MATEMATIKA 1 skripta studij: Biotehnologija i Prehrambena ... - PBF

1.5.1 Cramerove formule
U slučaju kada je m = n imamo
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ··· + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ··· + a 2n x n = b 2
. . . .
a n1 x 1 + a n2 x 2 + ··· + a nn x n = b n ,
(2)
pa je determinanta
D = detA =
∣
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a 11 a 12 a 13 ··· a 1n
a 21 a 22 a 23 ··· a 2n
. . . .
a n1 a n2 a n3 ··· a nn
tzv. determinanta sustava.
Ako je D ≠ 0, rješenje sustava (2) dano je Cramerovim formulama:
D ·x i = D i , i = 1,2,...,n,
gdje je D i determinanta koja se dobije iz determinante D tako da se elementi
i-tog stupca zamijene ”slobodnim” članovima b 1 ,b 2 ,...,b n .
Zadatak 28 Uz pomoć Cramerovih formula rješite sustav
x 1 − x 2 + x 3 = −2
2x 1 + x 2 − 2x 3 = 6
x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2
.
Rješenje:
1 −1 1
0 −1 0
D =
2 1 −2
=
3 1 −1
3 −1
=
∣ 3 5
∣ 1 2 3 ∣ ∣ 3 2 5 ∣
−2 −1 1
1 −2 1
D 1 =
6 1 −2
= ... = 18, D 2 =
2 6 −2
∣ 2 2 3 ∣ ∣ 1 2 3
∣ = 18,
= ... = 36,
∣
24