Stopień Brouwera

Mamy więc trzy przypadki:
§4. Szukamy rozwiązań. Wprowadzenie stopnia.
1 ◦ n < k - można wykazać, że wtedy wszystkie odwzorowania są homotopijnie
równoważne (są homotopijnie trywialne)
2 ◦ n > k - zadanie trudne (wyższe grupy homotopii sfer)
3 ◦ n = k - jedyny ciekawy.
Fakt 1: S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Jeśli f (z) = z m , g(z) = z k , m, k ∈ Z, f, g : S 1 → S 1 ,
to łatwo pokazać, że m k ⇔ f g. Ponadto dla każdego odwzorowania
f : S 1 → S 1 , istnieje takie m ∈ Z takie, że f ∼ z m .
Fakt 2: #[R, R] = 1, tzn. każde dwa odwzorowania są homotopijne.
Fakt 3: #[R, R \ {0}] = 2
§4 Szukamy rozwiązań. Wprowadzenie stopnia.
Zajmiemy się teraz rozwiazaniami równania postaci
F(x) = 0, gdzie x ∈ R n , , a F : R n → R n
(13)
jest dowolnym odwzorowaniem ciąłym. Oczywiście rozwiązanie znajduje się na
pewnym odpowiednio dużym dysku (możemy założyc, że jest on jednostkowy).
Jak wiemy już z podtawowego twierdzenia analizy nieliniowej, wystarczy skonstruować
pewien niezmiennik, umożliwiający stwierdzenie, że ψ : S n−1 → S n−1
(lub co na jedno wychodzi φ : ∂D n → R n \ {0}), nie jest homotopijnie trywialne.
§4.1 Indeks odwzorowania względem krzwej zamkniętej
Niech f : C → C, będzie funkcją ciągłą, określoną na krzywej zamkniętej
γ : [a, b] → C (tzn. γ(a) = γ(b)) i nie zerującą się na niej.
Przez log(w(θ)) oznaczmy jakąkolwiek funkcję spełniającą warunek e log(w(θ)) =
w(θ).
Definicja 2: Przez przyrost logarytmu funkcji f wzdłuż krzywej γ rozumie
się różnicę
∆γ log f (z) = log w(b) − log w(a). (14)
Przez przyrost argumentu funkcji f wzdłuż krzywej γ rozumie się różnicę
∆γ arg f (z) = arg w(b) − arg w(a). (15)
Uwaga. W powyższych definicjach w „pewnym momencie” trzeba wybrać gałąź
logarytmu i argumentu, którą będziemy rozpatrywać.
Lemat 1:
∆γ log f (z) = ı∆γ arg f (z) (16)
Konferencja na Helu, 2007 3