Stopień Brouwera

§5. Stopień dla odwzorowań klasy C 1
Lemat 2: Jeśli f jest analityczna na krzywej gładkiej γ, to
∆γ log f (z) =
f ′ (z)
dz
f (z)
(17)
γ
Twierdzenie 2: Jeśli f : C → C jest ciągła na krzywej gładkiej γ, to
1
2πı ∆γ log f (z) ∈ Z. (18)
Co więcej, gdy f jest analityczna na γ, to
1
2πı ∆γ log f (z) = 1
2πı ∆γ arg f (z) = 1
2πı γ
f ′ (z)
dz. (19)
f (z)
Definicja 3: Indeksem funkcji f wzglądem krzywej γ nazywamy liczbę całkowitą
określoną w powyższym twierdzeniu. Oznaczamy go indγ( f ).
Twierdzenie 3: Odwzorowanie ze zbioru klas homotopii odwzorowań [S 1 , S 1 ]
do liczb całkowitych zadane poprzez
jest
f ↦→ ind S 1( f ) (20)
1 ◦ bijekcją,
2 ◦ homomorfizmem półgrup, tzn.
ind S 1([ f ][g]) = ind S 1([ f ]) · ind S 1([g]), (21)
3 ◦ ind S 1(Id) = 1, ind S 1(∗) = 0.
Dowód Wiemy już, że ind S 1(z m ) = m, co dowodzi, że jest to odwzorowanie „na”.
Ale zauważyliśmy już, że każde odwzorowanie S 1 w siebie jest homotopijne z
odwzorowaniem postaci z ↦→ z m .
Ażeby stwierdzić druga tezę zauważmy, że ind S 1((z n ) ◦ (z m )) = ind S 1((z n ) m ) =
ind S 1(z nm ) = nm.
Różnowartościowości nie będziemy dowodzić.
§5 Stopień dla odwzorowań klasy C 1
Definicja 4: Niech f ∈ C 1 (Ω). Powiemy, że x jest punktem krytycznym odwzorowania
f , jeśli J f (x) = det D f (x) = 0, tzn. D f (x) jest osobliwa. W przeciwnym
przypadku mówimy, że punkt jest regularny. f (x) jest wtedy odpowiednio
wartością krytyczną lub regularną, odpowiednio. Zbiór wartości regularnych
oznaczmy przez Z f .
Z twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowań wiemy, że f jest lokalnie
odwracalna w pobliżu punktu regularnego.
Konferencja na Helu, 2007 4