Stopień Brouwera

More documents

Recommendations

Info

§5. Stopień dla odwzorowań klasy C 1 Lemat 2: Jeśli f jest analityczna na krzywej gładkiej γ, to ∆γ log f (z) = f ′ (z) dz f (z) (17) γ Twierdzenie 2: Jeśli f : C → C jest ciągła na krzywej gładkiej γ, to 1 2πı ∆γ log f (z) ∈ Z. (18) Co więcej, gdy f jest analityczna na γ, to 1 2πı ∆γ log f (z) = 1 2πı ∆γ arg f (z) = 1 2πı γ f ′ (z) dz. (19) f (z) Definicja 3: Indeksem funkcji f wzglądem krzywej γ nazywamy liczbę całkowitą określoną w powyższym twierdzeniu. Oznaczamy go indγ( f ). Twierdzenie 3: Odwzorowanie ze zbioru klas homotopii odwzorowań [S 1 , S 1 ] do liczb całkowitych zadane poprzez jest f ↦→ ind S 1( f ) (20) 1 ◦ bijekcją, 2 ◦ homomorfizmem półgrup, tzn. ind S 1([ f ][g]) = ind S 1([ f ]) · ind S 1([g]), (21) 3 ◦ ind S 1(Id) = 1, ind S 1(∗) = 0. Dowód Wiemy już, że ind S 1(z m ) = m, co dowodzi, że jest to odwzorowanie „na”. Ale zauważyliśmy już, że każde odwzorowanie S 1 w siebie jest homotopijne z odwzorowaniem postaci z ↦→ z m . Ażeby stwierdzić druga tezę zauważmy, że ind S 1((z n ) ◦ (z m )) = ind S 1((z n ) m ) = ind S 1(z nm ) = nm. Różnowartościowości nie będziemy dowodzić. §5 Stopień dla odwzorowań klasy C 1 Definicja 4: Niech f ∈ C 1 (Ω). Powiemy, że x jest punktem krytycznym odwzorowania f , jeśli J f (x) = det D f (x) = 0, tzn. D f (x) jest osobliwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że punkt jest regularny. f (x) jest wtedy odpowiednio wartością krytyczną lub regularną, odpowiednio. Zbiór wartości regularnych oznaczmy przez Z f . Z twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowań wiemy, że f jest lokalnie odwracalna w pobliżu punktu regularnego. Konferencja na Helu, 2007 4
§5. Stopień dla odwzorowań klasy C 1 Twierdzenie 4: Jeśli f ∈ C 1 (Ω) i y jest punktem regularnym, to f −1 (y) jest skończony. Definicja 5: Jeśli f ∈ C1 (Ω), p f (∂Ω) i p jest wiartością regularną f . Definiujemy stopień f w p względem zbioru Ω jako liczbę całkowitą deg( f, Ω, p) = sgnJ f (x) (22) x∈ f −1 (p) Naszym głównym zadaniem teraz jest pozbycie się warunków: f ∈ C 1 oraz regularności punktu p. Twierdzenie poniższe mówi, że deg jest stały na składowych R n \ f (∂Ω). Twierdzenie 5: Niech f ∈ C 1 (Ω). Niech p1, p2 są wartościami regularnymi f i p są w tej samej składowej R n \ f (∂Ω). Wtedy deg( f, Ω, p1) = deg( f, Ω, p2). Definicja 6: Jeśli f ∈ C 1 (Ω) i p f (∂Ω), ale p nie jest wartością regularną, to definiujemy deg( f, Ω, p) jako deg( f, Ω, q) gdzie q jest punktem regularnym f i |q − p| < ρ(p, f (∂Ω)) Uwaga. Dzięki poprzedniemu twierdzeniu możemy definiować stopień dla p niekoniecznie będącym punktem regularnym. Z twierdzenia Sarda wiemy, że zbiór wartości krytycznych jest zbiorem miary zero i każda kula B(p, r) zawiera wartość regularną. Jeśli r = ρ(p, f (∂Ω)), wtedy deg( f, Ω, q) jest stała na B(p, r), bo B(p, r) ⊂ Rn \ f (∂Ω). To dowodzi poprawności definicji. Przypomnienie: f ∈ C1 (Ω), jeśli f ∈ C(Ω) i istnieje rozszerzenie ˜ f : U → Rn na zbiór otwarty U ⊃ Ω taki, że ˜ f ma na nim ciąłge pochodne cząstkowe. Można wprowadzić tam strukturę przestrzeni unormowanej. Norma w tej przestrzeni jest dana wzorem f 1 = sup | fi(x)| + sup |∂j fi(x)| (23) x∈Ω 1in x∈Ω 1i,jn Twierdzenie 6: Niech f ∈ C 1 (Ω) i p jest wartością regularną f , p f (∂Ω). Wtedy istnieje ɛ > 0 zależna od f i p taka, że jeśli f − g1 < ɛ, to p jest wartością regularną g oraz p g(∂Ω) i deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p). Podsumujmy: Twierdzenie 7: Niech f ∈ C 1 (Ω). i) deg( f, Ω, p) jest stały na składowych R n \ f (∂Ω), ii) Jeśli p f (∂Ω), to istnieje ɛ > 0 zależne od f i p, takie że deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p) dla f − g1 < ɛ, iii) Niech H1(t, x) jest C 1 -homotopią f i g. Wtedy, jeśli p H(t, ∂Ω) dla każdego t ∈ I, to deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p) Konferencja na Helu, 2007 5
Page 1 and 2: Krzysztof Rykaczewski Stopień topo
Page 3 and 4: §1 Wstęp §1. Wstęp Jednym z naj
Page 5: Mamy więc trzy przypadki: §4. Szu
Page 9 and 10: §6.1 Własności stopnia Dowód Gd
Page 11 and 12: §7. Zastosowania w topologii Twier

Stopień Brouwera

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?