Stopień Brouwera

f
·x0 ·x0 = f (x0)
B B
LITERATURA
stały. Pokażemy, że F ma taki punkt.
Jeśli F(x) = x dla x ∈ ∂B, to jest twierdzenie jest udowodnione. Załóżmy więc,
że F(x) x, dla x ∈ ∂B. Rozważmy
H : [0, 1] × B → R n daną wzorem H(t, x) = x − tF(x). (34)
Zauważmy, że tF(x) < 1 dla 0 t < 1, co implikuje, że tF(x) ∂B. Dlatego, dla
x ∈ ∂B, mamy x − tF(x) 0 i H(t, ∂B) 0 dla t ∈ [0, 1). Podobnie z założenia
f (x) = H(1, x) = x − F(x) 0, skąd H(t, ∂B) 0, na całym I. Dzięki homotopijnej
niezmienniczości mamy
1 = deg(Id B , B, 0) = deg(Id B − F, B, 0),
co implikuje, że ∃ x∈B taki, że F(x) = x, tzn. F ma punkt stały.
Uwaga. Twierdzenie Brouwera może być udowodnione dla zbiorów domkniętych,
wypukłych i ograniczonych z niepustym wnętrzem.
Innymi zastosowaniami są:
Twierdzenie 20: (Jordana) Jeśli K, L ⊂ R n są zwarte i homeomorficzne, wtedy
K c lub L c ją tę samą skończoną liczbę składowych lub mają ich nieskończenie
wiele.
Twierdzenie 21: (Niezmiennoczość dziedziny) Jeśli D ⊂ R n jest otwarty i
f : D → R n jest ciągłą bijekcją, to f (D) też jest otwarty.
Literatura
[1] „Wstęp do analizy nieliniowej. Teoria stopnia.”, Jacek Gulgowski, Wacław
Marzantowicz, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2003.
[2] „Ueber Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln”, L. Kronecker, Monatsber.
Berlin Akad. (1869) pp. 159193; 688698
[3] „Basic Brouwer Degree Theory: A Pedestrians Point of View”, César O.
Aguilar, 2006
c○ Krzysztof Rykaczewski
Toruń 2007
Konferencja na Helu, 2007 10