5. główne wytyczne do poprawnego definiowania zadań z akustyki ...

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
5. GŁÓWNE WYTYCZNE DO POPRAWNEGO
DEFINIOWANIA ZADAŃ Z AKUSTYKI W
ŚRODOWISKU PROGRAMU ABAQUS
Pisząc ten rozdział założono, iż czytelnik posiada
podstawowe wiadomości o programie ABAQUS, a w szczególności
na temat:
−
−
−
dostępnych modułów programu, gdzie najistotniejszymi są
ABAQUS/Explicit, ABAQUS/Standard oraz ABAQUS/CAE,
budowy oraz sposobów modyfikacji pliku wsadowego (*.inp),
algorytmu definiowania analiz w programie.
Wszelkie proponowane wielkości charakteryzujące
analizę (np. wartości amplitud wymuszeń, zakresy częstotliwości)
dostosowane będą do wartości charakterystycznych dla akustyki
„budowlanej” [2,5,15,21,26,III,IV,V].
5.1. RODZAJE PROCEDUR NUMERYCZNYCH STOSOWA-
NYCH W PROGRAMIE DO ANALIZ ZADAŃ AKUSTYKI
5.1.1. STANY NIEUSTALONE
Wszelkie zadania z akustyki, zarówno dla stanów nieustalonych
jak i ustalonych zaliczane są do problemów dynamiki, a zatem
uwzględniają wpływ sił bezwładności powstających przy ruchach ciał.
Definiując zatem krok (step) analizy dla stanów nieustalonych, wybieramy
jedną procedur (Tabela 5.1) umożliwiających obliczenia dynamiczne
w zależności od wybranego modułu programu.
Moduł ABAQUS/Standard umożliwia uzyskanie wyników
na drodze całkowania niejawnego równań ruchu, natomiast uzyskanie
wyników przy pomocy modułu ABAQUS/Explicit odbywa się na drodze
całkowania jawnego.Przeprowadzone analizy numeryczne pozwalają
stwierdzić, iż uzyskiwane wyniki są zbliżone dla obu metod, aczkolwiek
krótszy czas obliczeń przy zastosowaniu metody jawnej,
skłania do stwierdzenia, iż prowadzenie obliczeń przy użyciu modułu
ABAQUS/Explicit jest najwłaściwsze.
50

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Tabela 5.1.
MODUŁ
ABAQUS/Standard
ABAQUS/Explicit
SŁOWO KLUCZOWE
*DYNAMIC
*DYNAMIC, SUBSPACE
*DYNAMIC, EXPLICITE
Pełny opis argumentów i parametrów do słów kluczowych
z Tabeli 5.1. zawarty jest w tomie „ABAQUS Keywords Manual” dokumentacji
programu.
Należy w tym miejscu zwrócić uwagę, iż procedura
*DYNAMIC, SUBSPACE, jako iż jest metodą tzw. podprzestrzennych
iteracji, wymaga, aby wcześniejszy krok analizy był analizą częstotliwości
i postaci drgań własnych układu. Jest tak ponieważ procedura
ta korzysta z wyników analizy modalnej, do uzyskania końcowego rezultatu,
a zatem rozkładu ciśnień 1 . Ważne jest również zaznaczenie
faktu, iż z dwóch zastosowanych solwerów problemów własnych
w ABAQUS, do zadań akustycznych zalecany jest ten oparty na procedurze
Lanczosa 2 (jeżeli analizujemy zadanie z kontaktem struktury
i medium akustycznego to analiza modalna jest możliwa wyłącznie
przy użyciu solwera Lanczosa).
5.1.2. STANY USTALONE
Podobnie jak dla analiz stanów nieustalonych, program
ABAQUS oferuje kilka procedur dla zadań o ustalonym charakterze,
które to zestawione są w Tabeli 5.2. Wśród nich wyróżniamy dwie
procedury dające rozwiązanie przybliżone, a więc procedura *STEADY
STATE DYNAMIC bazująca na metodzie modalnej i procedura
*STEADY STATE DYNAMIC, SUBSPACE PROJECTION bazująca na metodzie
podprzestrzennych iteracji oraz jedną dająca rozwiązanie dokładne
3 *STEADY STATE DYNAMIC, DIRECT.
1 dane wyjściowe zostaną omówione w osobnym Rozdz. 5.7
2 solwer ten wywołujemy poprzez słowo kluczowe *FREQUENCY, EIGENSOLVER=LANCZOS
3 w myśl sformułowania dla stanów ustalonych zawartego w Rozdz. 4.3 pracy
51

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Tabela 5.2.
MODUŁ
ABAQUS/Standard
SŁOWO KLUCZOWE
*STEADY STATE DYNAMIC
*STEADY STATE DYNAMIC, DIRECT
*STEADY STATE DYNAMIC, SUBSPACE PROJECTION
Zarówno algorytm metody modalnej jak i podprzestrzennych
iteracji, wymagają wcześniejszego rozwiązania problemu własnego
układu. Podobnie jak dla stanów nieustalonych, podyktowane
jest to faktem, iż wyniki z analizy modalnej są bazą dla rozwiązania
końcowego obu wspomnianych metod. Dokładność rozwiązania uzyskanego
z przybliżonych algorytmów, zależna jest od liczby użytych
wyników 4 z kroku *FREQUENCY.
Przeprowadzone analizy numeryczne pozwalają stwierdzić,
iż uzyskiwane wyniki z metod przybliżonych (*STEADY STATE
DYNAMIC; *STEADY STATE DYNAMIC, SUBSPACE PROJECTION) dążą
wraz ze wzrostem liczby użytych wyników z analizy modalnej do rozwiązania
dokładnego (*STEADY STATE DYNAMIC, DIRECT), aczkolwiek
krótszy czas obliczeń przy zastosowaniu metody dokładnej,
skłania mnie do stwierdzenia, iż prowadzenie obliczeń z jej wykorzystaniem
jest lepsze.
Obliczenia dla zadań o charakterze ustalonym prowadzimy
najczęściej dla pewnego spektrum (przedziału) częstotliwościowego
(dla typowych zadań szerokość spektrum przyjmujemy z przedziału
zakresu słyszalności f = 16 ÷ 20000Hz
). Sposób wyboru częstotliwości
z zadanego przedziału do użycia w analizie zależny jest od użytkownika
i może odbywać się w sposób liniowy lub wedle zmienności funkcji
logarytmicznej.
5.1.3. PODSUMOWANIE
Niezależnie o tego, czy zdecydujemy się na analizę zadania
jako problemu ustalonego, czy też nieustalonego oraz czy procedura
wymaga wcześniejszego kroku analizującego mody własne układu
(uwaga ta dotyczy zarówno zadań bez jak i z kontaktem struktury
i ośrodka akustycznego), należy każde zadanie, co jest oczywiście
charakterystyczne dla zadań „dynamicznych”, poprzedzić analizą własną.
Uzyskujemy w ten sposób dodatkową charakterystykę medium
akustycznego, ważną ze względu na możliwość wystąpienia zjawiska
4 liczbą tą steruje użytkownik, w pierwszej kolejności poprzez zadanie liczby częstości i postaci drgań
własnych, które mają być zwrócone po zakończeniu kroku *FREQUENCY oraz w drugiej kolejności poprzez
podanie które z wyników analizy modalnej mają być użyte w dalszych obliczeniach poprzez polecenie
*SELECT EIGENMODES
52

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
rezonansu lub dudnienia zachodzącego przy odpowiedniej (równej lub
bliskiej częstotliwości drgań własnych) częstotliwości pulsacji źródła
dźwięku.
Zadania o charakterze nieustalonym, jako iż dzieją się
w czasie „rzeczywistym”, wymagają racjonalnego doboru czasu całkowitego
analizy jak i wielkości ekstremalnych przyrostów czasowych.
Definiując te wielkości należy mieć na względzie fakt, iż w standartowych
warunkach fala dźwiękowa rozchodzi się w powietrzu z prędkością
c ≈ 340 m ⋅ s . Nie powinno zatem dziwić, iż np. dla małych po-
−1
mieszczeń w celu uchwycenia charakteru propagacji fali analiza trwać
będzie ułamki sekund.
5.2 PRZYJĘCIE SIATKI ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Wybór elementu skończonego oraz gęstości siatki elementów
skończonych jest krytycznym momentem podczas definiowania
analizy. W miejscu tym decydujemy o wielkości zadania (a zatem
o czasie obliczeń) jak i o poprawności (dokładności) uzyskanych wyników.
Problem ten nabiera szczególnej wagi dla zadań opisujących
propagację fali, gdyż niepoprawne przyjęcie gęstości siatki elementów
skończonych może zniweczyć nawet najstaranniej przygotowane zadanie.
Wydaje się więc, iż sprawą priorytetową jest omówienie rodzajów
dostępnych elementów oraz sposobów wstępnego przyjmowania
gęstości siatki.
5.2.1 RODZAJE DOSTĘPNYCH ELEMENTÓW DLA
ZADAŃ Z ZAKRESU AKUSTYKI
W Tabeli 5.3 zestawiono wszystkie elementy skończone
dla zadań z zakresu akustyki zastosowane w programie ABAQUS.
Prócz oryginalnego (zgodnego z dokumentacją) nazewnictwa, tabela
podaje również krótka charakterystykę oraz przynależność do odpowiedniego
modułu oprogramowania.
Tabela 5.3.
MODUŁ NAZWA OPIS
ABAQUS/
Standard
AC1D2
AC1D3
AC2D3
2-węzłowy,I-rzędu 5 , jednowymiarowy (1D) – linowy
3-węzłowy, I-rzędu, (1D) - liniowy
3-węzłowy, I-rzędu, dwuwymiarowy (2D) – trójkątny
5 w elemencie zastosowano liniowe funkcje kształtu
53

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
ABAQUS/Standard
AC2D4
AC2D6
AC2D8
AC3D4
AC3D6
AC3D8
AC3D10
AC3D15
AC3D20
ACAX3
ACAX4
ACAX6
ACAX8
ACIN2D2
ACIN2D3
ACIN3D3
ACIN3D4
ACIN3D6
ACIN3D8
ACINAX2
ACINAX3
ASI1
ASI2
ASI2A
ASI3
ASI3A
ASI4
ASI8
4-węzłowy, I-rzędu,(2D) – czworokątny
6-węzłowy, II-rzędu 6 ,(2D) – trójkątny
8-węzłowy, II-rzędu,(2D) – czworokątny
4-węzłowy, I-rzędu,
trójwymiarowy (3D) - czworościenny
6-węzłowy, I-rzędu,
(3D) – prostopadłościenny o podstawie trójkąta
8-węzłowy, I-rzędu, (3D) - sześcienny
10-węzłowy, II-rzędu, (3D) - czworościenny
15-węzłowy, II-rzędu,
(3D) – prostopadłościenny o podstawie trójkąta
20-węzłowy, II-rzędu, (3D) - sześcienny
3-węzłowy, I-rzędu, osiowosymetryczny 7 (OS),
(2D) - trójkątny
4-węzłowy, I-rzędu, (OS), (2D) - czworokątny
6-węzłowy, II-rzędu, (OS), (2D) – trójkątny
8-węzłowy, II-rzędu, (OS), (2D) - czworokątny
2-węzłowy, I-rzędu, nieskończony 8 (N),
(1D) - liniowy
3-węzłowy, II-rzędu, (N), (1D) - liniowy
3-węzłowy, I-rzędu, (N), (2D) - trójkątny
4-węzłowy, I-rzędu, (N), (2D) - czworokątny
6-węzłowy, II-rzędu, (N), (2D) - trójkątny
8-węzłowy, II-rzędu, (N), (2D) - czworokątny
2-węzłowy, I-rzędu, (OS), (N), (1D) - liniowy
3-węzłowy, II-rzędu, (OS), (N), (1D) - liniowy
1-węzłowy, kontaktowy 9 (K)
2-węzłowy, I-rzędu, (K), (1D) - liniowy
2-węzłowy, I-rzędu, (K), (OS), (1D) - liniowy
3-węzłowy, II-rzędu, (K), (1D) - liniowy
3-węzłowy, II-rzędu, (K), (OS), (1D) - liniowy
4-węzłowy, I-rzędu, (K), (2D) – czworościenny
8-węzłowy, II-rzędu, (K), (2D) – czworościenny
6 w elemencie zastosowano kwadratowe funkcje kształtu
7 dla zadań uwzględniających osiowosymetryczną budowę modelu
8 do modelowania tzw. nieskończonych warunków brzegowych (np. modelowanie propagacji w przestrzeni
otwartej)
9 dokładne omówienie w Rozdz. 5.5
54

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
ABAQUS/Explicit
AC2D3
AC2D4R
AC3D4
AC3D6
AC3D8R
ACAX3
ACAX4R
3-węzłowy, I-rzędu, (2D) – trójkątny
4-węzłowy, I-rzędu, zredukowany 10 (RI)
(2D) – czworokątny
4-węzłowy, I-rzędu, (3D) - czworościenny
6-węzłowy, I-rzędu,
(3D) – prostopadłościenny o podstawie trójkąta
8-węzłowy, I-rzędu, (RI), (3D) - sześcienny
3-węzłowy, I-rzędu, (OS), (2D) - trójkątny
4-węzłowy, I-rzędu, (OS), (RI), (2D) - czworokątny
Szeroka gama elementów skończonych pozwala na dużą
„elastyczność” podczas modelowania numerycznego. Korzystając
z modułu ABAQUS/CAE do definiowania modelu ośrodka akustycznego,
należy zadeklarować typ części składowych (parts 11 ) tego modelu
jako typ mogący ulegać deformacją 12 .
Zaleca się w tym miejscu stosowanie elementów II-rzędu,
jako że wyniki uzyskane przy ich użyciu, szczególnie dla zadań akustyki
– „falowych” - są dokładniejsze.
5.2.2. PRZYJECIE GĘSTOŚCI SIATKI ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH DLA OŚRODKA AKUSTYCZNEGO
Zgodnie z wcześniejszym komentarzem przyjęcie rodzaju
elementu skończonego oraz gęstości siatki elementów skończonych
jest krytycznym momentem dla budowy modelu numerycznego.
Problem doboru gęstości siatki elementów skończonych
przedstawiają Rys. 5.1 oraz Rys. 5.2 . Oba rysunki na przykładzie
dwuwymiarowej fali, pokazują jak ogromny wpływ na czytelność map
ciśnień akustycznych, może mieć błędny dobór gęstości siatki w stosunku
do długości propagującej się fali.
Rysunek 5.1 przedstawia sytuację, w której około dwa
węzły siatki elementów skończonych przypadają na długość propagującej
się fali. Widać, że mimo iż wartości węzłowe są bliskie rozwiązania
dokładnego, to na skutek interpolacji między węzłami, rozwiązanie
końcowe znacznie odbiega od rozwiązania dokładnego – możemy
powiedzieć, że przyjęta siatka elementów skończonych „nie dostrzega”
charakteru fali. Natomiast Rys. 5.2 przedstawia to samo zadanie,
10 zredukowana jest liczba punktów całkowych
11 część składowa modelu w języku angielskim to „part”
12 nie znaczy to, że elementy te mają zdolność do mechanicznej zmiany kształtu. W rzeczywistości są
one „sztywne” (nie zmieniają kształtu), co przy zadaniach kontaktowych, w których struktura ulega
znacznym deformacjom zmusza nas to zdefiniowania siatki elementów medium akustycznego jako tzw.
siatki adaptacyjnej. Więcej informacji na ten temat w Rozdz. 5.2.3.
55

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
aczkolwiek w analizie tej na długość fali przypada około sześć węzłów.
Dokładność rozwiązania wzrosła zatem w sposób znaczący – uwidacznia
się falowy charakter zjawiska propagacji.
Rys. 5.1. Błędne przyjęcie gęstości siatki elementów skończonych
Rys. 5.2. Poprawne przyjęcie gęstości siatki elementów skończonych
Podobne komentarze do tych zawartych powyżej możemy
odnaleźć w dokumentacji programu ABAQUS. Czytamy tam, iż dla
elementów oferujących aproksymacje I-rzędu zaleca się przyjmowanie
ich wielkości minimum sześć razy mniejszych od długości fali, natomiast
dla elementów w których aproksymacja odbywa się według
własności funkcji kwadratowej (II-rzędu) należy rozmiar elementu
przyjmować około trzykrotnie mniejszy od długości fali. Przeprowa-
56

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
dzone liczne symulacje numeryczne potwierdzają zasadność tych zaleceń.
Najwięcej trudności w doborze gęstości siatki elementów
skończonych dla ośrodka akustycznego, napotyka się podczas analiz
zadań, w których dopuszczamy do kontaktu struktury i medium akustycznego.
Tego typu zadania umożliwiają nam obserwowanie licznych
interferencji fal padających i odbitych. Nie znamy wówczas jaką
częstotliwością będzie się charakteryzowała „nowa” fala, a więc nie
możemy przewidzieć a priori gęstości siatki elementów skończonych.
W takim wypadku nie unikniemy, żmudnego poszukiwania odpowiedniego
wymiaru elementu skończonego w kolejnych iteracjach.
Oczywistym jest, że zmiana częstotliwości drgań pociąga
za sobą zmianę długości fali. Dla ustalenia uwagi wprowadźmy następującą
zależność, która w prosty sposób pozwoli nam na wstępne dobranie
gęstości siatki elementów skończonych (wymiaru elementu)
c
Lmax
≤ , (5.1)
n f
min
max
gdzie:
L max
[ m]
- maksymalny wymiar elementu skończonego dla elementów
−1
[ m ⋅ s ]
I-rzędu ( dla elementów II-rzędu przyjmujemy
2 ⋅ Lmax
),
c - prędkość fali w ośrodku przyjmowana dla ośrodka płynnego
zgodnie z zależnością 13
max
−1
[ Hz = s ]
c
K f
= , (5.2)
f - maksymalna częstotliwość propagującej się fali
[ −]
w ośrodku akustycznym spodziewana w analizie,
n
min
- minimalna liczba węzłów przypadająca na spodziewaną
długość fali propagującej się w ośrodku akustycznym (przy
czym pamiętamy iż n 6 ).
min ≥
ρ
f
Na podstawie zależności (5.1), przy przyjęciu, iż fala propaguje się w
−1
powietrzu, w standardowej temperaturze pokojowej ( c ≈ 343 m ⋅ s )
oraz przy przyjęciu n ≡ min
8, możemy sporządzić tabelę pokazującą jak
znacznie zmienia się wielkość elementu dla wybranych częstotliwości
z zakresu fal słyszalnych (Tabela 5.4).
13 szczegółowe wyprowadzenie podanej zależności w Rozdz. 3 tej pracy
57

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Tabela 5.4.
f max
[ Hz]
Element
I-rzędu
L max
[ mm]
Element
II-rzędu
16 < 2679 < 5358
100 < 429 < 858
500 < 86 < 172
1000 < 43 < 86
20000 < 2,1 < 4,2
5.2.3. DEFINIOWANIE SIATKI ADAPTACYJNEJ
Zgodnie z uwagami poczynionymi w Rozdz. 5.2.2 element
akustyczny nie posiada mechanicznej zdolności do zmiany kształtu.
Niedogodność ta uwidacznia się w zadaniach kontaktowych, w których
struktura może ulec znacznym deformacjom – co prowadzi do
utraty „czytelności” danych wyjściowych. Problem ten usunięto umożliwiając
definiowanie siatki elementów akustycznych 14 jako tzw. siatki
adaptacyjnej. Odpowiednie algorytmy dokonują „wygładzenia” siatki
zadeklarowanej jako adaptacyjna, w rytmie narzuconym przez użytkownika.
Najważniejsze uwagi praktyczne można przedstawić w następującej
kolejności:
− słowem kluczowym do definiowania siatki adaptacyjnej jest
*ADAPTIVE MESH w połączeniu z *ADAPTIVE MESH CON-
STRAINT lub *ADAPTIVE MESH CONTROLS,
− krok analizy, w którym siatka elementów akustycznych ma
być „wygładzana” musi być z włączoną opcją analizy nieliniowej
(NLGEOM),
− kontakt struktury i ośrodka akustycznego musi być zadany
poprzez opcję *TIE, gdzie ośrodek akustyczny pełni rolę
powierzchni podporządkowanej tzw. SLAVE.
14 całej lub wybranych jej obszarów (zbioru elementów – ELEMENT SET)
58

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
5.3. DEFINIOWANIE WŁAŚCIWOŚCI OŚRODKA
PROPAGACJI FALI AKUSTYCZNEJ
Model ośrodka propagacji fali akustycznej zastosowany
w programie ABAQUS jest ośrodkiem płynnym, a zatem jego właściwości
fizyczne muszą odpowiadać znanym cieczom i gazom. Analiza
sformułowania problemu rozchodzenia się fal akustycznych zawartego
w Rozdz. 4 tej pracy, pozwalają stwierdzić, iż właściwości ośrodka
propagacji fali akustycznej opisane są w sposób jednoznaczny 15 jeżeli
zadamy następujące wielkości:
−3
ρ - gęstość płynu [ ⋅ m ]
f
f
kg ,
−2
K - współczynnik sprężystości objętościowej płynu (bulk modulus) [ ⋅ m ]
oraz w przypadku gdy fala propaguje się w ośrodku porowatym 16
1 −3
γ - oporność objętościowa ośrodka (volumetric drag) [ s ]
− m
Należy w tym miejscu zaznaczyć, iż:
1. zadanie wartości ρ
f
i
2. każda z wielkości tzn. ρ f
,
kg .
N ,
K
f
jest obowiązkowe w każdej analizie,
K
f
i γ może być zadana w funkcji
zmiennych pola (np. temperatury, wilgotności powietrza, zasolenia
wody, itp.), aczkolwiek
− dla analizy typu *DYNAMIC, SUBSPACE oraz *STEADY
STATE DYNAMIC, DIRECT wartość K jest stała,
− za wyjątkiem analiz typu *STEADY STATE DYNAMIC wartość
γ jest stała ,
3. wartość oporności objętościowej γ (oporności przepływu powietrza)
dla analiz typu *STEADY STATE DYNAMIC może być zadana
w funkcji częstotliwości.
Definicja wymienionych parametrów charakteryzujących
płyn odbywa się w części opisującej model (model data) – po słowie
definiującym materiał (*MATERIAL) - pliku wsadowego (*.inp), poprzez
użycie następujących słów kluczowych (wraz z odpowiednimi
argumentami):
f
15 oczywiście w myśl sformułowania
16 lub ośrodku ciągłym wykazującym tłumienie wewnętrzne
59

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
*DENSITY – dla definicji gęstości płynu ( ρ ),
*ACOUSIC MEDIUM, BULK MODULUS – dla definicji współczynnika
sprężystości objętościowej płynu ( K ),
*ACOUSIC MEDIUM, VOLUMETRIC DRAG – dla zdefiniowania oporności
(γ ).
f
f
W poniższych tabelach zestawiono charakterystyczne
wielkości dla ważniejszych gazów technicznych (Tabela 5.5) oraz
niektórych cieczy (Tabela 5.6).
Gęstość i współczynnik sprężystości objętościowej dla
ważniejszych gazów technicznych
Tabela 5.5.
Gaz
Temperatura Ciśnienie Gęstość
Współczynnik
sprężystości
objętościowej
−2
−3
−2
[ ° C] [ N ⋅ m ] [ kg ⋅m ] [ N ⋅m ]
Azot 10 101303 1,25 141792,8
Acetylen 18 100518 1,17 123657,3
Chlor 0 101303 3,22 135716,8
Dwutlenek
węgla
18 100518 1,88 130631,7
Gaz świetlny 15 100518 0,55 -
Hel 0 101303 0,18 168176,8
Metan 0 101303 0,72 160880,6
Para wodna 100 101303 0,58 -
Powietrze
0 101303 1,29 141846,5
20 101303 1,20 141824,2
Tlenek węgla 0 100518 1,25 140700,3
Tlen 20 101303 1,43 141801,7
Wodór 0 101303 0,09 142838,6
60

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Gęstość i współczynnik sprężystości objętościowej dla niektórych
cieczy
Tabela 5.6.
Gaz
Temperatura
Gęstość
Współczynnik
sprężystości
objętościowej
−3
[ ° C] [ kg ⋅ m ] 10
4 [ N ⋅m
−2 ]
Aceton 20 790 111871,9
Alkohol etylowy
12,5 790 121470,3
20 790 109999,7
Alkohol metylowy
20 790 99097,8
Benzyna 20 790 108142,9
Benzen 20 878 155309,3
Bromoform 20 2860 247361,0
Ciekły tlen -184 1140 94403,2
Chloroform 20 1490 148999,9
Gliceryna 20 1270 468173,4
Nafta 15 750 132667,9
Olej rycynowy 25 970 212468,4
Olej lniany 25 910 196641,7
Rtęć 20 13600 2859400,0
Terpentyna 3,5 870 163290,3
Woda 15 1000 204490,3
Woda zasolona 15 1030 231749,8
Współczynnik
K c
2
f
= ρ zgodnie z Rozdz. 3 tej pracy.
Ostatni z parametrów opisujących właściwości ośrodka
płynnego, a zatem „parametr tłumienia” γ (volumetric drag), może
być rozumiany dwojako [I]. Znaczenie pierwsze wynika wprost z wyprowadzenia
przedstawionego w Rozdz. 3.2, czyli parametr γ to lepkość
własna płynu, natomiast drugie znaczenie parametru γ , to właściwość
ośrodka porowatego, a mianowicie oporność przepływu powietrza
przez materiał porowaty (matrix material). Wspólną cechą
obu interpretacji jest fakt, iż energia fali ulega dyssypacji w wyniku
tarcia.
Tabela 5.7 przedstawia przykładowe wartości liczbowe,
oporności przepływu powietrza [III].
61

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Tabela 5.7.
Materiał
Oporność przepływu
powietrza
−2
3 −3
10 [ Pa ⋅ s⋅
m ] = 10 [ kg ⋅m
⋅s
3 −1
]
ZAKRES
ŚREDNIO
Beton pomalowany 200 200
Beton
(zależnie od wieku)
Asfalt
(stary, szczelny, zapylony)
Kamienna płytka podłogowa
(zapylona)
Asfalt
(w zależności od rozmiaru porów)
Stara droga
(z wypełnionymi porami)
30 – 100 65
25 - 30 27
5 - 20 12,5
5 – 15 10
2 – 4 3
Okruchy wapienne 1,5 – 4 2,75
Piasek 40 – 906 317
Gleba 106 – 450 200
Trawnik 125 – 300 200
Mokra glina 92 – 168 130
Podłoga drewniana 20-80 50
Śnieg 1,3 – 50 29
Włóknina szklana (5,5 kg m -3 ) 20 -
Wata szklana (16 kg m -3 ) 9 -
Wełna mineralna (50 kg m -3 ) 60 -
Wełna mineralna (26 kg m -3 ) 19 -
Filc (50 kg m -3 ) 45 -
Należy w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, iż parametr
tłumienia γ dla sinusoidalnej fali akustycznej , można w prosty sposób
wyrazić przy pomocy parametrów tłumienia µ ' oraz η ' opisanych
w Rozdz. 3.2. Przekształćmy w tym celu równość (3.11b) zgodnie
z uwagami z Rozdz. 4.2
∂
∂ x
2
∂ ∂ f ⎛ 4 ⎞ ∂ ∂ ⎛ ∂ f ⎞
p = −ρ 0
⋅u
+ ⎜η'
+ µ ' ⎟ ⋅
⎜ ⋅u
⎟ , (5.3)
2
∂t
∂ x ⎝ 3 ⎠ ∂t
∂ x ⎝ ∂ x ⎠
co po podstawieniu zależności (4.8b) oraz obliczeniu gradientu, możemy
zapisać jako
62

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
∂ ∂
⋅
∂ x ∂ x
p =
ρ
K
f
f
⎛ 4 ⎞
⎜η' + µ ' ⎟
∂ ∂
&& p
⎝ 3
−
⎠
⋅
K ∂ x ∂ x
f
p&
. (5.4)
Korzystając z uwag podanych w Rozdz. 4.3 równanie (5.4) przekształcamy
do postaci
− Ω
2
1
K
f
⎡
⎢
~ 1
p = ⎢
⎢ ρ
f
⎢
⎣
Ω
i
K
f
+
⎛ 4 ⎞⎤
⎜η'
+ µ ' ⎟
3
⎥
⎝ ⎠⎥
∂ ∂
⋅ ~ p
ρ
f
⎥ ∂ x ∂ x
⎥
⎦
. (5.5)
Porównując (5.5) z (4.38b) oraz stosując formułę (4.36a) zauważamy,
że
Ω ⎛ 4 ⎞
1+
i ⎜η'
+ µ ' ⎟
1 K
f ⎝ 3 ⎠ γ
~ =
= ρ
f
+
ρ ρ
iΩ
f
, (5.6)
zatem po przekształceniach otrzymujemy
2
⎡ ⎛ ⎞
⎢ ⎜
Ω
⎟ ⎛ 4 ⎞
⎜η'
+ µ '
⎢
K
⎟
f
γ
⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠
= ⎢
2
⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢
⎜
Ω
+ ⎟
4
1 ⎜η'
+ µ '
⎟
⎣
K
⎝ f ⎠ ⎝ 3 ⎠
2
⎤
⎥
⎥
⎥ρ
f
K
⎥
⎥
⎦
f
3
⎡
2
⎛ ⎞
⎢ ⎜
Ω
⎟ ⎛ 4 ⎞
⎜η'
+ µ '
⎢
K
⎟
f
i
⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠
− ⎢
2
⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢
⎜
Ω
+ ⎟
4
1 ⎜η'
+ µ '
⎟
⎣
K
⎝ f ⎠ ⎝ 3 ⎠
2
⎤
⎥
⎥
⎥ρ
f
K
⎥
⎥
⎦
f
. (5.7a)
Przyjmując założenie, że do obliczeń przyjmujemy część rzeczywistą
wyrażenia na parametr tłumienia γ , zapisujemy ostatecznie
2
⎡ ⎛ ⎞
⎢ ⎜
Ω
⎟ ⎛ 4 ⎞
⎜η'
+ µ '
⎢
K
⎟
f
γ
⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠
= ⎢
2
⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢
⎜
Ω
+ ⎟
4
1 ⎜η'
+ µ '
⎟
⎣
K
⎝ f ⎠ ⎝ 3 ⎠
2
⎤
⎥
⎥
⎥ρ
f
K
⎥
⎥
⎦
f
. (5.7b)
Jeżeli założymy, że wpływ lepkości jest mały, czyli z zależności (5.4)
mamy
∂ ∂
⋅ p ≅
∂ x ∂ x
ρ
K
f
f
&& p , (5.8)
63

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
to postępując analogicznie jak poprzednio, otrzymamy dla stanów
ustalonych propagacji fali akustycznej
2
Ω ρ
f ⎛ 4 ⎞
γ = ⎜η'
+ µ ' ⎟ . (5.9)
K ⎝ 3 ⎠
f
5.4. DEFINIOWANIE SIŁ „AKUSTYCZNYCH”
Powstanie fali akustycznej (fali sprężystej) w ośrodku
propagacji (ośrodku sprężystym) zdeterminowane jest obecnością
źródła. Klasyfikacja źródeł może być dokonana z wielu punktów widzenia,
gdzie najważniejszymi są [5] 17 :
1. model teoretyczny promieniowania
− punktowe
− liniowe
− powierzchniowe
2. fizyczne przyczyny generowania
− źródła mechaniczne
− źródła elektryczne
− źródła technologiczne
− źródła aero- i hydrodynamiczne
− inne
4. pochodzenie
− muzyka
− środki transportu i komunikacji
− źródła przemysłowe
− nieprzemysłowe stanowiska pracy
− maszyny, urządzenia i instalacje w budynkach
− obiekty komunalne, sportowe, wojskowe
− naturalne źródła energii wibroakustycznej.
Powracając do głównego tematu tego rozdziału, w środowisku programu
ABAQUS 6.4, możemy zdefiniować następujące źródła fali akustycznej
(źródła mechaniczne):
17 szczegółowa klasyfikacja źródeł fal akustycznych zawarta jest we wspomnianej pozycji [5]. Wyrafinowany
opis teoretyczny źródeł odnajdziemy w [17,V,VI].
64

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
1. punktowe
− definiowane w węźle elementu akustycznego (8 stopień
swobody) – słowo kluczowe *CLOAD
− opcja dostępna dla wszystkich wymienionych rodzajów
analiz z Rozdz. 5.1
− definicja wielkości amplitudy odbywa się poprzez podanie
przyspieszenia (przyspieszenia objętościowego) cząstki
akustycznej lub ciśnienia (przy definiowaniu obciążenia
jako fali padającej lub warunku brzegowego)
2. liniowe
− definiowane jako warunek brzegowy 18
− definiowane jako tzw. „fala padająca” (incident wave)
− definicja wielkości amplitudy odbywa się poprzez podanie
przyspieszenia cząstki akustycznej (dla fali padającej)
lub ciśnienia (przy definiowaniu obciążenia jako fali padającej
lub warunku brzegowego)
3. powierzchniowe
− definiowane jako warunek brzegowy 19
− definiowane jako tzw. „fala padająca” (incident wave)
− definicja wielkości amplitudy odbywa się poprzez podanie
przyspieszenia cząstki akustycznej (dla fali padającej)
lub ciśnienia (przy definiowaniu obciążenia jako fali padającej
lub warunku brzegowego)
Szczegółowego omówienia wymaga w tym miejscu definiowanie tzw.
„fali padającej”. W pierwszej kolejności, tego rodzaju źródło dostępne
jest wyłącznie dla stanów nieustalonych propagacji fali akustycznej 20 .
Definicja fali padającej odbywa się poprzez użycie następujących słów
kluczowych 21 :
− *INCIDENT WAVE (określenie, w którą powierzchnię „uderza
fala” oraz natężenia fali),
− *INCIDENT WAVE FLUID PROPERTY (określenie parametrów
ośrodka propagacji),
− *INCIDENT WAVE PROPERTY (określenie rodzaju fali padającej
– płaska lub sferyczna (wszechkierunkowa) – oraz współ-
18 szczegółowe omówienie w Rozdz. 5.5
19 szczegółowe omówienie w Rozdz. 5.5
20 patrz Rozdz. 5.1.1
21 definiowanie fali padającej możliwe jest wyłącznie z poziomu pliku wsadowego (*.inp)
65

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
rzędnych położenia źródła i tzw. „standoff point”, punktu
„odpowiedzialnego” za dotarcie fali do każdego elementu
analizowanego obszaru w odpowiedniej fazie),
oraz w przypadku gdy fala padająca może ulec odbiciu, definiujemy
powierzchnie „odbijające” poprzez
1. *INCIDENT WAVE REFLECTION.
Definiując obciążenie falą padającą, należy pamiętać, iż mamy jeszcze
do dyspozycji narzędzie umożliwiające nam przyspieszenie obliczeń.
Możemy wyróżnić trzy przypadki (dotyczy zadań kontaktowych):
1. nie modelujemy płynu – obciążenie falą traktowane jest jak
zwykłe obciążenie ciągłe (liniowe, powierzchniowe)
2. modelujemy płyn - ale algorytm oblicza tylko falę odbitą
tzw. „scattered wave”. Analiza rozpoczyna się w momencie
dotarcia fali do struktury. Pominięcie samej fali padającej
możliwe jest ze względu na liniowe 22 zachowanie płynu
(brak kawitacji – utraty ciągłości płynu) – korzystamy z zasady
superpozycji.
3. modelujemy płyn – algorytm oblicza całkowite ciśnienie
w ośrodku (od fali padającej i odbitej) tzw. „total wale”.
Użycie tej opcji konieczne jest w przypadku uwzględnienia
efektu kawitacji.
Wspomniane opcje 2 i 3 definiujemy, korzystając z następujących
słów kluczowych:
*ACOUSTIC WAVE FORMULATION, TYPE=SCATTERED WAVE
*ACOUSTIC WAVE FORMULATION, TYPE=TOTAL WAVE.
Niezależnie od rodzaju definiowanego obciążenia, musimy
podać, amplitudę siły wymuszającej. W zadaniach kontaktowych,
w których źródłem zmian ciśnienia, w ośrodku płynnym, jest wibracja
struktury o znanym charakterze, efekt powstania fali uzyskany jest w
sposób „naturalny” – zgodnie z Rozdz. 4 wyrównywane są przyspieszenia
normalne w strefie kontaktu. Najczęściej jednak nie znamy
charakteru pulsacji, a znamy jedynie natężenie dźwięku L w [dB].
p
22
efekt kawitacji, a zatem nieliniowe zachowanie się płynu dostępne jest jedynie dla modułu
ABAQUS/Explicite, opcja *ACOUSTIC MEDIUM, CAVITATION LIMIT
66

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Przejście ze znanego poziomu ciśnienia akustycznego 23 L p
[dB], na ciśnienie
akustyczne p [ N ⋅ m ] , dokonujemy zgodnie ze
−2
wzorem
p = 10
1
20
Lp + log po
[ N ⋅ m
−2
]
. (5.10)
Przykładowe charakterystyki liczbowe znanych źródeł dźwięku, zestawiono
w Tabeli 5.9 oraz Tabeli 5.10.
Tabela 5.9.
Instrument
Odległość
Średnie
ciśnienie
akustyczne
Pasmo 24
[m]
10
−1 [ N ⋅m
−2 ] [Hz]
Fortepian 3 2,6 250 – 500
Organy 3,5 2,1 20 – 63
Kocioł 1 66,0 -
Saksofon (bas) 1,1 4,1 250 – 500
Trąbka 1 8,6 250 – 500
Klarnet 1 3,5 250 – 500
Talerze (zele) 1 18,0 8000 – 11300
Puzon 1 6,5 500 – 700
Flet 1,1 1,6 700 – 1000
Orkiestra
(75 osobowa)
3,0 7,9 250 – 500
Tabela 5.10.
Nazwa
źródła
Poziom
ciśnienia
akustycznego
Średnie
ciśnienie
akustyczne
[dB]
10
−3 [ N ⋅m
−2 ]
Cichy szept 30 0,632
Wentylator biurowy 65 35,6
Normalna rozmowa 72 79,6
23 poziom ciśnienia akustycznego definiujemy jako
2
p
−5
−2
L p
= 10 log ,gdzie p [ ]
2
0
= 2 ⋅10
N ⋅ m
p0
24 zakres pasma odpowiada średniemu ciśnieniu, nie jest to pasmo charakterystyczne dla danego instrumentu
67

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Krzyk 85 355,7
Głośne radio 110 6324,6
Samolot odrzutowy 140 200000,0
Szczekanie psa
(na klatce schodowej)
Trzaskanie drzwiami
(w korytarzu)
Pisanie na maszynie
(w pokoju)
86 399,1
79 178,3
77 141,6
Szelest liści 17 0,142
Absolutna cisza do 10 do 0,0632
Definiowanie przyspieszenia cząstki akustycznej, dla
przypadku punktowego źródła dźwięku lub tzw. fali padającej, odbywa
się zgodnie z wyprowadzoną zależnością (3.3), przy przyjęciu, ze
zmiana ciśnienia odbywa się na jednostkowej długości, od zera do
wymaganej wartości końcowej.
Należy jeszcze dodać, że dla analiz o nieustalonym 25 charakterze
przebiegu fali 26 , możliwie jest praktycznie dowolne sterowanie
charakterystyką pulsacji źródła. Indywidualne cechy źródła, modelujemy
przy użyciu opcji *AMPLITUDE, która prócz gotowych formuł
matematycznych sterujących amplitudą źródła dźwięku, pozwala nam
również na tabelaryczne definiowanie charakterystyki wymuszenia.
5.5. WARUNKI BRZEGOWE
5.5.1. DEFINIOWANIE KONTAKTU POMIĘDZY
STRUKTURĄ I OŚRODKIEM AKUSTYCZNYM
Definiowanie kontaktu struktury i ośrodka akustycznego
27 , można przeprowadzić na dwa sposoby:
1. Poprzez użycie opcji *TIE. Strukturę i ośrodek płynny modelujemy
osobno. Kontakt zadajemy w sposób standardowy przy
użyciu pre-procesora ABAQUS/CAE.
25 dla analiz stanów ustalonych propagacji fali akustycznej, zgodnie z Rozdz. 4.3, domyślnie przyjmuje
się sinusoidalny charakter wymuszenia, sterowanie amplitudą odbywa się w dziedzinie częstotliwości
26 patrz Rozdz. 5.1.1
27 kontakt pomiędzy różnymi ośrodkami płynnymi, nie wymaga specjalnych zabiegów. „Definiowanie”
kontaktu odbywa się poprzez nadanie odpowiednim częścią modelu ośrodka płynnego, odmiennych cech
materiałowych (patrz Rozdz. 5.3).
68

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
2. Poprzez użycie elementów kontaktowych 28 . Możemy wyróżnić
trzy podstawowe wady tego podejścia (które jednocześnie
określają granice jego stosowalności):
- opcja ta nie jest dostępna z poziomu pre-procesora
ABAQUS/CAE
- wymagana jest identyczna odpowiedniość rozłożenia węzłów
w strukturze i ośrodku akustycznym (na brzegu)
- musimy modelować kolejny element, jakim jest „warstewka”
kontaktowa pomiędzy łączonymi elementami.
Przeprowadzone analizy, pozwalają stwierdzić, iż stosowanie
podejście 1 jest właściwsze niż inne.
5.5.2. DEFINIOWANIE DYSSYPACJI ENERGII FALI
AKUSTYCZNEJ
Całkowita energia fali akustycznej E
pad
ulega na powierzchni
granicznej rozdzielającej dwa ośrodki podziałowi na:
- energię odbitą - E
odb
,
- energię pochłoniętą - E
poch
,
- energię przenikającą - E
przen
.
Bilans energetyczny możemy zatem zapisać w postaci
E = E + E + E , (5.11a)
pad
odb
poch
przen
lub
E
E
odb
pad
E
+
E
poch
pad
E
+
E
przen
pad
= 1 .
(5.11b)
Dla celów praktycznych stosowalności wzorów (5.11) wprowadza się
następujące współczynniki wyznaczane doświadczalnie 29 :
-
E
=
E
odb
β - współczynnik odbicia fali dźwiękowej,
pad
28 patrz Rozdz. 5.2.1
29 należy podkreślić, iż współczynnik pochłaniania jest jednym z najważniejszych parametrów akustycznych
materiałów i ustrojów dźwiękochłonnych [26]
69

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
-
-
E
=
E
poch
α - współczynnik pochłaniania dźwięku,
E
=
E
pad
przen
γ - współczynnik przenikania dźwięku 30 .
pad
Definiowanie warunków brzegowych poprzez zadanie współczynników
α , β , γ posiada wiele zalet, gdzie do najważniejszych należy ogólna
ich dostępność [2,5,21,26,III,IV]. W programie ABAQUS zdecydowano
się jednak na odmienne podejście, co w znakomity sposób utrudnia
definiowanie analizy, gdyż niezwykle trudno jest odnaleźć w literaturze
wymagane przez program parametry ( k 1
, c 1
) 31 .
Zasadniczo, zadania w których energia fali ulega dyssypacji
na brzegu, możemy podzielić na dwa rodzaje:
1. zadania, w których cała energia propagującej się fali ulega dyssypacji
– brak fali odbitej,
2. zadania, w których tylko część energii ulega dyssypacji.
Uzyskanie efektu tzw. „przejścia” fali, a zatem zadanie warunków
brzegowych zapewniających brak odbić fali padającej, możemy przeprowadzić
na dwa sposoby:
1. poprzez użycie tzw. elementów nieskończonych 32 . Całkowitą
absorpcję energii fali akustycznej zapewnia w tym przypadku
zastosowany algorytm. Modelowanie polega na stworzeniu dodatkowej
powierzchni, która ściśle przylega do brzegu analizowanego
modelu (ośrodka akustycznego). Powierzchnię tę
łączymy z modelem z pomocą opcji *TIE,
2. poprzez odpowiednie dobranie współczynników charakteryzujących
impedancję akustyczną właściwą 33 dla „ośrodka nieskończonego”.
Podejście takie wymaga jednak komentarza.
Impedancję akustyczną określamy, zgodnie z Rozdz. 4, wzo-
30 w akustyce używa się wielkości pochodnej zwanej izolacyjnością dźwiękową przegrody:
31 patrz Rozdz. 4
R
1
= 10 log [ dB
γ
]
32 patrz Rozdz. 5.2.1
33 Impedancja akustyczna (oporność falowa) – stosunek ciśnienia akustycznego do prędkości cząstki
akustycznej na jednostkę powierzchni [ Pa ⋅ s ⋅ m ] .
−3
Impedancja akustyczna właściwa (oporność akustyczna właściwa) - stosunek ciśnienia akustycznego
do prędkości cząstki akustycznej na jednostkową powierzchnię [ Pa ⋅ s ⋅ m ] = [ rayl ] .
−1
Impedancja nie oznacza strat energii fali w ośrodku, lecz jest miarą sprawności procesu transformacji
energii mechanicznej (drganie źródła) na energię akustyczną (drgające cząstki powietrza) [14].
70

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
rem (4.5). Zdefiniowanie powierzchni, która całkowicie pochłania
energię fali akustycznej, zależy zatem od wartości
współczynników k 1
, c 1
(dla stanów nieustalonych propagacji c 1
,
a
1). Mamy tu jednak dwa silne ograniczenia:
1. kształt powierzchni „nieskończonej” może być wyłącznie:
- dla zadań dwuwymiarowych wycinkiem okręgu lub elipsy,
- dla zadań trójwymiarowych sferą , elipsoidą obrotową,
walcem, walcem eliptycznym 34 .
2. podejście to jest przybliżone.
Wzory na wartości wspomnianych powyżej parametrów wyprowadza
się przy założeniu, iż przyrost ciśnienia akustycznego
na brzegu może my wyrazić jako
gdzie:
~ ~ ρ
k = Ω - jest liczbą falową,
K f
∂ ~
⋅ p = ∫( ik + β )p
∂ x
n , (5.12)
∫ - jest współczynnikiem zależnym od kształtu geometrii powierzchni
pochłaniającej,
β - jest współczynnikiem strat.
Tabela 5.11 zestawia wartości współczynników ∫ i β .
Tabela 5.11.
Geometria ∫ β
Płaszczyzna 1 0
Okrąg lub walec 1
1
2r
1
34 kształt deklarujemy poprzez opcję *IMPEDANCE PROPERTY
71

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Elipsa lub
1−
∈
walec eliptyczny
2
1 − ∈ [( x x ) e / r ] 2
g −
Sfera 1
Elipsoida obrotowa
1 − ∈
2
2
1−
∈
2
0
m
[( x x ) e / r ] 2
g −
0
m
1
1
1
2r
1
1
1
r
1
r
1
W Tabeli 5.11 przyjęto następujące oznaczenia:
∈ - mimośród elipsy lub elipsoidy obrotowej,
r
1
- promień okręgu, sfery lub mała półoś elipsy (elipsoidy),
xg
- wektor określający punkt całkowania na elipsie (elipsoidzie),
x
0
- wektor określający środek elipsy (elipsoidy),
em
- wektor orientujący oś główną elipsy (elipsoidy).
Przy powyższych założeniach, parametry k 1
, c
1
(dla stanów
nieustalonych propagacji c 1
, a 1
) definiujemy jako 35 :
- dla stanów ustalonych propagacji fali akustycznej:
1 ⎛ ⎞
⎜ ∫
∫ β
= I ⎟
~
−
2
k
( ( ) )
2 , (5.13)
⎜
1 ρK f
⎟
⎝
Ω
⎠
Ω ρ
f
1+
γ / Ωρ
f
1 ⎛ ⎞
⎜ ∫
∫ βγ / ρ
f
= R ⎟
~
+
2
c
( ( ) )
2 , (5.14)
⎜
1 ρK f
⎟
⎝ ⎠
Ω ρ
f
1+
γ / Ωρ
f
- dla stanów nieustalonych propagacji fali akustycznej:
1 ∫
=
c1
ρ f
K f
, (5.15)
1
a
1
⎡
= ∫ ⎢
⎢⎣
β
ρ
f
+
2ρ
f
γ
ρ K
f
f
⎤
⎥ . (5.16)
⎥⎦
35 wyprowadzenie pominięto
72

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Zadanie warunków brzegowych, zapewniających efekt
częściowej dyssypacji energii rozchodzącej się fali dźwiękowej, polega
na zadaniu rzeczywistych charakterystyk impedancji akustycznej właściwej
powierzchni absorbujących energię fali (wg wzoru (4.5)). Interpretację
fizyczną tak zaproponowanego warunku brzegowego możemy
przeprowadzić w następujący sposób.
Przyjmijmy, że w ośrodku propaguje się sinusoidalna fala
płaska, a model ośrodka możemy przedstawić jak na Rys. 5.3 lub
Rys. 5.4 36 .
Rys. 5.3. Przypadek, w którym brzeg ośrodka akustycznego modelujemy
jako niepodatny (ustawienie domyślne w ABAQUS)
Rys. 5.4. Przypadek, w którym brzeg ośrodka akustycznego modelujemy
jako podatny – warunek impedancji na brzegu
Rysunek 5.3, przedstawia sytuację, w której całkowita energia fali
akustycznej zostanie zwrócona po odbiciu od brzegu (Rys. 5.5), co
zgodnie z podpisem pod Rys. 5.3 jest ustawieniem domyślnym
w ABAQUS. Rysunek 5.4, przedstawia natomiast sytuację, w której
zadano warunek impedancji na brzegu, który jak pamiętamy z Rozdz.
4 ustala liniową relację pomiędzy ruchem podpory w kierunku „na
zewnątrz” od ośrodka akustycznego, a ciśnieniem akustycznym „niesionym”
przez propagującą się falę. W skutek ruchu podpory, warstwa
przy granicy kontaktu dwóch ośrodków, nie może się „sprężyć”
jak pozostałe – do ośrodka powraca tylko część energii (Rys. 5.6).
Rys. 5.5. a) przed odbiciem; b) po odbiciu
36 czarne kropki to zdyskretyzowana masa ośrodka, a sprężynki charakteryzują właściwości sprężyste
ośrodka
73

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Rys. 5.6. a) przed odbiciem; b) po odbiciu
Na powyższych rysunkach przyjęto następujące oznaczenia:
u& - to początkowa prędkość kolejnych cząstek akustycznych
(reprezentowanych przez masy) lub końcowa dla niepodatnego
brzegu,
u& ' - to prędkość ruchu podpory obliczana zgodnie z (4.5),
u & − u' & - to prędkość kolejnych cząstek akustycznych powstała
w wyniku odbicia od podpory podatnej.
Zmiana prędkości cząstki akustycznej, po odbiciu od brzegu, jest
równoważna ze zmianą ciśnienia akustycznego, co oczywiście pociąga
za sobą zmianę energii fali dźwiękowej. Zgodnie z przypisem 33
str.70 impedancję akustyczną właściwą Z
0
definiujemy jako
gdzie:
p - to ciśnienie akustyczne [Pa]
,
p
−1
Z
0
= [ Pa⋅
s⋅
m ] = [ rayl]
, (5.17)
v
−1
v - jest prędkością cząstki akustycznej [ m ⋅s ] .
Dla sinusoidalnej fali płaskiej, przy wykorzystaniu równania (3.3)
otrzymamy
czyli
gdzie:
−1
Z
0
= ρ
0
c [ Pa ⋅ s ⋅m
] = [ rayl]
, (5.18a)
p = ρ0cv
, (5.18b)
−3
ρ - to gęstość ośrodka w stanie spoczynku [ kg ⋅ m ] ,
0
74

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
−1
c - jest prędkością fali akustycznej [ m ⋅s ] .
W akustyce, zamiennie z warunkiem bilansu energetycznego (5.11)
stosuje się bilans zapewniający niezmienność mocy akustycznej
N generowanej przez źródło dźwięku, a zatem ilości energii wysłanej
w jednostce czasu
N
= N + N N [W ]. (5.19)
pad odb poch
+
Z mocą akustyczną związana jest wielkość natężenia dźwięku I , którą
definiujemy jako moc akustyczną przypadającą na jednostkową
powierzchnię
−2
[ W ⋅ ]
przen
N
I = m , ( 5.20)
S
co dla rozpatrywanej fali możemy zapisać jako [21]
I
2 2
p p
= = . (5.21)
Z ρ c
0
Zgodnie z uwagami poczynionymi na początku rozdziału, ilość energii
(natężenia) która została pochłonięta możemy zapisać w postaci
I
α
= . (5.22)
poch
I pad
Dla rozpatrywanego przez nas przypadku sinusoidalnej płaskiej fali
akustycznej mamy zatem
2 2
α p p'
ρ c
= ρ c
, (5.23)
0
gdzie p ' jest ciśnieniem akustycznym niesionym przez propagującą
się falę odbitą. Mając na uwadze, iż to właśnie ruch podpory (brzegu)
powoduje straty ciśnienia piszemy zgodnie z (5.18b)
co korzystając z (5.23) daje
0
p' = ρ0cu'
, (5.24)
u'
α
p
ρ c
= . (5.25)
Porównując (5.25) z (4.5) otrzymujemy uproszczone wyrażenie na
wartość współczynnika c 1
0
75

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
1
α
ρ c
= . (5.26)
c1
0
Korzystając ze wzoru (5.26) uzyskamy dobre pierwsze przybliżenie,
aczkolwiek duża wrażliwość analiz na wartości współczynnika c 1
wymusza
przeprowadzenie szeregu zadań numerycznych, które pozwalają
na stworzenie następującego wykresu 37
1
c
1
⎡Ns⎤
⎢ 3
⎣m
⎥
⎦
Współczynnik pochłaniania α
Wykres ów zestawia wartości odwrotności współczynnika c 1
, w zależności
od współczynnika pochłaniania α .
Wartości współczynnika k 1
, charakteryzującego sztywność
powierzchni pochłaniającej energię fali, będącego jednocześnie
współczynnikiem odwrotnej proporcjonalności pomiędzy prędkością
cząstki akustycznej, a zmiennym w czasie ciśnieniem akustycznym 38 ,
zestawiono dla wybranych materiałów w Tabeli 5.12.
37 analizy prowadzono dla płaskiej fali akustycznej
38 zgodnie z (4.5) 1
− n ⋅ u&
f ~ p&
k
1
76

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
Tabela 5.12.
Materiał
Pianka poliestrowa
30kg
⋅ m
−3
Pianka poliuretanowa
22kg
⋅ m
−3
Pianka melaminowa
8,8 kg ⋅m
−3
Pianka wylewana
22kg
⋅ m
−3
Pianka plastyczna
31kg
⋅m
−3
Pianka stosowana na
siedzenia samochodowe
Moduł Younga Sztywność 39 przepływu
Oporność
powietrza
10
5 [
−2
5 E −3
4 3 −1
E N ⋅m ] 10 k
1
= [ N ⋅m
] 10 [ kg ⋅m
− ⋅s
]
d
5,4 54,0 1,35
0,465 4,65 0,50
0,8 8,0 1,09
0,65 6,5 2,60
1,43 14,3 8,70
0,95 9,5 1,15
Jako podsumowanie rozważań prowadzonych w tym rozdziale
obliczmy jak bardzo różni się jest prędkość cząstki akustycznej
w powietrzu od prędkości rozchodzącej się fali akustycznej, która dla
−1
powietrza wynosi ok. 340 m ⋅ s . Zgodnie z przypisem 5 Rozdz. 3.1
−5
ucho ludzkie rejestruje zmiany ciśnienia od ok. 2 ⋅ 10 Pa do 2 ⋅ 10 Pa .
Korzystając z Tabeli 5.5 oraz wzoru (5.18b) dla powietrza mamy:
−5
−8
−1
−1
p = 2 ⋅10
[ Pa] → v = 2,45⋅10
[ m ⋅ s ], = 2⋅10[ Pa] → v = 0,05[ m⋅
s ]
p .
5.5.3. DEFINOWANIE SIŁ „AKUSTYCZNYCH”
Definiowanie sił „akustycznych” jako warunku brzegowego,
odbywa się poprzez słowo kluczowe *BOUNDARY (na elemencie
akustycznym). W definicji należy podać wielkość ciśnienia akustycznego
generowanego przez źródło. Do modulacji amplitudy zadanego
ciśnienia, możliwe jest użycie opcji *AMPLITUDE 40 .
39 „d” oznacza grubość warstwy materiału, którą przyjęto 0,1m
40 dalsze informacje patrz Rozdz. 5.4
77

5. GŁÓWNE WYTYCZNE… „Akustyka w budownictwie. …”
5.6. DEFINIOWANIE WARUNKÓW POCZĄTKOWYCH
Zdefiniowanie wstępnego statycznego ciśnienia akustycznego,
możliwe jest jedynie dla modułu ABAQUS/Explicit 41 , podczas
analizy uwzględniającej możliwość powstania zjawiska kawitacji 42 .
Słowem kluczowym, umożliwiającym zaistnienie takich warunków początkowych
jest *INITIAL CONDITIONS, TYPE = ACOUSTIC STATIC
PRESSURE. Należy jednak zwrócić uwagę, że ciśnienie to używane
jest wyłącznie do sprawdzenia granicznego ciśnienia, po którym następuje
efekt kawitacji, oraz że ciśnienie to nie jest wliczane do „akustycznego”
stopnia swobody 43 .
5.7. DANE WYJŚCIOWE
Jest tylko jedna „akustyczna” dana wyjściowa, oferowana
przez ABAQUS, jest to ciśnienie węzłowe – POR (PAC). Wszelkie inne
parametry akustyczne, pochodne od ciśnienia, możemy uzyskać, korzystając
z narzędzi dostępnych w post-procesorze.
5.8. PODSUMOWANIE
Największym utrudnieniem, tworzenia zadań z akustyki
w programie ABAQUS, jest niedostępność większości z wymienionych
przeze mnie słów kluczowych, z poziomu graficznego pre-procesora 44 .
Ogranicza to w sposób znaczący użyteczność niektórych opcji, np.
definiowanie kontaktu poprzez tzw. elementy kontaktowe. Chciałbym
w tym miejscu raz jeszcze podkreślić, znaczenie przyjęcia gęstości
siatki elementów skończonych, gdyż jest to sprawa absolutnie priorytetowa,
a ponadto wyznacza ona granicę stosowalności metody elementów
skończonych w akustyce 45 .
41 w ABAQUS/Standard model ośrodka akustycznego jest liniowy. Wpływ statycznego ciśnienia węzłowego,
można zatem doliczyć, korzystając z zasady superpozycji.
42 *ACOUSTIC MEDIUM, CAVITATION LIMIT
43 suma obu ciśnień (statycznego i dynamicznego) dostępna jest jako dana wyjściowa
44 pełna lista dostępna w dokumentacji programu
45 mówimy oczywiście o ograniczeniach sprzętowych
78