MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

Rješenje: a)OčitojeAX = 5X+3A ∗ ⇔ (A−5I)X
[
= 3A ∗ . Daljnjipostupak
]
−2 1
rješavanja ovisi o tome je li matrica A − 5I = regularna ili
−2 −1
singularna. No kako je det(A−5I) = 4 ≠ 0 to je matrica A−5I regularna
matrica. Sada je
(A−5I)X = 3A ∗ ⇔ X = 3(A−5I) −1 A ∗ = 3· 1
4
= 3 4
[
−6 −2
4 −8
]
=
[
−9/2 −3/2
3 −6
[
−1 −1
2 −2
]
.
][
4 −1
2 3
b) Imamo XA = 5X + 3A ∗ ⇔ X(A − 5I) = 3A ∗ ⇔ X = 3A ∗ (A − 5I) −1 .
Odavde se lako vidi da je rješenje i ove jednadžbe
[ ]
−9/2 −3/2
X = .
3 −6
Napomena: Iako kod matričnog množenja treba paziti na poredak množitelja
ovdje smo dobili isto rješenje. Ovdje to nije slučajnost već posljedica jednakosti
A −1 (A−λI) −1 = (A−λI) −1 A −1 . Pokažite tu jednakost. Ona povlači
i da je A ∗ (A−λI) −1 = (A−λI) −1 A ∗ .
]
1.4 Rang matrice
Važan pojam kod razmatranja postojanja rješenja kod linearnih sustava je
rang matrice sustava.
Definicija 2 Matrica A ≠ 0 ima rang r ako je barem jedna subdeterminanta
r−tog reda različita od 0, dok su sve subdeterminante višeg reda jednake 0.
Po definiciji nul-matrica ima rang jednak 0.
Oznaka: r(A) = r.
Navedene definicijske uvjete je računski zahtjevno provjeravati (npr. matrica
reda 4 ima 16 subdeterminanti reda 3, pa kada bi htjeli pokazati da je rang
takve matrice jednak 2, morali bi naći barem jednu subdeterminantu reda 2
21