3. Karşılaştırmalı Statik Analiz

Karşılaştırmalı Durağan Analiz veTürev kavramı6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın TemelYöntemleri1

Karşılaştırmalı durağan analiz• 6. Karşılaştırmalı Durağanlıklar veTürev Kavramı• 6.1doğasıKarşılaştırmalı durağan analizin• 6.2 Değişim oranı ve türev• 6.3 Türev ve bir eğrinin eğimi• 6.4 Limit Kavramı• 6.5 Eşitsizlikler ve Mutlak Değer• 6.6 Limit Teoremleri• 6.7 Süreklilik ve bir fonksiyonuntürevinin alınabilirliği2

6 Karşılaştırmalı Durağan Analiz• Parametreleri ya da dışsal değişkenleri değiştirdiğimizdeiçsel değişkenlerin değerinde ne kadar değişme olduğu.Örnekler◦ Tek mallı piyasa modeli (P 0 ,Q 0 ) (shock) (P 1 ,Q 1 )◦ Milli gelir modeli (Y 0 , C 0 ) (shock) (Y 1 , C 1 )E1P1E0P0Talep2Talep1Q0Q13

Örnek• Varsayalım ki Starbucks firması için filtrekahve talep ve arz eğrileri için denklemlerişu şekilde olsun:• Q D = 1000-2P+0.5Y 0 Talep Eğrisi• Q S =100+3PArz EğrisiP:Kahvenin FiyatıY:Tüketicilerin Gelirleri.Q:Miktar• Varsayalım ki tüketicilerin ortalama geliri1000 TL olsun.• Q D = 1000-2P+0.5(1000)= 1500-2P4

ÇözümTalep Arz DengeQ T1000 2P 0,5Y0Q S100 3PQDQSQD=QS1000-2P+0,5Y 0 =100+3P900-0,5 Y 0 =5P Q S =100+3P *P*(=280)’i Talep ya da Arzdenkleminde yerinekoyarsak180+0,1 Y 0 ve Y 0 =1000 ise Q S =100+3(280)P * =280 olur. Q S =Q D =9405

GRAFĠK ÇALIŞMASIQ D1000 2P 0,5Y 0Y01000Q D1500 2PP: FiyatFĠYAT P750Q=0 ĠÇĠN P=? : 0=1500-2PP=750P=0 ĠÇĠN Q=? Q=60-3(0)Q=15001500Q: Miktar6

GRAFĠK ÇALIŞMASIFĠYAT PARZQ S100 3PARZ EĞRĠSĠ-33100Q=0 ĠÇĠNP=-33P=0 ĠÇĠN Q=100MĠKTAR Q7

GRAFĠK ÇALIŞMASIFĠYAT PARZ EĞRĠSĠ280TALEP EĞRĠSĠ100940MĠKTAR Q8

ÇözümQ D =Q S =1000-2P+0,5Y 0 =100+3PP=180+0,1Y 0 VE Y 0 =1200P=180+0,1(1200)P* değeri talep (ya daarz) denklemindeyerine konulursa:Q=100+3(300)Q*=1000 olur.P*=30010

GRAFĠK ÇALIŞMASIFiyat P300B280A9401000QMiktar12

Örnek• IS-LM modeli:Milli gelir modeli:Örneğin Milli gelir denge düzeyini bulduk.Dışsal değişkenlerden bir tanesinin değerideğişirse, denge milli gelir düzeyi nasıldeğişir?• Denge Milli Gelir düzeyinin hesaplanmasıile ilgili olarak Bkz, Cramer yöntemi.13

Örnek•Y=C+I 0 +G 0•C=a+b(Y-T)•T=T 0 +tY(a>0, 0

Örnek: Keynes ModeliYCI G 0 0.....................(1)bYCbTa................(2)tYTT 0.........................(3)A1 b110b,XYC, vedI0aG0t01TT015

16CRAMER KURALINI UYGULAYALIM:ATtbabGICATbaGIY101;10101000000btbbTaGIY1000btbbTtGIbaC1))(1( 000Çözüm

Çözüm1 b11I0aG0Tt0AT0TT0( 1b) at t(I0 G0)1b bt17

ÇözümYI Ga bTY0 001b bt I0?1--DIŞSAL BİR DEĞİŞKENOLAN I 0 DEĞİŞİRSE DENGEMİLLİ GELİR DÜZEYİ NEOLUR?Ca b(I0 G0)(1 t)1b bt bT0CT02-- T 0 (Örneğin) artarsa buartış tüketim harcamalarınınasıl etkiler?TT0( 1b) at t(I0 G0)1b btTb3—Marjinal tüketim eğilimi(örneğin) artarsa, bu artışvergi gelirlerine nasıl etkieder?18

Karşılaştırmalı Statik AnalizharcamaY=EBE 1Y 0Y 1E 0A450gelir19

6.1 Karşılaştırmalı durağan analizin doğası• İlk denge durumunu varsayarak başlarve yeni dengeyi eskisi ile karşılaştırırız• Bu karşılaştırma nicel (değişiminmiktarı) olabileceği gibi nitel(değişimin yönü) de olabilir• Problemin özü değişim oranınınbulunmasıdır• Türev kavramı20

6.2 Değişim Oranı ve Türev• Durağan analizde elimizde bir fonksiyon vardır:y = f(x)• Karşılaştırmalı durağan analizde ise aynı obje ya damanzara iki ayrı durumda (ya da zamanda)fotoğraflanmakta ve karşılaştırılmaktadır:y1 - y0 = f(x1) - f(x0)• Bu obje ya da manzaraya Y=f(x) dersek, bu manzaranınya da objenin 0 durumu için elimizdeki resmiy0 = f(x0)• Ve 1 durumu için elimizdeki resmiy1 = f(x1) ‘dir.• İşte karşılaştırmalı durağan analizde amaç budeğişimleri daha anlaşır yapmaktan başka bir şeydeğildir.21

6.2 Değişim Oranı ve Türev• Burada X ve Y’deki değişmeler:y 1 - y 0 = f(x 1 )- f(x 0 ) ……….…….……………….(4)y 1 - y 0 =∆y …………….………………….(5)x 1 - x 0 =∆x ………………………………….(6)• 6 Numaralı Denklemi yeniden yazacak olursak:x 1 = ∆x+ x0 …………………..………………….(7)• 4 Numaralı denkleme 5 ve 7 numaralı denklemlerientegre edersek:y 1 - y 0 = f(x0+∆x )- f(x 0 )………………..…….(8)Olur.22

6.2 Değişim Oranı ve Türev• 8 Numaralı denklemin her iki tarafını X’e bölelim:• 9 numaralı denklemin limitini alacak olursak:X (sıfıra giderek daha çok yaklaşır , ama gerçekte hiçbirzaman sıfır olmaz anlamında) sıfıra yaklaşırken f(x)fonksiyonunun değerine biz türev diyoruz.23

6.2 Değişim Oranı ve Türev24

ÖRNEK25

ÖRNEK26

ÖRNEK27

6.3. TÜREV: BİR EĞRİNİN EĞİMİ• Türevle ilgili altı çizilmesigereken önemli bir nokta türevbir fonksiyondur; gerçekten detürev sözcüğü türetilmişfonksiyon anlamındakullanılmaktadır.28

6.3. TÜREV: BİR EĞRİNİN EĞİMİ• TÜREV AYRICA BĠR FONKSĠYONUNBELĠRLĠ BĠR NOKTADAKĠ EĞĠMĠDĠR:29

6.4. LİMİT KAVRAMI• Bir değişken , diyelim ki x değişkenibelli bir değere yaklaşırken (0 gibi)başka bir değişken y hangi değereyaklaşır• Bu sorunun anlamlı olabilmesi için y,x’in bir fonksiyonu olmalı• Bir fonksiyonun limiti her zaman varolmayabilir.• Limitin var olabilmesi için x değişkeni,x 0 ’a sağdan ya da soldan yaklaşırkenfonksiyonun aldığı değer aynı olmalı.36

6.4. LİMİT KAVRAMIlimlimxx0xx0L37

6.6. LİMİT TEOREMELERİ• Tek fonksiyona ait Teoremler• İki fonksiyonlu Durumlara İlişkinTeoremler• Çok Terimli (Polinomsal) FonksiyonlarınLimiteri38

ÖRNEKf( x)ylim 2x26x3?x2limf( x)2(2)26.(2)323x240

6.7. Bir Fonksiyonun Türevinin Alınabilme Koşulları• Bir fonksiyonun x noktasında türevinin alınabilmesi için onoktada limitinin var olması gereklidir.f(x)dydxlimx0f( x x)xf( x)• Eğer bir fonksiyonun x=a noktasında limiti varsa onoktada türevi alınabilir. Bu da gereklidir.limx0f( a x)xf( a)limx0f( a x)xf( a)46

SÜREKLİLİK• Süreklilik: y=f(x) gibi bir fonksiyonun x 0noktasında limiti varsa ve bu f(x 0 )’a eşit ise f(x)fonksiyonu x 0 noktasında süreklidir.• Bir fonksiyonun x 0 noktasında sürekli olması içinaşağıdaki üç şartın yerine getirilmesi gerekir:47

TÜREV ALINABİLME ŞARTLARI• Süreklilik türevlenebilirlik için gerekli şarttırama yeterli değildir.• Sürekli olup türevi alınamayan fonksiyonlardavardır• Bir fonksiyonun belirli bir noktada türevlenebilirolması için aşağıdaki limitin olması gerekir. Yanifonksiyon o noktada “smooth” geçişli olmasıgerekir.ff ( x0 x) f ( x0)( x) limx0x48