Pencere Fonksiyonu Aileleri ve Uygulama Alanları - Fen Bilimleri ...

292Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)1. GİRİŞSon yıllardaki gelişmelere paralel olarak analogsistemlerin yerini sayısal sistemler almıştır. Buduruma bağlı olarak, sistemden arzu edilenözelliklerde çıkış elde edebilmek için sayısal sisteminperformansını arttırma çabaları doğmuştur. Herhangibir sayısal sistemde arzu edilen çıkışı üretmek içinkullanılan yazılımsal veya donanımsal yapılarasayısal filtre adı verilmektedir. Bir sayısal filtreimpuls cevabına göre, sonlu impuls cevaplı filtre(FIR filtre) ve sonsuz impuls cevaplı filtre (IIRInfinite Impulse Response) şeklinde ikiyeayrılmaktadır. Tekrarsız olarak gerçekleştirilen birfiltrenin ideal genlik cevabının sınırlı sayıda elemanalınarak tasarlanması işleminde keskin kesim frekansıbölgesinde istenmeyen Gibbs salınımları meydanagelmektedir. Oluşan bu salınımlar pencerefonksiyonları yardımıyla ortadan kaldırılmaktadırlar.Bu işlemlerde kullanılan pencere fonksiyonları içinliteratürde çeşitli özelliklere sahip farklı penceretürleri geliştirilmiştir. Geliştirilen bu pencerefonksiyonlarının uygulama alanları olarak bir ve ikiboyutlu tekrarsız sayısal filtre, sayısal hüzmeleme veiki boyutlu sayısal filtrelerin en çok kullanıldığıgörüntü işleme alanları gösterilebilmektedir.Fourier serisi kullanılarak tasarlanan filtreyaklaşımında serinin doğrudan kesilmesiyle meydanagelen olayı matematiksel olarak ifade etme işlemiGibbs tarafından 1899’da yapılmıştır [1]. Fejer,yapmış olduğu çalışmada pratik uygulamalardakullanılabilmesi için oluşan bu Gibbs salımınlarıortadan kaldırabilmede uygun bir yaklaşımsunmuştur [2]. Lanczos, Fejer’in önerdiğiyaklaşımdan daha başarılı sonuç verecek biryumuşatma yaklaşımı önermektedir [3]. Adamstarafında yapılan çalışmada ise, en yüksek yanlobseviyesi ile toplam yanlob enerjisi arasındaki en iyidengeyi sağlayacak yeni en uygun pencerefonksiyonunu önerilmiştir [4]. Yapılan çalışmalardakullanılan pencere fonksiyonları sahip olduklarıbağımsız parametre özelliklerine göre sabit veayarlanabilir pencereler şeklinde iki kısmaayrılmaktadırlar. Sabit pencere fonksiyonu içinfazlaca tercih edilen türler ve denklemleri [5]’ degösterilmiştir. Önerilen bu pencerelerin genelözellikleri olarak, sabit pencere uzunluğu yüzündenpencere fonksiyonu spektral parametrelerindenyalnızca birinin ayarlanması yapılabilmektedir. Sabitpencereler sahip oldukları bu özelliklerinden dolayıpratik uygulamalar için uygun yapılar değildir. Budurumun üstesinden gelebilmek için ve spektralparametre değerlerinin değiştirilebilmesini sağlamakiçin ayarlanabilir pencereler önerilmiştir. Önerilen bupencere fonksiyonları sabit pencerelerdeki tekayarlanabilir parametre değerinin aksine iki veyadaha fazla parametre kullanılarak oluşturulanayarlanabilir pencerelerdir.Dolph tarafından yapılan çalışmada, ayarlanabilirparametre özelliğine sahip pencerenin iki önemliparametresi ile minimum analob genişliğisağlanmıştır [6]. Literatürde, iki parametreli pencereile ilgili Poisson, Cauchy, Gaussian gibi pek çokyaklaşım önerilmiştir [7]. Pencere fonksiyonu veuygulama alanı olarak pek çok alanda tercih edileniki parametreli pencere, Kaiser tarafındanönerilmiştir. Kaiser’in FIR filtre tasarımı üzerineyaptığı çalışmada, analob içerisinde maksimumenerjinin toplanması ilkesine dayalı olan yaklaşımsayesinde tasarlanan filtrenin Dolph-Chebyshevpencere kullanılarak tasarlamış filtre ilekarşılaştırıldığında daha başarılı sonuçlar verdiğigörülmektedir [8]. Saramaki yaptığı çalışmada,Kaiser penceresine benzer bir yapı kullanarak buyapının ayrık fonksiyonunu geliştirmiştir. Geliştirmişolduğu bu pencereyi, dikdörtgen pencerefonksiyonuna basit frekans dönüşümü uygulayarakelde etmiştir. Saramaki geliştirdiği bu pencerefonksiyonunu kullanarak tasarladığı FIR filtre iledurdurma bandı azalması bakımından Kaiserpenceresi kullanarak tasarlanan FIR filtreden dahakullanışlı bir yapı elde etmiştir [9]. İki parametrelipencereler ile ilgili yapılan çalışmalardan elde edilenpencere spektral cevapları Kaiser penceresinden dahaiyi olmadığı için uygulamalarda fazlaca tercihedilmemişlerdir. Nuttall yaptığı çalışmasında, birçokfarklı şartlar altında spektral parametrelerinden olançok iyi yanlob davranışı ve en uygun özelliklere sahippencere fonksiyonu geliştirmiştir [10]. Geliştirilen buiki parametreli pencere fonksiyonları, pencereninanalob genişliği, pencere uzunluğu ve dalgalanmaoranı gibi spektral parametrelerinin ayarlanmasındansadece iki faktörün kontrolünü sağlamaktadır.Deczky tarafından geliştirilen ve üç parametreli yenipencere fonksiyonu olan ultraspherical fonksiyon,Gegenbauer veya Ultraspherical polinomları olarakbilinen ortogonal polinomların temelinedayanmaktadır. Geliştirilen bu pencere fonksiyonu ileyanlob azalması, fonksiyona eklenen parametreyardımıyla kontrol edilmektedir [11]. Ultrasphericalpencere fonksiyonun detaylı bir şekilde analiziBergen ve Antoniou tarafında yapılmıştır [12,13].Bergen ve Antoniou tarafından yapılan buçalışmalarda, geliştirdikleri pencere fonksiyonun eldeedilmesi amacından bahsetmişlerdir. İki parametrelipencerelerin yalnızca analob genişliği ve dalgalanmaoranı gibi parametrelerin kontrolünde kullanılırken,yanlob azalma oranının değiştirilmesinde bu