Stopień Brouwera

§6.1 Własności stopnia
Dowód Gdy p f (Ω). Weźmy g ∈ C 1 (Ω) taki, że g − f < ρ(p, f (Ω)). Wiemy,
że wtedy p g(Ω) i stąd deg(g, Ω, p) = 0 i stąd deg( f, Ω, p) = 0.
Definicja 8: Jeśli są dane dwie przestrzenie topologiczne X, Y, to mówimy, że
dwa przekształcenia ciągłe f, g : X → Y są homotopijne, gdy istniej ciągła
homotopia H : [0, 1] × X → Y taka, że H(0, x) = f (x) i H(1, x) = g(x).
Twierdzenie 11: Niech f ∈ C(Ω) i p f (∂Ω). Jeśli g − f < ρ(p, f (Ω)), to
deg(g, Ω, p) = deg( f, Ω, p). Co więcej, gdy dla homotopii H mamy p H(t, ∂Ω)
dla 0 t 1, to deg(H(t, ·), Ω, p) nie zależy od t ∈ [0, 1].
Zastanówmy się nad powyższym twierdzeniem. Jego pierwsza część mówi, że
deg(·, Ω, p) : C(Ω) → Z jest odwzorowaniem lokalnie stałym. Druga część mówi,
że stopień jest niezmiennikiem homotopii, o ile podczas deformacji punkt p jest
cały czas regularny. Możemy stąd wyciągnąć:
Wniosek 1: Niech f ∈ C(Ω) i p f (∂Ω), oraz niech ( fk) będzie ciągiem funkcji
ciągłych na Ω zbieżnym jednostajnie do f . Istnieje wtedy tak liczba całkowita
N > 0 taka, że deg( f, Ω, p) = deg( fk, Ω, p), dla k N.
Twierdzenie 12: deg( f, Ω, p) jest stały na składowych R n \ f (∂Ω).
Załóżmy teraz, że A ⊂ R n \ f (∂Ω) jest spójny. Możemy dzięki temu określić
stopień deg( f, Ω, A) := deg( f, Ω, p) dla pewnego p ∈ A. W sposób oczywisty
powyższa definicja jest poprawna.
Twierdzenie 13: Dla f, g ∈ C(Ω) takich, że f = g na ∂Ω, zachodzi
deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p), o ile tylko p f (∂Ω).
Wynika stąd, że stopień zależy właściwie tylko od tego jakie wartości funkcja
przyjmuje na brzegu obszaru Ω. Twierdzenie to jest wręcz nieprawdopodobne,
ale prawdziwe. Dlatego udowodnimy je.
Dowód Mamy daną homotopię
H(t, x) = t f (x) + (1 − t)g(x), (26)
da której H(t, x) = f (x), gdy x ∈ ∂Ω; czyli H(t, ∂Ω) = f (∂Ω) p. Z homotopijne
j niezmienniczości stopnia, mamy że deg( f, Ω, p) = deg(g, Ω, p).
Przykład. Że tak naprawdę jest pokaże następujący przykład. Niech f : [a, b] →
R będzie taka, że f (a) < f (b) i niech p będzie wartością regularną f . Oczywistym
jest, że gdy p > f (b) lub p < f (a) to deg( f, Ω, p) = 0. Gdy zaś f (a) < p < f (b), to
deg( f, Ω, p) = 1. W rzeczy samej: f −1 (p) = {x1, . . . , xm} zawiera nieparzystą liczbę
punktów (np. wzrost, spadek, wzrost, . . .); stąd
deg( f, Ω, p) =
Gdy f (b) < f (a), to deg( f, Ω, p) = −1.
m
sgn f ′ (xi) = +1 − 1 + 1 − 1 + . . . − 1 +1 = 1.
i1
Konferencja na Helu, 2007 7
=0