Stopień Brouwera

§7. Zastosowania w topologii
Twierdzenie 18: Niech Ω ⊂ R n będzie ograniczonym i otwartym podzbiorem
R n , f : Ω → R n odwzorowaniem ciągłym, y0 ∈ R n , jest taki, że y0 f (∂Ω).
Wtedy trójce ( f, Ω, y0) można przyporządkować liczbę całkowitą w taki sposób,
aby spełnione były następujące własności:
i) Istotność: deg( f, Ω, y0) 0 ⇒ ∃x∈Ω, że f (x) = y0.
ii) Addytywność: Niech Ωi ⊂ Ω, i = 1, . . . , m będzie skończoną rodziną
rozłącznych podzbiorów zbioru Ω, takich że y0 f (Ω \ (∪m i=1Ωi)). Mamy
wtedy
deg( f, Ω, y0) =
m
deg( f, Ωi, y0). (29)
i=1
iii) Wycinanie: Jeśli K = K ⊂ Ω i y0 f (K) ∪ f (∂Ω), to
deg( f, Ω, y0) = deg( f, Ω \ K, y0). (30)
iv) Homotopijna niezmienniczość: Niech ft : Ω × I → R n będzie homotopią.
Niech y będzie odwzorowaniem odcinka I w R n . Jeśli ∀t∈I zachodzi
y(t) ft(∂Ω), to
∀t1,t2∈I zachodzi deg( ft1 , Ω, y(t1)) = deg( ft2 , Ω, y(t2)) (31)
v) Multiplikatywność: Niech Ω1 ⊂ R n i Ω2 ⊂ R k są ograniczonymi i otwartymi
zbiorami, y1 ∈ R n , y2 ∈ R k oraz f1 : Ω1 → R n , f2 : Ω2 → R k a
odwzorowaniami ciągłymi, takimi że y1 f1(Ω1), y2 f2(Ω2). Wtedy
deg( f1 × f2, Ω1 × Ω2, (y1, y2)) = deg( f1, Ω1, y1) · deg( f2, Ω2, y2) (32)
vi) Normalność: Niech j : Ω → R n będzie włożeniem. Wtedy
deg(j, Ω, 0) = 1. (33)
§7 Zastosowania w topologii
Jako przykład zastosowania damy teraz prosty dowód twierdzenia Brouwera
o punkcie stałym.
Twierdzenie 19: (Brouwera o punkcie stałym) Niech D ⊂ R n jest otwarty, a
D jest homeomorficzny z kulą domkniętą. Weźmy f ∈ C(D) takie, że f (D) ⊂ D,
wtedy f ma punkt stały.
Dowód Jasnym jest, że wystarczy udowodnić tę prawdę tylko dla kuli. Istotnie,
jeśli φ : D → B (gdzie przez B oznaczyłem kulę domkniętą), to F := φ ◦ f ◦ φ −1 :
B → B. Wynika stąd, że f ma punkt stały wtedy i tylko wtedy, gdy F ma punkt
Konferencja na Helu, 2007 9