Stopień Brouwera

More documents

Recommendations

Info

§6.2 Stopień topologiczny Twierdzenie 14: (Twierdzenie Poincarégo-Bohla) Niech f, g ∈ C(Ω) oraz ∀x∈Ω odcinek p [ f (x), g(x)] = {s f (x) + (1 − s)g(x)| 0 s 1}. Wtedy deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p). Dowód Potrzebna nam będzie w tym celu homotopia H(t, x) = t f (x)+(1−t)g(x). Wiemy z założeń, że p t f (x)+(1−t)g(x), dla t ∈ [0, 1]. Mamy więc p H(t, ∂Ω). Wzór jest teraz wnioskiem z homotopijnej niezmienniczości stopnia. Poniższe stwierdzenie mówi, że stopień jest niezmienniczy ze względu na przesunięcie w przestrzeni. Twierdzenie 15: Niech, jak zwykle, f ∈ C(Ω) oraz p f (∂Ω). Wtedy deg( f, Ω, p) = deg( f − q, Ω, p − q), dla każdego q ∈ R n . ( f − q jest dana wzorem x ↦→ f (x) − p) Doszliśmy więc do wersji homotopijnej niezmienniczości dla funkcji ciągłych. Twierdzenie 16: Niech będzie dana ciągła homotopia H : [0, 1] × Ω → R n i pt ciągła droga w R n . Jeśli pt H(t, ∂Ω), wtedy deg(H(t, ·), Ω, pt) jest niezmienny dla t ∈ [0, 1]. Poprzednie twierdzenia dotyczyły zależności stopnia od p i f . Teraz określimy zależność od zbioru Ω. Twierdzenie 17: Niech f ∈ C(Ω) oraz p f (∂Ω). i) Addytywność: Niech Ωi ⊂ Ω, i = 1, . . . , m będzie skończoną rodziną rozłącznych podzbiorów zbioru Ω, takich że p f (Ω \ (∪m i=1Ωi)). Mamy wtedy deg( f, Ω, p) = m deg( f, Ωi, p). (27) i=1 ii) Wycinanie: Jeśli K = K ⊂ Ω i p f (K) ∪ f (∂Ω), to deg( f, Ω, p) = deg( f, Ω \ K, p). (28) §6.2 Stopień topologiczny Podsumujmy: Konferencja na Helu, 2007 8
§7. Zastosowania w topologii Twierdzenie 18: Niech Ω ⊂ R n będzie ograniczonym i otwartym podzbiorem R n , f : Ω → R n odwzorowaniem ciągłym, y0 ∈ R n , jest taki, że y0 f (∂Ω). Wtedy trójce ( f, Ω, y0) można przyporządkować liczbę całkowitą w taki sposób, aby spełnione były następujące własności: i) Istotność: deg( f, Ω, y0) 0 ⇒ ∃x∈Ω, że f (x) = y0. ii) Addytywność: Niech Ωi ⊂ Ω, i = 1, . . . , m będzie skończoną rodziną rozłącznych podzbiorów zbioru Ω, takich że y0 f (Ω \ (∪m i=1Ωi)). Mamy wtedy deg( f, Ω, y0) = m deg( f, Ωi, y0). (29) i=1 iii) Wycinanie: Jeśli K = K ⊂ Ω i y0 f (K) ∪ f (∂Ω), to deg( f, Ω, y0) = deg( f, Ω \ K, y0). (30) iv) Homotopijna niezmienniczość: Niech ft : Ω × I → R n będzie homotopią. Niech y będzie odwzorowaniem odcinka I w R n . Jeśli ∀t∈I zachodzi y(t) ft(∂Ω), to ∀t1,t2∈I zachodzi deg( ft1 , Ω, y(t1)) = deg( ft2 , Ω, y(t2)) (31) v) Multiplikatywność: Niech Ω1 ⊂ R n i Ω2 ⊂ R k są ograniczonymi i otwartymi zbiorami, y1 ∈ R n , y2 ∈ R k oraz f1 : Ω1 → R n , f2 : Ω2 → R k a odwzorowaniami ciągłymi, takimi że y1 f1(Ω1), y2 f2(Ω2). Wtedy deg( f1 × f2, Ω1 × Ω2, (y1, y2)) = deg( f1, Ω1, y1) · deg( f2, Ω2, y2) (32) vi) Normalność: Niech j : Ω → R n będzie włożeniem. Wtedy deg(j, Ω, 0) = 1. (33) §7 Zastosowania w topologii Jako przykład zastosowania damy teraz prosty dowód twierdzenia Brouwera o punkcie stałym. Twierdzenie 19: (Brouwera o punkcie stałym) Niech D ⊂ R n jest otwarty, a D jest homeomorficzny z kulą domkniętą. Weźmy f ∈ C(D) takie, że f (D) ⊂ D, wtedy f ma punkt stały. Dowód Jasnym jest, że wystarczy udowodnić tę prawdę tylko dla kuli. Istotnie, jeśli φ : D → B (gdzie przez B oznaczyłem kulę domkniętą), to F := φ ◦ f ◦ φ −1 : B → B. Wynika stąd, że f ma punkt stały wtedy i tylko wtedy, gdy F ma punkt Konferencja na Helu, 2007 9
Page 1 and 2: Krzysztof Rykaczewski Stopień topo
Page 3 and 4: §1 Wstęp §1. Wstęp Jednym z naj
Page 5 and 6: Mamy więc trzy przypadki: §4. Szu
Page 7 and 8: §5. Stopień dla odwzorowań klasy
Page 9: §6.1 Własności stopnia Dowód Gd

Stopień Brouwera

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?