Pencere Fonksiyonu Aileleri ve Uygulama Alanları - Fen Bilimleri ...

295Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)Şekilde;• w g = geçirme bandı frekansı• w d = durdurma bandı frekansı• wö = örnekleme frekansı• A g = geçirme bandı dalgalanması• A d = durdurma bandı zayıflamasınıgösterilmektedir.Sayısal filtre tasarımında temel amaç, istenilenözellikleri sağlayacak genlik cevabının yukarıda ifadeedilen şartlar içerisinde olmasını sağlayacak filtretransfer fonksiyonu katsayı değerlerinin hesaplanmasışeklindedir.İstenilen genlik karakteristiğini sağlayacak olanfiltre, tekrarsız olarak gerçekleştirilirken sisteme aitgiriş-çıkış ilişkisini gösteren transfer fonksiyonu,jw∑ ∞ − jΩ( e ) = h(n e(1)n=−∞H )denklemi yardımıyla ifade edilmektedir. Sonuç, eldeedilen filtrenin impuls cevabının − ∞ dan başlayıp∞ ’ a kadar devam ettiğini gösterir. Bu durumda dafiltre fiziksel olarak gerçekleştirilemez. Bir filtreninfiziksel olarak gerçekleştirilebilmesi için bu impulscevabının sınırlı sayıda ve sistemin nedensel olmasıgerekmektedir. Denklem 1’de impuls cevabınınsınırlı sayıda olabilmesi için belirli bir gecikmeyleçarpılması gerekmektedir. Böylelikle sonsuzuzunluğa sahip olan sayısal filtre sonlu sayıda birimpuls cevabına sahip olacaktır. N terim için FIRfiltre transfer fonksiyonu denklemi ise, e j Ω= zyazılırsa,tasarlanan iki boyutlu filtre aşağıdaki üç faktörüsağlayacaktır.‣ iki boyutlu sayısal filtre daima kararlı olacak‣ sistem lineer faz cevabına sahip olacak‣ sınırlı impuls cevaplarından dolayı hızlı Fourierdönüşümü yardımıyla gerçekleştirilebileceklerdir[41].Bir boyutlu filtre transfer fonksiyonuna benzer olarakiki boyutlu filtre transfer fonksiyonu,∞ ∞−n1 −n22( 1, 2) 2( 1 1, 2 2)1 2n1=−∞n2=−∞H z z h nT nT z z= ∑∑ (3)şeklindedir. Denklem sonsuz sayıda terim içerdiğiiçin yapının tasarlanması imkânsız olacaktır. Sınırlısayıda eleman değeri alınarak elde edilen nedenselbir filtreye ait geliştirilmiş iki boyutlu filtre transferfonksiyonu,H z z z z H z z'−( N1−1)/2 −( N2−1)/22( 1, 2) =1 2 2( 1, 2)(4)şeklinde ele edilir. Hem bir hem de iki boyutlu filtretasarımında sınırlı sayıdaki eleman değerinin Fourierdönüşümün alınmasıyla elde edilen transferfonksiyonunda istenmeyen Gibbs salınımlarımeydana gelmektedir. Meydana gelen bu salınımlaraait genlik cevabı tek boyutlu filtre için şekil 2’ degösterilmiştir.N∑ − 1−nH ( z)= h[n]z(2)n=0şeklinde elde edilir.2.2. İki Boyutlu Sayısal Filtrelerİki boyutlu sayısal filtre tasarım adımları tek boyutlusayısal filtre tasarımında olduğu gibi, sisteme uygunşekilde yaklaşım, gerçekleştirme, uygulanması vesistemin quantalama hatasının belirlenmesişeklindedir. Bu işlem adımları sayısal bir sisteminhayata geçirilmesinde de izlenen yoldur.İki boyutlu olarak tasarlanan bir filtre tek boyutlufiltre de olduğu gibi tekrarlı veya tekrarsız olarak ikişekilde gerçekleştirilebilmektedir. Tekrarsız olarakŞekil 2. Farklı uzunluğa sahip filtreler için Gibbssalınımları3. Pencere FonksiyonlarıFIR filtre tasarımında Fourier serisinin anlıkkesilmesinden dolayı meydana gelen ve arzuedilmeyen bu salınımları ortadan kaldırabilmek içinkullanılan yapılara pencere fonksiyonu adı