Stopień Brouwera

§1 Wstęp
§1. Wstęp
Jednym z najważniejszych osiągnięć topologii algebraicznej jest teoria stopnia
topologicznego. Od początku swojego powstania znalazł on szerokie zastosowanie
w analizie matematycznej. Jego początki siegają historycznej już pracy
dotyczącej ukłądów gładkich rzeczywistych funkcji f0, . . . , fn, o n zmiennych,
takich, że 0 jest wartością regularną f0, K = f −1((−∞,
0]), jest ograniczony i
0
nie wszystkie fj znikają na ∂K. Niech f = ( f1, . . . , fn). Kronecker w 1869 [2]
udowodnił, że
1
χ[ f0, . . . , fn] =
vol(Sn−1
f
) ∂K
∗
ω = sgn det f ′ (x), (1)
x∈ f −1 (0)∩∂K
gdzie ω = n
j=1 (−1)j−1 x −n xjdx1 ∧ . . . ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ . . . ∧ dxn. Następnie Hadamard
rozszerzył je i zdefiniował stopień na zwartych rozmaitościach skończonego
wymiaru. Wzór Kroneckera jest specjanym przypadkiem stopnia Brouwera.
§2 Cel i metoda
Naszym głównym celem jest rozwiązanie równania postaci
F(x) = 0, (2)
przy czym natura zmiennej x może być bardzo różna.
Przykład. Równanie wielomianowe w R
a0x n + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0, ai ∈ R, a0 0, x ∈ R. (3)
Przykład. Równanie różniczkowe w C 1 [a, b], np.
u ′ − au + sin(u) = 0, gdzie a ∈ R oraz a 0, u ∈ C 1 [a, b]. (4)
§3 Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej
Definicja 1: Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy, że dwa
odwzorowania ciągłe f, g : X → Y są homotopijne, o ile istnieje odwzorowanie
ciągłe F : I × X → Y (homotopia), gdzie I = [0, 1], takie że
∀x∈X F(0, x) = f (x) oraz F(1, x) = g(x). (5)
Oznaczamy to przez f ∼ g.
Relacja ta jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich odwzorowań ciągłych
z X do Y. Jej klasy oznaczamy przez [X, Y].
Mówimy, że odwzorowanie jest homotopijnie trywialne, jeśli f ∼ ∗, gdzie ∗ jest
odwzorowaniem stałym, tj. ∀x ∗ (x) = x0.
Konferencja na Helu, 2007 1