História Základy teórie fuzzy množín

História
Človek sa vždy snažil popísať veci čo najpresnejšie. Ak niečo nevieme úplne popísať,
nastáva problém. Už starí antickí filozofi sa zaoberali problémom neurčitosti. Zeno popísal
logický paradox: stojí na pláži a pred sebou má kopu piesku. Ak odoberie zrniečko, dve atď.,
je to ešte vždy kopa piesku. Po odobratí ďalších zrniečok je z nej kôpka piesku. Položil si
otázku, kedy je hranica medzi kopou a kôpkou.
Jedným zo zberateľov paradoxov bol aj Brit Bertrand Russel. Poukázal na mnoho
paradoxov, napr. aj na paradox holiča, ktorý si dal nad dvere vyvesiť štít s textom: „Holím
všetkých a zároveň iba tých mužov, ktorí sa neholia sami.“ Prísne logicky vzaté, kto potom
holí holiča?
Snaha dosiahnuť za každú cenu presnosť môže v skutočnosti viesť k nepresnosti.
S problémom presnosti sa potýkali vedci aj v jadrovej fyzike, mnoho paradoxov sa nachádza
aj v teórii relativity. Neurčitosť, nepresnosť, nejasnosť sú súčasťou života.
Fuzzy logika je jedným z mála prostriedkov, ktoré sa zaoberajú priestorom aj medzi
extrémami (0 – 1, áno – nie).
V r. 1938 Max Black (lingvista) ako prvý definoval neurčité (vágne) množiny.
V 50-tych rokoch sa vedci pokúšali prísť na to, ako využiť počítače pre potreby
riadenia. Ak chceme niečo riadiť, musíme to vedieť popísať. Ak nevieme dostať presný
fyzikálny popis, metódy sú nevyužiteľné.
V r. 1965 L. A. Zadeh z Baku publikoval článok „Fuzzy sets“. Do veľkej miery prebral
Blackov aparát, no namiesto vágny zaviedol pojem fuzzy. Fuzzy – neurčitý, nejasný, hmlistý,
nepresný, vágny.
V súčasnosti existuje niekoľko tisíc aplikácií využívajúcich fuzzy logiku, s ktorými
bežní ľudia prichádzajú do styku (holiaci strojček, fotoaparát, inteligentné mikrovlnné rúry,
inteligentné práčky, ...), na vyšších úrovniach riadenia, kde je nevyspytateľný ľudský faktor
(jadrová elektráreň).
µvek(roky)
1
0,9
Základy teórie fuzzy množín
Mladý Stredne Starý
starý
B
0 35 40 45 50 Roky
Obrázok 1. Príklad definície pojmu vek človeka s jej lingvistickými hodnotami mladý,
stredne starý, starý

Používame do 7 slovíčok (mladý, stredne starý, starý,...). Jednotlivým slovíčkam sa
snažíme priradiť obor hodnôt. Používame interval od 0 po 1 (0 – isto nepatrí, 1 – isto patrí) čo
je zásadný rozdiel medzi fuzzy množinami a ostrými množinami (Cantor). B patrí so stupňom
príslušnosti 0,9 do kategórie mladý.
Teória pravdepodobnosti nevie pracovať s protirečivou informáciou, pracuje s istou
formou neurčitosti.
Definícia fuzzy množiny:
Nech X je súbor objektov (prvkov) označovaných symbolom x. Nech M je množina
čísel, na ktorej je definovaný zväz.
Fuzzy množina A je množina usporiadaných dvojíc
A= {( x, µ A(
x)), x∈ X}
,
kde: X – univerzálna množina (univerzum)
µA: X → M - funkcia príslušnosti
µA (x) - stupeň príslušnosti objektu (prvku) x do A.
Ak M = {0,1} pre všetky x ∈ X, tak sa jedná o klasické (ostré) množiny, t.j. špeciálny
prípad fuzzy množín.
Všeobecná konvencia:
• M uzavretý interval reálnych čísel 〈 0;1〉
• µ ( ) = 0, resp. µ ( ) = 1predstavuje
najmenší resp. najväčší stupeň príslušnosti.
A x
A x
Zjednodušená reprezentácia fuzzy množín (z hľadiska algebraickej štruktúry) ako
usporiadaná trojica:
A= ( X, M , µ A),
kde X, M, µA – obyčajné množiny,
X – univerzum (definičný obor),
M – obor hodnôt vždy s významom stupňov príslušnosti,
µA – funkcia príslušnosti.
Charakteristiky popisujúce vlastnosti funkcie príslušnosti
1. Nosič A (support) - množina suppA:
suppA = { x∈ X, ηA(
x) > 0}
2. α-rez A (cut) - množina Aα:
Aα = { x∈X, η ( x ) ≥α }
α-rez je striktný, ak pre všetky x∈ Aαje A( ) x η >α.
3. α-hladina A (level) - množina A α :
A α = { x∈ X, µ A(
x)
=α }
4. Jadro A (nucleus) - množina KerA:
KerA = { x∈ X, µ A(
x) = 1}
5. Vrchol A (peak) - prvok P(A) jadra A v prípade, že jadro je jednoprvkovou množinou.
6. Konvexnosť - fuzzy množina A je konvexná práve vtedy, ak pre každé dva prvky
x,y∈ X a každé číslo τ∈< 0;1 > platí:
µ ( τ x+ (1 −τ) y) ≥
min{ µ ( x ), µ ( ) }
A A
A
A y

Nekonvexná funkcia príslušnosti:
LU
1
0
- sú nežiadúce, snažíme sa zamedziť ich výskyt.
Geometrická interpretácia charakteristík funkcie príslušnosti:
_A
_
1
Spôsoby zápisu fuzzy množiny
1. Ak univerzum je v diskrétnom tvare, t.j. X = { x1, x2,..., xn}
:
a) A = {( x1, µ A( x1)),( x2, µ A( x2)),...,( xn, µ A(
xn))} b) A = { µ A( x1) / x1, µ A( x2) / x2,..., µ A( xn) / xn}
c) A = { µ A( x1) / x1+ µ A( x2) / x2 + ... + µ A( xn) / xn}
d) A =
n
∑
i=
1
µ ( x )/ x
A i i
e) Graficky, pomocou diskrétnej funkcie príslušnosti A( i),
x µ pre všetky xi X ∈
i= 1,..., n.
2. Ak univerzum je v spojitom tvare:
a) A = f µ ( x) / x dx
x A
α
Ker A
b) Graficky, pomocou spojitej funkcie príslušnosti µ ( ), pre všetky x X ∈
A α
Supp A
A x
x
U

Základné typy a spôsoby konštruovania funkcií príslušnosti
µ x
a1 b1 c1=c2=
S - plus
µ x
x
=b2=a2
µ x
a1 b1 c1 c2 b2 a2 x
zvonovitá funkcia(bell-shaped)π
c2=a1=
=b1=c1
S - mínus
b2 a2 x

Funkcie: lineárne a nelineárne (zlinearizované)
⎧
⎪ 0 ak x < a alebo x > a
⎪
⎪
⎪
⎪ 1
ak c1 ≤ x ≤c2
⎪
⎪
2
1 ⎛ x a ⎞
⎪
− 1
⎜ ⎟ ak a1 ≤ x < b1
⎪ 2 ⎝b1−a1⎠ F ( xa , 1, b1, c1, a2, b2, c2)
= ⎨
2
⎪ 1 ⎛ x−c ⎞ 1
⎪1−
⎜ ⎟ ak b1 ≤ x < c1
⎪
2 ⎝c1−b1⎠ ⎪
2
⎪ 1 ⎛ x−c ⎞ 2 1− ⎜ ⎟ ak c2 < x ≤b2
⎪ 2 ⎝b2 − c2
⎠
⎪
2
⎪ 1 ⎛ x−a ⎞ 2
⎪ ⎜ ⎟ ak b2 < x ≤a2
⎪⎩ 2 ⎝a2 − b2
⎠
x, a1, b1, c1, c2, b2, a2∈ U.
k
c
b
y
1 2
x1 x2 x3 x4
lichobežníková funkcia príslušnosti
⎧
⎪ 0 x ∈< 0,
x1)
⎪
⎪
⎛ k b ⎞
⎪
−
⎜ ⎟(
x − x1) + b x∈< x1, x2)
⎪⎝ x2−x1⎠ ⎪
⎪
F ( x, x1, x2, x3, x4, k, b, c) = ⎨ k x∈< x2, x3)
⎪
⎪
⎛ k c ⎞
⎪
−
⎜ ⎟(
x − x4) + c x∈< x3, x4
>
⎪⎝ x3−x4 ⎠
⎪
⎪
⎪ 0 x∈ ( x4,
+∞)
⎩
x

Linearizované tvary niektorých typických priebehov funkcie príslušnosti:
Z - plus Z - mínus trojuholník
singleton
Spôsoby získavania funkcií príslušnosti
1. Subjektívne ohodnocovanie a odvodzovanie (riešenie typu ad-hoc)
2. Transformácia frekvenčných a štatistických údajov
3. Fyzikálne merania
4. Adaptácia, učenie a ladenie
Definícia lingvistickej premennej
klasické množiny
Fuzzy premenná je charakterizovaná usporiadanou trojicou (X, U, R(X, u)), kde
X - názov premennej
U - univerzálna množina (konečná alebo nekonečná)
R(X, u) - fuzzy podmnožina univerzálnej množiny U, pričom predstavuje fuzzy ohraničenie
hodnôt premennej u, ktoré je dané premennou X (skrátene R(X)).
Lingvistická premenná je usporiadaná pätica (Γ, T(Γ), U, G, M), kde
Γ - názov premennej
T(Γ ) (T) – term – množina, t.j. množina všetkých názvov lingvistických hodnôt premennej Γ,
každá z týchto hodnôt je fuzzy premennou X, nadobúdajúca hodnoty z univerzálnej množiny
U s bázovou premennou u
G - syntaktické pravidlo (zvyčajne vo forme bezkontextovej gramatiky), podľa ktorého je
zostavený názov X hodnoty lingvistickej premennej Γ
M - sémantické pravidlo, ktoré priraďuje každej fuzzy premennej X jej význam M(X), t.j.
fuzzy podmnožinu M(X) univerzálnej množiny U

µvek(roky)
1
Mladý Stredne Starý
starý
0 35 40 45 50 Roky
Príklad defi nície pojmu vek človeka s jej lingvistickými hodnotami mladý, stredne starý, starý
Γ = { vek}
T = { mladý , stredne starý, starý}
HLP Gramatiky
FM
SP FP
SP
– stupeň príslušnosti (Grade of Membership)
FP – funkcia príslušnosti (Membership Function)
FM – fuzzy množina (Fuzzy Set) ← algebraická štruktúra
HLP – hodnota lingvistickej premen nej (Value of Lingvistic Variable)
LP – lingvistická premenná ← zložitejší typ algebraickej štruktúry(je v nej obsiahnutá aj FM)
Operácie s fuzzy množinami a ich vlastnosti
V klasickom množinovom počte poznáme tri druhy operácií:
• zjednotenie
• prienik
• doplnok
s nasledujúcimi vlastnosťami:
1 Komutatívnosť A∪ B= B∪ A;
A∩ B= B∩ A
2 Asociatívnosť A∪( B∪ C) = ( A∪B) ∪ C
LP

3 Idempotentnosť
A∩ ( B∩ C) = ( A∩B) ∩ C
A∪ A= A;
A∩ A= A
4 Distributívnosť A∪( B∩ C) = ( A∪B) ∩( A∪ C)
A∩ ( B∪ C) = ( A∩B) ∪( A∩ C)
5 Identita A∪ 0 = A;
A∩ X = A
6 Absorbcia A∪( A∩ B) = A
A∩( A∪ B) = A
7 De Morganove pravidlá ¬ ( A∩ B) =¬ A∪¬ B
¬ ( A∪ B) =¬ A∩¬ B
8 Involúcia ¬¬ A= A
9 Ekvivalencia ( ¬ A∪B) ∩( A∪¬ B) = ( ¬ A∩¬ B) ∪( A∩ B)
10 Symetrická diferencia
( ¬ A∩B) ∪( A∩¬ B) = ( ¬ A∪¬ B) ∩( A∪ B)
V rámci teórie FM sú triedy operácií (s ľubovoľným počtom):
• prieniku zodpovedajú tzv. T-normy (T ako angl. triangular
– trojuholník)
• zjednoteniu zodpovedajú tzv. T-conormy resp. S-normy (S ako suma)
• doplnok (angl. Complement.)
Definícia operácií s fuzzy množinami
1.T-norma:
Nech sú tri FM A, B a C definované na spoločnom univerze X, kde a= µ A(
x1),
b= µ B ( x1),
c µ ( x ), d µ ( x ), e µ ( x ), f µ ( x )
x ≠ x potom T-norm a je
= C 1 = B 2 = E 1 = A 2 a vo všeobecnosti 1 2,
binárnou reláciou (zobrazením), kde by mali platiť nasledovné podmienky:
Tab ( , ) = Tba ( , )
TTab ( ( , ), c) = TaT ( , (b,
c))
∀a≤ f &∀b≤d ⇒T( a, b) ≤ T( f, d)
Ta ( ,1) = a
f
d
A
a e
b
c
x 1 2 x
C = A⊗ B
C
B
x
x
x
x1
C = A⊗B⊗E x

2.T-conorma:
Nech sú tri FM A, B a C definované na spoločnom univerze X, kde a= µ A(
x1),
b= µ B ( x1),
c µ ( x ), d µ ( x ), e µ ( x ), f µ ( x )
x ≠ x potom T-conorma
= C 1 = B 2 = E 1 = A 2 a vo všeobecnosti 1 2,
(S-norma) je binárnou reláciou (zobrazením), kde by mali platiť nasledovné podmienky:
Sab ( , ) = Sba ( , )
SSab ( ( , ), e) = SaSbe ( , ( , ))
∀a≤ f &∀b≤d ⇒S( a, b) ≤ S( f, d)
Sa ( ,0) = 0
Špeciálny prípad tzv. konjugovaných T-noriem a T-conoriem:
Tab ( , ) = 1 −S((1 −a),(1 − b))
3.Doplnok:
Nech A je FM definovaná na univerze X, kde a= µ A(
x1),
b= µ A(
x2)
a vo všeobecnosti
x1 ≠ x2,
potom doplnok je unárnou reláciou spĺňajúcou nasledovné podmienky:
C (0) = 1
∀ a< b⇒ C( a) > C( b)
CCa ( ( )) = a
Základné typy T-noriem a T-conoriem
• Konjugované T-normy a T-conormy, ktoré vždy tvoria dvojice (jedna T-norma a jedna Tconorma):
1 Drastický súčin a drastický súčet
- súčin:
⎧min(
µ A( x), µ B( x)), Ak max( µ A( x), µ B(
x))
= 1
Tw( µ A( x), µ B(
x))
= ⎨
⎩ 0,
Ináč
- súčet:
⎧max(
µ A( x), µ B( x)), Ak min( µ A( x), µ B(
x))
= 0
Sw( µ A( x), µ B(
x))
= ⎨
⎩ 1,
Ináč
2 Ohraničený rozdiel a ohraničený súčet
- rozdiel:
T1 ( µ A( x), µ B( x)) = max(0, µ A( x) + µ B(
x ) − 1)
- súčet:
S1 ( µ A( x), µ B( x)) = min(1, µ A( x) +µ B(
x))
3 Einsteinov súčin a Einsteinov súčet
- súčin:
µ A( x). µ B(
x)
T1,5 ( µ A( x), µ B(
x))
=
2 − ( µ A( x) + µ B( x) −µ
A( x). µ B(
x)
- súčet:
µ A( x) + µ B(
x)
S1,5( µ A( x), µ B(
x))
=
1 + µ A( x). µ B ( x)
4 Algebraický súčin a pravdepodobnostný súčet
- súčin (Product):
T ( µ ( x), µ ( x)) =
µ ( x). µ ( x)
2
A B A B

w
- súčet:
S2 ( µ A( x), µ B( x)) = µ A( x) + µ B( x) − µ A( x). µ B(
x)
5 Hamacherov súčin a Hamacherov súčet
- súčin:
µ A( x). µ B(
x)
T2,5( µ A( x), µ B(
x))
=
µ A( x) + µ B( x) −µ
A( x). µ B(
x)
- súčet:
µ A( x) + µ B( x) −2
µ A( x).
µ B(
x)
S2,5( µ A( x), µ B(
x))
=
1 − µ A( x). µ B(
x)
6 Minimum a maximum
- minimum:
T3 ( µ A( x), µ B( x)) = min( µ A( x), µ B(
x))
- maximum:
S ( µ ( x), µ ( x)) = max( µ ( x), µ ( x))
3
A B A B
T ≤T ≤T ≤T ≤T ≤T - najmenej prísna T-norma
1 1,5 2 2,5 3
S3 ≤ S2,5 ≤S2 ≤ S1,5 ≤ S1 ≤Sw- najmenej prísna T-conorma
• Parametrické T-normy a T-conormy predstavujú isté rozšírenie predošlej triedy
operátorov. Tieto však nemusia spĺňať všetky definičné podmienky.
1 Hamachov prienik a Hamachove zjednotenie
- prienik:
µ A( x). µ B(
x)
TH( µ A( x), µ B(
x))
= , γ ≥0
γ + (1 − γ ).( µ A( x) + µ B( x) −µ
A( x). µ B(
x))
Pre γ = 1 dostaneme algebraický súčin a pre γ →∞dostaneme drastický súčin.
- zjednotenie:
( γ − 1). µ A( x). µ B( x) + µ A( x) + µ B(
x)
SH( µ A( x), µ B(
x))
= , γ ≥−
1
1 + γµ . A( x). µ B(
x))
Pre γ = 0 dostaneme algebraický súčet a pre γ →∞dostaneme drastický súčet.
2 Yagerov prienik a Yagerove zjednotenie
- prienik:
γ γ 1/ γ
TY( µ A( x), µ B( x)) = 1−min(1,((1 − µ A( x)) + (1 −µ B(
x))
) ), γ ≥− 1
Pre γ = 1 dostaneme ohraničený rozdiel a pre γ →∞dostaneme operátor minima.
- zjednotenie:
γ γ 1/ γ
SY( µ A( x), µ B( x)) = min(1,( µ A( x) + µ B(
x)
) ), γ ≥ 1
Pre γ = 1 dostaneme ohraničený súčet a pre γ →∞dostaneme operátor maxima.
AK x1 je A & x2 je B & x3 jeC
POTOM y je D
(T(A,B), C)
T(A, T(B,C))
T(A, T(C,B))
T(T(A,C), B)
- výsledok bude ten istý, ak bude splnená podmienka asociatívnosti.

3 Min-max kombinácia
OPmin − max ( µ A( x), µ B( x)) = γ .min( µ A( x), µ B( x)) + (1 −γ ).max( µ A( x), µ B(
x)),
γ ∈ 0;1
Pre γ = 0 dostaneme operátor maxima a preγ = 1dostaneme
operátor minima.
• Spriemerňovacie operátory (angl. averaging operators) sú vlastne tiež parametrickými
operátormi. Okrem operátorov minima a maxima kombinujú aj aritmetický priemer.
1 Fuzzy – AND
(1 − γ ).( µ A( x) + µ B(
x))
OPAND ( µ A( x), µ B ( x)) = γ .min( µ A( x), µ B ( x))
+ , γ ∈ 0;1
2
Pre γ = 1 dostaneme operátor minima a pre γ = 0 dostaneme aritmetický priemer.
2 Fuzzy – OR
(1 − γ ).( µ A( x) + µ B(
x))
OPOR( µ A( x), µ B( x)) = γ .max( µ A( x), µ B(
x))
+ , γ ∈ 0;1
2
Pre γ = 1 dostaneme operátor maxima a pre γ = 0 dostaneme aritmetický priemer.
AK POTOM
AK x je M A y je B POTOM z je O
Štruktúra expertného systému
komunikačný
modul
inferenčný
báza znalostí báza dát
mechanizmus
Fuzzy inferenčný systém (FIS – historické delenie):
- fuzzy regulátor (1. regulátor r.1974 – prof. Mamdani)
- fuzzy expertné systémy – historicky novšie, zložitejšie
Prípady vhodného využitia FIS
• Ak riadená sústava je matematicky ťažko popísateľná alebo veľmi komplikovaná.
• Ak sústava je silne nelineárna.
• Ak sústava je citlivá na prudké zmeny akčného zásahu.
• Ak je potrebné meniť dynamiku regulátora, t.j. rýchlosť regulácie.
• Ak sa predpokladá, že počas životnosti regulátora sa doňho budú robiť časté zásahy.
• Ak sa vyžaduje veľká robustnosť riadiaceho systému.

Všeobecné značenie hodnôt lingvistickej premennej
Anglická značka Anglický význam Slovenská značka Slovenský význam
PB Positive big KV Kladný veľký
PM Positive medium KS Kladný stredný
PS Positive small KM Kladne malý
Z Zero N Nulový
NS Negative small ZM Záporne malý
NM Negative medium ZS Záporne stredný
NB Negative big ZV Záporne veľký
smoothing – vyhladenie daných priebehov, zabezpečí vyššiu robustnosť riadenia
AK x je M A y je B POTOM z je O
x, y, z – fuzzy premenné
M, B, O – hodnoty lingvistických premenných
Zloženie fuzzy regulátora
Špeciálny prípad pre dva vstupy e, ∆e a jeden výstup u:
AK e je M A ∆e je B POTOM u je O
w +
-
de
∆
e
regulátor
u y
systém
w (t) - požadovaná hodnota ∆e(t) – prvá derivácia reg. odchýlky
e (t) – regulačná odchýlka (chyba) e(t)=w(t)-y(t)
y (t) – skutočný výstup zo sústavy ∆e(t)=e(t)
Základná
bloková schéma spätnoväzobného reg. obvodu (regulátor s regulovaným systémom)
pre dva vstupy a jeden výstup:
IF THEN
Fuzzy
regulátor – expertný systém s týmito vlastnosťami:
- schopný pracovať s neurčitosťou
- plne automatizovaný s vylúčením ľudského činiteľa
- schopný pracovať v skutočnom čase (real time)

w
+
-
de
∆
e
Všeobecná teória fuzzy regulátorov
fuzzifikácia
báza znalostí
inferenčný
mechanizmus
w - požadovaná hodnota
e - chyba
y - výstup
Základná bloková schéma fuzzy regulátora s regulovanou sústavou pre dva vstupy a jeden
výstup.
Poradie fáz činnosti fuzzy regulátora:
• fuzzifikácia
*
e - crisp (ostrá hodnota)
• inferencia
• akumulácia
• defuziifikácia
normalizácia(pred fuzzifikáciou) predspracovanie (pomocou nejakých
denormalizácia(po defuzzifikácii) koeficientov, bulharskej konštanty...)
Fuzzifikácia
Blok fuzzifikácie môže vykonávať dve základné operácie:
• normalizácia: eN = Ne.e
∆eN = N∆e. ∆e
scaling factor – normalizačný koeficient
e, ∆e – skutočné (nenormalizované) vstupy
Ne, N∆e – normalizačné koeficienty
eN, ∆eN – normalizované hodnoty vstupov
u = Nu.uN
u – skutočný (denormalizovaný) výstup
Nu – denormalizačný koeficient
uN – normalizovaná hodnota výstupu
• vlastná fuzzifikácia:
ostrá hodnota ⇒ fuzzy hodnota
* *
E = {( e , µ ( e ))}
{(
e
*
, µ ∆e(
*
))}
∆ E = ∆e ∆ e
defuziifikácia
sústava
y

Inferencia
Dva základné druhy inferencie:
1.) Inferencia podľa jednotlivých pravidiel (angl. individual rule based inference) –
k
k
čiastkové predpoklady LX i sa spoja do celkového predpokladu LA pre každé
pravidlo zvlášť.
k
k
k
AK x1 je LX AND ... AND xn je LX POTOM u je LU
i
AK 1
k
( x ,..., x ) je LA POTOM u je
n
n
k
LU
k k
LX1 , LX 2,...,
LX n
k k
a LU - FP charakterizujúce konkrétne hodnoty lingvistických
premenných v pravidle k.
2.) Kompozičná inferencia(angl. composition based inference) – z relácií predstavujúcich
jednotlivé pravidlá sa vytvorí jedna veľká relácia, ktorá popisuje celú bázu znalostí
a tá sa naraz, ako jeden celok, vyhodnotí. Výsledkom je celkový akčný zásah za celú
bázu pravidiel LU. Inferencia splýva s kompozíciou.
k
k
k
AK x1 je LX1 & AK x2 je LX 2 & … & AK xn je LX n POTOM u je LUk
I. etapa T I. etapa I. etapa
C
III. etapa
vlastná
II. etapa
inferencia
- porovnávam 2 fuzzy množiny, výsledok musí byť tiež fuzzy množina.
- porovnávanie – Compatibility TC
- konjuktívny kanonický tvar (predpoklady sú pospájané pomocou & a pravidlá pomocou
OR).
- implikátor je špeciálnym prípadom inferencie.
- každý operátor inferencie spĺňa aj podmienky T-normy, každý operátor inferencie je aj
T-normou TI
- I.+II.+III. – inferencia v širšom slova zmysle
- ak množina je neprázdna, pravidlo sa odpálilo (fired)
- ak pravidlo je vzdialené od predpokladov, neodpáli sa
- akumulácia – spájanie SA
- I.+II.+III.+SA – inferencia v najširšom slova zmysle
Predpokladajme, že použijem singletonovú fuzzifikáciu.
Predpokladajme, že TC bude operátor minima.

Grafické znázornenie metódy MIN-MAX:
µ x
1
µ x
1
x 0
x
x
- singleton fuzzifikácia
- TC = min - špeciálny prípad (len pri singletone, pri dvoch fuzzy
- TA = ľubovoľné množinách to neplatí)
α = - sila pravidla
T LU LX LU
( , )
I k k
LU - výstup
k
LX = T ( LX ,..., LX )
k k
k A 1c
nc
k k
LX = T ( X , LX )
ic C i i
c A 1c
nc
y0
µ y
µ y
= kc - výsledok agregácie jednotlivých vstupov (c – clipped (orezané))
LU = S ( LU ,..., LU ) - výsledok
- v špeciálnom prípade je LX k = α
Akumulácia
Iba v prípade inferencie podľa jednotlivých pravidiel!!!
1 2 3
n
AK OR⇒ LU= S( S(... S( S( LU, LU), LU)...), LU)
c c c c
( (... ( (
1
c, 2
c), 3
c)...), n
c)
AK AND ⇒ LU = T T T T LU LU LU LU
x x x
1 2
↓ ↓ ↓
Metóda piatich najbližších susedov
(Five Nearest Neighbors)
k k k k k
1 2 n k 1 2
k k k
1 2
n
n
k
( , , , n )
d d d ⇒ d = f d d d
↑ ↑ ↑
LX LX LX
⇓
y
y
µ u
µ u
µ u
u
u
u

5 pravidiel s najmenším dk( k = 1,...,5), kde i d d < j pre i< j a dmax = d5
wabs - absolútna váha pravidla k
k
w - relatívna váha pravidla k
relk
w - výstupná FP za pravidlo k
w
d
=
− d
⇓
⇒ w ∈< 0;1 >
max k
abs
dmax
abs
k k
w =
w
⇓
⇒ w = 1
5
absk
rel 5 ∑ rel
k = 1
∑ w absk
k = 1
k k
5
⇓
µ = ∑ w . µ
out _ pravk
wout _ reg - celková výstupná FP
d - distance
α - stupeň hodnovernosti pre danú reláciu
Relácia podobnosti (Similarity Relation):
T( A, B) = C
A B
R S(
AB , )
out _regrel out _ prav
k = 1
k k
C
Defuzzifikácia
Príklad možného tvaru výslednej funkcie príslušnosti získanej akumuláciou funkcií
príslušnosti čiastkových výstupov:
1
0
U

1) Metóda ťažiska (centroidu) (angl. Center-of-Gravity, resp. Center-of-Area) – výpočet
ťažiska plochy FP.
Pre diskrétny prípad, ak ∀u ∈< u ; u > :
u
i 1 l
u
*
=
=
∫
U
uµ
∫
U
µ
l
∑
* i=
1
l
U
U
∑
i=
1
( u)
( u)
du
du
( )
uµ u
i U i
µ
( u )
U i
2) Metóda priemerného súčtu (angl. Center-of-Sums) – modifikovaná metóda ťažiska
zohľadňuje prekrývanie sa FP čiastkových výstupov.
Pre diskrétny prípad, ak ∀u ∈< u , u > :
u
*
i 1 l
u
=
∫u∑ U
m
U
k = 1
m
∫∑
µ
µ
U
U k=
1
k
C
k
C
l m
∑ ∑
( u)
( u)
du
du
( )
u µ u
i k
U i
C
* i= 1 k=
1 = l m
∑∑
i= 1 k=
1
µ
k
UC
( u )
3) Metóda ťažiska najväčšieho priestoru (angl. Center-of-Largest-Area) – využitie, ak FP
celkového výstupu je nekonvexná.
4) Metóda stupňov (angl. Height, resp. Local-Mean-of-Maxima) – patrí do skupiny
metód maxima. Akumulácia a defuzzifikácia splývajú v jeden výpočtový krok. Najprv
k
sa vypočítajú hodnoty vrcholov jednotlivých čiastkových výsledkov LU , t.j.
k
p = P( LU ) .
k c
u
=
m
∑
* k = 1
k = 1
i
( )
p µ p
k k
U k
C
m
∑
5) Metóda prvého maxim (angl. First-of-Maxima) – výber prvej hodnoty u, ktorá
nadobúda maximálny stupeň príslušnosti:
*
u = u / i ≠ ju < u ∀ i, j µ ( u ) = µ ( u ) = max( µ ( u))
{ i i j U i U j U }
6) Metóda posledného maxima (angl. Last-of-Maxima) – protiklad k metóde prvého
maxima:
*
u = u / i ≠ ju > u ∀ i, j µ ( u ) = µ ( u ) = max( µ ( u))
{ i i j U i U j U }
7) Metóda stredného maxima (angl. Middle-of-Maxima, resp. Global-Mean-of-Maxima)
*
– kompromis metódy prvého a posledného maxima. Nech u je výsledkom metódy
*
prvého maxima a u
výsledkom metódy posledného maxima, potom:
max
p
k
min
c

u − u
2
* *
*
=
*
min + max min
u u
Kritériá hodnotenia defuzzifikačných metód
1) Spojitosť (Continuity) – malá zmena vstupov do sústavy spôsobí malá zmenu
výstupov zo sústavy
1 1
.
( ) ( )
x ( k) − x ( k+ 1) ≤ε∧... ∧ x ( k) − x ( k+ 1) ≤ε → u k −u k−1
≤ δ
n n
Ak je podmienka splnená, defuzzifikačná metóda je spojitá za predpokladu spojitosti bázy
znalostí.
2) Prípustnosť (Plausibility) – prijateľnosť. Výsledok je prípustný, keď leží niekde
uprostred (ťažisko) a má pomerne vysoký stupeň príslušnosti.
3) Výpočtová zložitosť (Computational Complexity) – metódy maxima sú výpočtovo
nenáročnejšie, metóda ťažiska je výpočtovo náročná.
4) Uvažovanie prekrytí (Weight Counting) – existujú metódy, ktoré prekrytie berú do
úvahy a ktoré ho neberú do úvahy.
5) Jednoznačnosť (Disambiguity, Unambiguity) – napr. 1 S S = 2 je nejednoznačná
ťažiska
priemerného
súčtu
ťažiska
najväčšieho
priestoru
stupňov
prvého a
posledného
maxima
stredného
maxima
spojitosť áno áno nie áno nie nie
prípustnosť áno áno áno áno nie nie
výpočtová
zložitosť
uvažovanie
prekrytí
jednoznačnosť
FIS
áno nie áno nie nie nie
nie áno nie áno nie nie
áno áno nie áno áno áno
Typy regulátorov
Báza znalostí:
1 báza funkcie príslušnosti (FP)
2 báza pravidiel
3 báza parametrov inferenčného mechanizmu (IM):
a) normalizačné a denormalizačné koeficienty
b) metóda fuzzifikácie
c) TC – operátor kompatibility
d) TA – operátor agregácie
e) TI – vlastná inferencia
f) SA – operátor akumulácie
g) metóda defuzzifikácie
x1
x
n
u

h) váhovanie (weighting)
Váhovanie:
1
1
1) AK x1 je LX & ... & xn je LX POTOM u je LU1; w1 w ∈< 0;1 >
wi
1
n
n
n
n) AK x1 je LX & ... & xn je LX POTOM u je LUn; wn – hodnovernosť pravidla
1
n
α = α .
wii wi α - skutočná sila pravidla, ide do ďalšieho procesu inferencie
AK A→B - operátor inferencie
A⇒ B - implikácia (ak platí A, potom platí B)
A B A⇒B 1 1 1 1
2 1 0 0
3 0 1 1
4 0 0 1
min – nie je implikátor
Každý implikátor je špeciálnou formou T-normy, ale nie každá T-norma je implikátorom.
AK x je A ⇒ y je B
A⇒ B≡¬ A∨ B alebo
( A∧B) ∨¬ A
Implikátory
Typy implikátorov
1) Kleene – Dienesov µ ( ) ( x, y) = max( 1 −µ A( x)
, µ
A⇒ B B(
y)
)
b
2) Lukasiewiczov µ ( ) ( x, y) = min( 1,1−
µ
A B A( x)
+ µ
⇒ B(
y)
)
a
3) Zadehov µ ( ) ( x, y) = max( min ( µ A( x) , µ B( y)
) ,1−µ
A⇒ B A(
x)
)
m
4) Stochastický µ ( ) ( , ) min( 1,1 µ A( ) ) µ A( ) . µ B(
)
5) Goguenov µ ( ) ( xy)
x y = − x + x y
A⇒ B
A⇒B ∆
6) Gödelov µ ( ) ( xy , )
A⇒B g
7) Ostrý ( ) ( xy , )
µ A⇒B s
*
( x)
( y)
1; µ A( x) ≤ µ B(
y)
( y) ; inak
( x) ( y)
⎛ µ ⎞ A
, = min ⎜
1, ⎟
µ ⎟
⎝ B ⎠
⎧⎪
= ⎨
⎪⎩ µ B
⎧1; µ A ≤ µ B
= ⎨
⎩0;
inak
a b
⎛⎛ ⎞ ⎛
⎞⎞
8) Všeobecný µ ( ) ( xy , ) = min µ A( x) µ B( y) , ( 1 µ A( x) ) ( 1
A B B(
y
⇒
⎜⎜ ⇒ ⎟ ⎜ − ⇒ −µ
) ) ⎟⎟
αβ
⎝⎝ ⎠ ⎝
⎠⎠
a b
⇒⇒ , - Gödelove alebo ostré implikátory
.
.
.
i

Typy fuzzy regulátorov
• Konvenčné regulátory:
Mamdaniho regulátor
- fuzzy P, PI, PD a PID regulátory
- fuzzy regulátor pre kĺzavú reguláciu a iné
Takagi – Sugeno – Kangov regulátor (TSK)
- nelineárny TSK regulátor
- lineárny TSK regulátor s premenlivými parametrami
• Adaptívny fuzzy regulátor
- samoladiteľný, resp. samonastaviteľný regulátor
- samoučiaci sa, resp. samoorganizačný regulátor
• Špeciálne fuzzy regulátory – nepatria ani do jednej z predchádzajúcich tried, napr. Mac
Vicar – Whelanov regulátor
Mamdaniho regulátor
1 najstarsí typ fuzzy regulátora
2 inferencia v širšom slova zmysle:
a) MIN (operátor minima):
T µ x , µ x = min µ x , µ x
b) PRODUCT:
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
M A B A B
( µ ( ) , µ ( ) ) = µ ( ) . µ ( x )
T x x x
P A B A B
3 akumulácia:
a) MAX (operátor maxima):
S µ x , µ x = max µ x , µ x
b) SUM:
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
M A B A B
( µ ( ) , µ ( ) ) = µ ( ) + µ ( x )
S x x x
S A B A B
4 spojenie inferencie a akumulácie ⇒ MIN-MAX, resp. PRODUCT-SUM (inferencia
v najširšom slova zmysle
Fuzzy P, PI, PD a PID Mamdaniho regulátory
(proporcionálny, integračný, derivačný)
1) P regulátor – Prenos Fp(s) klasického P regulátora, kde e je vstup regulátora
a u výstup z regulátora:
u( s)
FP( s) = = K1
e s
( )
u( s) = K1e( s)
Po prechode do časovej oblasti: u() t = K e( t)
Po prepise do formy pravidla typu IF-THEN:
AK e je M POTOM u je O
2) PI regulátor – Prenos klasického PI regulátora:
SISO
u( s) K2
FPI ( s) = = K1+
e s s
1
( )

K2
u( s) = K1 e( s) + e( s) /. s
s
u s s = K e s s+ K e s
( ) 1 ( ) 2 ( )
Po prechode do časovej oblasti: ∆ u() t = K ∆ e( t) + K e( t)
1 2
Prepis do tvaru pravidla IF-THEN:
AK e je M A ∆ e je B POTOM ∆ u je O
3) PD regulátor – Prenos klasického PD regulátora:
u( s)
FPD ( s) = = K1+ K3s
e s
( ) = 1
( )
( ) + 3 ( )
Po prechode do časovej oblasti: u() t = K e( t) + K ∆ e( t)
u s K e s K e s s
1 3
Prepis do tvaru pravidla IF-THEN:
AK e je M A ∆ e je B POTOM u je O
4) PID regulátor – Prenos klasického PID regulátora:
u( s) K2
FPID ( s) = = K1+ + K3s
e s s
( )
K2
u( s) = K1e( s) + . e( s) + K3e( s). s
s
() () ( ) ()
Po prechode do časovej oblasti: u t = K e t + K e τ dτ + K ∆e
t
t
0
( )
t
∫
1 2 3
0
∫ e τ dτ-
chybový integrál e( ) t δ (angl. error integral)
Prepis do tvaru pravidla IF-THEN:
AK e je M A ∆e je B A δ ( ) je P POTOM u je O
Takagi – Sugeno – Kanov regulátor (TSK)
1) Odpadá potreba deffuzifikácie (na rozdiel od Mamdaniho regulátora, fi = const)
2) báza znalostí v tvare
1
1
*
AK x1 je LX A ... A xn je LX POTOM u = f ( x ,..., x )
1
e t
n
1 1 1
2
2
*
AK x1 je LX A ... A xn je LX POTOM u = f ( x ,..., x )
1
.
.
.
n
2 2 1
n
n
*
AK x1 je LX1
A ... A xn je LX n POTOM um 3) inferencia:
a) MIN (operátor minima):
= fm( x1,..., xn)
T µ x , µ x = min µ x , µ x
b) PRODUCT:
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
M A B A B
( µ ( ) , µ ( ) ) = µ ( ) . µ ( x
)
T x x x
P A B A B
n
n

4) akumulácia:
u
=
m
∑
* i=
1
m
α u
∑
*
i i
Špeciálny prípad, ak f i je lineárna funkcia, t.j. u c
Substitúcia 1
p až p n :
u
=
m
∑
* i=
1
α
i
i=
1
*
i = 1i. x1+ c2i. x2 + ... + cni. xn
( cx+ cx + +
cx)
1i 1 2i 2
ni n
m
∑
i=
1
α
m m m
∑ ∑ ∑
c1iαi c2iαi cniαi
* i= 1 u = m
i= 1 x1+ m
i=
1 x2
+ +
m x
α α α
∑ ∑ ∑
i i
i= 1 i= 1 i=
1
u = p. x + p . x + ... + p . xn
*
i 1 1 2 2
n
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 n 1
Ak x i sú jednotlivé derivácie vstupu xx ( , x , x , , x −
)
⇓
lineárny filter s premenlivými parametrami
Mamdani TSK
1) fuzzifikácia = fuzzif. = singleton
2) TC = TC – ľubovoľné
3) TA = TA – ľubovnoľné
4) TI = prod ––––
5) SA= sum ––––
6) defuzz = ťažisko ––––
{ }
*
7) i ( i,1)
*
U = u u = const
A
b a U
Mamdani → TSK
i
→ u
*
i
α
i
i
n
i i
a+ b
=
2
Podmienky lineárnosti všeobecného fuzzy regulátora
1) Použité funkcie príslušnosti (FP) sú trojuholníkové a normálne (vrchol musí mať µ = 1)
2) Vytvárajú fuzzy partície
m
∑
∀x∈ X µ ( x)
= 1
i=
1
LXi

3) TA – product
4) SA – ohraničený súčet
5) u = f( x1,..., xn)
– lineárna funkcia
6) báza pravidiel je úplná
7) TI – T-norma
8) Defuzzifikácia musí byť fuzzy mean – skupina defuzzif. metód, ktoré sú charakteristické
tým, že sa vypočítajú
j
r
∑
j=
1
r
α . b
∑
j=
1
j j
α
b - nejaká číselná charakteristika výstupnej funkcie príslušnosti, napr. metóda výšok, metóda
priemerného súčtu atď.
Tieto podmienky sú postačujúce, ale nie nutné (ak sú splnené všetky, tak je to lineárny FR, ale
ak nie je niektorá splnená, neznamená to, že regulátor nemôže byť lineárny)
Poznámka:
aprox
f ( x) f( )
∧
→ x
∧
| f( x) − f( x)| ≤ ε
x ∈ X
{ 1 } ,..., x = x xn
∧
| f( x) − f( x)| ≤ ε
x ∈ X - podmienka aproximácie
FR je aproximátor ľubovoľnej funkcie
ε si volíme (presnosť) – čím väčšia presnosť, tým viac pravidiel.
Vzájomne neprotirečivé pravidlá:
x x
1 ,..., n
r = ∏
i=
1
i
N NLX
- počet vzájomne neprotirečivých pravidiel (ak mám viac pravidiel,
budú tam aj protirečivé)
Normalizačné koeficienty:
x = Nx .
n
Adaptívny fuzzy regulátor
!!!adaptívny fuzzy regulátor ≠ adaptívny klasický regulátor!!!
Vlastnosti adaptívneho fuzzy regulátora:
1) Samoladenie regulátora
2) Prispôsobenie sa meniacim podmienkam procesu modifikáciou modelu procesu
3) Možnosť spustenia učiaceho sa procesu aj pri absencii modelu riadenej sústavy
j

+
w de
∆
-
Základná bloková schéma adaptívneho fuzzy regulátora.
Typy monitorov procesu:
1) Meranie výkonnosti regulátora ⇒ výkonnostne adaptívne regulátory (angl. performanceadaptive)
2) Estimácia parametrov aktualizovaním modelu riadenej sústavy ⇒ parametricky adaptívne
regulátory (angl. parameter-adaptive)
Typy adaptívnych fuzzy regulátorov podľa druhu modifikovaných parametrov bázy znalostí:
1) Samoladiace adaptívne fuzzy regulátory (angl. self-tuning) – modifikujú normalizačné
koeficienty a hodnoty parametrov funkcií príslušnosti
2) Samoorganizačné adaptívne fuzzy regulátory (angl. seld-organizing) – modifikujú bázu
pravidiel
Kritériá hodnotenia bázy pravidiel
1) Úplnosť (completness) – pre všetky (,) ee viem vygenerovať neprázdnu FM
Výška FM hgt(LUc)
.
Pre všetky (,) ee hgt(LUc) > 0
e
fuzzifikácia
.
e
adaptívny
mechanizmus
báza pravidiel
inferenčný
systém
.
PB PS NS
PS Z PB Z
Z NS Z NS
NS PB PS NS NB
NB PB PB NB NB
NB NS Z PS PB
!Ak pre nejaký vstup (, ee)
hgt(LUc) = 0 potom zoberieme hodnotu z predchádzajúceho
kroku.
2) Spojitosť (continuity) – zistíme susedov pre každý štvorček; báza pravidiel je vtedy spojitá,
ak prienik FP vyšetrovaného políčka a jeho suseda je nenulový.
e
defuzzifikácia
monitor procesu
sústava
y

3)Konzistentnosť (consistency)
1 ,..., x x n
1
1 ,...,
P Pn
n
n
∏
i=
1
P
i
Pi – počet lingv. hodnôt pre danú lingv. premennúα i
LX LX
Definície protirečivosti:
Prísna – ak sa v BP nachádzajú aspoň 2 také pravidlá, ktoré majú rovnakú predpokladovú
časť a rôznu výstupnú časť ⇒ BP je protirečivá.
Menej prísna – BP je až vtedy protirečivá, ak sa nájdu 2 také pravidlá s rovnakou
predpokladovou časťou, ktorých výstupy (prienik výstupov) je prázdna množina.
Príklad:
PI →∆ u
.
1.) ee≈ , 0
.
2.) ee< , 0
3.) e 0, e< 0
.
4.) ee> , 0
.
.
5.) e 0, e> 0
4) Interakcia (interaction)
LU LU - nemusia sa rovnať; interakcia je zlá vlastnosť; chceli by sme, aby sa rovnali.
c =
I c c
LU - výsledok inferencie podľa jednotlivých pravidiel
cI
- báza pravidiel obsahuje pravidlá, ktoré sa navzájom rušia ⇒ inferencia podľa jednotlivých
pravidiel nie je matematicky správna
y
1 1
y = f( x)
Ak x → y
- označíme si význačné body (napr. body zlomu)
1
1
(1): AK x je LX → y je LY
.
.
.
(n): ...
n
LX
n
LY
1
LY
n
LY
1
LX
e NM NS Z PS PM PB
NB NB NB NB NB NM NS Z
NM NB NB NB NM NS Z PS
NS NB NB NM NS Z PS PM
Z NB NM NS Z PS PM PB
PS NM NS Z PS PM PB PB
PM NS Z PS PM PB PB PB
PB
Z PS PM PB PB PB PB
n
LX
.
e NB
x

Typy reprezentácie znalostí FIS
1.) Fuzzy produkčné pravidlá (IF-THEN) – inferencia podľa jednotlivých pravidiel
(individual rule based inference)
2.) Fuzzy relácie – kompozičná inferencia (compositional inference)
3.) Fuzzy asociatívne pamäte (Fuzzy Associative Memory – FAM) – v súvislosti
s neurónovými sieťami
R : X → Y
R – fuzzy relácia
X × Y
y = f( x)
∫ R
Fuzzy relácie
R = µ ( x, y)/( x, y)
*
y
X× Y
R = ∑ µ R ( x, y) / ( x, y)
y
X× Y
Typický príklad FR – operácia.
Unárna relácia – vykonávam operáciu nad tou istou množinou:
2 jablká + 3 hrušky ⇒ 5 jabĺk - operácia
2 jablká + 3 hrušky ⇒ 5 ks ovocia - relácia
Charakteristická funkcia: ( xy∈ , ) R →1
( xy∉ , ) R →0
( x , x , , x ) / ( x , x , , x )
R = ∫ µ
R
1 2 n 1 2 n
Fuzzy množina je špeciálny prípad fuzzy relácie, je to unárny prípad.
AK e je LE & e je LE → u je LU
LE ⊂ E; ∆LE⊂∆E; LU ⊂ U
E ×∆ E× U
∫ R
* * * * * *
( e , e , u )/( e , e , u )
R = µ ∆ ∆
E ×∆ E× U
Nr
R = ∪R
i= 1
i
N - number of rules
r
E
*
e
U
*
u
.
y
*
∆e
∆E
*
x
y = f( x)
x x
* * *
R ( e , e , u )
µ ∆

Operácie s fuzzy reláciami
Fuzzy relácie – na základe úsudku
– na základe BP a FP s využitím fuzzy operátorov
R ⊆ X × Y „Asi rovný“
- definujeme si, ako sú si rovné
B ⊆ X × Y
R ∩B
min
X
Y
1 2 3 4
1 1,0 0,5 0,2 0,0
2 0,5 1,0 0,5 0,2
3 0,2 0,5 1,0 0,5
4 0,0 0,2 0,5 1,0
X
X
Y
1 2 3 4
1 0,5 1,0 0,7 0,2
2 0,0 0,8 1,0 0,2
3 0,4 0,0 1,0 1,0
4 0,9 0,6 0,0 0,2
Y
1 2 3 4
1 0,5 0,5 0,2 0,0
2 0,0 0,8 0,5 0,2
3 0,2 0,0 1,0 0,5
4 0,0 0,2 0,0 0,2
µ R ( x, y)
Operácie:
- Projekcia (uberanie rozmeru → ternárna na binárnu na unárnu...)
- Cylindrické rozšírenie (Cylindrical extension)
- Kompozícia
1
1
proj R na X = 1
Projekcia
- maximum z každého riadku
1
proj R na Y =1
Pre binárny prípad ( R:X× Y):
1 1 1 - maximum z každého stĺpca
projR na Y = ∫ sup µ R ( x,
y) / y
Y
x

Všeobecne:
R ⊆ U V U
n k
i; i
i= 1 m=
1
∏ ∏
U = U V = U m
( i ,..., j ,..., j ,..., i )
1 1
l k
⊆ proj R na V = ∫ sup µ ( x , x , , x ) / ( x , x , ,
x )
k n
i = 1,2,..., k
l+ k = n
j = 1,2,..., l
V
uj1,..., ujk
< i i
Pre binárny prípad ( F :X× Y):
Všeobecne:
proj ce( S) naV = S
ce( projRnaV ) ≠ R
R
1 2 n i1 i2 ik
x ∈ U
Cylindrické rozšírenie
ce( F ) = ∫ µ F ( y)/( x, y)
X× Y
( ) ( )
ce( S ) = ∫ µ x , x , , x / x , x , ,
x
V
S
i1 i2 ik 1 2 m
MISO – multiple input single output
MIMO – multiple input multiple output
MIMO MISO FAM – fuzzy associative memmory
MISO
...
MISO
k
k
k: AK x1 je LX1
& ... & xn je LX n POTOM u je LUk
k – zaberá priestor v stavovom priestore
* * * * *
Rk
= ( ( k( 1),..., k ∫ TI TA µ x µ ( xn)), LUk) /( x1,..., x , u )
LX1 LX
n
n
k
LX1
*
1
X1× ... × Xn× U
µ ( x ) ← len v prípade ak fuzzifikačná metóda je singleton, ak nie, tak každý taký výraz
musím nahradiť
*
T ( µ ( x ), fuzz( x ) )
C k
LX1
1 1
Nr
Výsledná báza pravidiel: R = ∪R
k = 1
Príklad:
AK x je A POTOM u je B
A – známe ( A ⊆ X )
R ⊆ X × U – známa
––––––––––––––––––––––
Aké je B? ( B ⊆ U )
B = A R = proj( ce( A) ∩ R) naU = projT ( ce( A), R ) naU
LU = projT ( T ( ce( fuzz( x ))... ce( fuzz( x ))), R
) naU
* *
c I A 1
n
k
I

Inferencia podľa jednotlivých pravidiel
(Individual Rule-Based Inference)
- fuzzy produkčné pravidlá
- user-friendly reprezentácia znalostí
- nižšia výpočtová náročnosť
- distribuovanosť BZ na pravidlá a funkcie príslušnosti → inferenčný alg. je
zložitejší
- viužíva sa omnoho častejšie ako kompozičná inferencia
- fuzzy relácie
- číselná reprezentácia znalostí
Kompozičná inferencia
(Compositional Inference)
- vysoká výpočtová náročnosť
- znalosť je kompaktná → inferenčný alg. je jednoduchší
1. stavová rovnica:
Typy neurčitosti v technických systémoch
u
matica dynamiky
. ⎛ ⎞
1 +
1
11 1
S
1 ,..., x xn
⎡x ( k 1) ⎤ ⎜
x ( t) ⎟ ⎡a ⎤ ⎡x ( k) ⎤ ⎡b1⎤ ⎢
...
⎥ ⎜ ... ⎟ ⎢
...
⎥
.
⎢
...
⎥ ⎢
...
⎥
⎢ ⎥
≅ = + uk ( )
⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
.
⎣⎢xn( k+ 1) ⎦⎥ ⎜ ⎢ a ⎥ ⎢ nn xn( k) ⎥ ⎢b ⎥
xn() t ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ n⎦
⎝ ⎠
A
- ako budú vyzerať stavy v nasledujúcom kroku
2. stavová rovnica:
⎡x1( k)
⎤
yk ( ) = [ c1,..., cn] .
⎢
...
⎥
⎢ ⎥
+ duk . ( )
⎢⎣xn( k)
⎥⎦
- ako bude vyzerať výstup (y v čase k)
Typy neurčitosti:
a⎫
b
⎪
1.) ⎬znalosť
o systéme
c ⎪
d ⎪
⎭
- ak je v nich nepresnosť, ide o neurčitosť o znalosti systému
y

2.) nepresnosť snímačov, vedení – chyba merania → nepresnosť spôsobená meraním
Nepresnosť – špeciálny prípad neurčitosti vzťahujúci sa na nejaké technické prostriedky;
súvisí s chybou
Neurčitosť – môže zahŕňať chyby, stochastičnosť (náhodnosť) systému
kapitola 5.2 v skriptách
Technická podpora pre fuzzy riadenie