)„,< „, elemanlar ı reel say ı olan bir matris ve
f Rn x _> R
X --›(f X)
reel de ğerli bir fonksiyon olmak üzere,
x
dX G3Cij
olarak tan ımlans ın. Buna f fonksiyonunun X matrisine göre türevi denir.
TEOREM 2.1.7.1 a) (n ı x 1
sabitlerin bir vektörü olmak üzere,
4a' z) - c*b-'a)(a' x)
- = a , - O
i7x 0x (yx 2
b) A: ıı x i ı tipinde simetrik bir matris olmak üzere
d ır.
61(x' A x) _ 2 Ax 02 ('X'
,t1_*) =2 A
0x OX 2

ISPAT: a) x = x'a = a1x1+a2x2+...+a n x,
olmak üzere,
43
al
b)
61-3:)
a2
a n
=
(92 Cc_1 ' n
, 2 = -nxn
(2.x^
tl
tl
Ax = a Y x
i x aii =aii
i=1j=1
c'x' A =.
k ck i=1 j=1
n n
(Z( Z cı
âk İ =1 j=1
j=k
ixi+aikxixk))
n n
ıı
=— (2 (Z Z auxixj+ aikrY xk)
(..:kk 1=1 j=1 i=1
j=k
n n
=— (
9 n
Zaikir xk
ack j=1i=1
j=k
ack i=1
o n n n 9 n
U
cxk .1=1 i=1 j=1 0

44
yani,
n n n n n
akixj + Eadj =E akixj +Eaki xi = 2 Eaki x i , akı =aik
j=l i=l j=1 i=1 ı =1
cx Ax)
öx
n
2 Eaiixı
n
2 Ea2i xi
ı =1 .
_2
a11
a21

45
1 -1 112 x i 2X1 — 2X2 + X3
f (Y_) A
-3 x —1 2 —2
+ 4X2 — 4X3
c x
—2 0 x3
— 4X2
olur. Bu, f fonksiyonunun kismi türevlrerin ın vektörüdür.
1 —4 0
olmak üzere bu, f fonksiyonunun ikinci mertebeden kismi türevlerinin
matrisidir.
ÖRNEK 2.1.7.2 Y:t? x 1 bir vektör X:nx p tipinde bir matris ve fipx1
tipinde bir vektör olsun.
f ([3) = — X '612 = (Y — X 13y(Y— X13)
ifadesinin fi ya göre türevi,
f (fi)= (Y — X13)'(Y — X 13)
=(Y — X )(Y — X fi)
o
=Y Y —Y r X fi— X'Y + X'X fi
Y ' X fi ve Q X'Y , 1 x 1 boyutlu olduklar ından,
olmak üzere,
—') 1
c2f(-) = 4 —4
cir2
Y X fi = (Y X fi)' =13 X'Y
ve
f (P) = )7: Y — 2,6: X' Y + fi"X'X
GY6(-3) = "X'Y +2 X'Xfi
dır.
Bu türevi s ıfıra e şitlersek,
X'Xfi= X'Y

46
denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü olan ,8 vektörleri f (f3)
fonksiyonunun ekstremum noktalar ıdır.
02f _
(Q ) ->x ,x
ve x'x matrisi pozitif tan ıml ı olduğundan
X'X;3= X'Y
olacak şekilde fi çözümü için f (f3) - minimum değerini almaktad ır, yani
d ır.
min (Y - X ,g)'(Y - X il) = (Y- X13)'(Y - X :(3)
P - -
Şimdi matris türevleri ile ilgili baz ı sonuçlar ı hatırlatal ım.
a' ah ,
c39
- 'cıa - D
013 eg-
d ır. Burada _qui , matrisi kö şegen bir matris ve kö şegeni aa' matrisinin
köşegeni ile ayn ıd ır. A:n x n matrisinin a, eleman ın ın kofaktörü k, bu
eleman ın bulunduğu sat ır ve sütunun ç ıkarılmas ıyla geriye kalan
(n - i) x (i ı - i) boyutlu ınatrisin determinant ı ile (-I)'+ 1 say ıs ının çarp ımı
olmak üzere,
c''clet(A),
= )nxn
A: ıt x ıt , si ınetrik bir matris ise
i?det(A) _
- [km
At ı: x ıı simetrik ve singüler olmayan bir matris ise,
d ır.
Olog(det(A)) = 2 A _I
0A
DA

2.1.8 FONKS İ YONLAR1N MAKS İMUM ve M İNUMUM
DEĞERLERI
47
n değiskenli reel de ğerli bir fonksiyon,
f :R n --> R
f
olmak üzere, bu fonksiyonun birinci
dereceden
sürekli olduğunda,
Lar
cf
(k2
türevleri
( , x2 , . , x„ ) o cY (xi , x2 , ) = o, cy (xi , x2 , , xn ) = o
6-*.2
denklem sisteminin bir (x:,x;,...,x:) kökü (çözümü) f nin ekstremum
(maksimum, minumum, ...) noktas ıd ır. Ayrıca, ikinci dereceden k ısmi
türevler de sürekli ve (x i* ,x; E R n noktas ında,
* *
c3r (x„x,,...,x
H (
n))
c3ci c3c
Hessian matrisi pozitif tan ıml ı ise (xi*,x;,...,x *,) noktas ında fonksiyon
minimum (lokal minimum) değerine sahiptir. H matrisi negatif tamml ı ise
bu noktada fonksiyon maksimum de ğerine sahiptir.
g: Rn R olmak üzere f fonksiyonunun,
g.(.X1 , x2 , , x„ ) = O
k ı s ıtlamas ı alt ı nda maksimum veya minimum noktalar ı ,

48
f(xl , = g(z i , x2 , , x n )
fonksiyonunun
c .
birinci türevlerini s ıfir yapan noktalard ır.
e fonksiyonuna Lagrange fonksiyonu, ya Lagrange çarpan ı ve yönteme
Lagrange çarpanlar ı yöntemi denir.
K ıs ıtlama say ıs ı birden çok olduğunda; i = 1,2, ... ,k için,
Rn —> R
olmak üzere f fo ınksiyonunun,
g ı (x ı , x2
xn) = O
g2 (x i ,x2 ,...,xn ) = O
gk (r ı xı , xn ) = o
k ıs ıtlamalar ı alt ında maksimum veya minimum noktalar ı,
k
f(x ı , x2, , xn, /1- ı ,A2 -
2-k) = f (x ı , X2,• • •, X n ) —
i=1
fonksiyonunun — —
c3c1 ' c,"k2 '
yapan noktalard ır.
aaa a

4?
2.2 L İNEER DENKLEM SISTEMLERININ ÇÖZÜMÜ ve
MATR İSLER İÇİN GENELLE ŞTİR İLMİŞ İNVERS
KAVRAMI
Ax = g lineer denklem sistemini gözönüne alal ım. Burada A:n xm
bilinen bir matris, g:n x ı
vektördür. A
bilinen bir vektör ve x ER"' bilinmeyen bir
matrisi n x n tipinde ve regüler bir matris oldu ğunda Ax = g
denklem sisteminin bir tek r o = A -1 g çözümü vard ır. A' matrisi nxn
tipindeki regüler matrislerin grubundaki A matrisinin inversidir (grup
i şlemi matris çarp ı m ı) .
Genel olarak bir A: ıı x n ı matrisi R"' den R" ye bir lineer dönü şüm
tan ımladığından, eğer g e vektörü A matrisinin görüntü uzaym ın
(R(A),[A]) eleman ı değilse Ax = g denklem sisteminin çözümü
olmayaeakt ır. Denklem sisteminin çözümünün olmas ı için g ER(A)
olmal ıd ır. Bu durumda denklem sisteminin bir veya daha fazla çözümü
olabilir. g ER(A), yani denklem sisteminin çözümü var oldu ğunda denklem
sistemine tutarl ıd ır denir. Şimdi denklem sisteminin tutarl ılığını ve
çözümlerini ortaya ç ıkaran ve A matrisinin genelle ştirilmi ş inversi denen
bir matrisin tan ı m ını hat ırlatal ım.
TANIM 2.2.1 A: n x n ı matrisi için AA -A = A özelli ğini sağlayan A°:m x
matrisine A n ın genelle ştirilmi ş inversi denir.
Bu tan ıındaki AA - A = A özelli ğine sahip A - matrisine şimdilik
genelle ştirilmi ş invers dedik. Sonraki k ıs ımlarda ba şka inversler
tan ımland ığında A - ye başka bir isim verilecektir.
A: ıı x m ve rank(A)= r olmak üzere, singüler olmayan
P:n x n,(2:mx nı,D:r x r matrisleri vard ır, öyleki
Pile) = [D 1
O O
d ır (K ısım 2.1.2).

50
E , , H uygun boyutlu isteksel matrisler olmak üzere,
AO[ DF I 11)A = A
olduğundan,
= Q
E l'
1. H
matrisi A n ın bir genelle ştirilmi ş inversidir. E , , H matrisleri isteksel
olduklar ından, A matrisinin birden çok genelle ştirilmi ş inversi olabilir. Her
A matrisinin en az bir tane genelle ştirilmi ş inversi vard ır. Q ile P
matrisleri ıı i ıı si ııgüler olmad ığı ve D matrisinin rank ının r olduğu
gözönüne al ı n ırsa E ile matrisinin s ıfır matrisleri olarak al ınmas ı
durumunda H matrisinin seçimine ba ğl ı olarak k nin rank ı
r rank(A min{n,m} olacak şekilde de ği şik rankl ı genelle ştirilmiş
inversleri vard ı r.
TEOREM 2.2.1 Ax = g denklem sistemini göz önüne alal ım.
a) Denklem sisteminin tutarl ı olmas ı için gerek ve yeter şart
AA - g=g
olmas ıdır. (Burada A , A n ın bir genelle ştirilmi ş inversidir.)
b) Denklem sistemi tutarl ı olsun. x o = G g nin bir çözüm olmas ı için
gerek ve yeter şart G matrisinin A n ın bir genelle ştirilmi ş inversi olmas ıdır.
c) Denklem sistemi tutarl ı olsun. z isteksel bir vektör olmak üzere,
x =
g + (I - A)z
denklem sisteminin bir çözümüdür.
ISPAT: a) Ax = g tutarl ı olsun ve x o denklem sisteminin nir çözümü olsun.
O zaman,
A x o = g

AA - A x o = AA - g
51
Ax o = AA - gg-- A Ag
d ır. Tersine, AA g = g olsun. O zaman x 0 = A - g bir çözümdür.
b) Denklem siste ıni tutarl ı ve x o = Gg bir çözüm olsun. A:n x k ve
A =[ai ,a 2 ,...,a k] olmak üzere , i =1,2,..., k için A x = a i tutarl ı ve x 1 = Gai
bir çözümdür. Buna göre,
AGa i , = I,2,...,k
AG[a ,a 2 ,...,a k ]=[ai ,a 2 ,...,q A.]
AGA = A
d ır.
Tersine, denklem sistemi tutarl ı ve G matrisi A nın genelle ştirilmiş
inversi olsun. O zaman,
AGA = A AGA x = A x
AG g = g
x o = Gg bir çözümdür.
C) x = A g + (I - A - A)z nin denklem sistemini sağladığı kolayca
gösterilebilir.
A x = g lineer denklem sistemlerinin çözümünü halleden
genelle ştirilmi ş inversi matris denklemlerinin çözümünde de kullan ışlıdır.
X bilinmeyen bir matris olmak üzere,
A XII = C
matris denkleminin tutarl ı olmas ı için gerek ve yeter şart,
AA CB B = C
olmas ıdır ve bu durumda çözümler,
x = A-cB- + (Z - AZBB - )
dır. Burada Z uygun boyutlu isteksel bir m ıatristir.
Bir A matrisinin A - genelle ştirilmi ş inversi ile ilgili baz ı özellikler
aşağıda özetlen ıni ştir:

matrisleri A
52
1) A regüler ise A = d ır. A:n x k tam sat ır rankl ı (rank(A)= n) ise,
A - = A' (AAT ° olup A - matrisi A nın sağ inversidir, yani AA - = I, dır.
A:n x k tam sütun rankl ı
A n ın sol i ııversidir, yani A - A = Ik d ır.
A idempotent ise A = A d ır.
(rank(A) = k) ise, A - = (A' Ay' A' olup A - matrisi
2) (AT =(A- ) , d ır. E ğer ıl simetrik, yani A'= A ise A - ve (A - )' matrisleri
A n ın birer genelle ştiril ıni ş inversidir ve G = —1 (A - + (A - )') matrisi A nin
2
simetrik bir genelle ştirilmi ş inversidir.
3) AA - A,I - AA - - A -A matrisleri idempotentir ve
d ır.
R(AA - )= I?(A),R(A - A) = R(A'),N (A - A) = N (A)
4) [ A0
B
[A - O
O B -
d ır. C nin sat ır vektörleri A nın sat ır uzay ında
ise, [A
o
d] [A- o] dir
o o o
5) A = A(A' A) - A' A) , A A' (A A') - A d ır. Buna göre (A' A) - A' ile A' (AA') -
n ın birer genellestiribnis inversidir.
İ SPAT:
(A' A)- (A' A)(A' A) - (A' A) , O
[1- (A' A) - (A' A)1 ' [(A' A)- (A' A)(A' Ar (A' A)j= 0
[A - A(A' (A' Al [A- ' A(A' A) -(A' A)1= 0
A- A(A' A) - (A' A)= 0
= A(A' A) (A' A)
Di ğer k ısm ın ispat ı benzer biçimdedir.

6) (A'A); ve (A' A)7 matrisleri A'A n ın iki genelle ştirilmi ş inversi olmak
üzere A(A' A)," A:=A(A' A):, - A' d ır.
İ SPAT:
A = A(A' A); A' A
A = A(A' Ay," A'A
53
taraf tarafa ç ıkar ıp her iki tarafın [A(A'A)7 - A(A'A)71
ile çarp ılmas ıyla,
[A(A' A) -İ A' A - A(A' A) 2- A' A}[A(A' A) -1 A(A' A) 2- 1 =O
[A(A' A); A' - A(A' A) -2 A1A(A' A); A' - A(A' A) -;A'f =0
A(A' Ay,' A' = A(A' A)7A'
elde edilir.
7) AA - ve A -A matrisleri ide ınpotent olduklar ından birer izdü şüm
matrisleridir. A: ıt x n ı , AA - E Ir", A - A Gir"' olmak üzere,
P _
R(AA ),N (AA ) = AA - P R(A - A),N (A _ A)
A A
d ır. Ayr ıca R" = R( A) ei) = N (A)G 7' olmak üzere N

54
X'Xh = X'y
denklem sisteminin bir çözümüdür. rank(X)=-rank(X'X)< p olduğunda
normal denklemlerin birden çok çözümü olmas ına rağmen 5) = X(X'x) - X'y
bir tekdir.
Şekil 2.2.1
10) y E R" , X:nx p olmak üzere X'Xb = X'y normal denklemlerin bir
çözümü 1; olmak üzere xi; lineer bile şiminin (say ı s ının) bir tek olmas ı (i;
çözümüne ba ğl ı olmamas ı) için gerek ve yeter şart
olmas ıd ır.
2:= 2:(X'x)" - X'X
İ SPAT: b =(X'X) - s+[I X'X]:_
A'lı = 2'(X'X) -- X y+ 211 -(X'X) -
olmak üzereXi; n ın binek olmas ı için gerek ve yeter şart,
X'xi= o
olmas ıd ır.
11) px 1 vektörünün x:n x p matrisinin sat ır vektörlerinin gerdi ği uzayda
olmas ı (yani 2 1 = c' X , 3e ER") için gerek ve yeter şart 2' = X'X
olmas ıd ır.
İ SPAT: ). 1 = X(X'X) - X'X 2' c' X , (c = (X'X)" X') yani 2' E S(X) d ır.
Tersine, 3e E R" için ■1:= c' X 2', c' X(X'X) - X'X
(5 den)
d ır.
X'X

55
2.3 B İR OPTİMİZASYON PROBLEM İ ve
MOORE-PENROSE GENELLE ŞTİR İLMiş İNVERS İ
X:n x p ve x matrisi ııi ıı sütun vektörlerinin gerdi ği uzay,
[x].= {z_ E xfi,fi E RP}
olmak üzere, y e R" için Euclide normunda,
n ı y - Xfil = y - X bi
proble ıni ııin çözümü olan fr
vektörleri aras ında minimum normlu fr
vektörünü bulma problemini gözönüne alal ım. Bilindiği gibi
Xfil
nonnunu minimum yapan xfr vektörü y vektörünün [x] üzerine dik
izdü şti ınü olacakt ır. Bu izdü şüm y = Plx]y olmak üzere ; = X/3 e şitligini
sağlayan fr vektörleri aras ında mini ınum normlu olan vektör hangisidir? x
matrisi tam sütun rankl ı , yani rank(X) = p olduğunda y = xfr eşitliğini
sağlayan bir tek fr vektörü vard ır, ancak raıık(X) < p olduğunda y = Xfr
olacak şekilde birden çok fr vektörü söz konusudur. Bunlardan minimum
nonnlus ıt hangisidir? Bu.problemin çözümünü yans ıtan teoreme geçmeden
önce simetrik matrisler için bir teorem ele alal ım.
TEOREM 2.3.1 Her simetrik A E R"'" matrisi için,
/f x] = lim (A 81) -1 A --,- lim A(A 81) -1
8--›() 6-*0
matrisi vard ır. Her z E Ir vektörü için,
vektörü z nin A matrisinin [A] sütun uzay ı üzerine dik izdü şümüdür.
İSPAT• A E R" . " ve simetrik oldu ğundan A n ın 2, ,2 2 ,...,2„ &değerleri
reeldir. 8„ O sabiti
olmak üzere,
16„1 < min{1.1,1:Â, A n ın sıfırdan farkı üzde geri}

56
o

57
z = lim (A+ 81) -1 AA x o
' 6-4.0
= lim P(D + 81)-1 D 2 P' x o ııı
6-
= PDI" xo A .x o = ğ:
P A
,z vektörü z nin [A] üzerine dik izdü şümüdür. Böylece teorem
ispatla ıııııış t ır.
TEOREM 2.3.2 Vx:n x p matrisi için,
a) = (X'X + 82 1 P
) -1 X' = lim X'(XX' + 82
ö->0
matrisi vard ır.
b) Her y E R" vektörü için,
4) -1
fi = X±y
vektörü, - X fil y ı mi ııimu ın yapan /1 vektörleri aras ında minimum
normludur.
İSPAT: X'X ve XX' simetrik matrislerinin singülerlik sorunu yukar ıdaki
teoremdeki gibidir. Ayr ıça,
X'XX'+ 82 X' = X'(XX' +dl n )= (XX' + 82 1 1,)X'
olduğundan teore ındeki li ınitler var olmas ı durumunda birbirine e şittir.
X'x si ınetrik bir ınatris oldugundan,
X'x = PDI"
biçiminde yaz ı labilir. D matrisi X'X in Ozdeğerlerinin kö şegen matrisi ve
özvektörlerin ortogonal matrisidir. x matrisinin tekil de ğer ayrışım ı
(K ı s ım 2.1.2),

58
O .. . O
O ••• O
X =Q () () •••
ğ/lP
o O ••• O
P' - Q
O
131
olmak üzere,
() 0 O
(X'X + 82 .0 -1 x' = P(D+ 62/
p[(1)±82 1 ) -1 J15
o]Q'
oleY
‘ i /41(21+3) 0 0 0
O vi 221(224) • • O O
. .
0 0 \T,Tp ı(21,. .-h)
d ır. i = 1,2,..., p için
= , = O
. m
1
(5-4o 2, ö2 , O
olmak üzere,
l ım
ti-s0
+ 8- 1) .l'=1>
I;In [it 1(21+82 )
,)')()
()
0
Ip:10 P7 1(2. 2 +82 )
•••
0 0 •••
0 0 •••
0
O
Q'
()
0
•••
litnFt-.- 1(2. p +62 ) 0 •••
8 >O
0
d ır.

59
Şimdi b) şıkk ın ın ispat ına geçelim.
R", Euclide uzay ında y- Xfil y ı minimum yapan y = xfi*,(ş* ER")
vektörü y nin [X] üzerine dik izdü şümüdür. {a*: = .9,0 E RP}
kümesindeki vektörler aras ında minimum normlu fi* vektörünü bulal ım. RP
deki her a vektörü,
a =
, E[X1 , ü E[Xl i
biçiminde yaz ılabilir. Xc7 = O ve Xa = Xa d ır. Ayrıca,
+Ili .11g112
d ır. Buna göre, xfi* = y e şitli ğini sağlayan bira' vektörü için,
ve
2 - 2 ■• 2
l ig 2 .= -?" )1.
= xfi* olmak üzere en küçük normlu /3* vektörü [X . ] alt uzaymm
eleman] olmal ıd ır. Bu vektörü Q ile gösterelim. Xfi= j;,'fie[r], yani ;(3° , X
matrisi ııiıı sat ır vektörlerinin gerdi ği uzaydad ır. Di ğer taraftan,
X + y = ( limo(X'X +82 1p )-1 X'y
= lim (X'X + 82 1 „)-1 X' 5)
(5—>0
tim (X'X +821„)-1 xx;6.
(5—>0
ve Teorem 2.3.1 den,
y =1>lx, 1/3
d ır. Ancak [X'] = [ X'x] yani R(X') = R(X'X) olmas ı sebebiyle Q E[rx]
d ır. O zaman,
X + .}' =
d ır. lly - XfiI y ı minimum yapan minimum normlu fi vektörü
fl= X 4'y
d ır. Böylece teorem ispatlanm ışt ır.

60
x4- matrisine, X matrisinin Moore-Penrose genelle ştirilmi ş inversi
denir. Bir limit olarak tan ımlanan x÷ Moore-Penrose genelle ştirilmiş
inversinin a şağıdaki dört özelliği sağlayan matris olduğu ispatlanabilir
(Albert (1972)).
TEOREM 2.3.3 vX:I ı x p matrisi için,
d ır.
X+ =
{1) xx*x = x
x * 2) X * XX * = X *
3) XX * simetrik
4) X * X simetrik
Bu teoremdeki dört özelli ğe Penrose ko şullan denir. Penrose
ko şulları bir X matrisinin x 4 inversinin nas ıl elde edileceğini
göstennemesine ra ğmen, belli bir x* matrisinin X in Moore-Penrose
genelle ştirilmi ş inversi olup olmadığın ı görmek için Penrose ko şullannın
sağlan ıp sağlanmadığına bakmak yetecektir.
Matrislerin genelle ştirilmi ş inverslerinin Penrose tan ımlaması çok
önemlidir. Sonraki k ıs ımlarda görülece ği gibi bu dört ko şulun bir kısmını
veya buna benzer ba şka ko şulları sağlayan genelle ştirilmi ş inversler gerek
teorik aç ıdan sahip olduklar ı ilginç özellikler, gerekse uygulama aç ıs ından
sahip olduklar ı çok geni ş uygulama sahas ı bak ım ından matris analizinde
önemli yer tutmaktad ırlar.
Bir matrisin Moore-Penrose genelle ştirilmi ş inversi ile ilgili baz ı
özellikler aşağıda özetlenmi ştir.
1) Eğer A karesel ve singüler olmayan bir matris ise
d ır.
A + = A

2) A: ıı x nı ve rank(A) = m , yani A n ın sütun vektörleri lineer ba ğıms ız (A
tam sütun rankb) ise,
61
A + = (A' A) ' A'
d ır. A + matrisi A n ın sol inversidir.
3) A: ıı x in ve rank(A)= n, yani A tam sat ır rankl ı ise,
A+ = A'(A' A)
d ır. A + matrisi A n ın sağ inversidir.
4) A:1 x ı tipinde bir matris, yani A = [a],a ER ise,
[O] ,a = O
A + = lim (A' A + 521)-1 A' = [ 1
(5-->0 --1 ,a O
d ır. a ER reel say ı s ı için,
olarak tammlans ın.
{O ,a = O
a + = 1
— ,a O
a
5) A kö şegen matris yani,
A =
d, 0 -• •
0 d, • • • 0
ise,
0 0 ••• d„_

62
A + =.
d ır.
6) A nx ı tipinde bir vektör, yani A = a E R" I ise,

63
14) A: ıı x ın ve I>: ıı x ıı,Q: ın x nı ortogonal matrisler olmak üzere,
d ır.
(PAQ)+ = (Y/1 +1"
15) A:n x ıl, A' = A ve A n ın spektral ayr ışım ı,
A = 1>DIP
olmak üzere,
A+ = 11)+ 1"
d ır.
16) A .[ A " ise A+ =[A'" 0
O A„ J 0 A;',
d ır.
17) (A 13) 4- = A + 13 +
Elemanlar ı l olan nx m tipinde matris,
I 1 1
1 1 ••• 1
1 1 ••• 1
ı
1 ®{1 ı ... ı ] lx ın
olmak üzere,
I rı xl
d ı r.
O
+ ı
ı 1 ..» t] = ıl
[1 1 ı
ix ın
lxn
1
nr
1
n x1
1
- m IMX Il
ıı .

64
18) Itv ] = xx+ , yani xx + matrisi x in sütun vektörlerinin gerdi ği,
[x] c R" alt uzay ı üzerine dik izdü şüm matrisidir (operatörüdür). Ayr ıca,
x = - xx , (R(I — XX -F )= R(X) I = N (XX + )= N (X + ))
Itv 1= X + X
d ır.
= I — X + X , (R(I — X + X) = R(X') 1 = N (X + X) = N (X))
19) (AB) + = (PRG İ , ) 8) 4- (APR(8) ) + = ( A +AB) + (ABB + ) +
20) A:n x m , B:n ı x k , rank(A) = rank(B)= n ı ise,
d ır.
(AB) + = B+ A +
21) y E R" , X:11 x p olmak üzere,
minily- X /I
y- X fl* fl* = X + y + (I — X + X)z , z e RP
dır.
22) min{ : minliy- Xfill= y — X fl }= X + y
fi
23) Az = b denkleminin tutarl ı olmas ı için gerek ve yeter şart,
AA + b = b
olmas ıd ır. Tutarl ı olmas ı durumunda çözümler,
xo = A +b + (I — A + A)z , z E RP isteksel vektör
biçimindedir.

24) Moore-Penrose genelle ştirilmi ş inversini hesaplamak için bir
algorit ına.
A: ıı x m , raıık(A) = r olmak üzere A + y ı bulmak için aşağıdaki
ad ımlar izlenebilir:
a)B. - A' A y ı hesaplay ın ız.
b) = / al ın ı z.
65
C) C k +1 = —ki .1 .tr(CkB)-(' A.B , k= 1,2,...,r -1
d) A + = r (,.A'
Ir(( rI3)
NOT: cr+ili = o ve tr(( rB) o olmas ı c) ad ımında durdurma kural ı olarak
kullan ı l ırsa bu algoritmada A n ın rank ının önceden bilinmesi gerekmez.
(Graybill, 1983)

66
2.4 MATR İSLER İN GENELLE ŞTİR İLMİŞ İNVERSLER İ
Genelle ştirilmi ş invers kavram ı ilk olarak Fredholm tarafından
integral operatörleri ile ilgili olarak 1903 y ı l ında yapt ığı bir çal ışmada ele
al ınm ıştır. Hilbert`in 1904 y ıl ındaki genelle ştirilmi ş Green fonksiyonlar ı ile
ilgili çal ışmas ında mevcut olan diferansiyel operatörlerin genelle ştirilmi ş
inversleri daha sonraki y ıllarda birçok ara şt ırmac ı tarafından incelenmi ştir.
Matrisler için genelle ştirilmi ş invers kavram ı ilk olarak 1920 y ılında
E.H.Moore tarafından ortaya at ılm ışt ır. Operatörler için genelle ştirilmi ş
invers kavram ı Tseng, Murray, von Neumann, Atkinson ve matrisler için
genelle ştirilmi ş inversler Siegel, Bjerhammar, Penrose ve ba şkaları
tarafından 1930-1955 y ılları aras ında geli ştirilmi ştir. 1950 li y ıllarda
doi,rusal proğramlaman ın geli şmesiyle birlikte genelle ştirilmi ş inverslere
ilgi çok artm ış ve çok say ıda yay ın ç ıkmıştır. Uygulamalarda ortaya ç ıkan
problemleri çözmek için de ği şik amaçl ı genelle ştirilmi ş inversler
tan ımlanm ışt ır. Teorik aç ıdan da ilginç özelliklere sahip olan
genelle ştirilmi ş inversler günümüzde matematikçilerin ve di ğer bilim
adamlar ının yoğun olarak üzerinde çal ıştıklar ı bir konudur.
2.4.1 PENROSE DENKLEMLER İ
1955 y ı l ında Penrose vA://x ın matrisi için (reel veya kompleks
elemanl ı) aşağıdaki denklemleri sa ğlayan bir tek G matrisinin var olduğunu
ispatlam ıştır.
1)AGA=A
3) (AG) * = AG
2) GAG = G 4) (GA) * = GA
Burada * i şareti matrisin konjuge (e şlenik) transpozunu göstermektedir.
Reel elemanl ı ınatrisleri göz önüne alaca ğımızı bir kez daha belirtip
Penrose ko şulları diyece ğimiz Penrose denklemlerini bir kez daha yazal ım.
1) AGA = A 3) (AG)' = AG
2) GAG =G 4) (GA)' =GA

Bu dört ko şulu sağlayan G ınatrisi Moore tarafından da incelenmi ş
olup bu matrise Moore-Penrose genelle ştirilmi ş inversi denir ve A + ile
gösterilir. Moore tan ımlamas ı aşağıdaki gibidir.
67
A E Rn "il için,
A A = A)
A + A = it( A±
olacak şekilde A + matrisine A n ın genelleştirilmi ş inversi denir.
A + için Moore tan ımlamas ı ile Penrose tammlamasm ın denk
oldukları gösterilebilir.(Campbell ve Meyer (1979))
A E Rnxm olmak üzere A matrisi R"' den R" ye bir lineer dönü şüm
tammlamaktad ır, yani A E I ,(R m , R n ) d ır. A + E L(R n , ) olmak üzere,
x --> A + (x) =
, x R(A) 1
(A I N (A)
1 )- • x E R(A)
olduğu gösterilebilir. Burada A I N (A)
ı ifadesi A: R m --> Rn lineer
dönüşümünün N(A ) 1 alt uzay ına k ıs ıtlamasid ır.
A A+
Şekil 2.4.1
Penrose ko şullarından sadece birinci ko şulu sağlayan matrisler
K ıs ım 2.2 de ele al ınd ı. Bunlara {1}-ko şullu inversler veya c-inversler
denir. Penrose ko şullar ından örnegin sadece 1) ve 2) ko şulunu sağlayan

68
matrislere { ı ,2}-ko şullu inversler denir. Moore-Penrose genelle ştirilmi ş
inversi ba şka bir ifade ile {1,2,3,4}—ko şullu invers 'dir. Bir A matrisinin {1}-
koşullu inverslerin kümesi A {t}biçiminde gösterilir. Örnegin A n ın
herhangi bir { ı }-ko şullu inversi A (1) ,{1,2,3}-ko şullu inversi A (1 '2 '3)
biçiminde gösterilmektedir. Moore-Penrose genelle ştirilmi ş inversi bir tek
olmak üzere,
A + A (1,2,3.4)
d ır. A + matrisi ayn ı zamanda A
A{1,2,3,4} =
n ın {1}-ko şullu , {2}— kapdı'', k ısacas ı
c c {1,2,3,4} olmak üzere ('-ko şullu inversidir. VA E R n x "I matrisi için A +
matrisinin mevcut olmas ı herhangi bir C-ko şullu inversin de mevcut
olmas ın ı gerektirmektedir, yani VA E I?

2.4.2 {1,2}-KO ŞULLU İNVERSLER
69
xn tipinde reel elemanl ı bir nıatris olmak üzere G,Y E A{1}
GAY E 41,2} dir. Gerçekten,
için
A((;AY)A = AYA = A
d ır. Bunun sonucu olarak,
(GAY)A(GAY)=GAYAGAY =GAGAY =GAY
A" ) AA" ) -=
d ır. A (1-4) , A (13) G A{1} olduğundan A (I.4) AA (1 • 3) E A{1,2} ve di ğer iki
özellige gelince,
AA (1 .4) AA (13) = AA (1 ' 3)
A (I '4) AA (13) A = AA"
matrisleri simetriktir.
Penrose ko şullar ında A
ald ıklar ında ıı ,
d ır.
G E A{1,2} A QG{1,2}
G E A{1} olmak üzere,
G E A{1,2} •• rank(G)= rank(A)
ve G matrisleri simetrik bir şekilde yer
d ır. Bu sonuçlar Bjerl ıammar tarafından ortaya at ılm ışt ır.(Ben Israel ve
Greville, 1974)
G E A{1,2} olmak üzere,
PR(A).,v(G) = AG
d ır.
PR(G),,v,(A)=GA

70
2.4.3 {1,2,3} -KOŞULLU ve {1,2,4}-KO ŞULLU İNVERSLER
A ı? x »ı tipinde reel elemanl ı bir matris olmak üzere,
(A' A) ( ' ) A' E A{1,2,3}
A' (A' A) (1) EA{1,2,4}
d ır. Gerçekten, 1?(A` A)= R(A') olmas ı sebebiyle,
A' = A' All ,311
yaz ılabilir. O zaman,
lel"
AE(A'A) (1) A'iA ---i/A'A[(A'A) (1) A1A= U 'A' A(A' A) (1) A' A= 1J'A' A = A
d ır, yani (A'A) (1) A'E A{1} d ır. (A'A) (1) A' matrisi A n ın {t}-ko şullu inversi
olduğundan,
d ır. Di ğer taraftan,
rankE(A' A) (1) A'1?_rank(A)
olduğundan,
rank(A) = rank(A')..rank[(A' A) (1)
rank (A' A) (1)
rank(A)
d ır, yani (A' A) (I) A' E A{1,2} d ır. Ayr ıca,
A(A' A) (1) A' = 11'A' A(A' A) (1) A' At1 =11'A' MI
olmak üzere AE(A'A) (1) Aj matrisi simetriktir. Buna göre,
(A' A) (1) A' E /1{1,2,3}
r
d ır. Bunun ötesin A(1.23) de, G Ati,2,3/ olmak üzere,
A{1,",3} , {A (1.2 • ) +(/-A (1•• 3) A)ZA (1 • 2 ' 3) :z 1">""}
d ı r. A'(A'A) ( I ) E A{1,2,4} olmas ı benzer şekilde ispatlanabilir ve
d ı r.
A{ İ ;) A} ,{A(1,2,4) + A(1,2,4
) Z(i AA (1 '2 '4) ) Z E Ri"m}

71
2.4.4 {1,3}-KO ŞULLU ve { ı ,4}-KO ŞULLU İNVERSLER
A (1.3) E A{1,3} olmak üzere AA (1 ' ") matrisi
1) AA (13) AA (1 ' 3) = AA (I * 3) A (I ' 3) ün Penrose ko şullar ından 1) i sağladığından)
2) (AA (1
) ,
. 3) = AA (1 . 3) ( A (1 ' 3) ün Pcnrosc ko şullar ından 3) ü sağladığından)
d ır, yani AA (1 ' 3) matrisi idempotent ve simetriktir. O zaman AA (1 ' 3) bir dik
izdüstım matrisidir. A + E A{1,3} olmas ı sebebiyle,
d ır.
AA (1 ' 3) = 1'R( . 1)
X E Rn x P , y E R" olmak üzere
in y — Xfil = y— XX (13) y
d ır. ji= x (I . 3) y vektörü minimizasyon probleminin bir çözümü olmakla
birlikte, çözümler aras ında minimum normlu olmayabilir. = X +y
çözümler aras ında minimum nonnlud ıır. (K ısım 2.3)
A e h 1,?(A) için Az = b denklemi tutarl ı olmak üzere,
VA (14) E A{ ı ,4} için,
,,(1.4) h
çözümü ıni ıı i ınu ın nonnlu çözümdür.
ıl E R n "" için,
Al1,31=fil (13) +(I — A (13) AZ:Z Eldnixn }
d ır.
A{1,4}
= { A (1,4) +---
Y (
_
AA (1 '4) :Y El?'"n}

72
2.4.5 KISITLI GENELLE ŞTİR İLM İŞ İNVERSLER
A E Rn x
, h e R" olmak üzere,
Ax = h
denkleminin tutarl ı olmas ı için h E R" veya,
AA - b = b
olmas ı gerekti ğini, çözümlerin,
(A - e A{1})
x = A - + (I - , z eR m
biçiminde olduğunu ve minimum normlu çözümün de
x* A + h
olduğunu hat ırlatal ım.
Şimdi Ax = h de ııkleminin çözümlerinden R'") alt uzay ı
içinde bulunanlar ı gözönüne alal ım. Bu k ıs ıtl ı denklem,
Ax = b ve x Es
biçiminde yaz ıls ı n. A e 1,(R m , R" ) olmak üzere A lineer dönü şümünün S ye
k ı s ıtlamas ı Aps olsun.
Rm
A
> Rn
A ı ,s lineer dönti şümü,
A/s :s R"
olmak üzere, R m ye
A is (x)= Ax

73
A * • I?'" --> I?"
ıs'
biçiminde geni şletilirse,
x --> A1S .") =
A x
O
x ES
x ES
A 7.,.
= Aps
d ır. Buna göre,
Ax= bve x ES
k ı s ıtl ı denkleminin tutarl ı olmas ı için gerek ve yeter şart,
APs z = h
denkleminin çözümünün var olmas ıd ır. Bu denklemin bir çözümü z o ise
k ı s ıtl ı denklemin çözümü,
d ır.
X()
- IS
?U
APs z = h denkleminin tutarl ı olmas ı için gerek ve yeter şart,
(APs) - E APs{l} için,
(APs )- b b
olmas ıd ır ve çözümler,
z = (APs) - b + (I -(APs) APs)y , y e /e'
d ır. Bu durumda,
Ax= b, xeS
k ıs ıtl ı denkleminin çözümleri,
x = Ps (APs ) b+ Ps (I -(APs ) APs)y , y E len
biçimindedir. Bunu gözönüne alarak,
Ax= h, x eS
k ı s ıtl ı denkleminin çözümünde Ps(APs) - matrisi A - nin yerini almaktad ır
diyebiliriz. Ps (APsy matrisine A n ın S-k ıs ıtl ı {U-ko şullu genelle ştirilmi ş
inversi denir.

74
A E R" > , S c R"' bir altvektör uzay ı ve C c {1,2,3,4} için
(A l's ) (' , A l's matrisinin bir C-ko şullu inversi olmak üzere Ps (APs) c
matrisine A n ın S-k ı s ıtl ı C-ko şullu inversi denir. Örnegin, A n ın S-k ıs ıtl ı
Moore-Penrose genelle ştirilmi ş inversi Ps (APs ) 4- d ır (Ben-Israel ve
Greville,(1974)).
Ax= h, x ES
k ı s ıtl ı denklemi tutarl ı ise,
x = Ps (AN) + h
çözümü minimum nomıludur.
2.4.6 EN-KÜÇÜK KARELER ve
A ĞIRLIKLI GENELLE ŞTİRİLM İŞ İNVERSLER
X E R" x P ,y E R" olmak üzere Euclide normunda,
min
6
problemin çözümü,
y - X fi I = min(y- X/3)'(y- X fi)
fi
y - XX {13} y
y - XX + y
ve
Q=x y
vektörü,
nonnludur
y - X
yi minimum yapan vektörler aras ında minimum

75
wi ı xi ı pozitif tatmini' bir matris olmak üzere, x ER" için,
= (x'wx) ii2
fonksiyonu R" de bir nonr ıdur. Euclide normunda W = t d ır.
X E R" P ,y E R" ,
tan ı n ı l ı matris olmak üzere,
x n pozitif tan ıml ı matris ve U: p x p pozitif
XX j+I. X = X , X 1+1, u XX Iv = .A71,
WXX u simetrik , 11X 1-1- ir X simetrik
olacak şekilde bir tek X /+1 . ii vard ır. Ayr ıca,
ve
minlly — Xfi w =
y — XX, 4-v6„v
W
13= X w+ y
vektörü,
Xfill w yi ıninimum yapan vektörler aras ındailliu normuna göre
minimum nonfiludur.
X w+ / .
matrisi ııe, X matrisinin w ve tt matrisleri ile ag ırl ıkland ınlm ış
Moore-Penrose genelle ştirilmi ş inversi denebilir.
x + = 11 - ıı 2 (w ıı 2 x(J -1/2 ) 4- w 1/2
Il
=ti-I X'wX(x'wx

76
2.4.7 PARÇALANMI Ş MATR İSLER İN GENELLE ŞTİR İLMİŞ
İNVERSLER İ
Bu k ı s ımda parçalanm ış matrislerin genelle ştirilmi ş inversleri ile
ilgili baz ı fonnüller verilecektir. Bu formüllerin aç ıklamalar ı Pringle ve
Rayner (1971) ile Ca ınpbell ve Meyer (1979) 'in kitaplar ında bulunabilir.
I. A:n x k , rank(A)= r matrisi sütun olarak,
A =[11:.V] , 11:n x s , :n x (k - s)
biçiminde iki ınatrise parçalanm ış olsun.
A _ = [11 -
-11 -Ir - (I -1111-1
C- (1 -11(1 - )
, C = (I -1111 - )17
A (1.2)
, [ ıı - utı - -( ı -6co ,2)(1 -mı -)
('o. 2 )(1 - uu - )
c =( ı - uu- )17
A (1.2.3)
..=
[ (/ ,
,(1.2,3) _ u(I.2.3) vc (1,2,3)1
c ( 1,2,3)
c= (1-uu(L 2,3))v
A+ = [11 + -11 +1" (C + + K)]
C + + K
C = - ıııı +w
K = (I - C+ C)[I + (I -C + C)V (1I+ )' 11+V(I -C +C)1-1 V (11 + )' 1I+V (I -VC + )
d ır.
Sat ır olarak ikiye parçalanm ış matrisler için benzer sonuçlar
transpoz alarak elde edilebilir. Bir matrisin sat ır ve sütun olarak ikiye yani
dört blok matrise parçalanmas ı durumunda genel halde invers formülleri
yoktur. Blok matrislerin özel halleri için elde edilen for ınüllerden baz ıları
a şağıdaki gibidir.
[Al A2
2. A =
A3 A4 J
olmak üzere Al regüler ve rank(A)= rank(A 1 ) ise,
A4 = Al Ai-IA2

(A' A)
77
d ır. P =
, Q = A 1-1 A2 için,
olmak üzere,
[A l A2] ,__ ri
A3 A4 P I I
Q]
d ır.
[ Al
A3
A2 ]+ = [ i((/ + P)AI(/ (2(2 ' )) -1 [/
A4 Q'
P]
A İ
A
=[ O
A2
A3
ve R(A 2 )c R(A i ) „s'(A 2 )cs(A 3 ) ise,
d ır.
[Al
= [A l+ -Al A 2 Al
O A —3 () A +
3
A =[11:V1 , U : ıı x s , V : ıı x (k - s) için,
ve
O = U' (I
olmak üzere,
(A' A) - =
[Ilt Il ITV]
A A =
V' U V' V
-Qu 1 V(VW) -
-(1- v) - V'UQ - (V'V) - +(lı'V) -- V' UQ - U'V (VW) --
(A'A ) (1 ' 2) = [ Q ( ı ,2) Q( 1,2 )u , v(vov)-
Arry ruQ(1,2) (v , v) (1,2) + (rvyruQ" ,2)w V (V' ıı )-
dır. Eğer =kW'(1) + rank(I'' V ) = rank(A' A) ise,
(1 •2 =
[
(2( I, 2,3)
-(2(1 '23) 11 1 V(V'V) -.
-(1/ V) - rt1O:1,2,3)
(v v)( 1,2,3) +(rv)-vveil,2,3)1I'V(V'V).-

78
d ı r.
(A A) + =[ Q+
-(1"1') - r11Q+ (1,"1/) ± + (VT) - r

79
PROBLEMLER
2.1 A bir matris olmak üzere
R(A)= R(A A')
ve
S(A)= S(A' A)
olduğunu gösteriniz.
2.2 A =
1 1 1
1 -1
3 -1 5
4 ') 5
matrisi için K ısmı 2.1.1 de geçen 1) , 2) , 5) ve 6) daki sonuçlar ı elde
ediniz.
2.3 A =
matrisinin spektral ayr ışım ın ı elde ediniz.
2.4 a) x i + x2 + x3 = 3 h) x i + x2 + x 3 = 3
+ 2x2 = -2 - x i +2x2 = -2
3x 2 + x 3 = 2 3x 2 + x3 = 1
denklem sistemlerinin çözümlerini ilk önce elemanter sat ır i şlemleri ve
daha sonra genelle ştirilmi ş inversler kullanarak ara şt ır ınız. Birden çok
çözüm varsa minimum nonnlu çözümü buluntu.

80
2.5 A
1 O
O O
matrisinin Moore-Penrose tipi genelle ştirilmi ş inversini Teorem 2.3.2 yi ve
K ısım 2.3 24) de verilen algoritmay ı kullanarak l ıesaplaym ız. A matrisinin
tekil değer ayr ışıııııııı elde edip Moore-Penrose tipi genelle ştirilmi ş
inversine geçi şi kurmaya çal ışın ız.
2.6 K ı s ım 2.2 de A - için verilen özelliklerden 1) , 2) , 3) , 4) ve K ısım
2.3 de A + için verilen özelliklerden 1) , 2) , 3) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) , 12) ,
13) , 14) , 15) , 16) , 17) yi ispatlay ın ız.

81
3.BÖLÜM
NORMAL DA ĞILIMLI RASGELE VEKTÖRLER İN
KARESEL FORMLARININ DA ĞILIMLARI
3.1 NORMAL DA ĞILIM
Bu k ı s ımda ilk olarak bir de ği şkenli normal da ğı l ım ve daha sonra
çok deği şkenli normal da ğı l ım ile ilgili baz ı bilgiler hat ırlat ılacakt ır.
Bir x rasgele de ği şkenin (r.d) olas ı l ık yoğunluk fonksiyonu (o.y.f)
1 X - P
1
) 2
(x) = e 2 Q , - op < x < oo
-15-Jıra
biçiminde olduğunda, X r.d. nine normal da ğı l ıma sahiptir denir ve
X N(p, 02 ) biçiminde gösterilir. ,u (F. R ve cre (o, 00) say ılan, da:gidi=
parametreleri olmak üzere
1 X-P 2
1 )
P:( X) =jx , e2 ( Q dx = p
„ st2 ;Ta
ve
d ır.
d ır.
1 (X P
E( x 2 ) .1- 1 - ) 2
x2
2 a
.„ N/2 ırcr
Var ( X) = G2
,-- e dx = o2 + p2
Normal da ğı l ıma sahip bir X r.d. nin moment ç ıkaran fonksiyonu,
02 t 2
p t +
M x (1) = E(e t x ) = e 2
p= 0 , o = 1 olan N(0,1) dağı t ım ına standart normal da ğıl ım denir.

82
Z - N(0,1) için
x 2
OG.1 = =.e. 2 dx zel?
fonksiyonu standart normal da ğı l ı m ın da ğı l ım fonksiyonu olmak üzere bu
fonksiyonu ıı değerleri standart normal da ğılım tablolar ında mevcuttur.
N(u,0 2 ) normal da'g ı l ı m ın paremetrelerinin en çok olabilirlik tahmin
edicileri„v i , ,..., , N(,u,o2 ) da ğı l ım ından bir örneklem olmak
üzere,
ve
=
-X) 2
QZ = r = 1
ıt
d ır. Bu tahmin ediciler ayn ı zamanda momentler yöntemi ile elde edilen
tahmin edicilerdir. Ayr ıca, ı en küçük kareler tahmin edicisidir.
Yans ız ve tutarl ı bir tahmin edici olan iı tahmin edicisi N(,u,a2/n)
dağı l ıml ıdı r.
ı
FCJ2)= ı -1 02
ıı
olmak üzere 02 tahmin edicisi yans ız değildir. Yans ız olacak şekilde
düzeltilmi ş olan tahmin edici,
= t -62 = = 1
-X) 2
ıı -1 ıı - 1
olsun. â2 nin da ğı l ımı ile ilgili olarak
olduğunu hat ırlatall ın.
2
( ıı -1)&2 i1(X1 --X-)
02 02
4n- ı )

Çok de ği şkenli normal da ğı l ıma geçmeden önce çözümü Graybill
(1983) de bulunan bir integrali hat ırlatahm.
83
a:n
A:n x n simetrik bir matris, B:n x ıı pozitif tan ıml ı bir matris,
x i vektörler, ao ,bo sabit say ılar olmak üzere,
oc
J •-• J(x. Ax +a'x +ao )e
x' bx+h'.3:+bo )dri...dxn
,
ı ,
I „ b' • h-bü [
= - (detB) -"e 4 --
— ır(A/3 1 )- b' a + -h' 1 AB -1 b +2a0 ]
d ır. Özel olarak,
ve
(3:- //)' 8 0:-/1 t ,B-1 1
x x [er -
2
r,u+
J • Je
dx]...dx,=(,5- Jr)"(det(B -1 )) 112 e -- 2
-x -
X QC -
13(x -p)
• • • je 2 dxi. dx, = (-jft .)"(det(13-1
)) 1/2
d ır.
TANIM 3.1.1 B:i ı x il tipinde pozitif tam ınl ı simetrik matris, p:n x 1 tipinde
bir vektör olmak üzere bir Y rasgele vektörün olas ıl ık yoğunluk fonksiyonu
(.Y-N)'«Y-p)
f (Y) (.1.Y2 .1n) - e 2 , - oe < < ce , i = 1, 2,...,n

84
Y rasgele vektörü normal da ğı l ıma sahip olduğunda moment ç ıkaran
fonksiyonu
x
1
( (y-,uy I3(y- g_))
t' __._
2
My(/)= E(eL}:)= i ... 1 ı e dy i ...dyn
- x - V(2 ır)n Niclet ( A -I )
e ır' t
= e 2
d ır.
Y vektörünün i. bile şeninin moment ç ıkaran fonksiyonu
d ır. Burada, Iı„, B- I in
fonksiyondan
I 2
+- but
M)(1;)= e l 2
I
i. kö şegen eleman ıd ır. Bu moment ç ıkaran
N (P ı ,hii) i = 1 ,...,n
olduğu söylenebilir. Buna göre Y vektörü çok de ği şkenli normal da ğılıma
sahip ise Y nin herbir bile şeni bir boyutlu normal dağı l ıma sahiptir, öyleki
E(Yi )= pi ve Var bn
d ır. B-I in kö şegen elemanlar ı Y vektörünün bile şenlerinin varyanslar ı-dır.
Şimdi, herhangi Yi ile Yi nin ortak marjinal da ğı l ım ın ı bulal ım.
M ); .r (ii )= (0,...,0, İi ,0,..., İi 3 O,...,0)
k ıf+2bu t,ti +bil ı
t,p,+1 ip + 2
= e
„ rb„ bu ir
1. 1' 't 1 IN
Et, ,t
= e
2
olmak üzere (Yİ , Yi ) nin ortak da ğı l ımı iki deği şkenli normal da ğıhmdır.
Ayr ıca,
d ı r.
EV')
Var (Yi )= bn
E(Yj)= P j Var (Y j ) = >ii Cov(Yi =

Y vektörüntin yoğunl ıık fonksiyonunda bulunan II vektörü Y nin
bile şenlerinin ortalamalann ın vektörü, B matrisinin tersi ise Y nin
bile şenlerinin varyans-kovaryans matrisidir.
85
B- I = ('ov(Y)
a I 1 (712 cr 1 n

86
Y- N(i ı,) olmak üzere Y nin lineer dönü şümü olan,
II = AY +I)
rasgele vektörü de normal da ğı l ıma sahiptir. Gerçekten,
M„(i_)= k(e")- E(A' 11+?2) )=eLIE(e 1-511 )
olmak üzere ri rasgele vektörü,
da ğı t ımına sahiptir.
N(Ap+
„ l'Az(rAy
Mr(A't).= - 2-
p= O , E= I olmas ı durumunda N(0,/) da ğıt ımına çok deği şkenli
standart normal dap ı l ım denir. Y = N(p,L) olmak üzere, E:// x n varyans-
kovaryans matrisinin E invers matrisi kendi özde ğer ve özvektörlerinin
olu şturduğu matrisler cinsinden,
olarak yaz ı ls ııı ve
= P
O
0
d2
0
O
0
O 0 ••• d„_
olsun.
rdi O ••• o
-1/2 _ o d2 o
0
O O F.T„
P'
dönüşümü sonucu Z rasgele vektörü standart normal da ğı l ıma sahiptir,
yani
d ır.
Z- N(0,I)

3.2 ÇOK DE ĞİŞKENL İ NORMAL DA ĞILIMDA MARJ İNAL ve
KOŞULLU DA ĞILIMLAR
87
ynx ı
N(p,) , rank(S)=- ıı
)2
=
fh
/ 12 E _
611 °-12 "'
o-21 622 • • • 62 n
crn = I Or (1; ) vfj = o-ii = Cov(Vi.Y.İ )
fin _ Crn I Crn 2 "' c5ın _
ep+---rzr
m ) ( ı )= e-- 2
olmak üzere Yi , Y2, , Yk
(k < ıl) r.d. lerin ortak marjinal veya
[Y)
Y2 =
yi
Yk
vektörünün marjinal da ğı t ım ın ı bulmak için Y İ 'in moment ç ıkaran
fonksiyonunu bulal ım.
ı.I l ı Pr 2
I r
> 1",, ••• ,
-
(711
0.21
(712
Cr22
,71k
0.2k
12
Mr 1 ( 1 1, 1, ,••., 1 k) = (11,1, ,0,...,0) = e
Crkl
Crk2
' '
crkk _
tk
olduğundan
Y 1 - N( P2
crl I

88
ÖRNEK 3.2.1
olsun. O zaman,
Yı P ı 10 7 3 2-
Y = Y2 N( P2 8 , E = 3 4 1
Y3 _P3 _ 5 2 1 2
)
Yi - N(10,7)
Y2 N(8,4)
Y3 N(5,2)
ve Yi, Y2 nin ortak marginal da ğı l ımı ,
Yi
[Y2
N([ 10],[7 3])
8 3 4
Yi, Y3 ün ortak marginal da ğı l ım ı ,
Y3
1()][
N( _5 2 1 ])
Y2, Y3 ün ortak marginal da ğıl ım ı ,
d ır.
[Y2] N([8] )
Y3 5 1 21]

89
Y - nıı,Z)
Yl
Y2
olmak üzere a şağıdaki,
Ni
/12
—Yn x 1 ----
Yk
Yk +1
Yk +2
1'1
kxl
Y2 _ (n - k)x 1
Linx 1 =
"1k
Pk +1
ilk +2
k xl
(11 - k) x 1
_11-2 _
Yn
nx 1
Nn x 1
gösterimler alt ında,
)7_ 1 - N(p
1/ 2 N(P2 , Z22)
ve
fr (Y )=
I I
1
1 -( V - P ). S-1 (CV -p )
e 2 1 1
( 47r) k Velet(S İİ )
d ır.
A- 2 (Y2 ) = ( ıf- 2.İr)" - Vdet(122)
1
1 - (v YEZ I (v )
e 2 2 ‘2 •. 2 -2
Y 2 = y 2 verildi ğinde Y 1 in ko şullu dağıl ımının yoğunluk fonksiyonu,
f ( Y1 / Y2 )
f( YrY2) f Q')
fr 2 (y2 ) f)' 2 (Y2 )
olmak üzere,

90
ve
f (Y 1 1 Y 2 )
1
I (y-p)'S (y-p)
- -
e-
(-,F2Jr)",/det(S)
1
,jdet(E22)
-1 - (v y s, (v -u
2 2 2 -2 -2
E
-I
-=
[Ell Z12
Ez ı E2z
- 11.2 - E ı 1' 2E ı 2E 2 1
11 1 .2 '11 12 22.1
E 22.1 1 E21 11 22.1
E 11.2 = E11
12E22E21
E22.1 = E22 s ıı It z ıı
ve ayr ıca,
det( E) = det(i i)det(22 E21E- 1i2)
olduğundan,
det( E22)det(E11 -11 -
)
- - Q
e 2
f(Yil () k .,/det( ı 12)
elde edilir. Burada,
d ır.
Q =[(Y İ - Pd-s ııs 221 (Y 2 - li2)]Eıll.2[(Y1 - Pi) - E12E(Y2 - 112)]
Y2 = y 2 verildi ğinde Y İ in koşullu dağıl ım ına kar şılık gelen rasgele
vektör
,
ile gösterilirse bu rasgele vektör,

asgele de
E(Y — )= P + Ei2E —I (Y — P )
2 - .1 2 I 22 --2 -2
beklenen değeri ve
91
)= sil 2
varyans-kovaryans matrisi ile nonnal da ğı l ıma sahiptir, yani
d ır.
K ııı ,-_- y2
N(P İ +/, ı 2Z221 (Y2 - P2 ),E11.2)
EQ1/} . 2 =y2 ) = + E12;21 ( V_2 P2)
denklemine regresyon denklemi denir. Y 1 vektörü bir bile şenli, yani Yi
ği şkeni oldu ğunda,
k(Yi ır, =y 2 ) = PI+ zuz221(y2 - P2 )
denklemine Y2 vektörü üzerinde Y1 rasgele de ği şkeninin
denklemi denir.
regresyon
ÖRNEK 3.2.2 y = [4 ],..,N([1'1 1 [crı ı 012
Y2 P2 621

92
ÖRNEK 3.2.3
Y
Y2
Y3
N(
Nl
P2 Y- =
/13_
Yl
Y2
Y3
[_YI Y21
olmak üzere,
E( Yı n 2 )= P1 + 12 E
-•
221( Y2 -P2 )
0:22 cf.23 ] [Y2 - P2]
P1 +[a"12 ,(713][
a32 0:33 Y3 - P3
denklemi Y1 in Y2 ile Y3 üzerine regresyon denklemidir.
El 1:2 nin elemanlar ı Y1 in ko şullu dağı l ım ındaki Yile Yi ,
(i, j = 1,2,...,k)lerin kovaryanslar ıd ır. Bu kovaryanslar,
1
cri,j1(k +1,k +2 n) 3=12 k
biçiminde gösterilir.
aii 1(k +1.k +2.....n) j , =
P i ,j1(k +1.k +2 n) -
< "ii 1(k +1,k+2 n)
değerine , Y2 = y2 verildi ğinde Yİ ile Yj aras ındaki k ısmi korelasyon
katsay ısı denir.

93
Y1
Y 1
TANIM 3.2.1 Y -=
Y2
rasgele vektörü,
Y =
-Y 2
ve buna ba ğl ı olarak E
ınatrisi,
_Yn
Y m
E_
Z11
Z21
Z12 • • • ZIm
Z22 "" E2m
ml
Em2 • " Enauı _
biçiminde parçalans ın. Col,(yi , Y j ) , , i,j= 1,2,...,m olmak üzere, Y, ve
Y j vektörleri için cov(y4 , Yj ) = o ise r4 ve Yj vektörlerine ili şkili değildir
denir.
Bu tam ında Y vektörünün da ğı l ım ı ile ilgili herhangibir şey
belirtilmedi ğine dikkat edin. Çok s ık rasgele vektörlerin ba ğımsızl ığı ile
ilgileniriz. Rasgele vektörler ba ğıms ız ise ili şkili değillerdir. Ili şkili
olmayan rasgele vektörlerin ba ğıms ız olduklar ın ı her zaman söyleyemeyiz.
Ancak rasgele vektörlerin ortak da ğı l ım ı normal olduğunda bağımsız
olmalar ı için gerek ve yeter şart ili şkili olmamalarıd ır. Bunu bir teoremle
ifade edeli ın.
TEOREM 3.2.1 Y - (ii, S) ve Y ile S a şağıdaki gibi parçalans ın.
Y =
Y -1
- Y 2
, E=
E11
E21
E12
E22
*•
" •
Elm
E2m
Yın
_Erni
1112
• "
Emin
veldörleri bağıms ız c> = O i,j =1,2,3,...,n , j
d ır.
SONUÇ: Y- N(p,$) , E= ol ise Y1 , Y2 , Y, rasgele de ği şkenleri
ba ğıms ızd ır.

94
ÖRNEK 3.2.4
1 2 0 O-
ıı) Y N( P2 2 5 O O
P3 O O 2 4
L P4 0 0 4 3_
ise YI vektörü ile vektörti ili şkili degildir. Bu iki vektör üstelik
[ ı J 4
bag ıms ızd ır.
b) Y N( 0
-1
,E =
1
2
O
0
2
5
O
0
0
0
2
0
0
O
O
1
ise YI
[ Y2
vektörü, Y3 rasgele degi şkeni ve Y rasgele degi şkeni bag ıms ızd ır.
1 O
c) Y - N o , E = 0 2 -1 ) ise ilik Y2 baguns ızd ır.
1 -1 3
1 0 0
d)y - N( ,E_ O 5 O ) ise Yİ , Y2 , Y3, Y4 bagıms ızdır.
0 O O 2
-1 0 0 0

3.3 Ki-KARE DA ĞILIMI
95
Bir X r.d. nin o.y.f.
1 ya-l e
-x1,8 , x >O
f (x) = F (a)cil
0 , d .y.
biçiminde oldu ğunda, x e Gamma da ğı l ımına sahiptir denir ve X - F(aff)
biçiminde gösterilir. a e (0,x),fl e(0,x) parametrelerine ba ğl ı olarak,
P;(x)= af
l'ar (X) = afi2
d ır.
M v(t)= ( 1- fil)-a
fi= 2 olan r(a,fl=2)dagı l ım ına r = 2a serbestlik dereceli (tam say ı
olmak kayd ıyla ) ki-kare da ğı l ımı denir ve X(r) biçiminde gösterilir.
X - 4. 1 da ğı l ıml ı ise,
d ır.
E(X) =r
r(!: y,r12
`,/
0
Var (X)= 2r
'1
r
/v/x(0= (1-20 2
r I
2 -x/2
x e
, x > O
, d . y.
Ba ğıms ız XI , X2 , ..., X, rasgele de ği şkenleri s ıras ıyla
serbestlik dereceli ki-kare da ğı l ımına sahip ise
Y = X I + X2 +...+Xn
rasgele de ği şkeni serbestlik derecesi r =ri +r2 +...+r, olan ki-kare
dağı l ım ına sahiptir. Gerçekten,

96
M/ (O = MX,(t) M.1 -2 (i) MX,7 (t)
(1-20 r
i /2 0 , ı )- r2 /2 .. (1 _,0—rn /2
ti+r2
= (1 — 21) 2
olduğundan Y - x(ri+ ,.2+...+rn) d ır..
rn
X - , n> m X1 ile X2 ba ğıms ız ve
X = + X2
ise X2 — 4,_ m) d ır. Gerçekten, X2 rasgele de ğ i şkenin moment ç ıkaran
fonksiyonu MA-2 (t) olmak üzere,
mx (t) = (I)m.x -, (t)
0 _ 20-n/2 _20-m ı2mx,(1) den
Mx
z = (1 — 21) 2
X2 — 4n _ m) d ır.
n— ın
yani,
Z - N(0,1) olmak üzere
x = 7. 2
dönüşümü sonucu X r.d. nin da ğı l ımı d ır.(Problem 3.2)
XI , X2 , ., X, rasgele de ği şkenleri ba ğıms ız ve herbiri N(p,o2 )
da ğı l ıml ı yada XI, X2, ., X„ N (p, a2 ) dağıl ım ından örneklem olmak üzere,
( X i -- , 1-1) 2 (Xi - X) 2
i=1 i=1
4n)
a2
-- 4-1)
a2
d ır. (Problem 3.3)
xl , x2 , ... , X„ rasgele de ği şkenleri ba ğıms ız ve herbiri N(0,1)
dağı l ıml ı olduğunda

2
X i 4n)
i = 1
d ır. rasgele def,5i şkenleri ba ğıms ız ve s ıras ıyla nui ,1),
da ğı l ı ml ı olduğunda ınerkezile ştirilmi ş bu rasgele de ği şkenlerin
kareleri toplam ı için,
97
E( x, - -
i =1
d ır. Merkezile ştir ıne yap ılmaks ızın E X2 rasgele de ğişkeninin dağılımı
ı. ı
nedir? Şimdi bu problemi göz önüne alal ım.
X =
Xi
X2
NI
P2
jUn
olmak üzere x 2 =X ' X rasgele deği şkenin dağı l ım ını bulmak istedi ğimizi
bir kez daha vurgulayal ım.
olsun.
A ınatrisi ilk sat ırı ,—,u' vektörü olan bir ortogonal matris (a 1,1
Va -
Y = A X
dönü şümü sonucu Y- N(A,u, I) dağıl ıml ıd ır.
Ap= O
olmak üzere,
0

98
d ır.
y2 ,2
,

99
jjı J .( ıı , )
{fv(v)..fu o ı) , v> 0,1,>()
0 ,d. y.
olmak üzere,
7.= tl +V
W =
11+1'
dönü şümünün {(z,w):2 > o,< w < ı } bölgesi üzerinde ters dönü şümü
U = ZW
1 ' = Z (1 - W)
ve Jakobiyeni,
(.,1u,v)
z
de w
("Xz,w) t 1- w -z
= -z
d ır. Buna göre zile w nun ortak o.y.f.
fz
, w
)
{
fv(z(I- w))• .fu (zw) 1- 21
0
,z > 0,0 < w O
o
0 , d.y .

100
n-I zw
1(e-1/2,
z(I-w)
4 vr- 2ir kz(1 w)) -1/2; 2 a±c) (at(1- w)) 5 (zw) 2 e 2
j=o (2i)!
n-1
ıı - 1
2 )2 2
r(—
zdw
-n12 " _1
e z 2 e-2/2
ğ2n-
Gç dizi In-1
jo_ w)i112 w 2 dw
n _ i j=0( 2 1)!o
r(_)2 2
n
- 1 ıı -1
e -n12 -
z
2 1 e
-z/2 „,, 1-(8+ -w(-) i i
,, ,.> a z
n- ı -"-- ı =0
,[27rF( )2 2
r(i+ !:-.) (2j)!
,
,c
e -n12 a r(1
j= 0 (2j)! ,171.,,n12 F(j+ //)
1
+
n+2j
)
z 2 e -z/2
ve
, .
x e -n12aj ı O+ -;,-) n+2j 1
-= , . z 2 e z/2
j = 0 (2j)! ğ--7-r,, n 12 r f rı j..,
` -> i
1 2j— 1
r(i -4- ) ( )( 2 j- 3 3
-> )... r(- 1 )
2 "' ')
(2j)kUr 2 1 j!1.3.5...(2j- 1)-fşr 2 2f j!
olmas ı sebebiyle

•
•
101
fz (z)= ı =o
e -n İ 2 n+2j 1
(a12)1 1 - 2
n+2j
2
e -z12 , z>0
elde edilir.
0 , d.y .
a
olmak üzere Z = U +V = X X = X` rasgele de ği şkenin o.y.f.
i. ı
n+2j
• e -A kı' 2 e-z/2 >o
n +2 j -
h(r) = j =" j! ıı 4- 2j 2
F( ) 2
, d.y.
olarak yaz ı l ır. Bu olas ı l ık yoğunluk fonksiyonu 2= '12--L` , parametreli
Poisson da ğı l ımındaki olas ıl ıklar ile a ğırl ıkland ınlmış tı +2 j , (j = 0,1,2,...)
serbestlik dereceli ki-kare da ğı l ımiann ın olas ıl ık yoğunluk fonksiyonlann ın
ağırl ıkl ı toplam ıd ır. Böyle bir olas ı l ık yoğunluk fonksiyonuna sahip
dağı l ıma, n serbestlik dereceli 2 parametreli (merkezsel olmama
parametreli) merkezsel olmayan ki-kare da ğıl ımı
denir ve ,y2
( n.A)
biçiminde gösterilir. Özetlersek,
d ır.
, n „
2( - N(11,1„,) X X = X i` - x` ,
ı =i ( n , A ....,_.-) is

102
4n.2)
dağı l ım ına sahip bir x rasgele de ği şkeni için,
20,
M X (O= (1-20-ni2 e 1- 2 /
E(x)= + 2/1
Var(x)= 2(n+4.1)
d ır. (Problem 3.4)
t
1
4 2) merkezsel olmayan ki-kare da ğıl ımı 2=o için al ışılm ış ki-kare
da ğı l ımının kendisidir. Bu da ğı l ıma merkezsel ki-kare da ğılımı da denir.
Merkezsel ki-kare da ğı l ımı yard ımıyla oluştunılan t ve da ğıhmlanna
benzer şekilde merkezsel olmayan ki-kare da ğı l ım ı yard ım ıyla merkezsel
olmayan t ve Edağı l ımlan tan ımlanm ışt ır.
3.4 t-DA ĞILIMI
olmak üzere,
U - N(0,1) , v -- 4r) ve ii ile v bağıms ız iki rasgele de ğişken
X- lt
1,
Yr
rasgele de ğ i şkenin o.y.f.
r +I
r(--- _,
1,)
_ r+I
-) , —w

X -(r) olmak üzere,
103
d ır.
E(X)=0 , (r>1) ve Var(X)=
r
r
_
, (r > 2)
ı(r) olmak üzere i',.
dağ'innda--›z (z - N(0,1)) d ır.
r-->oc
TEOREM 3.4.2 XI, X2,.
üzere,
Xn , N(p,a2 ) dağı l ımından bir örneklem olmak
- p
ı(r)
x)2
( ıl -1)1;
d ır.
İ SPAT: (Okuyucuya b ırak ılm ışt ır.)
TANIM 3.4.1 z - N(0,1) , 11 - 4 ) ve z ile u bağıms ız olsun. Ö, sabit bir
say ı olmak üzere,
Z +
X =
yttlr
rasgele de ği şkenine r serbestlik dereceli,ö merkezsel olmama parametreli
-dağ, ı l ım ına sahiptir denir ve X - t(r, (5)biçiminde gösterilir.
d ı r.
(;%
r rI2 --
ei
C
GC 2 r
2
+ j +1 v. -X jI2
f (x) = )( 2)
— 00 < X

104
3.5 I, -DA ĞILIMI
üzere,
t ı - x2 ri ) '
v - x2 ve U ile V bağıms ız iki rasgele de ği şken olmak
(
r2
X -
1/ İ ri
/ r2
rasgele de ğ i şkenin o.y.f
n
/1+1'2 rı 2 r1+"2
r( , )( ) rı İ
r2 -- ıl 2
-
( x), X 2 (1+-X )
F fri / 2)F(r2 / 2)
r2
, O < x < (x)
d ır. Bu o.y.f. na sahip r.d. lere F-da ğı l ımına sahiptir denir ve X - (r1 ,r2 )
biçiminde gösterilir.
TEOREM 3.5.1
a) x F(,1,/2) ise ıı x-E(r2 ,ri ) d ır.
b) T 1(r) ise T2 - F(1,r) d ır.
c) F(ri ,r2 ) dağ, ı l ım ında, Fa(r1 ,r2 ) noktas ı sol tarafındaki alan a
olacak şekilde bir nokta olmak üzere,
Eu(ri'")=
d ır.
İ SPAT: (Problem 3.6)

105
ıl +2j
2j + +12 ri
PG( )( ) 2
+r2 +2/
r2 x(ri +2 j-2)/2 o 1214 2 , x > O
as,(;,2,, c;i 2 j
ri )
j=0 t2
, x O
d ır. Bu o.y.f. na sahip bir da ğı l ıma 2 merkezsel olmama parametreli, rı ve
•2 sebestlik dereceli F-da ğı l ımı denir ve X F(tl,r2 ,2„) biçiminde gösterilir.
r2(ri + 2/1)
ri(r2 — 2)
l'ar ( X ) = 2(2)2 (ii + 22)2 +(r) +42.)(-2)
rl (r2 - 2)2 (r2 - 4)
(1°2 > 4)
d ır. (Muirhead(1982))
Merkezsel olmayan E-da ğıl ımı ile ilgili tablo değerleri Graybill
(1976) da bulunabilir. Ayr ıca X i,r2 ,2.plmak üzere,
k =
ıj + 22
ri
(r) +2/1) 2
r =
ri +
için X I k rasgele deği şkenin da ğıl ımı yakla şık olarak F(ri,r2) d ır. Bu
sonuçtan faydalanarak merkezsel olmayan E -dağıl ım( ile ilgili tablo
de ğerleri yakla şık olarak al ışılm ış tablolanndan okunabilir.

106
3.6 KARESEL FORMLARIN DA ĞILIMLARI
Bu k ı s ımda normal dağı l ıma sahip rasgele vektörlerin karesel
fonnlarm ın olas ı l ık da ğı l ımlar ı ele al ınacakt ır.
Ynxi - N(0,1) olmas ı durumunda,
y y x(2n
Ynxl-
N(0,02 1) olmas ı durumunda da,
olduğunu biliyoruz.
Şimdi Ynx - N(0,) (rank(E = 11)) olmak üzere,
Q= Y ' S -I Y
karesel formun ım dağı l ım ını bulmaya çal ışal ım. Q nun moment ç ıkaran
fonksiyonu
mo ( ı )= E(et)r E-1 1 )
( ş/Tar)"(det
(i "0-n12 ,
t

Y - N(0,1,) ve A
reel simetrik bir matris olmak üzere
Q = V AY
karesel fonnum ı gözönüne alal ım. Bu karesel formun moment ç ıkaran
fonksiyonu,
r
M Q(I) = Me t — A -)
107
- v'(1-21:0 ,
= J.:°,,• • • rx (sb_ .7r)"
e 2.— -dyidy2—dy,
-[ciet(i -2/A)] I/2 , 1/1

108
Di ğer taraftan Y N(0,I) ve reel si ınetrik A matrisi için rank(A)=r,
A 2 = A, yani A idempotent ise,
ve
olacakt ır.
A/Q (0= ( ı -2I) - r /2
Q= r:Ar 4. ) -
Böylece a şa ğıdaki Teoremi ispatlam ış olduk.
TEOREM 3.6.1 Y - N(0,1 n ) ve An„ reel simetrik rank ı
olmak üzere,
r olan bir matris
d ır.
Y AY - x ) p A 2 = A
(r
TEOREM 3.6.2 Y N(0,E,,") ve rank(E)=n,B„x „ reel simetrik bir matris
olmak üzere,
d ır.
Y 'llr -
(BE) 2 = BE ve rank(B) = r
ISPAT: z varyans kovaryans matrisi pozitif tan ıml ı olduğundan, bir C„,

idempotent olsun.
C- !Be - I C- IBEBC- 1
B = BER
BE = 13E13Z
Böylece teorem ispatlanm ış oldu.
Buraya kadar ortalamas ı s ıfır vektörü olan normal da ğılıma sahip bir
rasgele vektörün karesel fonnunun da ğıl ım ı ele al ınm ış oldu. Şimdi ayn ı
yolu izleyerek, ilk önce
109
Y N(p,I n ) için Y Y ,r 2
(n.2= 1 p' p)
2
N (P,4ı xn) için 2 1
1
2 —
olduğunu lıat ırlat ıp daha sonra Y ' AY biçimindeki karesel formlan ele
alaca ğız.
Y - N(,u,I n ) olmas ı dunımunda Y Y nin dağı l ım ı K ı s ım 3.3 de verildi.
Y N(,u, ıı .n) olmas ı dunımunda Teorem 3.6.2 deki gibi, C'ZC = / ve
("Y - N(("p,I n ) yaz ı l ırsa,
= Y'('("Y = Z Z - ,r2
_
(n.2 = I P S I P)
2-
elde edilir.
Y - N(p,I n ) ve A reel simetrik bir matris olmak üzere Q=1; AY
karesel fonnu için
mo(0 = me'Y A Y) - 1 (y , (/ - 2d)y+2,u y-p p)
wr.-2 ".;)n e 2 - dy 1 ly2.-dy,
I
-1/2 ı
,
ii [
1
(/-2L/1)] p--2 N
= r-n/2 det[-;) (/ -2/41}
2
e4-
{
d ır. (K ıs ım 3.1)
1112 1 p [(I - 2b1) -1 - 11p
= [det(/ - 2/A) .1 e 2

110
Reel simetrik A matrisi için A 2 = A, yani A idempotent ve
rank(A)= r ise,
P'AP =[ Ir
O 0
[(1-21)1, 0 ] = (1-2t)r
det(/ - 21A) = det[r(/ -21A)P] det
/n_r
p[(/-2/A) -1 - / ip = p/I/"(/ -2b1) -I P - IIP'
21
O
1- 2/ Ir
0 0
P' p
2t [ ır ol ,
ı ')/ "Lj o of
t
p A p
1- 2t - -
olduğundan,
Alo) (i_ 20-ri 2 e 1-2, ı N A
olur. Buna göre, A 2 = A, rat ık(A)= r ise,
d ır.
Q=Y AY- x2
(r. .2. ı 2 p , A p)
- -
Tersine, VAY nin böyle bir da ğı l ıma sahip olmas ı için A matrisinin
idempotent ve rank ı n ın r olmas ı gerekti ğini gösterelim.
y'Ati-x (2r.2)
olduğunu varsayal ım.

k = r,2
111
Anx , reel simetrik bir matris ve rank(A)= k olsun. P ortogonal
ınatris için,
21 0 • •• O
ı''AP =
O 22 • • 0
O o 2n
ve 2 1 ,4 , özdeğerleri s ıfırdan farkl ı, diğerleri s ıfır olsun. I/I< h ve h
say ıs ı - 21A matrisi singüler olmayacak şekilde bir say ı olmak üzere,
M
-
.1)* (t) = [det(1- DA)]_ , [(1 2,A)-1
' e2-
Ili
n
v2
=F1 (1-26 )-1/2e2).11-2/2)
J= 1
d ır. Burada vi ler I , = N P vektörünün bile şenleridir. Y' AY nin moment
ç ıkaran fonksiyonu, 2;(„ 2) n ın moment ç ıkaran fonksiyonu olan,
2/.1.
(1_2 I )-H2 e 1-2/ ya ozde ş olmal ı . Buna göre,
olmal ıd ır.
n
1 = A2 =...= = 1 (A idempotent) ve 2= 7 v; 2 I
2 j=i
= p Ali
Böylece, Y - N(p,I n ) için A reel simetrik bir matris olmak üzere,
Y AY - x2
, A 2 A ve rank(A)-=- r
p
2- -
olduğunu göstermi ş olduk.

112
Y
N(//,, xn ) durumu için Teorem 3.6.2 deki gibi regüler C matrisi
için ("w = /, Z = ("Y N((", ıi, /) olsun. O zaman
Y AY = Z1C -1 - x 2 İ
(r,A= . CAC' C -1 -1 C",u)
2
olmas ı için gerek ve yeter şart C-1Ac- 1 matrisinin idempotent ve
rank(C-1 A (" -1 ) = Rank (A) = r olmas ıdır.
C-I A (— I matrisinin idempotent olmas ı,
(C-1 A(-1 )(C-1A(" -1)=C- IAC- 1
soldan C sa ğdan C i ile çarpmakla,
ASA AS
yada soldan C sağdan C' ile çarpmakla,
AZA = A
olmas ı demektir.
Özet olarak a şa ğıdaki teorem ifade edilir.
TEOREM 3.6.3 Y - N(p,S) , rank(E) = n ve A
olmak üzere,
reel simetrik bir matris
d ır.
Y AY - X2 i , AS idempotent ve rank(A) = r
(r.2-= p ılit)
2-
Bu k ı sm ında elde edilen di ğer teoremler bu teoremin birer özel
halidir. Bu sebeple bu teoremi ak ılda tutmak yeterlidir.

3.7 KARESEL FORMLARIN BEKLENEN DE ĞERI VE
VARYANSI
113
TEOREM 3.7.1 X ii x ı boyutlu bir rasgele vektör olmak üzere,
d ır.
E(X A X) -= IrEACov(X)1+ E(X)' AE(X)
İSPAT:
E(X A X) = E(Ea, J X,X
ij
=E af (X X j)=a,j[Cov(X i X j )+ E(Xi )E(X j )1
--- aii.Cov(X ; X I) +aii:E(X, i )E(X j )
= (r(A('ov(X))+ E(X)' AE (X)
SONUC 3.7.1 Cor(X)= a21 ve E(X) = 0 ise
E(X t A X) = o211-(A)
d ır.
TEOREM 3.7.2 X nxi - N (ii,E) olmak üzere
a)b{(X ? A X)(X ' B X)]= ır(AZ)tr(13:E)+21r(ABE)+ Apir(BE)
+p litr(AE)+ 1.111. ASB,u+(i; A ,u) .(1. Bp)
b) Cov(X ' A X , B X) = 21r(AEBS) + 4,1; AEI 3 ,u
d ır.
C) Var (X ' A X)= 214(AS) 2 1+4"; AEAp
İSPAT: (Graybil 1983, Teorem 10.9.11)

114
3.8 NORMAL DA ĞILIMLI RASGELE VEKTÖRLER İN L İNEER
ve KARESEL FORMLARININ BA ĞIMSIZLI ĞI.
COCHRAN TEOREM İ
Bu bölümde ispats ız olarak, bir lineer form ile bir karesel formun
ba ğı ms ızl ığı ve iki karesel fonnun ba ğıms ızl ığı ile ilgili teoremler verilip
Cochran teoremi üzerinde durulacakt ır.
TEOREM 3.8.1 Y
d ır.
N(p,Snxn, ),raiik=11 M olmak üzere,
AY ile Y ' BY ba ğunisc AZI3 =O
TEOREM 3.8.2 Y - N(1 1,E•nxn) ,rank(S)= ii olmak üzere,
d ır.
Y ' BY ile Y CY ba ğıms ız.

115
Coehran Teoremi karesel formlann parçalanmas ında çok kul-
lan ışl ı bir teoremdir. Bu teoremdeki Eni = n olmas ı şartı,
i= ı
Ai Ai =O , j , i,j= 1,2,..., ıı ya da = 4 , i= 1,2,..., ıı olması
şartlanna denktir. Yani bu üç şart birbirine denktir.
3.9 KARESEL FORMLARIN DA ĞILIMLARI İLE ILGILI BAZI
ÖRNEKLER
ÖRNEK 3.9.1 Yn xi
- N (O , a2 I ) olsun. Y vektörünün Y„
bile şenlerine N (O , cı2 ) dağı l ımından al ınm ış n birimlik bir örneklem olarak
bakabiliriz.
1 1 ••• 1
1 1 ••• 1
, rank(J n ) = n
ve
1 1 --• 1
nxn
olmak üzere,
A = —.In =
rl
lln 11 n ••• lIn
11 n lin ••• 11 n
lln 11
l ı n
2
Q = Y (— A)Y = n— Y
Q2 - Q2
karesel formunu göz önüne alal ım. rank(A) = 1 ve
-„ 2
ıı r 2
o-
2 X( 1)
d ır. Ayr ıca A matrisi simetrik ve idempotent oldu ğundan bir dik izdüşüm
matrisidir. Gerçekte,

116
1
1
,ln= i[l,l,...,1 ]
1 _n xl
A = ln .1n+
olmak üzere, A matrisi R" deki vektörleri 1„ vektörünün gerdi ği [ ın ]
altuzay ı üzerine dik izdü şümü,
f' = A Y =
l ı n
lln
l ı n
lln
•••
--•
lln
lln
Y2
Y
=Y1,,
_Iln
lln
•••
lin
Yn
Y
11)112 =- -= Y' AY =
ve Y ile Y- }-; vektörleri birbirine dik oldu ğundan,
111711 2 =
2
d ır.
2 2
+(Yi -Y)
i=1 1 i=1
Şekil 3.1

11Y11 2
Y 2 = Y ' Y de bir karesel fonndur. Bu karesel formun matrisi,
=1 g
I birim matrisidir. Bu karesel form ile
olduğunu biliyoruz.
,
Y ( 1)Y - x 2
(n)
2
117
=1
— r)2 de Y nin bir karesel formudur. Bu karesel formun matrisi,
B= In -- .In
Il
olmak üzere, bu matris simetrik, idempotent ve E ın 11 altuzay ı üzerine dik
izdü şüm matrisidir.
)41 Y = r (1---.1„)Y, - j; )2
Il 1=1
B matrisi ile Y nin varyans kovaryans matrisi olan 02/ matrisinin çarp ımı
olan matrisi idempotent yapmak için B yerine
B yaz ılmas ıyla,
(
ı
n)r - x2
(J2
(r)
yaz ıl ır. Buradaki r serbestlik derecesi B matrisinin rank ı olmak üzere ayn ı
zamanda B matrisinin sütun vektörlerinin gerdi ği [In i1 alt uzayının
boyutudur.
ve buna göre,
matrisi idempotent oldu ğundan,
rank(B)=tr(B). tr(4)-- 1
tt
tr(.1,)= n--
1 n = n-1
d ır.
'
y —(1 --, ı "
)Y — 11
n _
E( 7ı —17 )2
02 02
X ı
(n-1)

118
Ayr ıca,
AB =- 1 .1„(1„--
1 .1n )= O
rr
ıı
olduğunda Y AY = ıı Ȳ 2 ile Y BY =Y) 2
i=1
karesel formlar ı bag ıms ızdır.
ÖRNEK 3.9.2 Y nxi - N(p,021) ve iı Nin olsun. K. vektörünün
bile şenlerine N(11,02 ) da ğı l ımından al ınm ış n birimlik örneklem olarak
bakabiliriz. Önceki örnekteki karesel fonnlar için,
-2 „
' n r 2
Y ( A)Y = x
2
02 02 (1,2= )
2 cr2
d ır. Ayr ıca,
ı
Y (—I)Y = = I - x 2
o2 - 02 (n
n
2 o2
n _
-Y) 2
Y , (- 1 , 8)Y = X 2
0.2 (n - 1.'1=0)
-P) 2
r =1 2
02 ~ X (n)
d ı r.
P) 2 y2
o- 2 '‘'(1)
ÖRNEK 3.9.3 Y N(0,0 21)olstın. Xnxp ,raıık(X)= p olmak üzere,
r Y
, =
r X(X'X) -I X'Y Y (1- X(X'X) - X')Y
Q2 =
o2
o2

karesel fondan]] da ğı l ımlan,
ı
Q = Y ( Iri X 2
o-- (n)
X(X'X) -I X' idempotent, rank(X(X'X) -1 X')= tr(X'X(X'X) -1 ) , ır(1 p )= p
olduğundan
Q, = [--2-
o-
1 x(xx) -- ' x']Y
X(P)
ve / - x( =T' idempotent, rank(1 - X(X'X)-I X')=n - p olduğundan
Q2 =r1--1-,(1 x(x'x) -1
119
d ır. Ayr ıca,
x(rx) -1 A-(1- x(rx) -'x'). o
olduğundan QI ile Q2 karesel forrnlan ba ğıms ızd ır.
d ır.
Qı il - P p.
Q2 p (P.n- P)
x( x x' matrisi X = k i , X 2, Xpi matrisinin sütun vektörleinin
gerdi ği [x], span{x,,x 2 ,...,x p }
uzay ı üzerine dik izdü şüm dönüşümüne
karşı l ık gelen ınatristir. Y vektörünün [x] üzerine dik izdü şümü
X(X'X) -1 X'Y ile gösterilirse,
1112 11 )112 + y 2
d ır.
r'r= rx(x'xy° x'r+yl ı - x(rx) --'xlY
PROBLEMLER
3.1 N(,i 3 O-2 ) normal da ğı l ımın parametrelerinin en çok olabilirlik tahmin
edicilerini bulunuz ve bu tahmin edicilerin yans ızl ık, tutarl ıl ık, yeterlilik
özelliklerini ara şt ınn ız.

120
3.2 Z - N(0,1) olsun. X = Z 2 r.d. nin da ğılım ım bulunuz.
3.3 x 1 ,X 2 ,...,X n , N (p,o2 ) dağı l ım ından örneklem olmak üzere,
n
X,
X = 1 = 1 N(p,o2 1 n)
ır
n
- X) 2
i=1
cr2
olduğunu ispatlay ınız.
4-p
Yard ımc ı Bilgi:
1 1 1 1
NT/ ;
0 o
A= 1 0
3.3 F2 şr5:3
-(ir -1)
_V( ıt -1) ıı V( ıı -1) ıı Vıı( ıı -1) NI( ıı -1) ıı
için
Ilo
UI
X2

121
11 - N(
ııp
0
, 02 1)
0
olduğunu gösteriniz A'A = I olmak üzere
X 2 = X X=X A'AX=Il
ı
d ır. Buna göre,
ıı — X 2 + E U2
i =1
ile
=
Nı IT
2
( - X )2 = X,
E - -2 X =
1 2
ı = ı i=1 ı =1
rasgele de ği şkenleri bağl ıns ızd ır ve ayr ıca
n-1
d ır.
i =1
cf2 (n - I)
3.4 X - xn olsun. Mx (o, E(x) ve var (X) i bulunuz.
3.5 xı - 21 , X2 - 4n2 .22 ) ve XI de X2 bağıms ız ise
+ X2 - „

122
4.13ÖLÜM
L İNEER MODEL
Bu bölümde Lineer Model için sonuç ç ıkarma i şlemlerini
inceleyece ğiz. Bu; nokta tahmin, aral ık tahmin ve hata terimi normal
dağı l ıma sahip olduğunda hipotez testini içermektedir, Hata terimi normal
da ğı l ıma sahip de ğilse sadece nokta tahmini dü şüneceğiz.
Y
gözlemlerin » x t mertebeli vektörü (rasgele vektör),
X:n x p(n < p) mertebeli bilinen say ıların matrisi, fipx1 mertebeli
bilinmeyen parametrelerin vektörü, e. ıı x 1, rasgele de ği şkenlerin
gözlenebilir olmayan bir vektörü (E(e)=0,Cov(e):. E) olmak üzere bunlar
aras ında,
Y= Xfl+E
biçiminde varsay ılan ba ğınt ıya lineer model denir.
Bu model pekçok özel hallere sahiptir. Bunlar, e nun da ğı l ımına,
kovaryans matrisine, x in yap ı s ına ve rank ına bağl ıdır.
Aksi belirtilmedikçe, rank(X) = p olduğunu kabul edeceğiz, yani
modelimizdeki X matrisi tam sütun rankl ı olacakt ır. e nun dağıl ımı
hakk ında a şağıdaki üç durumu göz önüne alaca ğı z:
1 .Durum - N (O, a 21)
2.Durum: e bilinmeyen bir dağı l ıma sahiptir ve E(e)=0,Cov(e)= 021
d ır. Bu durumu e - (o, 02/) biçiminde gösterece ğiz.
3. Durum: Cor(e) = G 21' , v bilinen pozitif tan ıml ı bir matris.
Birinci durumda herbir e, , o ortalamal ı bilinmeyen G2 varyansl ı
normal da ğı l ıma sahiptir ve Ej , İ = ler bağıms ızd ır. İkinci durumda,
herbir e, nin beklenen de ğeri s ıfır, e, ler ili şkisiz (uncorrelated) ve ei ler
bilinmeyen ortak 02 varyans ına sahiptirler.

123
Birinci ve ikinci durumdaki varsayımlar altındaki modellere Gauss-Markov
modelleri denir. İkinci durumdaki modellere bazen en küçük kareler
modelleri denir. Hata terimi normal dağılımlı olduğunda modellere hipotez
modelleri denir.
4.1 BAZI LİNEER MODEL ÖRNEKLERİ
Y = Xβ
+ ε lineer modelinde X β ya modelin deterministik kısmı, Y ve
ε na da modelin stokastik kısmı denir. Y vektörü, bağımlı değişken, tepki
değişkeni, açıklanan değişken denen bir rasgele değişken ile ilgili
gözlemlerin vektörüdür. X matrisine tasarım matrisi, açıklayıcı
değişkenlerin gözlem matrisi, bağımlı değişkenlerin gözlem matrisi gibi
isimler verilmektedir. ε vektörüne hata vektörü denmektedir.
Gerçek dünyadaki olayların lineer model olarak modellenmesi
sırasında Y, X,β ve ε çok değişik şekilde anlamlandırılmaktadır. Bazı
modellerde Y üretim miktarı, bazılarında boy uzunluğu, bazılarında bir
ekonomi değişkeni,...ile ilgili gözlem vektörüdür.
4.1.1 BİR AÇIKLAYICI DEĞİŞKENLİ LİNEER MODELLER
Doğrusal hareket eden, β 0 hızı ile hareketine başlayan ve ivmesi β
olan bir cismin zamana (t ye) bağlı olarak hızı V,
Vt () = β0
+ βt
förmülü ile verilir. Böyle bir hareket yapan bir cismin başlangıç hızını ve
ivmesini "belirlemek" istediğimizi ve daha sonra belli bir zamanda hızını
bilmek istediğimizi düşünelim. Bizim seçtiğimiz belli t 1 , t 2 ,..., t n
zamanlarında hareketi bozan bazı sebeplerden (rüzgâr, yol durumu, …)
dolayı, V 1
, V 2
,..., V
n
gözlemleri için
Vi = β0 + β1 ti + εi
, i = 1,2,..., n
gibi bir model düşünmemiz (anlatım yapmamız) uygun görünmektedir.

124
⎡V1⎤ ⎡1
t1⎤ ⎡ε1⎤
⎢
V
⎥ ⎢
2
1 t
⎥
2
β
⎢
0
ε
⎥
⎡ ⎤
2
Y = ⎢ ⎥ , X = ⎢ ⎥ , β = , ε = ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
β
⎥
⎣ 1 ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣Vn⎦ ⎣1
tn⎦ ⎣ε
n⎦
gösterimleri altında yukarıda söylenenler,
Y = Xβ
+ ε
lineer modeli olarak ifade edilmektedir. Bu modelde Y gözlem
vektöründeki gözlemleri veren açıklayıcı (bağımlı) değişkeni Y harfi, X
matrisinin ikinci sütunundaki gözlemler ( bunların hatasız olarak
gözlendiğini kabul ettik) ile ilgili bağımsız değişkeni x harfi ve hatayı da
ε harfi ile gösterirsek aralarındaki bağıntı,
Y = β0+ β1
x+
ε
biçimindedir.
Genel olarak bir açıklayıcı değişkenli bir lineer model
Y = g( x) + ε
biçimindedir. Buradaki g( x) ifadesi parametrelere göre lineer bir ifadedir.
Örneğin,
g( x) = β x
gx ( ) = β0+
β1
x
gx ( ) = β0+ β1x+
β2x
2
gx ( )= β0+ β1x+
β2
e x
gibi olabilir. g( x) ifadesi parametrelere göre lineer olmadığında lineer
olmayan bir model söz konusudur.
İkinci bir örnek olarak, belli bir tür elmadaki meyve suyu miktarını
elmanın ağırlığına bağlı olarak incelemeyi düşünelim. Gerçekte bir
elmadaki meyve suyu miktarı sadece elmanın ağırlığına bağlı değildir, ama
ağırlık ile meyve suyu arasında bir fonksiyonel bağıntının (bilinmeyen
parametrelere göre lineer bir ifade olabilir) varlığını kabul edip
gözlemlerin bunu doğrulayıp doğrulamadığını, gözlemlerden çıkıp bir
bağıntının bulunmasını ve bunların neticesinde ağırlığa bağlı olarak meyve
suyu miktarını "belirlemeyi" (tahmin etmeyi) düşünebiliriz. Bu örnekteki
açıklayıcı değişken olan elmanın ağırlığı ile açıklanan (bağımlı) değişken

125
olan elmadaki meyve suyu miktar ı birer rasgele de ğişkendir. Ağırl ığı X,
meyve suyu miktar ını Y ile gösterirsek x ile Y nin bir ortak da ğılım ı
sözkonusu olacakt ı r.
E(Y 1 X = x)= g(x)
ifadesine Y nin X üzerindeki regresyon denklemi dendi ğini ve X ile Ynin
ortak da ğı l ımı normal olduğunda,
E(Y I X = x) = + f3 ix
biçiminde olduğunu hat ırlatal ım. (x, Y) nin dağıl ım ından n birimlik
örneklem, ( ),( x2 , Y2 ),...,( xn , Yn )olmak üzere,
veya
Y, = A) +/31X, + , i = , e, — N(0, G2 ) , ler bağıms ız
gösterimi alt ında,
Yı
Y= Y2 , X =
Yn 1 1 X„
1 XI -
ı x2 rfiol
Qı -
Y = X fl+ , e— N(0,a 2 1)
modeline basit lineer regresyon modeli denir.
e 1
E2
en-
Lineer regresyon modelleri de Lineer Modeller çerçevesinde
dü şünülebilir. x ile Y rasgele deği şker ıleri aras ında bir ortak da ğıl ım
dü şünmeden sadece Y bağıml ı deği şken ile ilgili gözlemlere dayal ı olarak,
Y, = A ) + 131 X + , i =1,2,...,11
biçiminde bir ifade sözkonusu oldu ğunda modele basit lineer model denir.
Elman ın ağırl ığı X , ile elmadaki meyve suyu miktar ı Y nin ortak
dağı l ım ı normal olmayabilir. Amac ımız X in gözlenen de ğerine bağl ı
olarak Y nin gözlenen de ğerini öngönnek oldu ğtında,
Y, = A ) +fil X, + , = 1, 2,...,n
biçiminde bir lineer model sözkonusudur. Bu durumda e hata terimi,
birinci Ornekteki yol uzunlu ğunun ölçülmesi s ıras ındaki hataya benzer bir
hatay ı içermekle birlikte, X in belli bir değeri için Y deki rasgeleli ği ve
ayr ıca model belirlemesindeki l ıatay ı da içermektedir.

126
4.1.2 BİRDEN ÇOK AÇIKLA YICI DE ĞLYKENL İ L İNEER
MODELLER
Bir lineer ınodelde aç ıklay ıcı deği şken say ı s ı birden çok olduğunda
bu modele çokl ıı lineer model (multiple linear model) denir. Bir modelde
ba ğıml ı deği şken birden çok oldu ğunda modele çok de ği şkenli model
(multivariate model) denir. Çok de ği şkenli modeller burada ele
al ınmayacakt ı r.
Bir malzemenin imalat ında s ıcakl ık (x1 ) ile bas ınc ın (x2 ) sertlik (Y)
üzerindeki etkisini incelemeyi dü şünelim, imalat s ıras ında s ıcakl ık (°C) ve
bas ınç (kg I c ın2 ),
D = t(xj , x2 ):500 S x ı S 1500,1000 S x2 5_ 2000}
bölgesinde de ğerler almak üzere, sertlik üzerinde etkisi,
Y(xl , X2) = /30 +fliXi +fl2X2 +/33X1X2 + e , E(E) = O
gibi bir n ıodel ile anlat ı l ın ış (modellenmi ş) olsun. A katsay ıs ı sıcakl ığın
sertlik üzerinde etkisini, /32 katsay ıs ı bas ınc ın ve /33 katsay ıs ı da ikisinin
ortak etkisini anlatmaktad ır. Bu etkileri veya k ısaca model parametrelerini
tahmin etmek için, (x li ,X2i ) E D , İ = 1,2,...,n s ıcakl ık ve bas ınç değerlerinde
imal edilen parçalar ın Y; , i = 1,2, ..,n sertlikleri ölçülüp, gözlemler,
Y =
Yı
_Yn _
Y2
, X =
1
1
1
x _
3C _21
xni
X12
X22
•
xn 2
XII.X12
X21 . X22
Xii Xn 2
olsun. fl katsay ılar vektörü olmak üzere, söylenilenler
Y = X13
lineer modeli ile ifade edilir.

S ıcakl ık ile bas ınc ın, sertlik üzerindeki etkisinin fonksiyon
biçiminde bir bag ınt ı ile ifade edilip edilemiyecegi, bu bag ınt ının biçiminin
ne olacag ı veya s ıcakl ık ile bas ınç de ği şkenlerinin sertliği ne derece
etkileyip etkilemedi ği gibi sorunlar ilk olarak metalurji biliminin
sorunlar ıdır. Metalurji biliminin kanunlarma göre s ıcakl ık ile bas ınc ın
sertlik üzerindeki etkisi tam olarak belirlenmi ş olabilir, ba ğıntı biçimsel
olarak belirlenmi ş ancak içinde bilinmeyen katsay ılar vard ır veya
aralar ında bir ba ğınt ı var a ına ne olduğu belirlenmemi ş olabilir. İlk
durumda istatistikçinin yapaca ğı fazla bir şey kalmam ışt ır. Belki belirlenmi ş
olan modelin geçerliliginin s ınanmas ında yard ımc ı olabilir. İkinci ve
üçüncü durumlarda istatistikçiye önemli görevler dü şmektedir. Amaç
belirlendikten sonra (Örnegin bu amaç hangi s ıcakl ık ve bas ınçta
malzemenin sertli ği maksimum olmaktad ır olabilir) gözlemlerin al ınacağı
en iyi deney tasar ımının ve ard ından istatistiksel sonuç ç ıkarı= yap ılmas ı
istatistik biliminin somnudur.
İkinci bir örnek olarak belli bir m ısır türünün verimini incelemeyi
düşünelim. Verim, toprak ve hava ile ilgili birçok tabiat şart ı yan ında
sulama, gübreleme, topra ğı i şleme gibi baz ı etkenlere bağl ıd ır. Modelleme
s ıras ında, çok karma şık olan gerçek dünyadaki ili şkilerden baz ılarm ı ihmal
ederek, verim (Y) için toplam yağış miktar ı (Xi ,kg dm2), s ıcakl ık
ortalamas ı (bitkinin yeti şmesi boyunca hergün bir defa ölçüleri s ıcakl ıkların
ortalamas ı , X2 ,Y ), gübre miktar ı (X 3 ,kg I m 2 ), bir metrekaredeki bitki
say ıs ına (X4 ) bağl ı olarak,
Y = flo + AX 1 + fi2X 2 133X 3 + fl4 X 4 +
gibi bir modelin geçerli oldu ğunu varsayal ım. Gerek modelin geçerlili ğinin
s ınanmas ı, gerekse geçerli olacak bir modelde aç ıklay ıc ı deği şkenlerin
etkilerinin, yani para ınetrelerin tahmin edilmesi amac ıyla yap ılacak
araşt ırmada veri toplama savl ıas ı uygulamada pek kolay olmayacakt ır.
Modeldeki ya ğış miktar ı ve s ıcakl ık ortalamas ı ile ilgili aç ıklayıc ı
degi şkenler birer rasgele de ği şkendir, gübre miktar ı ile ilgili aç ıklay ıc ı
deği şken bir deterministik de ği şken olarak görülebilir. Aç ıklayıc ı
deği şkenlerin birer rasgele de ği şken olup olmamas ına bakmaks ızın,
127

128
bundan sonra aç ıklay ıc ı deği şkenler ile ilgili X matrisini, gözlem
değerlerinin bir ınatrisi, yani sabitlerin bir matrisi olarak dü şünece ğiz. Bu
örnek için,
d ır.
X
1 zil x12 x13 xi4
1 x21 x22 x23 x24
. .
•
1 Xnl Xn 2 Xn3 xn4
Genel olarak,
gibi bir lineer modelde,
Y = Xfl+e
Y
Yl - x11 x12 • • • xlp A e ı
Y2
x21 x22 "" x2p
, X =
fi= fi2 e2
, e =
•
_Yt, Xn i xn 2 • • - xnp p _en _
olmak üzere, X matrisinin sütun vektörlerini,
X =
xU
X2 j
Xnj
gibi büyük harflerle, sat ır vektörlerini ise
r
gibi küçük harflerle gösterece ğiz. Baz ı durumlarda
vektörlerini veya x i , x 2 , , xn vektörlerini birer rasgele vektör olarak

görmek isteyece ğiz. Böyle durumlarda rasgele de ği şkenlerin al ışılm ış
büyük l ıarfler ile gösterimi için s ık ınt ılar ortaya ç ıkacağın ı belirtelim.
Genel olarak çoklu lineer modeller
olmak üzere,
Y :n x 1 , X :n x p , p x 1 , e:n x 1 , E(6) = O , Cov(s) = Q2 1
Y= X13 . + E
biçiminde gösterilir.
Y = 11 1 > o} dır. X
matrisinin sütun vektörlerinin gerdi ği [X] alt vektör uzay ına tahmin uzay ı

130
(estimation space) denir. [x] tahmin uzay ı ile model katsay ılannm
oluşturduğu /3 parametre vektörünün bulundu ğu RP parametre uzay ı
aras ında, muk(x) = p olduğunda bire-bir bir geçi ş vard ır.
x:RP -4[x]c R"
Xfl
ve tersine ,u = xpc[x] vektörünün ters görüntüsü,
f3=(X'X) -1 Xip
d ı r. rank(X)< p olduğunda, p E[X] parametre vektörüne, RP parametre
uzay ında birden çok fi değeri kar şı l ık gelecektir. Bu durum fi n ın tahmin
edilmesinde sorunlar yaratacakt ır. Bu konu K ıs ım 4.2.5 de ele al ınacakt ır.
4.1.3 TASARIM MODELLERI
Y= Xfl+e modelinde X matrisi sadece 0 ile 1 lerden olu ştuğunda
modele tasar ım modeli denir. Bu modeller çok de ği şik uygulamalarda
kar şımıza ç ıkmaktad ır. Baz ılann ı örneklerle ele alal ım.
Belli bir kitlenin ortalamas ı veya daha somut olarak, bir ayl ık olan
civcivlerin a ğırl ık ortalamas ı ile ilgilendiğimizi düşünelim. p, ağırl ık
ortalamas ı ve Y1 , Y2, ,Y„ , n birimlik örneklem olmak üzere,
Y, =p+ei , i =1,2,...,n , E(ei ) , 0 , Var (ei )= 0-2 , lerbağıms ız (ili şkisiz)
veya

131
Y
Yl -
Y2
, X
1
1
c=
El
Yn _
_En
gösterimi ile,
Y= Xfi -1- c , E(c)= O , Cov(c)= '52 1
yaz ılabilir. Şimdi civcivlere farkl ı iki gıda rejimi uygulans ın ve sonuçta
ağırl ık ortalamalar ı kar şılaşt ırılmak istensin. Birinci g ıda rejimi sonucunda
kitle ortalamas ı pi, diğerinde p2 olsun. -11,-12,•••,Yln Y Y1 birinci kitleden n
birimlik örneklem, Y21 ,Y- 22, •- , Y2m ikinci kitleden m birimlik örneklem olmak
üzere,
Y1 1 1 0 e ı ı
Y12 I O 6 12
Yi n 1 O [fil] 6 1n
Y2I 0 1 Pı 621
Y22 ° ' 1 622
• : •
Y2 ın 0 1 _e2n ı
gibi bir lineer model dü şünülebilir. Hata vektörti için kitle varyanslannin
eşit olmas ı durumunda,
E(c)= 0 , Cov(8)=G2In+„,
gibi bir varsay ım, farkl ı olmas ı durumunda,
E(c)= O , Cov(e), [ a21 1 n 0
0 oZlıır
gibi bir varsay ım sözkonusu olacakt ır.

132
Her iki g ıda reji ııı i ııin ortalama a ğırl ık üzerindeki etkisini görmek
için p g ıda rejimi uygulanmad ığında ortalama a ğırl ık, p+ al birinci g ıda
rejiminde ortalama a ğırl ık, II+ a2 ikinci g ıda rejiminde ortalama a ğırl ık
olmak üzere,
Yt ı
Y1 2
1
1
1
1
O-
O
6 11
e12
Y1 n
Y2 1
Y2 2
1
1
1
1
O
O
O
1
1
P
al
Ci n
e21
22
_Y2 ın
1
O
1
_ 6.2 ın _
veya
= p + + , i = 1,2 , j=1,2,...,n; ,(i =1 için = = 2 için ni - m)
gibi bir model düşünülebilir. Bu durumda tasar ım matrisi X aşağıdaki gibi
yaz ılabilir.
x.1-"n '1
L 1 0 ani
Bu iki g ıda rejimi üç farkl ı
ırk üzerine uyguland ığında, gıda
rejimlerinin a ğırl ık ortalamas ı üzerindeki etkileri a l ve a 2 , ırklann etkileri
p i ,p2 ve,g3 ile gösterilip etkilerin toplanabilir ve etkenlerin (faktörlerin,
g ıda rejimi ve ırk) ortak etkisi olmad ığı gibi varsay ımlar alt ında,
Yii p + + ,6i + eii , i = 1,2 , j = 1,2,3 ,k = 1,2,...,nii
gibi bir model dü şünülebilir. Bu durumda X tasanm matrisi,

I
i
133
X =
1
1
1
ı
1
1
ı -n ı I
1„ 12
1„ 13 -..
o
°
o
o
O
O
1 n21
In22
14, 2,
In i 1
O
o
O
- 1, 12
O
O O 1, 13
ı „
--21
0 0
o
- ı n22
O
o o ı n
-- 23
biçimindedir. ı = 1,2 re j = 1,2,3 ki ııııii değerleri ayn ı olduğunda modele
dengeli (balaneed) denir. Tüm mi ler I olduğunda,
x rl 1 0 131
[I O 1 13
ve tüm mi ler n olduğunda,
x =
1
1
1
1
1
1
In
In
In
O
O
O
O
O
O
In
n
n
biçiminde yaz ılabilir.
In
O
O
In
O
O
O
In
0
O
In
O
O
O
In
O
O
In
= [16 013„,13 0 1,7]
Ağırl ık üzerinde etkenler (faktörler) olarak g ıda rejimi ve civcivlerin
ırk ı gözönüne al ınd ı. G ıda rejimi etkeninin 2 düzeyi, ırk etkeninin de 3
düzeyi gözönüne al ınd ı . İki etkenin birlikte etkisi de gözönüne al ınırsa,
Yijk = + + + + , = 1,2 , j = 1,2,3 ,k
gibi bir model yaz ı l ır. Bu modele 2 etkenli etkile şimli model veya 2 yönlü
etkile şimli model denir. Dikkat edilirse etkenlerden birinin herbir düzeyi
diğer etkenin herbir düzeyi ile ortaya ç ıkabilmektedir. Bu durumda tam

134
çapraz bir tasar ım sözkonusudur denir. Bir etkenin baz ı düzeyleri di ğer
etkenin baz ı düzeyleri ile ayn ı anda ortaya ç ıkam ıyorsa k ısmi çapraz bir
tasar ım sözkonusudur. E ğer etkenlerden birinin herhangi bir düzeyi ikinci
etkenin birden çok düzeyi ile ayn ı anda ortaya ç ıkam ıyorsa bu etkene
ikinci etken içinde yuvalanm ış (nested) denir.
İki yönlü iç içe model (two-way nested model) ile ilgili bir örnek ele
alal ım. Iki farkl ı g ıda rejiminin tavuklar ın yumurtalar ı (ağırl ığı) üzerinde
etkisi incelenmek istensin. Birinci g ıda rejimi 4 tavu ğa uygulans ın ve herbir
tavuğun yu ımırtalar ından 2 tanesinin a ğırl ığı gözlensin. Ayn ı gözlemler
ikinci g ıda rejiminin uyguland ığı başka 3 tavuk için yap ı ls ın.
{4 , =1 için
Yijk = iı + ai + Ili/ + Go* , i = 1,2 , j= 1 ,2,...,n; , k =,2 1 , ni = 3 , i = 2 için
veya
- -
Yi ı ı 1 1 O 1 O 0 0 0 0 0-
Y112 1 1 O 1 O O O O O O
YI21 1 1 O O 1 O O O O O P
YI22 I 1 O O 1 O O O O O al
YI31 1 1 O O O 1 O O O O a2
Y► 32 1 1 O O O I O O O O ı
YI41 I 1 O O O O 1 O O O /312
Y142 1 1 O O O 0 1 O O O P13
Y211 I O 1 O O O O 1 O O fi14
Y212 1 O I O O O O 1 O O P21
Y221 1 O I O O O O O 1 O fi22
Y222 1 O I O O O O O 1 O P23_
Y23I 1 O 1 O O O O O O I
Y212] 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
gibi bir model yaz ılabilir.
Burada iki etkenli (faktörlü) tasar ım modellerine örnekler verildi.
ikiden fazla etkenli modeller benzer biçimde dü şünülür. Dikkat edilirse bir
etken, ön ıei,- ,in g ıda rejimi için sabit say ıda olan 2 düzey dü şünüldü. Böyle
modellere sabit etkili modeller denir. Belli iki g ıda rejiminin
kar şılaşt ırılmas ı s ıras ında olaya böyle bir model ile yakla şımda
bultmulabilir.
+6

4.1.4 VARYANS B İLEŞENLER İ VE KARI ŞIK MODELLER
135
Bu k ı s ımda ele al ınacak modellerin de tasar ım modelleri çerçevesine
girdi ğini hat ırlatal ıın.
Varyans bile şenleri modelleri, rasgele etkenli modeller olarak da
isimlendiril ınektedir. Bir etkenin (faktörün) çok say ıda veya sonsuz say ıda
düzeyi varsa ve seçilen (gözönüne al ınan) düzeyler rasgele bir örneklem
oluştunıyorsa bu etkene (faktöre) rasgele etken (faktör) denir. Do ğal
olarak modelimizdeki (veya veri kümesindeki) bir rasgele etken seçilen
sonlu say ıdaki düzeyi ile temsil edilecektir. Seçilen bu sonlu say ıdaki
düzey, büyük hacimli bir kitleden (düzeylerin kitlesinden) rasgele seçilmi ş
örneklem olarak dü şünülecektir.
Belli bir ürün ile ilgili, i şleme zaman ı üzerinde i şçi faktörünün
etkilerini gözönüne alal ım. Ürünün üretim zaman ı bir rasgele de ğişken
olmak üzere, de ği şkenlik üretim yönteminin kendisinden ve i şçiden
kaynaklans ın. Rasgele seçilen bir i şçi için ürünü üretme zaman ı, tüm
i şçilerin ürünü üretme zamanlar ın ın olas ı l ık dağı l ımından bir gözlem
olacakt ır. İşçiden i şçiye farkeden bu zaman ı T rasgele değişkeni ile
gösterelim. i şçiler arasmdaki de ğişim Var (T) ile anlat ıls ın. T rasgele
deği şkeni doğrudan gözlenememekte, çünkü üretimdeki yöntemden
kaynaklanan bir rasgelelik daha sözkonusudur. Bu ikinci rasgeleli ği
anlatan rasgele de ği şken e olmak üzere T ile e nun ili şkisiz ve E(e)=- 0
olduğunu varsayal ım. e da tek ba şına gözlenememektedir. Rasgele seçilen
i =1,2,...,/ tane i şçinin herbiri için j =1,2,...,n kez ürünü üretme zamanlar ı
Yij gözlemni ş olsun. Ürünü üretme zaman ı
p ve varyans ı a. olsun.
Y rasgele de ği şkenin ortalamas ı
Y = p+(T - p)+(Y - T)=p+T* + s
düşüncesiyle,

136
Yii =,u+17+8;/.
, i =1,2,...,/ ,j=1,2,..,,ıı
,u bilinmeyen parametre, Yj ler gözlenebilen rasgele de ği şkenler
E(s,i ) = O , Var (e ) = a2L.
= 1; - , (1 ) = , Var ( 1;* ) = Var ( 7') =
T ve ej ler ili şkisiz , gözlenemyen rasgele de ği şkenler
a2 = a. + o-2
›* 1
gibi bir model kurulabilir. Bu modele bir faktörlü varyans bile şenleri
modeli denir. Gözlenemeyen T * ve e rasgele de ği şkenlerin sahip olduklar ı
da ğı l ımlar ile ilgili varsay ımlar da ınodelde yer alabilir. Dikkat edilirse,
doğrudan gözlenemeyen T rasgele de ğ i şkenin varyans ı
4, Y nin varyans ı
içinde bir bile şen olarak yer ald ı . Bu modellerde amaçlardan birisi de
varyans bile şenlerini tahmin etmektir.
Faktörlerin herbiri rasgele olan birden çok (örne ğin iki) faktörlü
varyans bile şenleri modelleri,
Yipn = P+A ı +By +'ijın
biçiminde gösterilir. A ;
rasgele deği şkenlerdir ve
,eu„, ler gözlenemeyen s ıfır ortalamal ı ilişkisiz
2 2 2
= + +
(7 ) . cf c
d ır. Modelin detenninistik k ısm ı sadece p den, stokastik k ısmı
+ ilii + cij„, den olu şmaktad ır.
Faktörlerden baz ılar ı sabit etkili baz ılar ı rasgele etkili olan
modellere kar ışık ( ınixed) model denir. Örne ğin, üretim ile ilgili olarak
yukar ıda gözönüne al ınan bir faktörlü varyans bile şenleri modelinde üretim

ile ilgili üç farkl ı yöntem (düzey) sözkonusu olsun. Bu üç düzey ile birlikte
yöntemin kendisi de bir faktör olarak önceki modelde yer ald ığında,
137
Ykij P ak + + e , k = 1,2,3 , =1,2,...,1 , j=1,2,...,n
gibi bir model sözkonusu olacakt ır. ,u + ak modelin deterministik k ısm ın ı ,
7:„ +ckii de stokastik k ısm ını oluşturmaktad ır. 1:; ,Ekii ler o ortalamal ı
gözlenemeyen ili şkisiz rasgele de ği şkenler olmak üzere,
d ır.
°2r + 192c
4.1.5 RASGELE KATSAYILI MODELLER
m tane birimin herbirinden n tane Yij = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n)
gözlemlerinin al ınmas ı durumunda,
Yij =13;iXiii+ A2 X42 +...
+ eij , i = 1,2,...,m, j=1,2,...,n
gibi bir modelin geçerli oldu ğunu varsayalim. Bu modeli,
= X' .fl i=1" j=1 . n
Y -i 1.1 " 2 • • '
biçiminde yaz ıp )2, = , parametre vektörlerini,
rasgele seçilen m tane birim ile ilgili olarak, m birimlik bir örneklem olarak
dü şünebiliriz. i =1,2,...,m vektörleri, p ortalamal ı , Avaryans-kovaryans
matrisli bir da ğıl ımdan n ı birimlik bir örneklem olsun ve ayr ıca ler ile
ler ba ğıms ız olsun. K ısaca,
1)E(eij )= 0,rar(Bij)= o2 ,cii
gözlenemeyen rasgele de ği şkenler,
ler (i = 1,2,...,m , j =1,2,...,n) ilişkisiz,

138
deği şkenler,
2) EW)= - fl , Cor(fli )= A , fiğ ler (i = 1,2,...,m) bağıms ız rasgele
3) Qi ler ile ler (i = 1,2,...,m , j = 1,2,..., ıı) bağıms ız,
4) >16 :p x I vektörü p tane aç ıklay ıc ı deği şkenin, rasgele seçilmi ş
olan i. birimi üzerinde/. gözlem vektörü,
ı ı
Xi I 2
xilp
xi =
Xi 2 1
Xi 2 2
"
Xi2p
_Xinl
Xin 2
• • •
Xinp _ nx p
matrisi i.birim ile ilgili aç ıklay ıc ı dei,5i şkenlerin matrisi (sabitlerin matrisi)
5) Y• 1=-1" j=1') i.birim üzerinde j. gözlemi
gösteren bir rasgele de ği şken ve
Ya
Yi
Yi 2
i. birim üzerinde gözlemlerin rasgele vektörü olmak üzere;
= Xi ğ3i + , i =1,2,...,m
modeline rasgele katsay ıl ı lineer model denir. Bu modelde rasgele
vektörler olan 11 ler kendi ortalamalar ı cinsinden,
=13+ (51 , 1,2,. ,m
olarak yaz ı l ıp modelde yerine konursa,

139
1,4 X if3+ Xi 8i + , =1,2,..,m
yaz ı l ır. Bu modelde xifii modelin deterministik k ısm ını xi öi + e; de
stokastik k ısm ın ı oluşturmaktad ır. i=1,2,...,m için ,r5i ler ba ğıms ız
cov(8; ) = A ve öi ler ile 6'i ler ba ğıms ızd ır.
Xifi ,
XiAXİ + cr2/,
olmak üzere modelde amaç
vektörünü tahmin etmek olabilir.
rasgele katsay ılar ının ortalamas ı olan fi
ni tane vektörü alt alta yaz ıp bir sütun vektörü olarak ele al ırsak,
rasgele katsay ı l ı bir lineer model, genel olarak
Y ı
Y 2
r„,
=
xi
X2
x,„
_
xi
O
_o
0
X2
0
•• •
- - -
...
0 -
O
x„,_
51
Ş2
_-,11 Ö, _
biçiminde yaz ılabilir. Modelin stokastik k ısm ındaki gözlenemeyn rasgele
vektörler ile ilgili baz ı da ğıl ım varsay ımlar' yap ılabilir.
Uygulamalarda çok de ği şik durumlar rasgele katsay ı l ı lineer model
ile modellenmektedir. Örnegin rasgele seçilen birim, bir insan grubundan
rasgele seçilen ki ş i (i = 1,2,...,m) bu birim üzerinde gözlemleri zaman
içinde (j = 1,2,.. ,n) ki şinin günlük harcamalar ı olabilir. Günlük harcama Y,
gelir (XI ), ki şinin bakmakla yükümlü olduğu birey say ıs ı (X2 ), oturduğu
yer (X3) gibi aç ıklay ıc ı deği şkenlerin bir lineer fonksiyonu olarak ifade
edilebilir. Bu lineer ifadedeki katsay ılar ki şiden ki şiye deği şebilir. Bu
değ i şkenlik rasgele katsay ı l ı bir model ile modellenebilir.
el
E2
e-ni

140
4.1.6 ÖLÇME HATASI İÇEREN MODELLER
Bu k ıs ıma kadar göz önüne al ınan modellerde aç ıklay ıc ı deği şkenler
ile ilgili ölçü ınlerin (gözlemlerin) al ınmas ında hatalar ın olmadığın ı, yani
ölçme s ıras ında gözlenen de ğerlerin gerçek gözlenmek istenen de ğerler
olduğunu dü şündük. Ölçme aletindeki hatalardan dolay ı, veya ölçmek
istedi ğimiz niceli ğin doğrudan ölçüle ıniyor olmas ından dolay ı gözlenmesi
gereken bir x de ğeri yerine,
X x- ı-1/ , P;(

141
4.2 PARAMETRE TAHM İNİ
modelinde,
Bu k ı s ımda
Y= Xfi+c
1.Dur ıım : e- N (O, cı2 I)
2.Durum : - (o, 02/ )
3.Durum : cov( e) = 02v
için parametre tahmini problemi ilk önce tam rankl ı modeller
(rank(X: ıı x p) = p) ve daha sonra dü şük rankl ı modellerde
(rank(X: ıı x p) = k < p) ele al ınacakt ır. Parametre kümesi,
= {(fl, 02 ):# e RP ,G2 > o}
olmak üzere 1.Durumda normal da ğı l ım ile ilgili istatistiksel sonuç
ç ıkarmaya ba şvurulur. 2.Durumda en küçük kareler yöntemine ba şvurulur.
4.2.1 1.DURUM (L.- N(0,021))
Y = X fl+ , c- N(0,a2I)
Lin x 1 =
Yı XI 1 XI 2 • • • XI p A
Y2 , = X21 X22 * " X2 p
P2
X :
, )6=
eı
62
Yn Xnl Xn2 ' ' • Xnp
nxp flp 8n
Y- N( Xfi, a2/)
olmak üzere önce G2 nin ve fi n ın en çok olabilirlik (maximum likelihood)
tahmin edicilerini bulal ım. Olabilirlik fonksiyonu,
L60,02 ;Y) =
ve logaritmas ı ,
1
(02)n12
— — fi( Y — ff)
e

142
ln L(11, o2 ;3') 202 1 (1' Xfi)'(Y- Xfi)
ṯ/ In(2n)--
ii ln(o
2 1 - ) (Y
' Y-2Y xfi+p X'X 13)
2 or" -
d ır. Parametre kümesi,
f1={(fi,G 2 ):- < p', 0}
üzerinde L(6,02 ) veya in L(6,02 ) fonksiyonunu maksimum yapan fi ve G2
yi bulmak için,
- (in L(fi,o-2 ; Y)) =
13
I
2G2
(-2X'Y+2X'XI3)
(In L(f3,G2 ;Y)) = 2 + 2(0' „ (Y - X fl)'(Y - X13)
cGOz
G` 1)`
birinci türevlerin s ıfıra e şitlenmesiyle,
(X'Y - X'XI3)= O
a2
veya
n
+
2G” 2( al'
I „ (Y - xpy07- X [1)=0
X'Xfl= X'Y
02 = (Y- X13)' (Y- X fl)
Il
denklem sisteminin normal denklemler ismini ta şıyan,
denkleminden,
rxp= X'Y
73= ( X'X) -1 x' Y = X+ Y (rank(X)= p , X'X regüler)

143
= X + Y + (I - X + X )z , z E RP (rank(X)< p , X'X singüler)
ve ikinci denklemden,
- x)-6.)
=[(r- XX + Y)' (Y - XX +7)]
=--1 [YY -Y XX + Y-Y XX + Y+Y XX + XX + Y]
n
= — 1 xx +)),
rr -
elde edilir. Bu k ı s ımda rank(X)= p yani modeli tam rankl ı olarak
düşünece ğiz.
ve
ye fi ve 02 nin en çok olabilirlik tahmin edicileri denir.
ve a2 Tahmin Edicilerinin Özellikleri:
1. Yans ızbk: v fi E RP için,
E("ft). E(X + Y). X ± E(Y)= X + E(X fi+ c)= xx+ fi= fi
olmak üzere i3 , p n ın yans ız tahmin edicisidir.
b:( .(.;.(2) m (1 -
Il
)= i E[ ıı ( ı - xx+)171
Il
= j-{1r{(1 - XX + )Cov(Y)1+ (EY)' (I - XX + )EY}
=±{tri(1 - XX + )o 2 111-(X fl)'(I - XX + )(X fi)}
=-1- ır(cr2 (I - XX +))+0
= ci2 (n - p)= "- P 02
11 ıı
olmak üzere b2, 02 için yans ız bir tahmin edici değildir. Ancak,

144
için,
62 = » Y (I - XX1Y
- p ıı - p
1.:( -2 )= E( " a2 )= " E(a-2 )= 02 va' >o
- p - p
olduğundaıı "c? tahmin edicisi yans ızd ır. Cr2 tahmin edicisine yans ızl ık için
düzeltilmi ş en çok olabilirlik tahmin edicisi denir. Bundan böyle fi ve 0 2 yi
tahmin etmek için fi ve 6 yi kullanaca ğız ve ;0' y ı da 'fi ile gösterece ğiz.
2. Yeterlilik:
X+y- = (X'X) -1 X'Y
.2 _ - XXIV
p
fi ve 62 istatistiklerinin yeterli istatistik olduklar ını göstermek için Y
nin olas ı l ık yoğunluk fonksiyonunun, sadece 'fi,â2 ,fi3 O2 yi içeren bir
fonksiyon ile sadece Y yi içeren bir fonksiyonun çarp ımı olarak
yaz ılabileceğini göstermeye çal ışal ım.
ve
ı
----(Y-A[0( -A[5)
i(Y;fl,02)= (,, ,,h7ryı (02 ) ı l2 e 2°2
(Y- xp)'(Y-xffl= (Y- Xfr+ X;g- Xfly(Y - X;3+ 43- Xf1)
=(y-x",&y(y-X1-(;6-flYX'X(fl-fr)
olmak üzere,
= ( ıı - p)(3-2 + (fr- fiY X'X(I1-13)
f(Y;,6,02 )= (2 ıro2 )"
2

145
= g(13, 62 „G, 02 )h(Y)
biçiminde yaz ılabilir, burada h(Y)=1 d ır. :Ove'62 yeterli istatistiklerdir. Bu
istatistiklerin tam yeterli (complete suffıcient) istatistikler olduğu da
gösterilebilir (Garybill (1976), Arnold (11981) ).
3. i3 ve 62 İle ilgili Daplunlar:
Modelimiz,
olmak üzere,
dağıl ıml ıdır.
Y = X fl+ e , e- N(0,021)
Y N(Xf3,o 21)
X + — Y X'Y
ol ınak üzere, Y nin lineer bir fonksiyonudur. Buna göre,
N[(X'X) -1 X'Xfi,((X'X) -1 X')0 21((X'X) -1 X')'l
73- N(fi,o 2 (X°X) -1 )
Qi - N (fl, ,0 -2c, İ ) , 1,2,..., p
dağı l ıml ıd ır. Burada ci ı , (X'X) -1 matrisinin i. kö şegen eleman ıdır.
Şimdi 62 ile ilgili da ğı l ımı ara şt ıral ım.
Q=Y ' (1-XX +)Y=Y ' (I-.X'(X°X) -1 X')Y
karasel formunu göz önüne alal ım.
olmak üzere,
Y N(X fi3 O21) , A =(I- XX +) , = 021
02

146
t ı - xxlv Y (1 - x(x'x) -1 x')}7
02 02
karesel formunun da ğı l ı m ı x(n _ p,,t) d ır (Teorem 3.6.3). Merkezsel olmama
parametresi,
(xfl)'[ ı - xx x
olduğundan,
= o
pxl ı - xxixfi=-1 fırx'x - xixxx+
2-L
fl
Y (I - XX1Y Y (I - X(X'X) -1 X')Y 2
Cr2
C72
merkezi ki-kare da ğı l ımına sahiptir. Böylece,
X (n - p)
d ır.
Y ' (I - XX )Y = (11 — p)&2 y 2
0-2 0-2
(n - P)
Şimdi
ile ilgili kullan ılan değişik formülleri verelim.
p)er2 = (Y- X fr)'( Y - Xfr) = Y
=y' (1 - xx+ )Y = 111 2
2 1112 1112
-
2
=Y X(X'X) -1 X'Y =Y'Y X'Y
4. Q ile 62 nin bağıms ızlığı:
A= x4- , = Y E ı - xx +1Y
p

olmak üzere,
x 4- (0 2 1)(1 - xx+)=a2(x+
-
x+xx+)= o
olduğundan Q ile &2 bağıms ızd ır (Teorem 3.8.1).
147
i =1,2,...,p için ;g vektörünün bile şenleri için, K ıs ım 3.4 den,
(Â A)I cr ıic - A ) t
(n_p) -
(n-P)
d ır.
Söylenenleri a şağıdaki teoremle özetleyebiliriz.
TEOREM 4.2.1.1 Y = X fi+ e modelinde e- N(0,021) ve rank(Xnxp)= P
olsun.
a) fl= X ± Y , 13 için en çok olabilirlik tahmin edicisidir.
= ı Y' (1- XX +)Y , 02 için en çok olabilirlik tahmin
ıı
edicisidir. fi ve 0 2 parametrelerinin bir fonksiyonu g(,6,02 ) olmak üzere,
g(fi,o2 ) nin en çok olabilirlik tahmin edicisi g(,-a, -a2 )
dır. Özel olarak,
C: p x I bilinen sabitlerin bir vektörü olmak üzere e' ig n ın en çok olabilirlik
tahmin edicisi,
dır.
I\
efi=e13
b) ?)-2 = 1 Y' (1 - XX + )Y , a 2 için yans ızl ıg ı düzeltilmi ş en çok
ıı - p
olabilirlik tahmin edicisidir.
c) ;3 - N((3,a2 (X'X) -1 ) dır.

148
d) (n - p)62 ,
- x-
(n-p) dır.
a2
e) fr ve (':';, 2 bağınıs ız,dır.
1,2,..., p için f3i ^ ı(n _ p) dır.
g) fr ve â2 , /3 ve o2 için yeterli istatistiklerdir.
h) fr ve 'O2 tan ı istatistiklerdir.
• teoremdeki g) ve 10 şıkların ııı bir sonucu olarak a şağıdaki teorem
ifade edilebilir.
TEOREM 4.2.1.2 Y = X/3+6 , e- N(0,021) modelinde fr ve 02 nin reel
değerli bir .fonksiyonu ı(fr,o2 ) olsun ve bu fonksiyon un yans ız bir tahmin
edicisi var olsun. () zaman fr ve b2 tam yeterli istatistiklerinin bir
g((3,&2 ) fonksiyonu vard ır öyleki, g(,3,&2 ) de t(fr,02 ) nin yans ız tahmin
edicisidir ve üstelik g(fr ,b 2 ) tahmin edicisi düzgün olarak minimum
varyans yans ız tahmin edicidir (uniforınly mini ınuın variance unbiased
estimator, (MUM) (Graybill, 1976).

149
ÖRNEK 4.2.1.1 Y =
el
Y2
e2
, X --
N(0,o21)
= [fi°] ş = isi
Yn 1 x n_ _En
rank(X) ,= 2 , ıı >2 olmak üzere, Y= X 13+ c basit lineer modelini göz önüne
alal ım.
n
X'X = , X'Y =
2
E X. -
i=1 i=1
i=1
n
_
(rx) -1 =
E(xi -x) 2 ıtE(x; - x- ) 2
ı =i
ı = ı
-
i=1 tt
ıtE(xi - x) 2 tı E(X İ -X) 2
i=1 i=I
(X'X) -1 X'Y =
2
E X ī EY -( EXi)( EXiYi)
i=1 i=1 i=1 i=1
ır E(xi — 4 2
i=1
n n n
ırExiY -(xi )(ZYi )
i=1 i=1 i=1
ır (.z — X) 2
i=1

150
N(Ao2 (X'X) -1 )
2
o- =
[n
lı __ Y fi x'1= Y. 2 -Y (n Yi) -F - - 13
ıt-2 i=1
1
i =1 i=1 i=1
ve
1
» - 2
-2
E(xi -x)(Yi
n
-Y)
_
[
(Jıi) 2 i=1 n
1=1
E(xi
-
-x) 2
i= ı
fr ı - fil flo — flo
- t (n-2) ,
(x; —x) 2
2
x. (ii z(xi - - x) 2 )
i=1 i= ı ı =1
t(n-2)
(11 - 2)&2
02 2/2 (n-2)
d ır. Bu modelde asag ıdakiler için düzgün minimum varyans yans ız
(UMVU) tahmin edicilerin bulunmas ı istersin.
a) fio c) cr2 d) 0-
e) 2A - 3fio f) 502 +8A g) fio + 1.94 v h) fio / 02
p0,A, 02 parametrelerinin bu fonksiyonlar ı için UMVU tahmin
ediciler bulmak için *fi11 ,fi1 ,E;r2 tam yeterli istsatistiklerinin fonksiyonu olup
yans ız tahmin ediciler bulmal ıy ız.
a) E(A) = A olduğundan A tahmin edicisi A in UMVU tahmin edicisidir.
b) E(/30)=fio olduğundan fi() tahmin edicisi fio ın UMVU tahmin edicisidir.

151
c) E(&2 )= cr2 olduğundan '62 tahmin edicisi 02 nin UMVU tahmin
edicisidir.
d) '4;r2 tahmin edicisi için,
olmak üzere,
(n - 2)62
02 2"2 (,7-2)
E(6-)= E(
cı-2 \i( ıı - 2)62 )
- 2 -2
cf c'e
- 2 o
J 4 n-2
- 2
)2 2
1
ı
n-2
2 e-1/2cit
ce n-3
= cf2 i i 2 e- ı /2dı
n-2
- 2 - 0
)2 2
2
1 r-
( it -).%12
d ır.
ıı -')
F( n
olduğundan,
.,,I n 2r ,,,-:7„
, I .
E( o-)= cr
ıı -1
Ş2r ( - )

152
T
Niıı - 2F( " - 2 )
,rr ( )
tahmin edicisi er için UMVU tahmin edicisidir.
e) E(2fii - 3A ) ) = 2fil -3A) olduğundan 2fii -3,60 tahmin edicisi 2fii -3fio için
UMVU tahmin edicisidir.
f) E(5b2 +8 -fi1 )= 502 +8fii olduğundan 5â2 +8;31 tahmin edicisi 502 + 8fiı için
UMVU tahmin edicidir.
g) E( -.60 +1.941') = +1.940- olduğundan fio +1.947' tahmin edicisi fio +1.94u
için UMVU tahmin edicidir.
n-2
ıı - 2 ° 1
,
2
h) E( " - 2
e- ı i

153
4.2.2 2.DURUM (c- (0,021))
Y = X fi+ , E- (0,02I) rank(Xnxp ) = P
modelinde Y örnekleminin da ğı l ım ı bilinmediğinde /3 ve a2 parametreleri
ıı i ıı en çok olabilirlik tahmin edicileri söz konusu de ğildir.
6= (Y— Xfi)'(Y—Xfi)
karesel formunu minimum yapan fi vektörtine /3 n ın en küçük kareler
tahmin edicisi denir.
min (Y — X fi)'(Y — X f3)= (Y— X fi)'(Y — X
fi)
ve
p= x+y =(x'x) l
olmak üzere, Q tahmin edicisine ba ğl ı olan ve a2 nin yans ız tahmin edicisi
olan,
.1.2 _Y ' (I — XX + )Y = (Y— X1 3Y (Y — Xfr)
p
ıı — p
tahmin edicisine de al ışılagelmi ş olarak o2nin en küçük kareler tahmin
edicisi denir.
).-g ve
;'32 tahmin edicileri s ıras ıyla /3 ve cr2 için yans ız tahmin
ediciler olmak üzere, bunlar ın di ğer istatistiksel özellikleri nedir? Bu
tahmin edicileri ıı dağı l ımlar ı hakk ında küçük örneklemler için herhangi bir
şey söylenemez. Büyük örneklemler için (yani n - -
yakla şık olarak /3
c o için) 'fin nın dağılımı
ortalama vektörü ve 0,2 (X,',„ pX„ p )-1 varyans-
kovaryans ınatrisi ile normal da ğıl ıma sahip olduğu söylenebilir.
(:p x 1
edicilerinin,
bilinen bir vektör olmak üzere, e' fi n ın lineer tahmin

154
:3 = T( Y): T( Y) = a' Y +ao , a ER" , ao R}
s ınıfında bir 1 A. (Y) e 3 tahmin edicisi her # için,
ve
E(T * (Y))= e' fl
Var (T* (Y)) Var (T(Y)) , V T(Y) e 3
özelliklerine sahip ise T* (Y) tahmin edicisine et# n ın minimum varyans
lineer yans ız veya k ısaca en iyi lineer yans ız (best linear unbiased, BLU)
tahmin edicisi denir.
TEOREM 4.2.1 (Gauss-Markov Teoremi)
Y = Xfi+ e , E(e) = O , Cov(e) = a2I , rank(Xnxp )= p
modelinde n ın en iyi liner yans ız tahmin edicisi d ır.
ISPAT: efi n ın lineer tahmin edicilerinin s ınıfı ,
olsun. a E R" vektörti,
T(Y) e 3 = {T(Y) : T(Y)=a'Y +a o , a E R n , ao E R}
a=(X+)'I-1-1) , b ele
biçiminde yaz ı l ırsa,
T(Y)= X + Y +b'Y +a o
olur. T(Y) tahmin edicisi h vektörü ve ao say ıs ı ile belirlidir.Böyle bir T(Y)
tahmin edicisi
E(T(Y)) ,
olmal ı . O zaman,
n ın yans ız bir tahmin edicisi olacaksa, V/3 için
için
ex±xp+b'Xfi+ao =
, V fl
Xfi+ao = eb , Vfl için
yani
olmal ıd ır.
b' X fl+ ao = O , Vfi için
b' X = O veap=0

155
(Ip n ın lineer yans ız tahmin edicilerinin s ın ıfı ,
olsun. T(Y) E '31 için,
= T( Y): T(Y)=(e' X + +h')Y,b eR" ,b' X = o}
Var(T(Y)) = (I?' X + +b')Cov(Y)(V X + +b 1 )'
= (e' X + +b')0-2 1(e' X+ +b')'
= 02 k X + (e' Xls +2V X + b+b'bi
= cs2 [P(X'X) -1 +2e1 (X'X) -1 X'b +b' bi
= c 2 [(”(X 1X) -1 +Vb]
olmak üzere minimum varyansl ı tahmin edici b= o oland ır. Buna göre e'fi
n ın lineer yans ız tahmin edicileri aras ında varyans ı en küçük olan ı,
d ır.
T(Y)=-- Vx+ y = 1;
TEOREM 4.2.2
Y = Xfi'+
modelinde, 02 parametresi için
, E ( e) =O , Cov(e)= o 21 , E(4)=364 , i =1,2,...,n
62 = r(1 - XX + )Y
p
tahmin edicisi, Y nin bir karesel formu biçiminde olup yans ız tahmin
ediciler aras ında rninimum varyansl ıdır.
ISPAT: (Graybill, 1976)
62 ye 02 nin en iyi karesel yans ız (best quadratic unbiased ) tahmin
edicisi denir.

156
4.2.3 3.DURUM (e- N(0,o2V))
Bu k ıs ımda ilk önce, v bilinen pozitif tan ıml ı bir matris olmak üzere
Cov(e) = c?V durumu ele al ınacakt ır. Daha sonra Cov(e) = E ve E 'nin bir
pozitif tan ıml ı matris olmas ı durumu ile ilgili baz ı sonuçlar verilecektir.
Y = X fi+ e , e- N(0,47 2V) , V
rank(X nxp ) = p modeli ııde
ınatrisi cinsinden ayr ışıın ı ,
bilinen pozitif. tan ıml ı bir matris,
matrisinin, rank(G,„„)= ıı olan bir G
G'G
olmak üzere modelin her iki tarafı soldan (G')-I ile çarp ıls ın.
= (GT I Y - N((G') -1 Xfi,o 2 1)
ıi=(G')-1 E- N(0, a2/)
ve A = (G') -I X için model,
= Afi+
olarak yaz ıld ığında,
ii= A + Z= (A'
A'Z
741 - AA +1Z r[V -1 -V -1X(X'V -I X) .-1 X'17-1k
=
ıl- p
rı - p
tahmin edicileri s ıras ıyla p ve 02 için düzgün minimum varyans yans ız
(UMVU) tahmin edicilerdir. Bunlara Aitken tahmin edicileri denir. Ayr ıca,
ve
fi- N(fi,a2(X'V-1X)-1)
dağıl ıml ıd ı r.
p)E?
02 ( - p )

Y = Xfl+ e ,
e- N(0,) , E pozitif tan ıml ı matris, rank(Xnxp)= p
modelinde fi para ınetre vektörünün en çok olabilirlik tahmin edicisini
bulmaya kalk ıştığnn ızda,
157
i3= ( ırs-'xy'x's-ly
biçiminde bir ifade ortaya ç ıkmaktad ır. E bilinmedi ğinden p bir tahmin
edici olarak kullan ılamaz. Di ğer taraftan fi n ın en küçük kareler tahmin
edicisi,
;6=(XPX) -1 X'Y
d ır. Bu tahmin ediciye fi n ın al ışılmış en küçük kareler (ordinary least
squares, OLS) tahmin edicisi denir. Do ğal olarak olduğunda OLS
tahmin edicisi UMVU tahmin edicisi olmayacakt ır. Acaba hangi şartlarda
OLS tahmin edicisi UMVU tahmin edicisi olmaktad ır?
TEOREM 4.2.3.1 Y X fi+ e , e- N(0,E)
tahmni edicisi (XPX) -1 X'Y
gerek ve yeter şart,
EX = XF
modelinde en küçük kareler
nin fi için UMVU tahmin edicisi olmas ı için
olacak şekilde singüler olmayan bir F: p x p matrisinin var olmas ıdır.
İSPAT: EX-= x/,' olacak şekilde sing,üler olmayan F:px p matrisi var
olsun. O zaman,
(x'x) - ' =(rx)--' p(p)-1 =[(p)-1(x ,x) -1(p) - i x'i
= (x%
- ',v) -1 x's-'

158
olduğundan,
(X'X) -1 X'Y =(X% -1 X) -1 x's - ' r
yani, al ışılm ış en küçük kareler tahmin edicisi ile Aitken tahmin edicisi
ayn ıd ır.
Tersine,
olmas ı için,
(x'x)- ' X' = ( x's - tx) -' x's- '
(x'x) - ' x's = (x's - ix) - ' x'
X'E = ( x'x)(x's -'xy° x'
sx = x(x's -'x) -' rx = xı.-
olmal ıd ır, burada E =(X'E-I X) -1 X'X, p x p tipinde singüler olamayan bir
matristir.
SONU(' 4.2.3.1 Y = X fl+ 6 , e- N(0,Z) , X =[1,X 2 ,—,X p l modelinde,
1 p •-• p
2 P 1 -- p -1
flxn = cr2(1- m i 4. 0_2[11 __ 0._ , < p

4.2.4 KARAR KURAMI AÇISINDAN PARAMETRE TAHMINI
159
Y = X fl+ E , E - (0 ,02 I) modelinde bilinmeyen fi ve 0 2
ıyla, verilen X tasar ım matrisi için parametrelerini
örnekle ın bilgisini içeren Y gözlem vektörünün fonksiyonu olan T(Y) gibi
istatistikler (karar kurallar ı) gözönüne al ınmaktad ır. Katsay ılar vektörü /3
n ın tahmin edilmesinde kendimizi Y nin lineer fonksiyonlar ı olan kurallar
s ınıfım k ı s ıtlad ığım ızda tahmin ediciyi Q= AY biçiminde yazabiliriz.
Böylece tahmin problemi Y de içerilen bilgiyi istenilen biçimde özetleyen
A matrisinin belirlenmesine idirgenmektedir. Örne ğin, e'fi lineer
bile şiminin yans ız ve en küçük varyansl ı tahmin edicisinin bulunmas ı
istendi ğinde bu tahmin edici,
olmak üzeree A matrisi,
A
f..13= ( 1 (X' Xy l X'Y
A = (X'X) ---1 X'
biçimindedir. ;3 = (X'X) -1 X'Y tahmin edicisi en küçük kareler tahmin
edicisi olmakla birlikte hata terimi normal da ğıl ıml ı olduğunda en çok
olabilirlik tahmin edicisidir.
Karar kuram ı aç ıs ından bak ıldığında, fi parametre vektörünün bir
7'(Y) tahmin edicisinin belirlenmi ş bir L(fi,T(Y)) kay ıp fonksiyonuna bağl ı
risk fonksiyonu,
P(13,T(Y))= EMAT(Y)))= J
L(P,T(Y))f (Yifl)d Y
olmak üzere, problem, risk fonksiyonunun fi parametre vektörüne ba ğlı
olarak de ğerlerini küçük yapacak şekilde T(Y) tahmin edicisi (karar kural ı)
seçmektir.

160
TANIM 4.2.4.1 Parametre kümesindeki tüm fi lar için,
P(13,1i(Y)) < P(P,1(r__))
ve baz ı p lar için,
P(P, li (Y)) < P(P, (Y))
oluyorsa, T (Y) tahmin edicisine "I(Y) den üstündür denir. E ğer bir T(Y)
tahmin edicisinden üstün ba şka bir tahmin edici yoksa, T(Y) tahmin
edicisine uygundur (kabul edilebilir, admissible) denir.
TANIM 4.2.4.2 Tahmin edicilerin bir 3 kümesinde her T(Y) e "3 için,
maxp(6, T* (Y)) 5 maxp(fl, T( Y))
fl
e şitsizli ğini sağlayan T* (Y) tahmin edicisine 3 kümesi içinde minimax'd ır
denir.
TANIM 4.2.4.3 Parametre kümesinde fl ile ilgili bir önsel (prior) da ğıl ım
g(fi)yoğu ılluk fonksiyonu ile verildi ğinde tüm
içinde,
E(p(fl,Tg n)
RP
e şitsizliğini sağlayan
T(Y) E 3 tahmin edicileri
p(13,1g(Y))g(13)d f3 5 E(p(fl,T(Y))) = J p(fi,T(I))g(fl)dfl
(Y) tahmin edicisine Bayes tahmin edicisi denir.
Tahmin edicilerin i şlerli ğrini değerlendirmede kullan ılan kay ıp
fonksiyonlar ı ve bunlara ba ğl ı olan risk fonksiyonlar ı deği şik biçimlerde
olmakla birlikte çok kullan ılanlardan ikisi hata kareleri ortalamas ı (HKO,
mean sq ııarred error, MSE)
MSE (T(Y)) = tr[Cov(T(Y))1+ E(fl- T(Y))' E(I3- T(Y))
= ır[Cov(T(Y))1+ E(fl- T(Y))' E(I3- T(Y))
ve genelle ştirilmi ş hata kareleri ortalamas ı (GHKO,GMSE)
d ır.
GMSE( T(Y)) = E(P- T(Y))(13- T(Y))'
RP

161
/3 n ın bir tahmin edicisinin genelle ştirilmi ş hata kareleri ortalamas ı
bir matris olmak üzere, bu ölçüte göre iki tahmin ediciyi kar şılaştırmak için
matrislerin fark ının pozitif tamml ı l ığma bak ı l ır.
, bilinen pozitif tan ıml ı p x p tipinde bir matris olmak üzere
ağırl ıkl ı hata kareleri kay ıp fonksiyonu,
L(P, T(Y)) = (fi - T(Y)YW(fi -- T(Y))
ve buna ba ğl ı olarak a ğırl ıkl ı HKO,
d ır.
m(T(Y),W)= E(P - T(Y)YW(fl - T(Y))
W = / için m(r(Y),/) = Eu3- ı'my(fi- T(Y)) d ır. Bu risk
fonksiyonuna göre,
(X'X) - IX'Y
en küçük kareler tahmin edicisi, fi n ın lineer tahmin edicileri aras ında
minimaxid ır. (Judge v.b. ,1980)
Y = X fl+
modelinde x'x matrisinin üzdeğerleri,
0 0
..1p >0 , D=
O 2,2 .•. 0
O
0 •••
2P
olmak üzere, X'X matrisinin spektral ayr ışımı ,
X'X VD V'
olsun. ı ınatrisi X'X matrisinin öz:de ğerlerinin ortogonal matrisidir.
= XI' gösterimi ve a = V'I3 parametrik dönü şümü sonucu model,
Y = XVV'fl+ e= Za+ e
biçiminde yaz ıls ın. a n ııı en küçük kareler tahmin edicisi,
= (D+ kl)-1 Z'Y
n ın en küçük kareler tahmin edicisi,

162
ve
;e= va, (xx)- ' xy
MSA = G -- 15T ( ıg - ;9)
= AW --- ;gYVV'(g - 7q)
= E(a - â)'(a- -a) MSE (â)
MSF (fl) = MSE (â) = a2tr(X'X) - 1 = 02 2, 1
i =I ili
d ır. Görüldü ğü gibi x'x matrisi küçük &de ğerlere sahip oldu ğunda en
küçük kareler tahmin edicisi büyük hata kareleri ortalamasma sahip
olacakt ır.
Hoerl ve Kennard (1970) taraf ından tan ımlanan,
13(k)= (X'X + kW' X'Y , (k > O)
a(k)= (D+ kl)-1 Z'Y
ridge tahmin edicisi, yanl ı bir tahmin edici olmakla birlikte,
MSE ("a(k))= Ir[Cov(â(k))1+ E(a- â(k))'E(a- a(k))
= (D + kl)-1 Z'Co ı(Y)Z(D+ kl) -1 +(a-(D+k1)-1 Z'Za)'(a-(D+k1)-1 Z:Za)
02 /li (k aı )2
+ k)2 i.1(2i+k)2
hata kareleri ortalamas ı bak ımından,
O < k <
az
olduğunda MSE(â(k))< MSE (a) d ır, yani daha küçük hata kareleri
ortalamas ına sahiptir. Ayr ıca,
•-> u2
0

tahmin ediciler vard ır. Ridge tahmin edicileri üzerinde yüzlerce çal ışma
yap ılm ışt ır ve yanl ı l ık parametresi ismini ta şıyan k n ın seçimi için deği şik
yöntemler önerilmi ştir.
Bu k ısıııııı devam ında omeklem d ışı bilginin de kullan ılmas ıyla
olu şturulan baz ı tahmin ediciler ele al ınacakt ır. Örnekleri] d ışı bilgi,
parametre r ızay ında kesin veya stokastik k ıs ıtlamalarla yada parametre
hakk ında bir onsel yoğunluğun verilrnesiyle özetlenebilir.
A) Kesin Li ııeer Eşitlik K ısıtlamas ı: R:q x p bilinen bir matris, rank(R)= q
ve r:q x I bilinen bir vektör olmak üzere, ,6 parametresi hakk ında ön bilgi,
Rfl= r
lineer e şitlik k ıs ıtla ınas ı ile verilsin. Bu k ı s ıtlama alt ında,
min (Y - X fl)'(Y - X 16)
optimizasyon problemi için Lagrange fonksiyonu,
ve
g(13,,l) = (Y- X fiy(Y - X p)+ (Rfl - r)
163
ck( ıg, '1)
(73
2X'Y+2X'X/j+ R'2
c3z(P,— 2) = R13- r
0,1
dır. Bu türevlerin s ıfıra e şitlenmesiyle,
X'X p
1 + — 2= X' Y
1?13 = r
denkle ın sistemi elde edilir. Birinci denklemden,
;6= (X'X)" I X'Y-2(X'X) -I R'2.
elde edilip ikinci denklemde yerine yaz ılmas ıyla,
bulunur. Buradan,
2 = 2[R(rX)- 1
1 R'} [R(X'X) -I X'Y -

164
p. X'Y - (X'X) -1 1?11?(X'X) -1 R'l l [1?(X'X) -1 X'Y -r]
veya
= :6+ ( x',10 -1 R1 y - Ri3)
elde edilir. p ya fi n ın k ı s ıtlamn ı s en küçük kareler tahmin edicisi denir. Bu
tahmin edicinin beklenen de ğeri, varyans-kovaryans matrisi ve hata
kareleri ortalamas ı ,
F(j3)= fl4-(X'X) -I R' ( R(X'X) -1 R' ]-1 (r - R/3)
cov(ft) = 02 {(X'X) -1 - ( X'X) -1 R11?(X'X) -1 R( irX) -1 }
cn ısE(74= cov(14+(rx)-1 KERtxwr i ffi l (r - Itfl)(r - R13)12(X
RI 1 R

165
r[XR]fl+[l
cov( [ş_vl)_ 02 [01 ej
biçiminde modele eklendi ğinde fi n ın Aitken tahmin edicisi,
olur. Bu tahmin edici için,
fi= (x'x+K(2 -1R) -1 (x'Y + R'Q-1 r)
E(ii) = fl+[(X1X) -1 + R'Q-IR1R'(28
Cov(;q)= o2 ( X' X + R' CT I R) -1
GMSE6 -0)= Cov(71)+(X'X + R' Q -1 R) -1 R' Q-1 öi Q-1 R(X 1X + R' Q-1 R) -1
d ır. Stokastik k ıs ıtlama ortalama olarak do ğru, yani E(b) = o olduğunda
tahmin edicisi yans ızd ır ve Cov(;3)_ Cov(p) d ır. Genel olarak,
8 (R(X'X) -1 + (»S 1
202 2
olduğunda GmsE(Q GMSE d ır (Judge v.b. ,1980).
örneklem d ışı bilginin lineer e şitlik k ıs ıtlamalan olarak verilmesi
durumunda hata kareleri ortalamas ı ölçütüne göre en küçük kareler tahmin
edicisinden daha iyi tahmin ediciler vard ır. Benzer durum lineer e şitsizlik
k ıs ıtlamalar ında da söz konusudur.

166
4.2.5 L İNEER TAHMIN ED İLEB İLME
TANIM 4.2.5.1 Bir para ınetre (parametrenin bir foksiyonu) için yans ız ve
lineer (örneklemin lineer dönü şümü olan) bir tahmin edici varsa bu
parametreye (parametrenin fonksiyonuna) lineer tahmin edilebilir veya
k ısaca tahmin edilebilir denir.
Y = Xfi+E modelinde X:n x p , ( n > p) matrisinin rank ı rank(X) = p
olduğunda p parametresi lineer tahmin edilebilir, çünkü Y
(X'x)-I X'Y lineer fonksiyonunun beklenen de ğeri,
E[(X'X) -I X'Y]= E[(X'X) -I X'(X fl+E)]-= ,tifi e RP
örnekleminin
d ır. Model tam rankl ı olmad ığında, yani rank(X) = k < p olduğunda fi
parametresi lineer tahmin edilebilir mi? Ba şka bir ifade ile,
E(CY) = fl ,V fl E R P
olsak şekilde (':px n matrisi varm ıdır? Olduğunu varsayal ım. O zaman,
E(Cy)- E[c(Xfi+s)]=Cxfi-fi , vfieRP
olmal ı, yani
Cx =
olmal ıd ır. Ancak e şitliğin sağ tarafındaki birim matris p x p boyutlu olup
rank ı p d ır. Sol taraflaki matris için,
rank((X) < k < p
d ır. Dolay ı s ıyla varsay ım ımız doğru değildir.
E(CY)=fl , VflERP
olacak şekilde C matrisi yoktur, yani p n ın lineer yans ız bir tahmin edicisi
yoktur. p parametresi lineer tah ınin edilemez olmas ına rağmen fi n ın baz ı
dönüşümleri tahmin edilebilir. X i3 için Y nin kendisi veya X(X'X) -1 X'Y
birer lineer yans ız tahmin edicidir. Gerçekten,
E(Y)= Xfl
d ır.
E[x(x'x) -' X'Y] = x(x90 - ' X'xp = Xp

167
ÖRNEK 4.2.5.1 Tasarım modellerinde genellikle X matrisinin rank ı sutun
say ıs ından dü şük olduğu için tahmin edilebilme sorunu ortaya ç ıkmaktad ır.
Yij .,u+ai +eii , i=1,2 , j = 1,2,3
modeli matris gösterimi ile,
1111
42
F1 1
1 1
0
0
Y13
Y21
Y22
"3
1 1
1 0
1 0
1 0
0
1
1
1
al
a2_
+e
olmak üzere,
x
1
1
1
1
1
I
1 O
1 O
1 O
O 1
O 1
O 1
fl=
P
aı
a2
d ır. x tasar ım matrisinin rank ı 2 dir. fi vektörü lineer tahmin edilemez.
Normal denklemler,
6
3
3
3
3
0
3
O
3
- -
P
at' ı =
âı _
Y
4.
Y2._
Y
2 3 3
Z Z 4; , Yi. = Z 4i , Y2. =
i=lj--1 j=1
3
Y2j
İ=I
olmak üzere X'x katsay ılar matrisinin rank ı da 2 dir. Tutarl ı olan bu
denkle ın sisteminin birden çok (sonsuz) çözümü vard ır. Ancak fi n ın baz ı
Â'fi lineer bile şimlerinin farkl ı çözümlerde aldığı değerler ayn ı kalmaktad ır,

168
yani A',g değerleri deği şmemektedir. A e S(X). - [X'], yani 2 vektörü X
matrisinin sat ır uzay ında olduğunda A' fl lar çözümlere göre de ği şmez
kalmaktad ır (K ısım 2.2, Özellik 10,11). Örne ğin,
, 6,u+ 3ai +3a 2
için 273 değeri çözümlere göre de ği şmez kalmaktad ır. Diğer taraftan,
2 3 2 3
E(1 1 Y)= E F E(7,; ), E E6p+3a i +3a2
ı = ı
ol ınak üzere xp lineer bile şimi lineer tahmin edilebilirdir.
/3 parametre vektörünün A' fl , 2 ER" biçimindeki lineer
bile şimlerinden lineer tahmin edilebilir olanlar hangileridir?
TEOREM 4.2.5.1 A: p x ı
d ır.
bilinen sabitlerin bir vektörü olmak üzere
2' fi tahmin edilebilira 2' e S(X) = S(X'X)
ISPAT: İspata geçmeden önce 2 vektörünün X matrisinin S(X) satır
uzay ında veya X'X si ınetrik matrisinin EX'Xi sütun uzay ında olmas ın ın
c' X olacak şekilde 3c E R" veya 2= XiXd olacak şekilde bir d ERP
vektörünün var olmas ı olduğunu belirtelim (K ı s ım 2.1).
(=)
lineer tahmin edilebilir 3c vektörü için E(e'Y). , V fl ERP
c'XI3=.333,Vfl E RP
CiX =
ES(X)

169
() 2' ES(X) /V= c'X , 3c ER"
E(c' Y ) = E[c' ( X + c' X O .=
lineer tahmin edilebilir.
Bu teoremden görüldüğü gibi 233 lineer bileşiminin tahmin edilebilir
olmas ı için gerek ve yeter şart 2' vektörünün x matrisinin (X'X
matrisinin) sat ır uzay ında bulunmas ıd ır. 21 vektörünün, X matrisinin sat ır
uzay ında bulunmas ı özelli ği aşağıdaki özelliklerden herhangibirine denktir.
ıl' e S(X) , = c'X , 3c ER" rank([X',2.])= rank(X')
rank([ XX,A.})= rank(X'X)
c> = X'X (K ıs ım 2.2, Özellik 11)
Xi(X')- (X'c = 2 denkleminin
çözümünün varl ığı)
TANIM 4.2.5.2 2' q fl lar lineer tahmin edilebilir ve
2.q vektörleri lineer ba ğıms ız ise bu lineer bile şimlere lineer
bağıms ız tahmin edilebilir fo ııksiyonlar denir.
Y = X fil-E modelinde raıık(X)= k ise k tane lineer ba ğımsız
tahmin edilebilir fonksiyon vard ır.
j=1,2,...,m için lineer tahmin edilebilir 2' ip fonksiyonlar ındaki
2./ vektörleri ııi ıı oluşturduklar ı ınatris L = [2. 1 ,22,...,4] olmak üzere,
rank(L) = rank(X) ise 2'0, 2'2/1,...,2! mfl lara tahmin edilebilir fonksiyonlann
tam kümesi, rank(1,)= k = n ı ise 2' „00 lara tahmin edilebilir
fonksiyonlann bir baz ı denir. Herhangibir lineer tahmin edilebilir
fonksiyonu baz ın bir lineer bile şimi olarak yaz ılabilir. A' vektörü X
tasar ını matrisinin bir sat ır vektörü olduğunda doğal olarak bir tahmin
edilebilir fonksiyondur. 2' vektörü x'X in bir sütun vektörü oldu ğunda da

170
tahmin edilebilirdir. rank(X) = p olduğunda p tane lineer ba ğıms ız
).'0,2' 2fi,...,Â' pfi fonksiyonu vard ır. Bu durumda her _,Lp lineer bile şimi
tahmin edilebilirdir.
Lineer tahmin edilebilir bir ,±.'fi lineer bile şiminin tahmin
edicileri ve baz ı özellikleri ilk önce e - (0,o21)
ve daha sonra
e- N(0, (72/)dun ımlar ı için a şağıdaki teoremlerle verilecektir. Ancak bu
teoremlere geçmeden önce K ıs ım 2.2 de 9,10 ve 11. Özellikleri bir kez
daha hat ırlatal ı m.
X'X fl= X'Y normal denklemlerin herhangi bir çözümü,
fi = (X'X) - X' Y
olmak üzere,
min (Y - X fl)'(Y - X13) = (Y- Xfr)'(Y X;6)
P -
d ır ve Â.P ES(x) , yani tahmin edilebilir ise 3j:j" lar Q ya göre
deği şmezdir.
TEOREM 4.2.5.2 Y = X fl+ , e- (0,o 2I) , rank(X:nx p) -= k , (k < p

171
Var (.1_:_:( S3) = G'ar(2.'(X'X) - 11). X'Cov(Y)X(X'X) -
02 A'(X'X) .
olduğuna dikkat edin.
b) şıkk ının ispat ı K ı s ım 4.2.1 de .72. nin yans ızl ığın ın ispat ı gibidir.
TEOREM 4.2.5.3 Y = xfi+c , e- N(0, o-21) , rank(X: ıı x p)= k ,(k < p < tl)
lineer modeli için normal denklemler,
X'X fl= x'Y
ve fr normal denkle ınlerin herhangibir çözümü olmak üzere:
a) , lineer ba ğıms ız tahmin edilebilir fonksiyonlar
olamk üzere, x ifi,,I.' 213, .., 2'
istatistiklerdir.
ve Y ' (I - XX + )Y istatistikleri tam yeterli
b) Xj3 tahmin edilebilir fonksiyonunun düzgün minimum varyans
yans ız (UMVU) tahmin edicisi d ır ve N(.1")2,7,11(rX) - 21)
dağı l ıml ıd ır.
c) 02 nin düzgün minimum varyans yans ız (UMVU) tahmin edicisi
d ır ve
L' - x'11 (1 - xx )}7
ıı - k
ıl-k
dağı l ıml ıdır.
(II- k)a2
02 '( (n -k)
ISPAT: (Graybill ,1976)
Şimdi Örnek 4.2.5.1 'i yeniden göz önüne alal ım. X tasanm matrisi
6 x 3 tipinde olup raıık(X)= 2 dir, yani ıı = 6,p= 3,k = 2dir. X matrisin

172
S(X)sat ır uzay ındaki her ,' ES(X) vektörü için J tahmin edilebilir olmak
üzere örne ğin x matrisinin birinci ve dördüncü sat ır vektörleri,
2', (1, ı ,o)
2.' 2 = (1,0,1)
lineer ba ğıms ız olup 2'0,2' 2fifonksiyonlar ı, tahmin edilebilir fonksiyonlar
için bir bazd ır. c- N(0,02/) olduğunda 2'0 ile 2:2 ,6 baz fonksiyonlar ının
UMVU talımn edicilerini bulmak için,
6i1+3 .iz i +3a2 =
=
3.11-1-3 â2 - Y2.
normal denklemlerin bir fr= (7.1,âb â2 )' çözümünü bulmal ıyız. Örneğin
C(2 ) . = (o,-1 3 Y,., 3 Y2 ) bir çözümdür. Buna göre 2r ifi ile ,L213 n ın
UMVU tahmin edicileri,
- 3 •
1
!1_•'2fi= - Y2
- 3 •
d ır. Şimdi tahmin edilebilir her 2' ifi fonksiyonu 2.' ifi ile 2'2fi n ın bir lineer
bile şimi olduğundan, 2' 1/3 n ın UMVU tahmin edicisi 3
Yı
bile şimi olacakt ır. Örneğin,
= 2/1'0+ .1' 2/3= (3,2,1)73. 3,u + 2al + a2
olmak üzere 3,u+ 2 + a2 n ın UMVU tahmin edicisi
2.1
3 3
ile -31 Y2. nin lineer
d ır.
S( X). S(X'X) olmas ı sebebiyle tahmin edilebilir fonksiyonun
UMVU tahmin edicisini bulmak için X'x in sat ır vektörlerinden de
faydalan ılabilir.
ve

F(X'Y)= X'Xfi
olmas ı sebebiyle, x'Y vektörünün her sat ın, normal denklemlerde bu
sat ırdaki denklemin sol tarafında ;6. yerine ,g yaz ılm ış ifadenin UMVU
tahmin edicisidir. K ısaca,
olmak üzere,
E(y)=6,u+3a1 +3a2
E(Yi. )= 3,u + 3a i
E(Y2)= 3,u + 3 a2
6p + 3a l + 3a2 nin UMVU tahmin edicisi Y =
3
3,u + 3a i nin UMVU tahmin edicisi Yı . = z
2 3
Yij
i=1.1=1
173
3p + 3a2 nin UMVU tahmin edicisi Y2 = Y2i
j= ı
d ır. x'x matrisinin sat ır vektörlerinden iki tanesi ile, örnegin
f 1= (6,3,3)
4:2 = (3,3,0)
ile olu şturulan r' ıfi, f:2fl baz fonksiyonlan yard ım ıyla herhangibir e'fi n ın
UMVU tahmin edicisini bulabiliriz. Örne ğin,
fi= 3,u+2ai + a 2 =,fi+- f,fl
3 3._
olmak üzere 3,u + 2al + a2 n ın UMVU tahmin edicisi
d ır.
,P= ı " +-ı Vi = - ı (Yi +Y2)+-Yi = 2-1 4 4-- 1 Y2
- 3 3 • 3 " 3 ' 3' 3 •
K ıs ım 4.1.3 den hat ırlanacag ı gibi
Ni = N + a ı
/42 =P+ a2
şeklinde bir parametre de ği şimi ile model,
3

-
-
174
Yn
1
O-
42 1 0
Y13 1 0
Y21 0 1
Y22 O I
Y 23_ ... O 1
biçimine gelir. Bu durumda tasar ım matrisi U ve katsay ılarm parametre
vektörü O,
ı o
ı o
0
u = 1
o 1 /12
O 1
, e. =[/ ']
O ı
olmak üzere, rank(11) = 2, k = 2,p = 2,, ı =6 d ır. U tam sütun rankl ı
olduğundan B parametresinin kendisi ve herhangibir lineer dönü şümü
lineer tahmin edilebilirdir. Bu durumda normal denklemler,
3 = Yı .
37.12 = Y2.
olmak üzere Ni in UMVU tahmin edicisi
pi , p+ al olduğundan dan p+ al in UMVU tahmin edicisi
3
, p2 nin 112 = —Y2. dır.
•
3
1
3
ve p2 = N i a2
olduğundan p+ a2 in UMVU tahmin edicisi —Y2 dır. Bu tahmin ediciler
3
Y= X13+ e modelindeki tahmin edicilerdir. Buna göre tahmin edilebilir L'fi
fonksiyonlar ın ın UMVU tahmin edicileri her iki modelden de elde
edilebilir. Bu durum a şağıdaki tan ım ve teoremlerde ele al ınacakt ır.

Şimdi G2 için UMVU tahmin edicisini göz önüne alal ım. Y = Xfl+e
175
inodelinde normal denklemlerin farkl ı
değerleri ayn ı olacakt ır. Örne ğin,
,^3 çözümleri için Y Y -fi X'Y
ve
için
fr = ( 0 , ± Yi -1 Y2" )'
1 3
13, =(-3 Yi ,13,- 3 Y2 9 • )'
13 X' Y = (0,- 1 - 1 >72 )
3 3 •
Y
Yı .
Y2._
I
3 I.
2 2
+ Y, )
4.
2 X'Y =( 3 3
d ır. Ayr ıca Y = U 0+ E modelinde de,
Y
- -Yi ) 9 •
_Y2.
= -(Y 1
3 2 + Y 2 )
1. 2.
=. ,1"v v iY11 = _1 ty 2 + y 2 )
3 I. , 3 , 2. / y2. 3 1 2 . ı
d ır. Her iki modelde cf2 nin UMVU tahmin edicisi,
d ır.
=
2 3
2 2 2
Y? - (Y + Y ) j 3 1. 2.
6-2
TANIM 4.2.5.3 Y = X/3'+ e , - N(0, o -2/) , rank(X:nx p)--- k , (k p

176
b) Eğer In = k ve rank(L: px k) = k, yani, ( 1 , ( 2 ,..., (k lar lineer
ba ğıms ız ise e= Lfi tahmin edilebilir dönü şümüne yeniden parametrelendinne
denir.
TEOREM 4.2.5.4
Y= Xfi , e-N(0,02 1) , rank(X:n x p) = k , (k p < n)
modelinde 64= L'fi dönü şümü bir yeniden parameterelendirme olsun. O
zaman :
a) L'(L'y =1
b) Eğer O* = ( ı.* )'p ba şka bir yeniden parametrelendirme dönü şümü
ise (i,*)' = BI: olacak şekilde sint,7üler olmayan bir B:k x k matrisi vard ır.
c) Y = X(11 - L' ,(3+ e , = , 9= 133 , Y = (IO+e olmak üzere,
bir tahmin edilebilir 2: fl fonksiyonunun UMVU tahmin edicisi ve az nin
UMVU tahmin edicisi her iki modelde ayn ıd ır.
ISPAT: (Graybil1,1976)
E- (0,02/) olmas ı durumunda, p vektörü ile ilgili parametre
tahmininde UMVU yerine BLU ve 02 için UMVU yerine yansızl ık
kavramlar ının gelmesiyle yukar ıda söylenenler geçerlili ğini korumaktad ır.
Tahmin edilebilme sorunu ile genellikle tasar ım modellerinde
karşılaşmaktay ız. Bu modellerde belli bir faktörün düzeyleri ile ilgili
parametrelerin hangi lineer bile şimleri tahmin edilebilir sorusu çok s ık
kar şım ıza ç ıkmaktad ır. Bu sorunu bir örnek üzerinde ele alal ım.

177
ÖRNEK 4.2.5.2
YR 110100 0- fi
Yİ 2 1 1 0 0 1 0 0
Y13 1 1 0 0 0 1 0
Yİ 4 1 1 0 0 0 0 1
Y21 1 0 1 1 0 0 0
Y22 1 0 1 0 1 0 0
Y23 1 0 1 0 0 1 0
Y24_ 1 0 1 0 0 0 1
a l
a2
z-1 +
T2
T3
T4
2 4
veE - N (0,02 1) olmak üzere c.i cz; , ci rj lineer bile şimlerinden hangileri
ı.ı i=1
tahmin edilebilir ve bunlar ın UMVU tahmin edicileri nedir?
Bu soruyu ele almadan önce lineer tahmin edilebilir fonksiyonlar
için bir baz elde edeli ın ve baz fonksiyonlar ının UMVU tahmin edicilerini
elde edeli ın. Bu amaçla modeldeki tasar ım matrisi X ile gösterilsin ve
fi= (p, a l , a2 , zi , T2, T3,T4)' olsun. Buna göre model,
Y = Xfl +e , -- N(0, o21)
ve rank(X)= 5, k =5,p =7 ,n = 7 olmak üzere k < p d ır. Model düşük
rankl ıd ır.
4401111
4041111 Y2.
X'X=2111000, X'Y =
2 1 1 0 1 0 0 Y2
2 1 1 0 0 1 0 Y3
1 1 0 0 0 1 Y.4

178
ve normal denklemler (7 tane denklem),
8iı +4?:r ı +4 -a2 +2Z1 +21-2 +2r3 +21-4, = Y.
4 'ii + 4 +1- 1 + + + = Vi , = 1,2
it+ + + 2 7ri , j = 1,2,3,4
olmak üzere 5 tane lineer ba ğıms ız parametrik fonksiyon (baz
fonksiyonlar ı) x'x matrisinin sat ırlarmdan 5 tanesini seçerek (örne ğin
1,2,4,5,6 veya 1,2,4,5,7 ile) olu şturulabilir, yada X'X in sat ırların ın lineer
bile şimi olan lineer ba ğıms ız 5 tane sat ır vektörü al ınabilir. i---- 1,2 için
normal denklemlerin ikinci ve üçüncü denkleminin (x'X matrisinin ikinci
ve üçüncü sat ırlar ının) fark ı al ın ırsa ;U, îi , ^r2 ,"z-3 , î4 terimleri yok olmaktad ır.
Benzer şekilde J = 1,2,3,4 için iki denklemin fark ı al ın ırsa ,u, a1 , a2 terimleri
yok olmaktad ır. Birinci denklemin de gözönüne al ınmas ıyla, örneğin,
1.sat ırdan : 8,u + 4 al + 4 a2 +2 + 2 r2 + 2 r3 + 2 r4
2.sat ır eksi 3. sat ırdan : 4a1 4a2
4.sat ır eksi 5. sat ırdan : 2 Tl -2 r2
4. sat ır eksi 6.sat ırdan : 2 ri - 2 r3
4.sat ır eksi 7. sat ırdan : 2 vi -2 r4
lineer parametrik fonksiyonlar ı bağnns ızd ır. Bunlar ın UMVU tahmin
edicileri, â2 , îi , '7r2 • î3 , 'r4 normal denklemlerin herhangibir çözümü
olmak üzere bu çözümlerin 11, a 1 , a2 , ri r2 , r3 , r4 lerin yerine yaz ılmas ıyla
elde edilir. Ancak buna gerek yoktur. Çünkü,
d ır.
8,^u+4 -aı +4 ȧ2 +21-1+2 -r2 +21-3+21-4 = Y.
4âi - 4 = - Y2
- I - 2 - r
- I - Y 2
21-1 -21-3 = Y ı - y3
21-1 - 21-4 = y ı - Y.4

Şimdi sorumuza dönelim. Görüldüğü gibi,
179
2
i =1
c2a2
lineer bile şimi baz fonksiyonlar ı cinsinden, yani baz fonksiyonlar ın ın lineer
bile şimi olarak, 4a 1 - 4a2 nin k , (k E R) kat ı olarak,
ciai+ c2a2 = k (4 a l - 4 a2 ) , k ER
biçiminde yaz ılabilir. Buna göre el = -c2 olmal ıdır.
4
j=1
lineer bile şimi baz fonksiyonlar ı cinsinden,
4
= ki(2ri -2r2 )+ k2 (2 - 2r3)+k3 (2 2r4) (ki ,k2 ,k3 ER)
ı =1
biçiminde yaz ılabilir. Buna göre V 1-1, r2 , r3, r4 E R için
q + c2 r2 + c3 r3
r4 = 2(ki + k2 + k3)ri - 2ki r2 - 2k2 r3 - 2k3r4
olmal ıdır. Buna göre,
q = 2k 1 + 2k2 + 2k3
c2 =
c2 = —2k2
c'3 = —2k3
olmal ıd ır. Bu durumda da c katsay ılar ının toplam ının s ıfır olduğuna dikkat
4 4
ediniz. ri tahmin edilebilir olmas ı için = oolmal ıdır.
i=1

180
4.3 Ili POTEZ TESTI
Modelimiz,
Y = .X,g+ , rank(X:n x p) = p , s — N(0,0 -21)
olmak üzere, bu k ı s ımda H fl = h hipotezinin test edilmesini inceleyece ğiz.
Burada H, qx p mertebeli, rank ı q olalı verilmi ş bir matris ve h , qx
boyutlu verilmi ş bir vektördür.
ÖRNEK 4.3.1 Y; = 130 + 131x; + , i =1,2,...,n basit lineer modeli
gözönüne alal ım. Aşa ğıdaki durumlar ı test etmek isteyebiliriz.
a) /3k) = ati , bo verilmi ş bir sabit.
b) = bi , bi verilmi ş bir sabit.
c)/3o=bt ı , Qi = bı
ÖRNEK 4.3.2 Y =. flo + filxi ı +fi2r21 +fiA" +fi4x4 ı = 1,2, ... , n
modelinde a şa ğıdaki durumlar ı test etmek isteyebiliriz.
a) =flı
b) A = /32 = 6 , bu a) dan farkl ıdır, burada her iki katsay ının
da 6 ya e şit olmas ı durumu test edilmek isteniyor.
C) /3 1 — /32 ve /33 = /34
d) Po= ıgı = 112 =P3 fi4 = o
e) A = )62 =A Jg4
{fil — 2/32 = 4[33
A +2fl2 6
Bunlar ın herbiri H fi = h biçiminde yaz ılabilir.
a) =[0,1,-1,0,0] , h =O
b) H
[O 1 O O O
O O 1 O O] h— 4 6]
e) H = [0 1 —1 0 O O
h =
O 0 0 1 —11 [0
d) H = 15x5 , h =O

181
e) H=
o
0
0
1
1
1
-t
0
0
0
-1
0
o
0
-1
, h=
0
O
f) H=
[ O
1
2
0
, h
- = [6
Not: H ve h nin tek olmas ı gerekmez. Örne ğin e) şıkk ında,
veya
o 1 -1 O O - 0
H = O 1 1 -2 0 , h= 0
o 1 1 1 -3 0
olabilir.
0 -1 0 0 I 0
H= 0 0 -1 0 I , 0
0 0 0 -1 1 0
4.3.1 TAM RANKLI MODELDE lifi=h HİPOTEZİ
Model,
ve parametre kümesi,
Y = X 13+ e , rank(X:n x p) = p , N(0,a2 1)
= {(fi, 02 ):fi RP,a2 e(0,0D)}
olmak üzere, parametre kümesinin bo ş olmayan bir alt kümesi ıo (w c n)
ve tümleyeni Fo olsun.
w ı..) , co rşdı =
Ho hipotezi, co altkümesi veya ba şka bir ifade ile parametrenin CO
eleman ı olmas ı ve H l hipotezi de c7) olduğunda hipotezler,
n ın

182
Ho : (ft, a2 ) e (ıı
H1:(gcr2 ) c7ti
biçiminde ifade edilir.
H, q x p mertebeli, rank ı q olan verilmi ş bir matris ve h, q x 1
boyutlu verilmi ş bir vektör ve H fl = h denklemi tutarl ı olmak üzere,
={(fi,o2 ):fl G RP , o2 E (0,D), H fl iı)
olsun. Al ışılagelmi ş olarak Ho ve H1 hipotezleri,
Ho : H fi = h
,61.7
biçiminde yaz ı l ır.
Olabilirlik oran ı test fonksiyonu,
{1 , U (Y) < c
(1,(Y) =
O , U(Y)> c
ve olabilirlik oran ı,
max
1,(6,o2 ;Y)
U (Y) = (L"2 )")
max L(f3, o-"; Y)
a`) €0 --- —
olmak üzere, a anlam düzeyinde e (o c) = a
olacak şekilde belirlenir. Burada,
143, 02 ;Y) = (..„7 1- Jon (02 y I 2 e gaz
- --(Y-Xl3Y(Y-Xfi)
olabilirlik fonksiyonudur. Pllo (U(Y)> c) olas ılığı ise
hipotezi doğru
olduğunda II(Y)>c olmas ı olas ı l ığıd ır. Görüldüğü gibi problem, U(Y)
istatisti ğinin elde edilmesi ve bununla ilgili bir olas ı l ık dağılım ının
bult ınmas ıd ı r.

t ı (Y) istatisti ğinin paydas ındaki 4/3,02 ; Y) olabilirlik fonksiyonunu
üzerinde maksimum yapan de ğerler,
x+ y_
183
ol ınak üzere,
2 y' (1 - xxY+ -
2=
d ır.
n
max 1, (13,a2 ;3_')= 1 (QSZ „,r.)- e 2
, ı n nI2
(p.02 )E0 (N/27r) (ao )
II (Y) istatisti ğinin pay k ısm ındaki maksimizasyon problemini iki
farkl ı yoldan çözmeye çal ışaca ğız. Birincisi, Hfi= h k ıs ıtlamas ını model ile
birlikte dü şünüp Hipotezle indirgenmi ş modele geçmek, ikincisi ise
Lagrange çarpanlar ı yöntemini kullanmakt ır. İkinci yolu bundan sonraki
k ıs ımda ele alaca ğız.
Şimdi (Y) istatisti ğinin pay k ısm ındaki maksimizasyon problemini
çözmek için Hp 3 h k ıs ıtlamas ını model ile birlikte dü şünüp Hipotezle
indirgenmi ş model denen yeni bir model yazal ım. Bu amaçla, HIC = o ve
K: (p - q) x p , rank(K)-= p olan bir K rnatrisi alal ım. K matrisine H nin
ortogonal tümleyeni denir. H matrisinin sat ır vektörlerine K matrisinin
sat ır vektörlerinin eklenmesiyle elde edilen p x p boyutlu matris için,
ve
rank H]
= P
K px p
-1
[HK1 = [HKI. [ H+
d ır. Buna göre,
K+ ]

184
H
[H+ K 't K ]= 11+11 +K+K = I
d ı r.
= xfi + e modeli,
biçiminde yaz ı l ıp,
Y = X(11 +H + K+K)fl+ E= XH +h+)(K+Kfl+ e
z = Y - XII + h
B = XK+
Kfl
deği şken de ği ştinnesi yap ı l ırsa,
Z= By+s
y =
modeli elde edilir. Bu modele Hipotezle indirgenmi ş model denir. Bu
modelde, x 1 gözlenebilir bir rasgele vektör, B: n x (p - q) sabitlerin tam
sütun rankl ı bir matrisi, y:(p- q) x t bilinmeyen parametrelerin bir vektörü
ve e gözlenemeyen N(o,a2/) dağı l ıml ı varsay ılan bir vektördür. Bu
modelin parametre kümesi,
d ır.
S2 = {(y,o 2 ):y ERP-q ,a2 E(0,00)}
I. (/i, 0-2 ; Y) olabilirlik fonksiyonunun Hp = h k ıs ıtlamas ı alt ında
maksi ınizasyonu problemi için,
max L(P,452 ; Y) = max 1,(y,cr2 ;Z)
(11•

185
d ır.
max L (Z „ e 2
6Q. yı 12
(y,o2)ESI.
Böylece ci (Y) iStatiStigi,
y < XX + '1Y
(y) = = s 1
6.2S2*
Z — BB 4 )Z
(Z = Y — XH + h)
olarak elde edilir. Bu istatisti ğin dağı l ımı bulmaktansa, genellikle
olabilirlik oran ı testlerinde yap ıldığı gibi,
n
W (Y) = u(y) 2 . n — P = n—p
dönüşümü sonucu elde edilen W (Y) istatisti ğiııiıı dağı l ımı bulunur.
'62
Ç/
W (Y) = Z (I — BBZ )_— Y (I — XX -1- )Y — p Y (I — XX + )Y_
istatisti ğinin paydas ı
( ı -xxly 2
62
olmak üzere pay k ısm ı için,
X (n-P)
Y' (I — XX 4")Y =Z ' (I XX + )Z
Z' (I BI3 + )Z --- (I XX + )Y = Z ' (XX — BB + )Z
ve
N(Xfi— XH + h,cr2I)
7: (XX + —BB1Z 2
X(

186
1 (XX + - BB +) 9
=-(EZy
( EZ =— (P - H + h ) 'X' ( XX + -B8 + )(P - H+h )
2o-
d ır. Ayr ıca, Y ' (I - XX + )Y = Z ' (I - XX + )Z
fondan ba ğıms ız olduğundan,
ile z' (xx + - BB +)Z karesel
d ır.
W(Y) —
p,A)
Ho : H 13= h hipotezi alt ında W(Y) istatisti ğinin dağı l ımındaki merkezi
olmama para ınetresi = o d ır. Böylece,
Y = X ft+ , rank(X:n x p)= p , c- N(0,o21)
modelinde,
H0 :11/3= h
13. 11
hipotezleri için olabilirlik oran ı test fonksiyonu,
2
{1 , U(Y) <
(Dm= {1 , W(y) > c * ="- P (c n -1)
c , W(Y)

4.3.2 OLAB İL İRL İK ORAN İ TEST İSTAT İST İGİNİN
LAGRANGE (ARPANLARI YÖNTEMI' İLE ELDE EDILMESI'
Yeniden,
187
model inde,
hipotezleri için,
Y = X13+ , rank(X:n x
Ho : Hfi = h
Ht : ,o ıj
p , 6 — N(0,o21)
el)( Y )
1 , U (Y) < c
{ O , U (Y)> c
olabilirlik oran ı test fonksiyonunu ve
max 1.(fl, a2 ; Y)
(A0 2 )€0
11(Y) =
max 1.(fl,0-2 ;Y)
(fi,a2 )ES-2
istatisti ğini göz önüne alal ım. Bu istatisti ğin paydasi için,
, ^2
1
max L(13,02 ;Y) = 1.(p cr • Y) =
e 2
_LT — ( ^ci2..2)rı 12
(fi.o2 )ES1
olmak üzere, pay k ı s ın ındaki,
max In 1,(,6, o2 ;Y) (o ={(fl,02 ):13 e RP, a2 e (0,co),Hfl = h}
H fi=h
optimizasyon problemin' çözmek için Lagrange çarpanlan yöntemini
kullanal ım.

188
Amaç fonksiyonu,
(}•- Xify(Y-X/3)
In L(f3,a2 ;Y) - e 202
olmak üzere, max L(P,cs2 ; Y) problemi için Lagrange fonksiyonu,
Ilfl=h
ve
g(13,a2 ,,1)= In 1,(Acr2 ;Y)-- 2 ' (H fl-h)
= 1 (2X'X fl-2X'Y)1,(13,o -2 ;Y)-H'.1.
2 02 -
(34(fi' °21)- " ( 02 )-1 L(Ao2 ;Y)+ 1 4 (Y
c-,02 g o-
Xfi)( Y - Xfig(İ3, 02 ;r)
cWI , c 2 ,?1) (11fr- h)
d ır. K ısmi türevleri s ıfıra e şitleyerek elde edilen sistemin çözümünü
frw ,a2,,,,0 ile gösterelim.
Q2 'Ii.
L(;q

189
= X + Y-(x•x) -1 HIll(x'x) - liri I (HX + Y -h)
=fr- (X'X) -1 HIH(X'Xy l
(Hfr-h)
(Y - X;0)'(Y - X;6)+(H)3- hy{H(X'X) -1 H1 1 (Hfr-12)
î:y2 =
Q
4.
(H;q-- hy[H(X'X) -1 (163- h)
bulunur. Böylece,
ve
?s2
u( )7\ _ Nn/2
Cr2
ry
olmak tızere,
W(Y)=
]
a2
- -2
ıı - p .._ a, Q il - II
. q - . q
S)
Ve
W(Y)=
(H -ft- h) , [H(X'X) - - 111-- ı (H/3-h) n _ p
Y (I-XX + )Y
• q
W(Y)-
(q,n-p,1= --! -(11,6-h)111(X Ş X) -1 111 -1 (IIfl-h))
2 o-2 -
elde edilir. Buradaki W(Y) istatisti ğinin önceki k ıs ımdakinin ayn ıs ı olduğu
i şlemler yaparak da gösterilebilir.(Problem 4.5)

190
4.3.3 OLAB İL İRL İK ORANI TEST İSTAT İSTİĞİNİN BAZI
GÖSTER İMLER İ VE ÖZEL HALLERI
Bu k ı s ımda ilk önce test istatisti ğinin deği şik gösterimleri hat ırlat ıl ıp
110 . Hfl = h hipotezinin baz ı özel halleri ele al ınacakt ır.
Y = X fl+ e , e- N(0,021) , rank(X:nx p)= p (n > p)
modelinde, paran ıetre kümesi,
Q = {(fl, 02 ):fi E R P , 02 > o}
ve fi ile a2 nin tahmin edicileri,
13= X +Y =(X'X) -1 X'Y
- XX ± )Y _= Y'(1 - xxly_
ıı - p
olmak üzere, H:q x p , rank(H)= q için,
H0 :11,q=h
h
hipotez testinde Lagrange çarpanlar ı yöntemi ile elde edilen olabilirlik
oran ı test fonksiyonu,
(1111-12)1H(X'X)_ , H'i -1 (H (i-12) ır- p
W (Y) p, A )
y.( ı - xxlv
ve ilo hipotezi doğru olduğunda,
d ır.
W (Y)
(13_ p)' w[il(x'x) -i frf l H(13^ -- P) 11- P
= —
Y'(I - XX + )Y
F wn-p)

191
Cov(Hfl-h)=6-2H(X'X) -1 H'
olduğunu ve Cov(1113 h) n ın en çok olabilirlik tahmin edicisinin,
('01,(H;g-h)= 'f2H(X'X) -1 H'
olduğu gözönüne al ın ırsa,
W(Y)=--i (Hfr-h)'[C,'ov(Hftq
-
biçiminde yazd ın
11;9- /A
Hipotezle indirgenmi ş model,
z = &Y+ E , Z = Y - XH +h , B= XK + , 8= Kji
olmak üzere, indirgenmi ş modelde 8 ve 02 nin en çok olabilirlik tahmin
edicileri,
= 13+ Z 62 (I - 1313+ )Z
- rı
d ır.Bunlar yard ım ıyla,
W(Y)=
62 -6-2
Q *
2
(Yil
- p
Z (I- B8')Z-Y (I- XXIV
Y ' (I - XX + )Y
p
- -
Z (XX + -BB + )Z ıı - p
(1- XXIV q
biçiminde ifade edilir. (K ı s ım 4.3.1)
W(Y)
dağı l ıml ıdır.
hipotezinin dogru olduğu varsay ım ı alt ında,
.n-p

192
( 1 , W(Y) >
0(7)= 0 , W (Y) < F
P
test fonksiyonunun güç fonksiyonu,
Go
11 (1,(13, (32 ) = j f(x;q,11- p, ı1,)dx
d ır. Burada f fonksiyonu q, ıı - p serbestlik dereceli, A merkezsel olmama
parametreli E-dağı l ı m ının olas ı l ık yoğunluk fonksiyonudur.
Şimdi Ho hipotezinin baz ı özel hallerini gözönüne alal ım.
1. H0 :13= o
Bu durumda H=1, h= o d ır.
(rX);q ıı - p (X;6Y (X;') p
W(Y)= - = , -
)7 (1-xxly P Y (I - XX + )Y P
olmak üzere,
(Alg)'(x71)
,
xx+Y p
,
y Y -Y
n-p
Y ' XX 4. Y =V (XX 4. )(XX )Y = (XX + Y)'(XX + )Y = (X)'(Xfr)
olduğundan,
iı o') =
(X;O)' (A/M ıı -
. P
ıı - p
Y
^ "
r-(xfiy(xp) P
2 ^2 •
p
d ır ve W(Y)- Fp,_ p dağı l ıml ıd ır.

2. N o :13=h , h: p xl bilinen bir vektör.
193
Bu durumda H=I , h = h olmak üzere,
W(Y)= (;
- bY X'X)(j3 - b) n-p
XbY(Xii - XP) n-p
Y (I- xx+)y P Y Y -(X;(3)'(X;) P
d ır ve W(Y)-
dağı l ıml ıd ır.
3. fi nın verilmiş lineer fonksiyonunun bir a say ısına eşit olması
hipotezi.
Ho f'13=a , 111 :tifi'a
Bu durumda, Ni. ,, [e- 1 , 2,...,e p ] = Llix ı = [al ve
W(Y)=
n p
( ı - ivx+)Y ı
(('13 - 01) 2
r(X-x) -'r[r(1 - xx+)}1 .
p
(['Q —a) 2
ri(x90 - ' f.b2
((,;6 _ a)2
=
Var([' Q)
olmak üzere, w(Y) h, n _ p dağıl ıml ıd ır. Buna göre olabilirlik oran ı test
fonksiyonu,

194
(1)(Y) =
1 , W(Y) >
O W(Y) c) = a
u
d ır.
1
ı ^
(( fl-a) 2
-,-
Var(r.' fi) > bl-a;p,n-p
({ğe-a) 2
0 , „ <
Var((7)
Di ğer taraftan, olabilirlik oran ı test istatisti ğini kullanmaks ız ın basit
düşüncelerle bir test fonksiyonu elde edilebilir.
N(fi, 02 ( X'x) -I )
ej3-- N(efi 3 O-2 e(x'X) -l e')
('fi
(a2(vux) ğ: = Z N(0,1)
(11- p)C52
02 x(n-p)
ve Q ile '6-2 bağıms ız olduğundan,
yani
v:6-- re fi
072 f I ( X PX y 1 ef )112
1(t ı 1))&2 1( ıı - p)
V 0 2
(n- p)
1(1- p)
6-( ı.(xw) — ' f')"2
d ır. Bu istatistik ile olu şturulan a anlam düzeyli,

195
> tl - a/2
(1 )9- a) 2
-1 1-a/2 < < ıl-a/2
Var(e lg)
test fonksiyonu olabilirlik oran ı test fonksiyonu ile ayn ıd ır.
4. X: ıı xp , X 2 :nx(p-q) ve ,9.,pxl,fi 1 :q x1492:(p-q)x 1 olmak
üzere,
x = [XI X2
Ri
=
LP.2
parçalanmalar ı alt ında model,
Y = 2( ıfil +- 2(2P2 + e
durumuna gelmektedir. b i verilmi ş bir vektör olmak üzere
Ho :fil =12 1
hipotezleri için olabilirlik oran ı test istatistigini elde etmeye çal ışal ım.
Ho :fli = h i hipotezini, H=[1,7 ,0],h=bi olmak üzere Ho :Hfii =h
biçiminde yazabiliriz.
ve
W(Y)=
1
(11;9-hy[H(X'X) -, H'i (Hfi-h)
Y'(1-- XX + )Y

196
(X 'X) -1 =[C" ,C12 ] C11:£ 1"i
C2i 1'22 px p
olduğundan,
1 C11 C12 lq _
11
1,1,4 1- L ıı
Cı l C22 O
(H;g-
W(Y)=
yaz ı l ır. ('matrisinin tersi ( — ı I 1
Y' (I - xxly
p
f.17 1 XjX2
XX = C Xi X ı > X21 = J[ C X X2]
olmak üzere,
C 11 1 = XVI - XÇX2 ( X2) -1 XXi
elde edilir.
W(Y)=
1 (;0 1 - bi) 1? - P ,(H/3=131)
ru - xx
Hipotezler,
Ho:fil =9
biçiminde ise
fi,C11 I fi _ 1 n - p
W (Y) =
Y' (1 - XX + )Y CI
olur. Şimdi bu formülü indirgenmi ş model yard ım ıyla bulal ım.

197
W(Y) =
22
Q * £ -2 ıl— p
ve
(.3.2 =_ Y(!-XX1Y
olmak üzere 6-2 y ı elde etmek için indirgenmi ş modeli gözönüne alal ım.
modeli Ho :fli
= X ıfil +X2fl2 +6
= o lıipotezi alt ında,
modeline indirgenmektedir. Bu modelde,
d ır. Buna göre,
8 = Y
sz*
Y'(1 — XX)V
X2 X2+ Y ıı -p r(XX ± - X2 X2+ )17.. n - p
W(Y)=
Y'(1 — xx+)y q r(ı - xx+)Y q
d ır.
w(y) istatistigindeki karesel formlann geometrik yorumlamalan
Şekil 4.4.1 deki gibidir.
Şekil 4.4.1

198
4.3.4 TAM RANKL1 OLMAYAN MODELDE Hp = O HİPOTEZİ
Modelimiz,
Y = X fl+ e ,
N(0,021) , rank(X:n x p)= k , (k < p

matrisi elde edilsin. raıık(L' :k x p) = k olmak üzere L' )6' n ın k tane bile şeni
lineer tahmin edilebilir fonksiyonlar için bir bazd ır. L' matrisinin her sat ın
ayn ı zamanda x matrisinin sat ır uzay ında bulunduğundan,
L' = A' X
olacak şekilde A:k x ıı matrisi vard ır. rank(L') = k olduğundan ratık(A'). k
olmal ıd ır. Ancak A' matrisinin boyutlar ı gözönüne al ın ırsa raıık(A')= k d ır.
Şimdi,
X (L') - L' = X
olduğu gösterilebilir. X matrisi K ıs ım 2.1.1 2) deki gibi,
X = EG ,
: ıı x k , G:k x p , rank(F) rat ık(G)= k
çarpanlanna ayr ıls ın. A' •G = L' ve ralık(L')= k olmas ı sebebiyle A' F:k x k
matrisi için,
raıık(A' ) = k
olmal ıd ır.
(A' X)(A' X) - (A' X) = A' X
e şitli ğinin her iki tarafı soldan
yani,
(A' F) -1 ile çarp ıl ırsa,
(A' F) -1 A' FG(A' X) - A' X = (A' F) -1 A' FG
X (A' X) - A' X = X
X (L') - L' = X
elde edilir ve rank(X1,')= k d ır. Bu sonuç kullan ılarak model yeniden
para ınetrelendirilsin.
199
ve
Y = X fl+ E= X(L') - L'fl+
U=X(L') -
rank(U : ıı x k) = k
H_ [HI 113 ,0]
= 133 =[H _fi
için,

200
Y = 110+ E
modeli tam rankl ıd ır.
= {

4.4 Go VEN ARALIKLARI
201
Bu k ıs ımda parametreler için önceki iki k ıs ımda elde edilen tahmin
edicilerden ve hipotez testlerindeki istatistiklerden faydalanarak güven
aral ıklar ı ve bölgeleri olu şturulacakt ır.
4.4.1 BİREYSEL GÜVEN ARALIKLARI
Modelimiz,
Y = Xfi+ e , e- N(0, a21) , rank(X:nx p) = p (n > p)
olsun. Bu durumda parametre kümesi,
ve
= {(fi,a 2 ):fi E RP ,a2 >0}
13= X'Y N(fi,a 2 (X'X) -1 )
Y' (1 -XX 4- )K ( ıı - p)62
ıt — p ' 02 (n —
(H1i—h)'[H(X'"1") — 1 1-11 (1111-12. )
W(Y)— F 1 1
41'62 (q,n—P. =---,; ( Hp—py[14x .x) (Hp—h))
2cr-
(73- fi) . 11111(X'X) -1 H((3-11)
W(Y)= — F(q ,„-p) (11fi=lidogruoldugunda)
qoar2
d ır. Burada rank(H:q x p) = q dır.

202
( e RP verilen bir vektör olmak üzere,
N((' fi,o2 ( 1 (X'X) ---1 C)
ve ve rii ^ n ın varyans ın ın en çok olabilirlik tahmin edicisinin,
vaı. (eli) = "a2 (' (X 'X) -I
olduğu gözönüne al ınırsa,
efr-ep
,,t,?e(x'x) -1 (
l(n - p)C32 1 ( ıı - p) V"
2 ( 1 (X 'X) -1 (
\ 02
_
(n- p)
yaz ı l ır. Buradan
(' fl- -'Q
al2;n- p <
\frar((13)
ı l-a12;n- p) = 1- a
olmak üzere Vfi için - a güven katsay ıl ı al ışılmış güven aral ığı,
(L. P- II- al2;n- pill2ar(P'73), ,L"73+ ı - 1- al2;n- pN112ar(66))
veya k ısaca,
f:;37/1- al2:n- p N11 2ar(lj: 73)
d ır.
(: p x i vektörünün ı . eleman ı t di ğerleri s ıfir al ındığında A
parametresi için güven aral ığı elde edilir.

o2 parametresi için al ışılm ış güven aral ığı ,
203
d ır.
, (n - p) 6-2 (n - p)62
t .2
11-al2;n- p X2aI2;n- p
W(Y) istatisti ği H = I olduğunda,
(;6.- fiy(x'X)(;-ffl F(pmi_p)
d ır.
olmak üzere,
pâ2
(fr-fl)'(X'X)(-P)
- -
pop-
E
(1-a,p,n-p))= 1-a
{fl (P- fl)' (X 'X)(13 )0) p) }
kümesi Rp'de bir elipsoiddir. Bu elipsoide fi parametre vektörü için 1 -a
güven katsay ı l ı güven bölgesi denir. (Elipsoidin biçiminin X'X in
özdeğerlerine ab ğl ı olduğuna dikkat ediniz.)
4.4.2 EŞ ANLI GÜVEN ARALIKLARI
Modelimiz, yine
Y= Xfl+6. , e- N(0,a2I) , rank(X:nx p)= p (n > p)
olsun. Ho : H fi = h hipotezinin h hipotezine kar şı l ık test edilmesinde
test istatisti ği olarak,
(11;(3- h)'[H(X'X) -1 H' (H13- h)
W(Y)=
gâ2
kullan ı l ır. O= Hfl-h olmak üzere hipotezler,

1.111(X'X)
204
Ho : 0= o
o
biçiminde yaz ıls ın. Singüler olmayan her Q:qxq matrisi için yukar ıdaki
hipotezler ile,
110 :Q0=0
Hi :(20 o
hipotezleri ayn ıd ır. Dolay ı s ıyla Ho :Q0= 0,111 :Q0 o hipotezleri esas ında
n ın tüm (sonsuz tane) lineer bile şimlerinin s ıfıra e şit olmas ının, en az bir
tane lineer bile şimin s ıfırdan farkl ı olmas ına kar şı l ık test edilmesidir. W(Y)
test istatisti ği ile elde edilecek güven aral ıklarm ın O n ın tüm lineer
bile şimleri için geçerli olaca ğı beklenir. Gerçekten,
,
h)'[H(X'X) - ' 111 -1 (HP- h)= max
(ERq\lo} V[H(X'X) -1
olduğu gözönüne al ın ırsa (Graybill, 1976),
1
- fly H(16-13)
1)( N[ t
qr72
F(1- a .q,n - p))
I - a
1
P( ,, max
qb' (de \joj
U' (HQ- h)) 2
-1
_ < F
p) ).- 1- a
(((H;(3- h)) 2
P(
5

H fl+Vq1..1 _ a.q p ‘frar(e' H fl)
olur. Uygulamada tüm güven aral ıklar ı yerine sadece ilgilenilen e ler için
elde edilenler gözönüne al ınır.
Yukar ıdaki e ş anl ı güven aral ıklar ı ilk olarak Scheffe tarafından
öneril ıni ştir. E ş anl ı güven aral ıkları elde etmek için bireysel güven
aral ıklarıııı elde edip Bonferonni e şitsizli ğinden de faydalan ılabilir.
Eş anl ı güven aral ıkları elde etmek için ba şka bir yol çok değişkenli
t-dag ı l ıın ı n ı kullanmakt ır.
olmak üzere,
N(Hfi, 0-2v) , V = (v isi )qxq = Iİ(X'X) -1 H'
205
^ı
V ei - 62 1,11
92 - 02
Niâ2 v22
k,- O q
rasgele vektörünün olas ı' k yoğunluk fonksiyonu,
I"( q+n-p )
f (r;q, ıı - p,R)= 2 (1+-
0/2 ( n _ 0/2 P
t ' )(det R) 112 /1- P
2
d ır. (Graybil1,1976). Burada R matrisinin rj elemanlar ı,
q+n- p
1 ene) 2
r
ı ij
,j v .11

206
olmak üzere, R matrisi L nin korelasyon matrisidir. Bu da ğı l ıma q,n- p,R
parametreli çok de ği şkenli t da ğı l ım ı denmek üzere- tq p. R biçiminde
gösterilir. q =I için ıi.n _py ın _ p dır.
j c c —fe cf p,R)d( 1 .•-de q =1- a
olacak şekilde belirlenen c say ı s ı c = ı i _ a/2;qn _ p , R ile gösterilsin. O
zaman
< -
1 ( < ,
-11-a12:q.n- - --I-a12:q,n-p
-
= 1,2, ...,9) = 1- a
(32 vıı
d ır. Bu e ş anl ı güven aral ıklar ında -1-a12;q,n- p,1? değerlerini hesaplamak
sorun yaratmaktad ı r. R yerine ı birim matrisi g eldiğinde,
ıl-a12;q.n- p.1? -5 11-a124,n-p,1
olduğu ispatlamn ışt ır. Buna göre,
yada,
P( -11-a12;q.n- p,I - Bf - ıl-a12;q,n- p,1 a
1'(4 ıl-a17 ;q,n- p,I 5-. 0ı 5- 4 + 11-a12;q,n- p,1 11-1.--
17a (4) = 1,2, .•• , q) a
yaz ı labilir. Parametrelerin baz ı değerleri için ıi _cd2;q , n _p., tablo de ğerleri
Graybill (1976) da bulunabilir.
Ayrıca,
olduğu gösterilmi ştir.
11-cx12:n- p 5 p,
-a;(1 P

4.4.3 TAM RANKLI OLMAYAN MODELLERDE GÜVEN
ARALIKLARI
207
Modelimiz,
Y = XII+ e , 6- N(0,0 21) , rank(X: ıtx p)=- k (k < p

208
4.5 BAZI L İNEER MODEL UYGULAMALARI
Uygulamalarda lineer modellerin hangi tür olgular ı modelleyebileceği
konusunda baz ı örnekler bu bölümün birinci k ısm ında verildi.
Belli bir olgu ile ilgili lineer model kurmadaki amaç de ği şik olmakla
birlikte genellikle bu amaçlara parametre tahmini, l ıipotez testi ve güven
aral ıklar ı çerçevesinde ula şmak mümkündür. Bu konular önceki üç k ısımda
ele al ınd ı . Bu k ı s ımda kendine özgü bir tak ım özellikleri olan baz ı lineer
model uygulamalar ı alt ba ş l ıklar halinde ele al ınacakt ır.
4.5.1 ONGÖRÜ (Prediction) ARALIKLARI
Modelimiz,
Y = X13+ , e- N(0,a2 1) , rank(X:n x p) p (p

noktalar ı olup, Y vektörünün bile şenleri olan Y rasgele
deği şkenleri bu noktalardaki
209
,0,a2 ) (i =1,2,...,n) dağı l ımlarından
örneklemler olarak dü şünülebilir. Örne ğin, K ıs ım 4.1.2 de belirtildi ği gibi
uygulamalarda tasar ım noktalar ı belli D c RP bölgelerinde
bulu ııabilmektedir. Şimdi belli bir x'o E D tasar ım noktas ında (bu nokta
önceki tasar ım noktalar ından, yani X rnatrisinin sat ır vektörlerinden birisi
de olabilir) yap ılacak k tane Yo , Yo 2 , , Yok ek gözlemin ortalamas ı ,
—yo
Yol
YO2 +.•• +Yok
k
için öngörü aral ığı bulmaya çal ışal ım. Yo bir rasgele de ği şken olmak üzere
Yo için I- a güven katsay ıl ı bir öngörü aral ığı oluşturmak demek, Yo
rasgele de ği şkeni 1 - a olas ı l ıkla bu aral ığa dü şecek şekilde bir aral ık
oluşturmak demektir. Dikkat edilirse güven aral ıklarında, güven aral ığı
oluşturulan parametre bilinmeyen bir sabittir ve güven aral ığının bu
parametreyi 1- a olas ıl ıkla kapsamas ı sözkonusudur.
o noktas ında al ınacak Yol Yo 2 , • • • Yo k ek gözlemlerinin
x e D
= (Y1 ,Y2 ,...,Y,,) den ba ğıms ız olduklar ı varsay ım ı alt ında fi x o , Yo
rasgele de ği şkenleri ba ğıms ız ve
fi x 0
N(fl x_ 0
,o2 .1 0 (X'X) -I x )
' o-2
Yo - N(fi )
170 -13 x o - N(0, Cr: 02 X .0 X0 )
( ı1— p) 2
U2 X(n-P)

210
d ır. Buradan,
cf2
k --- () (X',10-1x o Yo—fl
(n - p)iy2 1(n-p) ( x o -/ u ^c...,1 ı —+.vo ı,..r.v)- ' s. 0 sir() S s n +t 6-1, 1 +4(.‘"X) -1 xo ) = I - a
ı -,.n-p) k v 1- 2
,n p) k
olmak üzere, Yo rasgele degiskeni için 1- a güven katsay ıl ı öngörü
(prediction) aral ığı ,
olarak elde edilir.
ı 1- ;n- p)
\11+ X O
(X'X) 1 x O
2
k =1 olmas ı dunımunda, .şo E D tasar ım noktas ında yeni al ınacak bir
Y() gözlemi ile ilgili olarak, Yo gözlemi için 1-- a güven katsay ılı öngörü
aral ı ğı,
d ır.
x T- İ u 6-. İi ı +x (rx) -1 o
x
1— p o
o
2
Basit lineer,
Y; = flo+filx ; + s; , i

modelinde bir xo noktas ında al ınacak Yo ek gözlemi için 1- a güven
katsay ı l ı öngörü aral ığı ,
211
d ır.
/30+fitx0 _ a 6.
1— :n-2
2
1 (5c- -- x0) 2
1+ +
n
(x i - V)
2
i=1
4.5.2 TOLERANS NOKTALARI
Belli bir dağı l ım ile ilgili olarak, dag ıl ımın p kadarl ık bir kısmı bir
y p değerinin sol tarafında kal ıyorsa, y p noktas ına p-inci alt tolerans
noktas ı (p-inci kantil, pth quantile) denir. p-inci üst tolerans noktas ı, y ı _p
ğı l ım ın p kadarl ık bir k ısm ını sağında bulunduran noktad ır. Örneğin,
da
= flo+fli xi + , = 1,2,...,n , 6- N(0,0-2 /)
basit lineer modelde, xo noktas ında al ınacak Yo gözlemlerinin dağılımmı
göz önüne alal ım.
olmak üzere,
Yo N(Po+P ı xo ,a2 )
z = Yo - ıgo+Pı xo - N(0,1)
o-
p =fio+Qixo +zper
d ır.
Y I- p = 130+filx0 zi-per

212
Bilinmeyen y p , y i _ p değerlerinin UMVU tahmin - edicileri,
Y I) fio+filxo + rpci= fio+16 ı xo - p 6-
* I- p fio+fiixo p
olmak üzere bu tahmin edicilerin verdi ği tahminler da ğıl ımı tolerans
noktalar ı olarak kullan ıldığında uygulamada arzu edilmeyen durumlar
ç ıkabilir. Örneğin "Y i _ p n ın ald ığı değerler y i _ p den küçük de olabilir.
Ny l _ p < y i _ p )= I- a
olacak şekilde y ı _ p nin bir Y i _ p tahmin edicisine, daha do ğrusu Yi _ p nin
verdi ği tahmin de ğerine I- a güven katsay ı l ı p-inci üst tolerans noktas ı
denir. Benzer şekilde,
p < y p ) =1- a
olacak şekilde jl' p ye ı - a güven katsay ı l ı p-inci alt tolerans noktas ı denir.
1 - a güven katsay ı l ı p-inci alt ve üst tolerans noktalarm ın,
2 ,,
Po+P ı xo g P'?3-
y ı _ p = fl04,1X0 +gp6 -
biçiminde seçileceğini belirtelim.
Şimdi,
Y = X13+ ,
- N(0,02 1) , rank(X:n x p) = p (p

213
için
.3:„-13 )co - z ı-pa
N(
- z ı-p
,1)
\i- „2 -ok (x ı v\-1 •=0
— x o (X'XY
,,, ,
Nicr2 x. (rX)-1x — O o ___
p x
o
- p
_
_x__-x
o
i _ p o-
T= - ı
\i( ıı - p&2 )
cı 2 / (ti - p)
dağı l ıml ıdır. Buna göre,
â.
- x o (X'X) -1 _x o (n—p,5= , )
x o (XX) -1 x o
yani,
P(T>
-g )=1- a
-o
(X'X) -1 x
-o
d ır.
g p = II—a;n— p,(5.1x0(XW) -1 Lco
4.5.3 KAL İBRASYON PROBLEMI
Basit lineer,
Y; = ,80+13i x; + 6; , i=1,2,...,n
modelinde, ba ğıml ı deği şkenin Yo gözlemine kar şı l ık gelen x = xo değerinin
belirlenmesi sözkonusu olabilir. Örne ğin K ıs ım 4.1.1 deki,
s, = po+fi ı ıi + , i =

214
modelinde al ınan yol miktar ı s = so olarak gözlenmi ş ise bu yol miktann ın
ne kadar bir t (r e ) zaman ında al ındığm ın belirlenmesi istenebilir.
Basit lineer modelde, ba ğı ml ı deği şkenin Yo = yo verilen (gözlenen)
değerine kar şı l ık x (x0 ) de ğerinin belirlenmesi problemi kalibrasyon
problemi olarak bilinmektedir. Kalibrasyon sözcü ğü ölçü aletleri ile ilgili
bir kavramd ır. Örneğin bir tennometrenin (yeni bir tür termometre olabilir)
kalibrasyont ında, standart ölçekle ölçülmü ş s ıcakl ıklarında yeni
termometre ile Yi (i = 1,2,.. ,n) gözlemleri (okumalan) yap ılmakta ve
+ , i 1,2,..., n
varsaynn ı alt ında, yeni termometre ile gözlenen Yo = yo değerine kar şılık
standart ölçekte kar şıl ık gelen x (x 0 ) değerinin belirlenmesi istenmektedir.
Kalibrasyon probleminde, modeldeki ba ğıms ız deği şken bir rasgele
deği şken olarak görülmemektedir.
fl ı
O olmak üzere,
=fio+fiı xt + E/ i=1,2,...,n , e— N(0,0-2 /)
modelinde, Yo gözlemine kar şı l ık gelen xo değerini tahmin etmek isteyelim.
Tahmin problemini biraz daha geni ş çerçevede ele al ıp, xo noktas ında k
tane Y()) ,Y02 ,..., Yok gözle ıninin al ındığını düşünelim.
(xl , Y1) , (x2 , Y2) , ••• , (rn,Yn),(xo, Yol ),(xo ,Yo2),•• ,(xo,Yok)
için olabilirlik fonksiyonu,
1.(Yi , ) 2 ,.••, rn YO1 4)2 , Y0k ;PO , X0 ) n+k e
— { (); —fio —fil-vi ) 2 + 1
—filxoj ) 2
--
2 -L- a 2 ,,
(YOreflO i=i
(2 ıro2 ) 2
olmak üzere en çok olabilirlik tahmin ediciler,

215
n n n
E(Yi — Y )(xi
ijl =1=1
y i=1 i=1
n
iri
fio = - fil
xo =
-fi() „
ve yans ızl ık için düzeltilmi ş,
— "k'- ) 2
k
•
Yı) - j=
k
YO j
Il
I [
=
ıı + k —3 İ =1
Z(Yi >60 — PlXi) 2 + Z (Y0 j — Y0) 2
j= ı
olarak bulunur.
k = i için Y bağıml ı deği şkenin Yo gözlemine kar şılık xo değerinin en
çok olabilirlik tahmin edicisi,
xo =
Ya —,go
dır. fro ve Q1 n ın ortak dağı l ım ı,
N (roi ,u2
d ır.
1=1 i =1

216
6O nin da ğilimi ile ilgili,
S1 =
( }7i
a2
A- (n-2)
s2 =
k
(-V() - Y0) 2
=1
cr2
A (k -1)
olmak üzere S i ile S2 nin ba ğıms ızl ığından,
( ıı + k — 3)3- 2
X (n +k -3)
o2
d ır. 20 nın da ğı l ımı karma şık olmas ı sebebiyle burada ele al ınmayacakt ır.
„S' İ
, S2 ve Yo ba ğıms ız olduklar ından 302 ile (fio,;61, 5 o)'
rasgele vektörü ba ğıms ızd ır. Buna göre,
olmak üzere,
02 7 (X0 - 7) 2
Yo - /30 - x o -- N(0,—
k + o- ( ))
ıt n
i = 1
- 7) 2
d ı r.
T =
Y() — Po fl ı xo
2 - (n + k -3)
1 + (xo — x)
o
I +
k ıı
()C, - 7) 2
= 1

217
ifadesindeki e şitsizlikler,
P(- t a < T < t a ) 1 - a
I- 2
:n+k -3 I- 2
n+k -3
olup,
1 ,2 < (t ) 2
1- a ;n+k-3
2
(i') - Â) - ııxo) 2
- 2 1 1 (X0 - 7)2 , (t 1-- a .n+k-3
o- ( + + ) 2'
" k it n
Z(xi - )7) 2
i=1
N2
)
ax2 +2bxo +c, O
O
biçiminde düzenlenip ozüldüğünde, xo için 1- a l ık güven aral ığt,
(Y0 —Y) 2
'620
a
c( — 1 I- —) +
1- ;n+k-3 C ri k n
2 (xi - -X- ) 2
i =1
olarak elde edilir. Burada,
)2
o() (t a
fr 2 2 I- ;n+k-3
1
d ır (Graybill, 1976).
( — ) 2
i=1

218
4.5.4 L İNEER MODELLERIN ÖZDE ŞL İĞİ
m tane lineer model,
Y k = X k + ck , ran k( X:nk x p)= p,ck - N(0 a2 1) k -12
,nı ve Ek lar bağıms ız
olmak üzere,
Ho :fil=
1_34„
en az bir eşitlik doğru değil
hipotez testini, yani nı
tane modelin özde ş (birbirine e şit) olmas ın ın test
edilmesini gözönüne alal ım. n = D ık için
k =1
Y:
Y _1
Y 2
X =
XI 0 0
O X2 •• • 0
,P=
131
, 6 =
Ei
E2
O 0 ••• _)-7-ıı7
Xk
-nxt nx ınp _Em
Qk
gösterimi alt ında,
Y= X13+c
modelinde Ho :fiı = fi2 = hipotezini test etmeliyiz.
1 -11 0 •-• 0
I 0 -11 ••• 0
H = , rank(H)= (m -1)p
I 0 0 • -• -11 ( ın-I) pxn ıp

219
olmak üzere hipotez Ho Hfl= o biçiminde yaz ılabilir. Olabilirlik oran ı test
fonksiyonu,
ve,
W(Y)=
- tnp
) -
(in -1 )p "62
"Q
_
(/ - xxlr
,
k(1—XkX;:)yk
d ır. o- 2 yi bulmak için Ho :fii =fi2
model,
=fini hipotezi alt ında indirgenmi ş
Y=
0 ••• 0 -
0 X2 ••• 0
/A -
2 + C
gözönüne al ındığında,
o o • •• x„,
fi
rıı
ıı6-2 = min (Y k — Xh.fii )'( y k - Xk fil )
al fil k=1
III ı M ,
= min[ (Y k Y k -2P 1 Xk Yk +P ı ( xkxk)131]
k=1 k=1 k=1
olur.
II? ,
13 1 =(E Xk Xk) `( XkYk)
k=1 k=1
Ho hipotezi alt ında,
PV(I')
dağılunl ıd ı r.
ni nr r rn , nı ,
--1
kYk — (Y kXk)(X Xk Xk) (E XkYk)
k=1 k=1 k=1 k=1
It
n-l)p •n-n ıp

220
4.5.5 BASIT LINEER MODELLERDE PARALELL İK ve KESİŞME
HİPOTEZLER İ
n ı tane basit lineer model gözönüne alal ım.
Yk i = ak + fikxki + eki , , k =1,2,...m , = ıt
j=1
Ek i - N(0,0-2 ) ve E k; ler bağıms ız
modellerinde, modellerin deterministik k ısm ın ı olu şturan,
dogn ılann parelelligi,
E( Yk (x)) = ak + fikx , k =1,2,...,m
1) H():fil - 132 -•••-•
en az bir eşitlik doğru değil
veya bu n ı tane dogn ınun belli (önceden belirlenen) bir xo noktas ında
kei şip kesi şmedigi,
2) Ho :ai + fli xo = a2 + p2x0 =....= a,„+p,„xo
H 1 : en az bir eşitlik doğru değil
hipotezlerini test etmek isteyebiliriz.
Basit lineer modeller, k = 1,2,...,m için,
Yk = Xk fik
Y - k -
Yk ı
Yk2
,Xk=
xk I
xk 2
'
aki
- [fik
Yknk
Xknk

olmak üzere K ısmı 4.5.4 deki gibi,
221
Y =
Y _1
- Y 2
, X -,-
Xı 0 0
0 X2 - • 0
P= fiı
gösterimi alt ında,
Y -k
0 0 Xk
P
Y = X fi+
olarak yaz ıls ın. Parametrelerin en çok olabilirlik tahmin edicileri,
;6 =
"21
;62
=x+Y=
X+
-1
Y
X 2 + Y 2
Qk
X + Y _ k —k
ve yans ızl ık için düzeltilrni ş ,
d ır.
İş k (I Xkx
L"(1 - X+ X)Y -1
ıı -2m ıl -2m
k
Yukar ıdaki hipotezleri özel hal olarak bulunduran a şağıdaki hipotezi
gözönüne alal ım.
Ho:aaı + hQi = aa2 +hfi2 =....= aak +hfik
1/1: en az bir eşitlik doğru değil
Burada a ile h sabit say ılard ır. a =0,b = t için 1) deki hipotezler ve
a = 1,h = xo için 2) deki hipotezler ortaya ç ıkmaktad ır.

222
k = 1,2, tır içi ıı ,
1
Zk =ai3tk + - N (aak +lıfik,c 2dk) , dk =[a,1)](4 r b Xk
Ve Z1,Z2 ,...,Z„, ler bagı ıns ızd ır. .
olmak üzere,
M _* m
(7..1, -Z )dk
*
EZkdk
= k=1 Z = k=1
2
o-
k
k=1
tI
X ın- 1,2.)
d ır.
ı
n A
= (aa k + k p) 2 uk ,
20- 2 k=1
rn
(aak + b fl k)d k
* = k=1
ıır
Edk
k=1
( ıı -2 ııt)Cr2
= y?
"(n -2m)
02
ve t/ ile t' nin ba ğıms ızl ığından,
(Zk -Z )
I I 1(m - I) k _ İ
W -= _ -
V I(I- 2m) (m _1)62
d ırmo hipotezinin dogru olmas ı varsay ım ı alt ında,
W F( ın-1,rı-2nı )
d ır. W nin gözlenen w de ğeri,
"I- ıx; ın-
-2 ın
ın t 2
olduğunda Nt1 hipotezi reddelilecektir.

4.5.6 KES İŞME NOKTASININ TAHM İNİ
223
Önceki k ı s ımda basit lineer modellerde deterministik k ısmına
karşı l ık gelen do ğrulann belli bir xo noktas ında kesi şip kesi şmedikleri
hipotezi ele al ınd ı. Bu k ı s ımda iki basit lineer modelde, deterministik
k ısm ına kar şı l ık gelen do ğrularm kesi şmeleri halinde kesi şme noktas ının
absisi olan,
yani,
ai +flix * = a2 + /32x*
al -
a2 = (Q2 )
P2 - A
noktas ı için tahmin edici ve güven aral ıklar ı elde edilecektir.
Basit lineer modeller,
Yi = al +figu + eli , i =
Y2 j = Bt2 +P2x21 4- B2i
611 ,612 ,-,elni ,B21• 622,••• ,62n2 ler ba ğıms ız ve herbiri N(0,02 ) dağılımlı
olmak üzere,
1 xii 0 O 611
Y12 1 x ı 2 0 0
al
•,n2
612
Ylni 1 xlni 0 0 A el ni
Y21 O O 1 x21 a2 e21
Y22 O O 1 x22 fl2 _ 622
Y2n2 -
• •
O 0 1 X2„ 2 _ _ e2 n2
biçiminde yaz ıls ın. Parametrelerin en çok olabilirlik tahmin edicileri,

224
n ] n ı n ı
( }/li -- Yı)(x ı i -371) Yi ı ..r.b.
/31 = i= ı yı = i =1 , ki _ i= t
Ili
(3(1 = Yı- - 731iı
( XI i — xi )2
i= I
ni
İll
n2
(Y2i - Y2)(x2j- ,v2)
1
132 = j
n2 2
(x2 J - -v2)
i= I
= Y2 -;q2..v2
ve yans ızl ık için düzeitilmi ş ,
n2
Y2
j =
Y2 =
112
n2
3-‘2 j=
1
1
72
x2 j
n2
;;_r2
(}71i "31x1i) 2 + Z (Y2 j
1 i=1
a2 — ;02x2 • ) 2
ni+ n2— 2
d ır. Buna göre x* ın en çok olabilirlik tahmin edicisi
d ır. Ayr ıca,
x = âl
â2
fl2 -A
n ı
Xi
[ âl - N ([ afii, l 02 n nı ı =1
i= 1 i =1 _
a2
_132
— N( a2
fl2
112
n2
x j
j =1
n2
xj
j=1
n2 -,
E xj
i=1

225
(ni +112 - 4)â2
o-2
L(n i +n2 -4)
ve [ 6: 11r2 ] 62bağııns ızd ır.
Qı Pı
x* için güven aral ığı elde etme konusunda,
= ("al - â2)+ x* Cl32-11)- Iv (0,0 2 [Var(âi+ x*;6.1)+Var(a2+ x*,32)1
W
f
Z
'ar(âi + x*;qi)+Var( â2 X*P2
((n i +n2 -4)
ve
W2 1`(1;ni +n2 -4)
P( W2 1- +n2 -4)) = a
olmak üzere,
W2 ,ı
I I- a;Ini +n2 -4
eŞltlil x* a göre,
akx*) 2 + 2..bx * + o
şeklinde düzenlenip çözülürse güven aral ığı elde edilir.
1 1
a = (;q1-;62)2 (
) 6217(1-a;1,ni +n2-4)
n2
(Xli - - X1) 2 (X2 J • - X2)
i=1 j=1
b = (âi- .:

226
c = ( al -
;:'(2 )2
2
i=1 1
ni
■ 2 n2
-xl) 112 (X2 j -X2)
i=1
21"1-aW 2 -n +n 4
olmak üzere, a > 0,h2 -ac> o durumunda x* için ı - a l ık güven aral ığı,
-b -ac -b +.42 -ac )
d ır.
(
4.5.7 OPTİMAL TASARIM
Bir lineer model,
Xfi+c
biçiminde olmak üzere x ınatrisine tasanm matrisi veya aç ıklay ıc ı
deği şkenlerin gözlem matrisi denir. Baz ı durumlarda X ınatrisinin sat ır
vektörlerine kar şıl ık gelen tasar ım noktalar ın' seçmek uygulamac ın ın
elindedir. Bu tasar ım noktalar ında 4, >72 , ..,Y„ gözlemleri al ınmaktad ır.
Bundan sonra yürütülen istatistik sonuç ç ıkarma i şlemlerinde baz ı iyilik
ölçütleri sözkonusu olabilir. Örne ğin, belli bir Ç:İ! tahmin edicisinin
varyans ı
Var = V(X'X) -1 1"
olmak üzere, X matrisinin e(X'Xy lf' değeri en küçük olacak şekilde
seçil ınesi istenebilir. Bu tür problem optimal tasar ım problemi olarak
isimlendirilmektedir. Bu k ı s ımda bu problemlerden baz ılarına değinmeye
çal ışaca ğız.
Y= Xfi+c , c- N(o,cs21) , rank(X:n x p) = p
modelinde fi para ınetre vektörünün belli f'12 lineer bile şimi ile ilgili
istatistiksel sonuç ç ıkar ıma s ıkça rastlan ır.

227
d ır.
efi n ın UMVU tahmin edicisi
ar(66') e(x90 -1 P'
2) tv için 1- a l ık güven aral ığı,
d ır ve
ıı-a ı2:n-p&N/e(X'X) -l e‘ 1:";q+i ı-a ıı ;n-p&Nle'(XX)
olmak üzere bu aral ığın uzunluğunun beklenen değeri;
E(21 1-a12:n-?1fr (X 'X) -1 0=
d ır.
23/2 rez-13+ 5
3) 110:efl= , 111 :ep ( 0 hipotezleri için
a "4 e ( tl- al2;n- p
pF( 11-,-) P )
f o)[_e(X'X) -1 _Ç_] fo)
W(Y)=
â2
test fonksiyonunun a anlam düzeyindeki güç fonksiyonu
2 = I (If - f- o 4.e(rX) -1 (Ç;q - ( o)
2 cr2
merkezi olmama parametresinin monoton artan bir fonksiyonudur.
Bu üç durumda da x matrisi e(x'x) -1 e küçük olacak şekilde
seçilirse istatistiksel sonuçlar daha iyi olacakt ır. Ancak problem her zaman
bu kadar basit de ğildir. Örneğin, ayn ı anda iki tane e'fi i , e'fi2 lineer
bile şimi için yukar ıdaki istatistiksel sonuç ç ıkar ımlar istense lineer
bile şimlerden birisi için iyi olan matris di ğeri için iyi olmayabilir.
Optimal tasar ım konusunda genellikle yap ılan şey, X matrisinin
elemanlar ının bir fonksiyonunu al ıp bu fonksiyon minimum olacak şekilde
x matrisini seçmektir. Minimize edilecek olan fonksiyon bazen
istatistiksel sonuç ç ıkar ımdaki iyilik ölçütünün kendisidir.

228
Optimal tasar ım proble ınlerinden bir kaç tanesine k ısaca değinelim.
1) fi vektörüntin fi tahmin edicisinin hata kareleri ortalamas ı
n/ısb; (14= 1.;6-
=a2tr(rX)-1
olmak üzere tr( X'X)-1 fonksiyont ınu minimize eden X matrisi MSE(71) yı
da minimize edecektir.
2) Q tahmin edicisi ıı i ıı genelle ştirilmi ş varyans ı olarak isimlendirilen
det(o2 (X'X) -I ) değerinin minimizasyonu başka bir optimal tasar ım
proble ınidir.
3) Var (e'') = a2 e' (X 'X) -1 e ve 2p X 'Ar Y 1 matrisinin en büyük özde ğeri
olmak üzere,
max
Ite e =1}-
P
d ır. Buna göre (X'Xy' matrisinin en büyük özde ğeri 2 , yi minimize
edecek şekilde seçilen x ınatrisi ayn ı zamanda (' f.4olan tüm eifi's tahmin
edicilerinin varyanslarm ın maksimumunu minimize etmektedir.
Bu üç tasar ım problemi genel olarak ayn ı optimal X matrisi ile
sonuçlanmamaktad ır. Ancak model basit lineer model oldu ğunda her üç
optimal tasar ım problemi de ayn ı sonucu vermektedir.

4.5.8 VARYANS ANALIZI TABLOSU
229
Al ışılagehni ş olarak Lineer Model uyg,ulamalanndaki ç ıktılarda
varyans analizi tablolar ı yer almaktad ır. Bu k ı s ımda varyans analizi
tablolann ın k ısa bir aç ıklamas ı yap ılacakt ır. Aç ıklamaya geçmeden önce,
varyans analizi tablosu haz ırlaman ın kesin bir kural ının olmadığını ve
amac ına yönelik olarak de ği şik kaynaklarda ve bilgisayar paket
programlar ında deği şik tablolann yer ald ığın ı belirtelim.
Varyans analizi (analysis of variance, ANOVA) tablolannda hipotez
testlerindeki W(Y) test istatisti ğini oluşturan karesel formlar, bunlar ın
serbestlik dereceleri, beklenen de ğerleri gibi ç ıkt ılar toplu halde
bulunmaktad ır. Tablonun her sat ırı bir karesel form ile ilgilidir. Herbir
tabloda Y' Y karesel formu ve "62 ile ilgili olan Y' (/ - XX 4 )Y karesel formu
için birer sat ır bulunmaktad ır. Bu iki sat ır ın dışındaki sat ırlarda Y' Y
karesel fonnun ım,
k
Y'Y = EY' A f Y
.1= 1
gibi parçalanmas ındaki y' A .İ Y , j= 1,2,...,k karesel formlan yer almaktad ır.
Belli bir sat ırdaki karesel form ille ilgili bilgiler sütunlar halinde
verilmektedir. Birinci sütun karesel formun ismini belirtmektedir. Birinci
sütunun baş l ığı Deği şkenli ğin Kaynağı (Varyasyonun Kayna ğı,Source of
Variation) ismini ta şımaktad ır. İkinci sütunda serbestlik dereceleri, üçüncü
sütunda kareler topla ınlar ı (karesel formlann kendileri yada ald ığı
değerler), dördüncü sütunda ortalama kareler toplamlan ve F değeri ismini
taşıyan sütünda test istatisti ği ile ilgili ç ıkt ılar yer almaktad ır. Örneğin,
Y = X fl+ e , e— N(0,cr2 /)
modelinde,
o
hipotez testi ile ilgili varyans analizi tablosu a şağıdaki gibidir.

230
Varyasym ıt ın kayna ğı
Source of variation
(S.V.)
Toplam (fotal)
Serbestlik derecesi
Degrees of
frcedom
(d.f.)
Ir
Tab o 4.5.8.1
Kareler toplam ı
S ıım of squares
(S.S.)
Y'Y
Ortalama kareler
toplam ı
Mcan sqııares
(M.S.)
F değeri
13 dan dolay ı aıal ııııı
(Reduction due to fi)
Hatt ın ın varyt ıns ı
(Error variance)
P
n-p
Q ı = ii‘x.y
Q2 = TV — XX + )).
Ol I P
Q2 / (t ı — p)
Q, n — P
Q2
P
Tablonun ç ıkt ılar k ısm ında ikinci sat ırdaki karesel form ile ilgili "fi
dan dolay ı azalma" (Reduction due to /3) isimlendirmesi değişik
kaynaklarda farkl ı olmakla birlikte, böyle bir isimlendinr ıenin sebebini
aç ıklayal ım. fi= o , yani p modelde bulunmasayd ı, model Y= e olmak
üzere 62 nin yans ız tahmin edicisi —Y'Y karesel formu olurdu. fi modelde
olduğunda o-2 nin yans ız tahmin edicisi,
= t (rY—;YX'Y)
ıı —p
olmak üzere, p dan dolay ı Y' Y karesel formunda x' Y kadar bir azalma
olmaktad ır. Bu azalmaya, toplam varyasyonun model ile aç ıklanan kısmı
da denmektedir. fi dan dolay ı azalma k ısaca R(f)ile gösterilmektedir.
Buna R— gösterin,' de denmektedir. R(ffikaresel formu,
vektörü olarak yer ald ığı ,
modelinde, X' X
Y= Xj3+
karesel fonnudur.
= X' Y olmak üzere,
R(fi) = yxx +Y
,(3 n ın parametre
R— gösteriııii ile ilgili olan ba şka bir gösterim de R(H 0 )= R(fil y)
gösteri ınidir. R(/3/ y) gösteriminde iki model sözkonusudur.

231
Birincisi Ii' y ı içeren,
Y= Xfi+e , R(I32 ) 2 X 1 K
ikincisi de Ho : H fi = h hipotezi ile indirgenmi ş (K ısım 4.3.1),
Z = By+e , R(y). Y' B 1 7,
modelidir. R(I31 y) karesel formu,
"fil r)= R(13) - R(Y)
olarak tan ımlanmnaktad ır.
R(fil y) = R(fi)- R(y) 73 1 X' Y - B' Z
=Y' XX + Y - Z' BB + Z= r(XX + -BB + )Z.
olmak üzere R(fil y) karesel formu 110 :1 fi = h hipotezi ile ilgili W(Y) test
istatistiginin pay k ısm ındaki karesel formdur. R(fil y) karesel formu y dan
dolay ı azalma gözönüne al ınd ıktan sonra fi da ıı dolay ı toplam
deği şkenlikteki azalmad ır.
K ıs ım 4.3.3 de,
Y = X fi+ e
modelinde,
= Xifii + X2132 + Ş
H0 :fil = bi
H i
hipotez testi ile ilgili varyans analizi tablosu a şağıdad ır (Tablo 4.5.8.2).
Burada,
"ffi = xx+ Y
R(o 2 ) =(Y- x121 ). x2 x2+
x120
d ır.
mllo)= "fil fi2 )= R(P) - "fi2)

232
Tablo 4.5.8 . 2
Varvasyonun kayna ğı Serbestlik derecesi Kareler toplam ı Ortalama kareler
Toplam (Tutal)
R(P)
n
P
Y' Y
rxx+r
toplam ı
l' değeri
W2)
R(H0 ). R(I1113,)
ilatan ın v ını ans ı
(1:sror variance)
p-q
q
n-p
o' .vb,y A' 2 x; Q ,k1,,)
Q1 = R(11) — R (fi )
— 2
Q2 = YV — Li. + )Y
(21 1 q
Qı / (iz - p)
Qi n — P
Q2
q
Hipotezler Ho :fii o ,
o biçiminde ise,
ve
im2)= /-
.2 x2 Y
olacakt ır.
R(P/P2 )=fl X'Y 202 = ( XX - x 2 x;f•pi
R(O I y) gösterimi çok s ık ollarak,
L' = +fil +fl2 X2 +••• + p - 1 p 1 +
modelinde, y vektörü fi n ın bile şenlerinin bir k ısm ından oluşmak üzere,
Ho :y
H İ :y0
hipotezleri ile ilgili olarak kullan ılmaktad ır. Örne ğin,
1) Ho :fio = o için,
R(fl İ fl1 ,Q2 ,.• • >P p- ı )= R(fl) - R(131,P2 •••, p- ı )
2) Ho :fi i = fi2 = o için,
R (P/ A) ,P3,P4 • • • fip-
ı )= R ( f°) R (P O ıe 4 ,...,flp-1)
d ır. Bu durmda R(GI y) gösteriminde fi yerine sadece H o hipotezinde yer
alan bile şenlerin yaz ılmas ıyla, örne ğin 1) için R(fii13 ı ,132,•••,fip- ı ) yerine
R(130 1 111,fi2 ,••,, p- ı ) ve 2) için R(fi/fi o ,fi 3 ,fi4 ,...,fip _ i ) yerine
R(131 '132 gösteri ınleri kullan ılmaktad ır.

4.5.9 BİR FAKTÖRLÜ ve İKİ FAKTÖRLÜ DENEY TASARIMI
233
Tasar ım modelleri Lineer Modeller içinde en geni ş uygulama
sahas ına sahiptir. Bu k ıs ımda ilk önce bir faktörlü bir tasanm modeli ve
daha sonra iki faktörlü etkile şimsiz bir tasar ını modeli için istatistiksel
sonuç ç ıkarma i şlemleri özetlenecektir.
Bir faktörlü tasar ım modeli (K ısım 4.1.3),
Yl = p+ a1 , i = 1,2,...,I , j= 1,2,...,ni , , =n
ve parametre kümesi,
eii —N(0,cr2 ) , sii ler bağıms ız
olmak üzere bu model için:
= ER,o-2 e(0.00)}
1)Normal denklemler,
= Y.
i=1 i=1
=Yi , 1,2,...,1
2) Modelde katsay ı olupta bilinmeyen parametre say ısı p= I +1 Clir.
X tasar ım matrisinin her sat ırı veya normal denklemlerin katsay ı matrisi
X' X in her sat ın ile oluşturulan, efi , e e S(x' x)lineer bile şimi tahmin
edilebilirdir. x' x in son 1 sat ın lineer bağımsız ve son / satınn toplamı
birinci sat ırı verdiğinden rank(X` X) = I dır. ,u + ai , i= 1,2,...,/
fonksiyonlan tahmin edilebilir lineer bile şimler için bir bazd ır. Bu baz
fonksiyonlar ının UMVU tahmin edicileri,
d ır.
A
p+ai =7/A- âi = Y ,
=1,2,...,1
3) z lineer bile şiminin tahmin edilebilir olmas ı için gerek ve
i=1
yeter şart z = O olmas ıd ır.
i=1

234
4) Normal denklemlerin bir çözümü,
Y
= = Y.
ıı
d ır.
„ Y Y — —
a• - Y i=1,2,...,/
i1 il
/ y.2
5»"X'Y =rXX + Y--= L.
ı =1 ni
d ır.
6) 0 2 nin UMVU tahmin edicisi,
I ni
(Yi
62 i=1j=1 i-
n--
7) Ho :ai = a2 =-...= a
Hi :enaz bir eşitlik doğru değil
hipotez testi için varyans analizi tablosu a şağıdadır (Tablo 4.5.9.1).
8) p-ı- ai , i =1,2,...,1 için bireysel 1- a güven katsay ılı güven
aral ığı ,
d ır. Burada,
+ âi +t a ,i12ar(,^u+Ezi )
It+ai = 2.1fr
olmak üzere,
VarCit-i-ai )= o2 2 1 (X' X) -
ve
.2ar(2u+âi )=- 3-2 ıl' (X' X)- 1
d ır.
2
-I

1
9) s ci ai tahmin edilebilir lineer bile şimi için 1- a güven katsay ılı
ı = ı
güven aral ığı ,
235
d ır.
xc i 'ai / a
i=i
Var(ciâi)
2 ;n-I i=1
Tablo 4.5.9.1
S.V. d.f. S.S. M. S. F
Toplam
ıi
I nı
Z
Y 2
i=1 j=1 i'i Qi n— I
R(p,a)
R(P)
1
1
/
Y.
_... t
ı =1 ni
y 2
n
R(hro )
i-i
,
1, y2 y2
Q İ _, .....—_—__ Qı
i= ı ni n I —1
Q . I-1
Q
Hata 11-1 Q = '. (yi _T.; ) 2
i= ı 1=1 i it — /
Şimdi iki faktörlü etkile şimsiz dengeli bir model gözönüne alal ım.
Yij,„=,u+a; +flij +eu„, , i = 1, 2,,. , , / , j = 1, 2,..., J , ın= 1, 2,..., M
olmak üzere:
eġ„,— IV (0,0 2 ) , eijııı ler bağıms ız

236
1)Normal denklemler,
IJM:u + + IM fl j. =Y,.
ı =1 j=1
J
JM:ıt + JMai + M Z fisi =Vi , = 1,2,...,1
j=1
d ır.
IM:u + M E 'izi +/M;qi = Yj. , j = 1,2,...,J
i=i
2) Normal denklemlerden i indisli olanların toplam ı birinci
denklemi ve j indisli olanların toplamı da birinci denklemi verdi ğinden
katsay ılar ınatrisi x' x olmak üzere,
rank(X' X) 5_ I + J —1
d ır. Di ğer taraftan birinci denklemi M ye bölüp, i indisli denklemlerde
=1 denkleminden s ıra ile i = 2,3,...,1 denklemlerinin ç ıkarılması ve j
indisli denklemlerde benzer şekilde birincisinden diğerlerinin ç ıkarılması
sonucu,
1 J y
14+JZai +I Z fil
i=1 j=i M
Y
= 1.. 4 ..
JM
, i = 2,3,...,1
„ Y.1. - Y j
P ı - Q -
• j = 2,3,...,J
/M
elde edilir. Bu denklemlerin her birinde digerlerinde olmayan parametre
bulundugundan bu I+J- 1 tane denklem (bu denklemlerdeki katsay ılar
matrisindeki sat ır vektörleri) lineer ba ğıms ızd ır. Böylece x' x matrisinde

en az / +.I -1 tane lineer ba ğıms ız sat ır bulunmaktad ır, yani
rank(X' X). +J -1
d ır. Buna göre rank(X' X) = I + J-1 olup lineer bağıms ız tahmin edilebilir
fonksiyonlarm (lineer bile şimlerin) say ıs ı 1 + J-1 dır.
J
'ip+ J Zai +1
i=1 j=1
a l - aı , i = 2,3,...,1
fil
, j = 2,3,,.., J
237
lineer bile şimleri tahmin edilebilir fonksiyonlar için bir bazd ır ve bunlarm
UMVU tahmin edicileri yukar ıdaki denklemlerdeki sağ taraftaki
terimlerdir.
3) Eci ai lineer bile şiminin tahmin edilebilir olmas ı için gerek ve
1=1
yeter şart Ec 1 = o olmas ıd ır. E ci a1 nin UMVU tahmin edicisi,
İ =1
i= ı
Zci a; ,
ı =1 ı =i
Y
JM
d ır ve
c 2 .
)
ı =1 i=1 ı = ı iM
dağıl ıml ıd ır.
yeter şart
J
4) z cjfii lineer bile şiminin tahmin edilebilir olmas ı için gerek ve
I
J
J
ci = o olmas ıdır. z cifii nin UMVU tahmin edicisi,
j=1 j=1

238
d ır ve
da'g ı l ımlid ır.
J J Y,
cj,o, = E cj iıi =
•
j=1
İ • 1M
1=1
c" - N( Z cifij , Q2 E )
j=1 j=1 j=1
2
5) 6 2 nin UMVU tahmin edicisi,
d ır.
I J
I J M
E E M( şij. —YJ.+Y..) 2 +E E E (Yum—i-;;.) 2
(T
^ 2 =
i=1j=1 ı =1 j=ı m=1
L/M- (/ + J-1)
1
6) Tahmin edilebilir Eoi cri lineer bile şimini için 1- a güven
ı =1
katsay ıl ı güven aral ıgi,
d ır.
1
EcX . T- t a Q.
ı =i ' I----;r
2
/ c. 2
z_, —
= JM
r = IJM - (1 + J - 1)
J
7) Tahmin edilebilir E c jQj lineer bile şimini için 1- a güven
j=1
katsay ı l ı güven aral ıgı,
d ır.
J J C 2
.
Z ciY .j . T- t a .%; r . Z --/- -
I= I
I - -,.r \ j=1IM
2 '
r = IJM - (1 + J - I)

8) Ho :a i = a2=...= a✓
Hi :enaz bir eşitlik do ğru değil
için olabilirlik oran ı test istatisti ği Tablo 4.5.9.2 de Wa dır.
239
9) Ho:131 = flı =.-=
H İ :enaz bir eşitlik doğru değil
için olabilirlik oran ı test istatisti ği Tablo 4.5.9.2 de Wp d ır.
Tablo 4.5.9.2
S.V. d.f. S.S. M.S. F
Toplam
L/A//
/ ' i M
Z Z Z Y hn
2
1=1 j=lnı =1 i
'
R(Ho )oc lar için
/-/
İ y2
y2
Q1 = Z -L- - ...
irsi itti L✓M
Qı Ql r
Wa = Q I — İ.
I — i
R(H0 )fl lar için
J-1
✓
y 2. y 2
Q2= z '' - -.
j , IM LIM
Q2
J –1
WA =
Q2 r
—.
t- Q J –1
Hata
r
1 .1
Q= Z Z (Y„ -- -17; ) 2
ı =1 ) =1 - .

240
4.5.10 VARSA YIMLARIN SINANMASI
Rasgelelik olgusunun modellenmesinde gerekli bilgi ve yöntemleri
sağlayan istatistik biliminin u ğraşı sahas ının önemli bir k ısmı ölçümlere
karşı l ık gelen rasgele de ği şkenler aras ındaki bağıml ıl ık yap ısını
incelemektir. Rasgele de ği şkenler aras ında fonksiyon biçiminde bir ba ğıntı
olmas ı bağıml ılığın basit hallerinden birisidir. Bunlar aras ında Lineer
Modeller teorik aç ıdan birçok yönleri ile incelenmi ş olup geni ş bir
uygulama sahas ına sahiptirler. Bu k ısımda lineer modellerin uygulamalar ı
s ıras ında dikkat edilmesi gereken baz ı noktalara k ısaca değinmeye
çal ışaca ğız.
Belli bir olgunun modellenmesi ba şl ıba şına bir problemdir.
Modelle ıne, olgunun ait olduğu bilim alan ının problemidir. Model kurma
veya model seçiminde de istatistik bilgi ve yöntemlerine ihtiyaç vard ır. Bu
konulara değinmeyeceğiz. Şimdi, belli bir olgunun modellenmesi s ıras ında
Lineer Model'de karar k ıl ındığını düşünelim. Herhangi bir i şleme
geçmeden önce amac ımızın, yani problemimizin çok iyi belirlenmi ş ve
istatistik dilinde ifade edilmi ş (örneğin hipotezlerin kurulmu ş) olmas ı
gerekir. Bu, verilerin analizi sonucunda ilgimizi çeken baz ı sonuçlarm
kullan ılmayacağı anlam ına gelmez. Amaçlar belirlendikten sonra
gözlemlerin al ınmas ı s ıras ında aç ıklay ıc ı değişkenler için baz ı modellerde
mümkün olan optimal deney tasar ımları düzenlenmelidir. Optimal deney
tasar ım ı yap ılamayan durumlarda aç ıklayıc ı değişkenler aras ında çoklu
bağlant ı (iç ili şki, multicollinearity) olup olmad ığı araştınlmal ıdır.
Aç ıklay ı c ı deği şkenler aras ında yakla şık olarak lineer ili şkilerin varl ığı
olarak bilinen çoklu ba ğlant ı korelasyon matrisinin özde ğerlerinin analizi
sonucu ortaya ç ıkanlabilmektedir. En büyük özde ğerin en küçük özde ğere
oran ı olan ko şul say ısın ın 30 dan büyük olması ileri derecede bir çoklu
bağlant ın ın göstergelerinden birisidir.Çoklu ba ğlant ı problemi Lineer
Modellerin en ciddi problemlerinden birisidir. Çoklu ba ğlantmm en
tehlikeli olduğu durum aç ıklay ıc ı deği şkenler aras ında gerçekte lineerli ğe
yak ın bir ili şkinin olmad ığı ama örnekleme sonucunda böyle bir ili şkinin
ortaya ç ıkmas ıdır. En küçük kareler yöntemini ara i şlem olarak kullanan
birçok istatistiksel teknik çoklu ba ğlantıdan dolay ı yanl ış sonuçlara
gidebilir. Lineer Modellerde istatistiksel sonuç ç ıkanma başlamadan Önce
çoklu bağlant ı olup olmadığına karar verip, varl ığı durumunda gerekli

241
tedbirleri almal ıy ız. Bu tedbirler de ği şken seçimi, gözlemleri ço ğaltma
veya yanl ı tahmin ediciler kullanmak olabilir.
Amaçlar ı tesbit edilmi ş, gözlemler al ınm ış ve çoklu bağlantı analizi
yap ılm ış bir Lineer Model var olsun. Bu model için önemli sorunlardan
birisi de varsay ımlann sağlan ıp sağlanmadığıd ır. Şimdi bu konuyu k ısaca
ele alal ım.
modeli için varsay ımlar:
Y = Xfi+ , (0,62 1)
1) E(c)= o yani i = 1,2,. ., ıı için E(si )= o,
2) E l , E2 , , ler bağıms ız,
3) Ei , EZ ,..., lerin herbiri sabit 62 varyansına sahip,
4) e i , 82 , , e, lerin herbiri normal da ğıl ıma sahip,
dır. Parametreler için nokta tahmin, güven arali ğı, hipotez testi gibi
istatistiksel sonuç ç ıkarımlann doğruluk derecesi varsay ımlann doğruluk
derecesine ba ğl ı olduğu aç ıkt ır. Bu varsay ımlar uygulamalarda
sağlanmayabilir. Varsaym ılann sağlan ıp sağlanmadığının belirlenmesi
sonucunda, e ğer varsay ımlar geçerli ise hipotez modelleri içi ıı geli ştirilen
istatistiksel sonuç ç ıkarma yöntemlerini kullanmak, varsay ımlar geçerli
değilse istatistiksel ç ıkanmda hangi yöntemin kullan ılacağma karar vermek
zorunday ız.
Ara şt ırmac ı varsaynnlardan birinin yada daha ço ğunun aykınlığma
karar verirse a şağıdaki yollardan birini izleyebilir:
a) Dağılundan ba ğıms ız istatistiksel sonuç ç ıkarma yöntemlerini
kullanmak.
b) Eğer mümkün ise bir (yada daha çok) varsaynn ayk ırı bir durum
gösterdi ğinde doğru varsay ım ın ne olduğuna karar verip bu yeni varsay ım
alt ında geçerli olan yöntemi kullanmak. Örne ğin, .8; nin (i = 1,2,...,n)
normal dağı l ım yerine ba şka bir dağıl ıma sahip olduğu belirlenmi ş ise bu
dağı l ım için parametre tahmini veya hipotez testini yürütmek gerekir. gi
lerin ( ı = 1,2,...,n) bağıms ız olmad ıklan ve aralannda bilinmeyen ancak
sabit bir korelasyon (p) olduğu belirlenmi ş ise yeni varsaymu içeren
geçerli istatistiksel sonuç ç ıkarma yönternini kullanmak gerekir.

242
c) Mümkünse tüm (4 tane) varsay ımlar sağlanacak şekilde veriler
üzerinde uygun dönü şüm yapmak veya aç ık bir şekilde yanl ış ölçümler
varsa bu gözlemleri ç ıkarmak.
d) Varsay ımlann geçerli olmayanlar ın' ihmal ederek tüm
varsay ımlar sağlan ıyonnu ş gibi i şlemlere devam etmek.
Varsay ımlar gözlenemeyen e hata vektörü ile ilgilidir. Bu
varsaynnlar ın geçerlili ği ııin s ınanmas ı,
c = _ Y- Xfi
olmak üzere, art ıklar ın (residuals) vektörü denen,
vektörü ile yap ılmaktad ır.
modeli için,
r =Y = (I - XX + )Y = (./ - XX + )e
Y = , ( 0,621)
r- N(0,a2 (I - XX + ))
d ır ve r ile 13 bağıms ızd ır.
Art ık Analizi çok geni ş kapsaml ı bir konudur. Burada sadece bu
k ısm ın ba şında geçen 4 tane varsay ımm geçerlili ğinin smanmasmda
art ıklar ı!' nas ıl kullan ıld ığına değineceğiz.
Birinci varsay ım hatan ın beklenen de ğerinin s ıfir olmas ı ile ilgilidir.
Örneğin bir araşt ırmac ı modelin,
Yİ = 'go +fliX; +si , =1,2,...,n , E(6İ )= o
olduğunu kabul etsin, fakat gerçek model,
Yi +fl i X i + p2x 2 + , = 1,2,...,n , E( ) = O
olsun. Bu takdirde kabul edilen modelde ei nin beklenen değeri s ıfir
değildir.
E(ei)= E(132 X 2 77i) = fl2 Xi2
Kabul edilen model için,
olmak üzere:
=(I-XX + )Y

dır.
I) Bu model (kabul edilen model) geçerli ise art ıklar için,
E(r) = O
2) Di ğer model geçerli ise art ıklar için,
243
d ır.
E(r) fi2 X İ2 , i =
Kabul edilen model geçerli ise xi , i = 1,2,..., ıı gözlemlerine karşıl ık
iki boyutlu bir koordinat sisteminin ordinat ında r , i = 1,2,.. ,11
artıkları
i şaretlenirse absis etrafında geli şigüzel bir serpilme ortaya ç ıkacakt ır.
Örneğin di ğer model geçerli ise art ıklann serpilme diyagram ı absis
etrafında geli şigüzel olmay ıp, modele karesel terim kat ılmas ına işaret
edecektir. Böyle bir terimin modele eklenmesinden sonra )32 katsay ısı=
s ıfıra e şit olup olmad ığın ın test edilmesi gerekecektir. Basit Lineer Model
için yap ılan bu aç ıklamalar genel halde de geçerlidir.
İkinci varsay ım hata terimlerinin ba ğıms ızl ığı ile ilgilidir. Bu
varsay ım ın geçerlili ğini s ınamak için art ıklara nın testi uygulanabilir.
Üçüncü varsay ım hatalar ın varyanslar ın ın e şit olmas ıdır. Bu varsay ımın
geçerlili ğini s ınamak için kabaca art ıklann serpilme diyagram ındaki şerit
geni şliginin deği şimine bak ılabilir veya ilgili testler uygulanabilir. Üçüncü
varsay ım hatalar ın normal dağıl ıma sahip olmas ıdır. Bununla ilgili olarak
art ıklara normal da ğıl ıma uyumluluk testleri uygulanabilir veya normal
dağı l ıma ııyumluluk s ınamas ı için haz ırlanmış grafik ka ğıtlar ı kullanılabilir.
Varsayl ınlann geçerliligini ıı s ınanmas ı art ıkların analizine
dayanmaktad ır. Art ıkların hatalar için bir örneklem yani hatalar ın gözlenen
değerleri olmad ıklar ın ı Midenin. Bir varsay ım ın geçerli olmadığı ortaya
çıktığında bunun yerini neyin alaca ğı da aç ık değildir. Ayrıca baz ı
varsay ımlann geçerlili ğini s ınamada ba şka varsay ımlar yap ıldığını da
vurgulayal ım. Herşeye rağmen Lineer Model uygulamalar ında art ık analizi
çok iyi sonuçlar vermekte ve mutlaka yap ılmas ı gerekmektedir.

244
PROBLEMLER
4.1 A) Y; =p+6.; , i=1,2,...,n , - N (O, a-2 ) , ler bağıms ız
modelinde p ve o-2 parametrelerinin UMVU tahmin edicilerini bulunuz.
= Po
hipotezleri için W(Y) olabilirlik oran ı test istatisti ğini elde ediniz ve
sonuçları na, o2 ) dağıl ım ı için yap ılan istatistiksel sonuç ç ıkanm ı ile
kar şılaşt ırınız.
B) Yii = +eij , =1,2 , , N(0,02 ) , eij ler b ığunsız -
modelinde pi ,p i , o2 parametrelerinin UMVU tahmin edicilerini bulunuz.
Ho:P ı = P2 Ht:pi #p2
için W(Y) olabilirlik oran ı test istatisti ğini elde ediniz ve sonuçlar ı
yorurnlay ın ız.
4.2 Y = Xfi+ e , e- (O, cr2 I) , ratık(X:nx p) = p modelinde fi nın iki
yans ız tahmin edicisi 7j ( Y) ve T2 (Y) olmak üzere Cov(Tİ (Y))-Cov(T2(Y))
matrisi pozitif yar ı tan ıml ı (negatif tamml ı olmayan) ise Ti (Y) tahmin
edicisine T2 (Y) den daha iyidir denir.
= {AY +b: A ERI'"" ,b ERPx 1 }
s ınıfında fi n ın en iyi lineer yans ız tahmin edicisinin,
olduğunu gösteriniz.
= (X' X) -1 X' Y
4.3 Y = X fl + , e - N(0,0 -21) , rank(X:n x p)= p
modelinde, Q:q x q , rank(Q) = q olmak üzere,
1-10 :QH/3= Qh , rank(H:q x p) = q
11 1 :QH Qh
için W(Y) olabilirlik oran ı test istatisti ğini elde ediniz.

245
4.4 Y = Xfl+s , e- N (0,u 2V) , V bilinen bir matris , rank(X:n x p) = p
modelinde,
Ho :Hfl= h , rank(H:q x p) = q
111: HP
hipotezleri için W(Y) olabilirlik oran ı test istatisti ğini elde ediniz.
4.5 A) K ıs ım 4.3.1 de,
W(Y)
Z (I-BB +)Z-Y (I-XX + )Y n-p
Y ' (I - XX 4- )Y
ile K ı s ım 4.3.2 deki
W(Y)_
(11 ft- . h)°[II(X'
Y (I - X X 4- )Y
, H'i
-1 (Hfl-12.) n p
q
test istatistiklerinin birbirine e şit odui,-;unu gösteriniz.
B) K ısım 4.3.4 deki,
ile
Y' (XX + -u2u 2± )r_
W(Y) =
Y'(I - XXIV
q
1
(H)111(X' X) - H'i (HP) n _ k
W(Y)=
y(1 xxly
test istatistiklerinin birbirine e şit odugunu gösteriniz. (Graybill (1976),
sayfa 223)

246
4.6 Yi =flo +flixi +,62 x 2 + , = 1,2,..,n , N(0, (72/)
modelinin detenninistik k ısm ı ,
ii(x)=130 +flıx+Pı x 2
, x E R
fonksiyonu olmak üzere bu fonksiyonun ekstremum (maksimum yada
minimum) noktas ının en çok olabilirlik tahmin edicisini bulunuz ve güven
aral ığı olu ştunmuz.
4.7 Y bağımlı deği şken ile x açıklay ıc ı deği şken aras ında polinom
biçiminde,
= Po flıxi + P2 Xı +.-.+fipX13 i = 1,2, ..,n , - N(0,021)
modeli sözkonusudur, ancak polinomun derecesi bilinmemektedir.
Polinomun derecesini nas ıl belirlersiniz?
4.8 Yuk = ,u + ai + + + sijk , = 1,2 , j = 1,2 , k = 1,2,3
euk N(0,0 2 ) , eijk lar bağıms ız
modeli için normal denklemleri elde ediniz. aı - a2 tahmin edilebilirmi?
Tahmin edilebilir fonksiyonlar için bir baz bulunuz. Baz fonlcsiyonlann ın
en çok olabilirlik tahmin edicilerini bulunuz ve iki tanesini ele al ıp bunlar ın
kovaryans ını hesaplay ınız.
4.9 Basit bir lineer model ile bir faktörlü deney tasar ımı modelinin
karışım ı olan,
Yıf = ,u+ + , i = 1,2 , j = 1,2,...,n
eij - N (0,a2 ) , eij larbağıms ız
modelini gözönüne alal ım. Burada Yif ler bağıml ı deği şken ile ilgili
gözlemler, xii ler aç ıklayıcı deği şken (concominant variable) ile ilgili
gözlemler, ,u, al, a2 ,fl, o2 model parametreleridir.
a) Tahmin edilebilme sorununu ara ştınnız. Parametrelerin tahmin
edilebilir lineer bile şimlerinin ve /3, 0 2 nin en çok olabilirlik tahmin
edicilerini bulunuz.
b) Aşağıdaki hipotezler için a anlam düzeyli test istatisti ği elde
ediniz.
i) 1-10 :fi= O ii) Ho: a1 = c€2
: a2

247
4.10 Türkiye buğday üretimini (Y) aç ıklayan de ği şkenler olarak, ekilen
alan (x ), mevcut traktör say ıs ı (x2), tüketilen gübre miktar ı (X3) ile
çifiçiye ödenen bu ğday fiyat ı (X4 ) gözönüne al ınıp,
=flo +fli X ıi +,62 X2i +fi3 X3i +fi4 X4 i +Ei , i =1,2,...,n
gibi bir model dü şünülsün. Bu model için a şağıdaki gözlem değerlerine
dayalı olarak:
a) Çoklu bağlantı olup olmadığını ara ştirımz.
b) Hata teriminin normal da ğılıma (e - N(0, 0-2/)) sahip olup
olmadığını irdeleyiniz.
c) Parametrelerin en küçük karaler tahminlerini bulunuz ve
yorumlay ınız.
d) Hata terimini normal da ğıl ımlı varsayıp,
Ho :fi= o
Hİ :fio
ve bireysel parametreler (i = 1,2,3,4) için,
Ho:fli =O
14:fli # o
hipotezlerini test ediniz ve sonucu yorumlay ınız.
e) Çoklu bağlantıdan dolayı aç ıklayıcı değişkenlerden bir k ısmının
modele al ınmamas ı düşünülürse de ğişken seçimi nas ıl yapılır?
f) Ridge yöntemini kullanarak parametre tahmini yap ınız. Ridge
yöntemi ile de ğişken seçimi nas ıl yapılabilir?
g) Uç değerler, etkin gözlemler ve robust tahmin hak ında neler
söyleyebilirsiniz?

248
1960-1991 y ı llar ı aras ı bu ğday üretimi ile ilgili
gözlem de ğerleri
Y ı llar
Üretim
Y
(binton)
Ekilen alan
X,
(binhektar)
Traktör
X,
(bintane)
Gübre
X,
(binton)
Fiyat
X.
(kr ş /kg)
1960 8450 7700 42 187 59
1961 7000 7717 42 217 73
1962 8450 7800 43 295 82
1963 10000 7850 50 426 82
1964 8300 7870 51 532 81
1965 8500 7900 54 802 86
1966 9600 7950 63 1027 90
1967 10000 8000 74 1538 90
1968 9250 8250 85 2116 92
1969 10000 8660 96 2448 97
1970 10000 8600 105 2217 101
1971 13500 8700 118 3284 105
1972 12200 8730 135 3284 110
1973 10000 8850 156 3720 133
1974 11000 8750 200 3136 235
1975 14750 9250 243 3691 271
1976 16500 9250 281 5944 276
1977 16650 9325 320 6577 292
1978 16700 9300 370 7474 357
1979 17500 9400 402 7666 528
1980 16500 9020 436 5967 1081
1981 17000 9250 458 6686 1853
1982 17500 9000 491 7451 2385
1983 16400 9230 513 8402 2839
1984 17200 9000 556 8198 4574
1985 17000 9350 583 7252 6600
1986 19000 9350 612 7691 8400
1987 18900 9415 637 8977 9800
1988 20500 9435 654 8114 15800
1989 16200 9351 673 9070 33800
1990 20000 9450 692 9509 52700
1991 20400 9630 704 8981 69700

249
KAYNAKLAR
Albert, A. ; Regression and the Moore-Penrose Pseudoinverse,
Academie Press, New York, 1972.
Arnold, S.F. ; The Theory of Linear Models and Multivariate
Analysis, John Wiley and Sons, New York, 1981.
Ben-Israel, A. and Greville, T.N.E. ; Generalized Inverses: Theory and
Applications, Wiley, New York, 1974.
Campbell, S.L. and Meyer, C.D. ; Generalized Inverses of Linear
Transformations, Pitman, London, 1979.
Dobson, A.J. ; An Introduction to Generalized Linear Models,
Chapman and Hall, London, 1991.
Eaton, M.L. ; Multivariate Statistics. A Vector Space Approach, John
Wiley and Sons, New York,1983.
Graybill, F.A. ; An Introduction to Linear Statistical Models, McGraw-
Hill, New York, 1961..
Graybill, F.A. ; Theory and Application of the Linear Model, Duxbury
Press, North Scituate, Mass., 1976.
Graybill, F.A. ; Matrices with Applications in Statistics, Wadsworth and
Brooks, Pasific Grove, California, 1983.
Hac ısalihoğlu, H.H. ; Lineer Cebir, Gazi Üniversitesi Yayn No:152,
4.Bask ı, Ankara, 1985.
Hocking, R.R. ; The Analysis of Linear Models, Brooks/Cole Publishing
Company, Monterey, California, 1985.

250
Hoerl, A.E. and Kennard, R.W. ; "Ridge Regression: Biased Estimation
of Nonorthogonal Problems", Technometrics, 12, 55-67, 1970.
Judge, G.G. , Griffits, W.E. , Hill, R.C. and Lee, T.C. ; The Theory and
Practice of Econometrics, John Wiley and Sons, New York,1980.
Pantula, S.G. ; Linear Models and Variance Components, Unpublished
class notes, NCSU, Raleigh, NC27695.
Pringle, R.M. and Rayner, A.A. ; Generalized Inverse Matrices with
Applications to Statistics, Griffin, London, 1971.
Rao, C.R. ; Linear Statistical Inference and its Applications, Wiley,
New York, 1973.
Theobald, C.M. ; "Generalizations of Mean Squared Error Applied to
Ridge Regression", Journal of the Royal Statistical Society, B, 36, 103-
106, 1974.
Toro-Wizcarondo, C. and Wallace, T.D. ; "A Test of the Mean Square
Error Criterion for Restrictions in Linear Regression", JASA, 1968.
Wallace, T.D. and Toro-Wizcarondo, C. ; "Tables for the Mean Square
Error Test for Exact Linear Restrictions in Regression", JASA, 1969.