MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Rješenje: Kako je očito detA = 1 to je A regularna matrica, pa jednadžba
XA − 2B = C povlači X = (C + 2B)A −1 . Primjetimo da imamo dobro
”ulančane” matrice jer je matrica C +2B formata 2×3 dok je matrica A −1
reda 3 tj. formata 3×3, pa je matrica X formata 2×3.
Odredimo A −1 Gaussovim algoritmom:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 −1 1 0 0 1 −1 0
[A|I] = ⎢
⎣ 0 1 1 0 1 0 ⎥
⎦ ∼ ⎢
⎣ 0 1 0 0 1 −1 ⎥
⎦ ∼ ⎢
⎣ 0 1 0 0 1 −1 ⎥
⎦ ,
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
što daje A −1 =
⎡
⎢
⎣
X = (2B +C)A −1 =
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
⎤
⎥
⎦ . Konačno
[
5 2 3
5 −2 13
] ⎡ ⎢ ⎢⎣
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
⎤
⎥
⎦ = [
5 −3 1
5 −7 15
]
.
[
Zadatak
]
24 Riješite matričnu jednadžbu (2A −1 X) −1 = A ∗ , ako je A =
1 −2
3 4
.
Rješenje: Kako je detA = 10 ≠ 0, to je matrica A regularna pa je zadatak
dobro zadan. Sada je
(
2A −1 X ) −1 = A ∗ ⇔ ( 2A −1 X ) −1 = (detA)A −1 ⇔ 2A −1 X = 1
detA A ⇔ X = 1
2detA A2
[ ][ ] [ ] [ ]
= 1 1 −2 1 −2
= 1 −5 −10 −1/4 −1/2
=
20 3 4 3 4 20 15 10 3/4 1/2
Zadatak 25 Riješite matričnu
[ ]
jednadžbu a) AX = 5X + 3A ∗ b) XA =
3 1
5X +3A ∗ gdje je A = .
−2 4
20