Stopień Brouwera

More documents

Recommendations

Info

Spis treści §1 Wstęp 1 §2 Cel i metoda 1 §3 Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej 1 §4 Szukamy rozwiązań. Wprowadzenie stopnia. 3 §4.1 Indeks odwzorowania względem krzwej zamkniętej . . . . . . . . 3 §5 Stopień dla odwzorowań klasy C 1 4 §6 Stopień dla funkcji ciągłych 6 §6.1 Własności stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §6.2 Stopień topologiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §7 Zastosowania w topologii 9
§1 Wstęp §1. Wstęp Jednym z najważniejszych osiągnięć topologii algebraicznej jest teoria stopnia topologicznego. Od początku swojego powstania znalazł on szerokie zastosowanie w analizie matematycznej. Jego początki siegają historycznej już pracy dotyczącej ukłądów gładkich rzeczywistych funkcji f0, . . . , fn, o n zmiennych, takich, że 0 jest wartością regularną f0, K = f −1((−∞, 0]), jest ograniczony i 0 nie wszystkie fj znikają na ∂K. Niech f = ( f1, . . . , fn). Kronecker w 1869 [2] udowodnił, że 1 χ[ f0, . . . , fn] = vol(Sn−1 f ) ∂K ∗ ω = sgn det f ′ (x), (1) x∈ f −1 (0)∩∂K gdzie ω = n j=1 (−1)j−1 x −n xjdx1 ∧ . . . ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ . . . ∧ dxn. Następnie Hadamard rozszerzył je i zdefiniował stopień na zwartych rozmaitościach skończonego wymiaru. Wzór Kroneckera jest specjanym przypadkiem stopnia Brouwera. §2 Cel i metoda Naszym głównym celem jest rozwiązanie równania postaci F(x) = 0, (2) przy czym natura zmiennej x może być bardzo różna. Przykład. Równanie wielomianowe w R a0x n + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0, ai ∈ R, a0 0, x ∈ R. (3) Przykład. Równanie różniczkowe w C 1 [a, b], np. u ′ − au + sin(u) = 0, gdzie a ∈ R oraz a 0, u ∈ C 1 [a, b]. (4) §3 Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej Definicja 1: Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy, że dwa odwzorowania ciągłe f, g : X → Y są homotopijne, o ile istnieje odwzorowanie ciągłe F : I × X → Y (homotopia), gdzie I = [0, 1], takie że ∀x∈X F(0, x) = f (x) oraz F(1, x) = g(x). (5) Oznaczamy to przez f ∼ g. Relacja ta jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich odwzorowań ciągłych z X do Y. Jej klasy oznaczamy przez [X, Y]. Mówimy, że odwzorowanie jest homotopijnie trywialne, jeśli f ∼ ∗, gdzie ∗ jest odwzorowaniem stałym, tj. ∀x ∗ (x) = x0. Konferencja na Helu, 2007 1
Page 1: Krzysztof Rykaczewski Stopień topo
Page 5 and 6: Mamy więc trzy przypadki: §4. Szu
Page 7 and 8: §5. Stopień dla odwzorowań klasy
Page 9 and 10: §6.1 Własności stopnia Dowód Gd
Page 11 and 12: §7. Zastosowania w topologii Twier

Stopień Brouwera

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?