História Základy teórie fuzzy množín

3 Idempotentnosť
A∩ ( B∩ C) = ( A∩B) ∩ C
A∪ A= A;
A∩ A= A
4 Distributívnosť A∪( B∩ C) = ( A∪B) ∩( A∪ C)
A∩ ( B∪ C) = ( A∩B) ∪( A∩ C)
5 Identita A∪ 0 = A;
A∩ X = A
6 Absorbcia A∪( A∩ B) = A
A∩( A∪ B) = A
7 De Morganove pravidlá ¬ ( A∩ B) =¬ A∪¬ B
¬ ( A∪ B) =¬ A∩¬ B
8 Involúcia ¬¬ A= A
9 Ekvivalencia ( ¬ A∪B) ∩( A∪¬ B) = ( ¬ A∩¬ B) ∪( A∩ B)
10 Symetrická diferencia
( ¬ A∩B) ∪( A∩¬ B) = ( ¬ A∪¬ B) ∩( A∪ B)
V rámci teórie FM sú triedy operácií (s ľubovoľným počtom):
• prieniku zodpovedajú tzv. T-normy (T ako angl. triangular
– trojuholník)
• zjednoteniu zodpovedajú tzv. T-conormy resp. S-normy (S ako suma)
• doplnok (angl. Complement.)
Definícia operácií s fuzzy množinami
1.T-norma:
Nech sú tri FM A, B a C definované na spoločnom univerze X, kde a= µ A(
x1),
b= µ B ( x1),
c µ ( x ), d µ ( x ), e µ ( x ), f µ ( x )
x ≠ x potom T-norm a je
= C 1 = B 2 = E 1 = A 2 a vo všeobecnosti 1 2,
binárnou reláciou (zobrazením), kde by mali platiť nasledovné podmienky:
Tab ( , ) = Tba ( , )
TTab ( ( , ), c) = TaT ( , (b,
c))
∀a≤ f &∀b≤d ⇒T( a, b) ≤ T( f, d)
Ta ( ,1) = a
f
d
A
a e
b
c
x 1 2 x
C = A⊗ B
C
B
x
x
x
x1
C = A⊗B⊗E x