MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Zadatak 6⎡Dokažite da ⎤ je matrica A nultočka polinoma P 2 (x) = x 2 −4x−5,
1 2 2
ako je A = ⎢
⎣ 2 1 2 ⎥
⎦ .
2 2 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤
Rješenje: A 2 =
A 2 −4A−5I =
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1 2 2
2 1 2 ⎥ ⎢
⎦· ⎣
2 2 1
⎤ ⎡
9 8 8
8 9 8 ⎥
⎦ − ⎢
⎣
8 8 9
1 2 2 9 8 8
2 1 2 8 9 8 ⎥
⎦ ,
2 2 1 8 8 9
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 8 8 5 0 0 0 0 0
8 4 8 ⎥
⎦ − ⎢
⎣ 0 5 0 ⎥
⎦ = ⎢
⎣ 0 0 0
8 8 4 0 0 5 0 0 0
⎡
⎥
⎦ = ⎢
⎣
Primjetite da je P 2 (x) = (x−5)(x+1), pa iako je P 2 (A) = 0 matrica A je
različita i od 5I i od −I.
Zadatak 7 Zadano je: B =
Odredite (AB) T .
⎡
⎢
⎣
1 2 −1
2 3 0
−1 0 3
⎤
⎥
⎦ , BAT =
Rješenje: (AB) T = B T ·A T , B je simetrična, tj. B T = B
⎡ ⎤
−1 5 2
⇒ (AB) T = B T ·A T = B ·A T = ⎢
⎣ 3 7 −2 ⎥
⎦ .
7 4 8
⎡
⎢
⎣
−1 5 2
3 7 −2
7 4 8
⎥
⎦ .
⎤
⎥
⎦ .
[ ] 3
cosα −sinα
Zadatak 8 =?
sinα cosα
Rješenje:
[ ] 2 [ ] [ ]
cosα −sinα cosα −sinα cosα −sinα
= ·
sinα cosα sinα cosα sinα cosα
[ ] [ ]
cos 2 α−sin 2 α −2sinαcosα cos2α −sin2α
=
=
2sinαcosα −sin 2 α+cos 2 α sin2α cos2α
8