Stopień Brouwera

§6 Stopień dla funkcji ciągłych
Rozszerzymy teraz naszą definicję stopnia na funkcje ciągłe.
§6. Stopień dla funkcji ciągłych
Przypomnienie: C(Ω) jest przestrzenią funkcji ciągłych z Ω do R n . Można
wprowadzić tam strukturę przestrzeni unormowanej. Norma w tej przestrzeni
jest dana wzorem
f = sup | f (x)| (24)
x∈Ω
Definicja 7: Załóżmy, że f ∈ C(Ω) i p f (∂Ω). Definiujemy deg( f, Ω, p) jako
deg(g, Ω, p), gdzie g ∈ C 1 jest jakąkolwiek funkcją spełniającą
f − g < ρ(p, f (∂Ω)). (25)
Spróbujmy uzasadnić tę definicję. W każdym otoczeniu f ∈ C(Ω) istnieją
funkcje klasy C 1 . Niech r = ρ(p, f (∂Ω)) i mamy funkcje gi ∈ C 1 (Ω) takie, że
f − gi < r, dla i =, 2. Następnie rozpatrzmy homotopię klasy C 1 daną wzorem
ht(x) = tg1(x) + (1 − t)g2(x), 0 t 1.
Otrzymujemy stąd szacowania
|ht(x) − f (x)| = |t(g1(x) − f (x)) + (1 − t)(g2(x) − f (x))| < tr + (1 − t)r = r.
Korzystając z założenia, że x ∈ ∂Ω mamy
|p − ht(x)| >= |p − f (x)| − |ht(x) − f (x)| > 0 gdyż |p − f (x)| > r
skąd p ht(∂Ω). Na podstawie punktu 3) twierdzenia 7, deg(g1, Ω, p) = deg(g2, Ω, p).
Dzięki temu mamy, że wszystkie funkcje klasy C 1 spełniające oszacowanie (25)
majątaki sam stopień. Stąd ta definicja ma sens.
Oczywiście ograniczenie nie jest istotne, byle było odpowiednio małe.
Twierdzenie 8: W definicji 7 wyboru g można dokonać tak, że p nie koniecznie
jest jej punktem regularnym.
Twierdzenie 9: Jeśli Ω ⊂ R n , f ∈ C(Ω) oraz p f (∂Ω), wtedy deg( f, Ω, p)
jest niezmiennikiem przy zmianie współrzędnych, byle by ta zmian była klasy
C 1 .
Pozwala nam to na rozszerzenie naszej teorii na skończenie wymiarowe rzeczywiste
przestrzenie unormowane, jako że każdą taką można identyfikować z
R n .
§6.1 Własności stopnia
Pokażemy teraz główne własności stopnia topologicznego dla funkcji ciągłych.
Sa one podobne do tych, jakie miał stopień dla funkcji klasy C 1 .
Twierdzenie 10: Niech f ∈ C(Ω) i deg( f, Ω, p) 0, wtedy istnieje x ∈ Ω (!),
taki, że p = f (x).
Konferencja na Helu, 2007 6