Stopień Brouwera

§3. Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej
Oznaczmy D n = {x ∈ R n : x 1} ⊂ R n oraz odwzorowanie ciągłe F : D n →
R k , będzie takie, że
∀ x∈∂D n =S n−1 F(x) 0. (6)
Niech dalej φ : ∂D n → R k \ {0}, tzn.
φ = F|∂Dn (7)
Twierdzenie 1: (Podstawowe twierdzenie analizy nieliniowej) Niech φ :
∂D n → R k \ {0} jak wyżej oraz ψ : S n−1 → S n−1 określmy wzorem
ψ(x) = φ(x)
φ(x)
Wtedy równanie ˜F(x) = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie x ∈ IntD n , dla
każdego przedłużenia ˜F odwzorowania φ wtedy i tylko wtedy, gdy ψ jest
homotopijnie nietrywialne.
Dowód (⇐) Przypuśćmy, że istnieje przedłużenie ˜F : D n → R k odwzorowania
φ, takie że ∀x∈D n ˜F(x) 0. Zauważmy, że D n jest obrazem homeomorficznym
(I × S n−1 )/({0} × S n−1 ), tj. sklejamy do punktu {0} × S n−1 , a para (t, x) przechodzi
na punkt tx ∈ D n . Oznaczmy przez [(t, x)] obraz pary (t, x) po sklejeniu.
Określmy homotopię
˜H(t, x) = ˜F([(t, x)]) (9)
Zauważmy, że ˜H(0, x) = ˜F([(0, x)]) = ˜F(0) oraz ˜H(1, x) = ˜F([(1, x)]) = F(x) = φ(x).
Połóżmy dalej
H(t, x) = ˜H(t, x)
. (10)
˜H(t, x)
Widzimy więc, że H(1, x) = φ(x) oraz H(0, x) = ˜F(0) = ∗, co oznacza, że φ jest
homotopijnie trywialne. Sprzeczność.
(⇒) Niech będzie dana homotopia H : I × Sn−1 → Sk−1 , taka że H(1, x) =
ψ(x) ∈ Sn−1 oraz H(0, x) = ∗ ∈ Sn−1 . Definiujemy ˜F : Dn → Sk−1 dla [(t, x)] ∈ Dn przez
⎧
⎪⎨
˜F([(t,
H(t, x), t 0,
x)]) = ⎪⎩
(11)
F([(t, x)]) = H(0, x) = ∗, t = 0.
Ponieważ H(0, x) = ∗, więc ˜F jest dobrze określona. Jest ono niezerowe na Dn i jest rozszerzeniem ψ. Zdefiniujmy teraz odwzorowanie F : Dn → Sk−1 , kładąc
dla [(t, x)] ∈ Dn ⎧
⎪⎨ (tφ(x) + (1 − t))H(t, x), t 0,
F([(t, x)]) = ⎪⎩
(12)
H(0, x) = ∗, t = 0.
Skoro H(0, x) = ∗, więc F jest dobrze określone. Dla t = 1 mamy F([(t, x)]) =
φ(x)ψ(x) = φ(x), więc F jest rozszerzeniem φ. Jednocześnie, to że tφ(x)+(1−
t) 0 oraz H(t, x) przekonują nas, że F([(t, x)]) 0 dla [(t, x)] ∈ D n . Otrzymaliśmy
sprzeczność.
Konferencja na Helu, 2007 2
(8)