Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Vyšetování mozaik:<br />
1) Stanovíme omezení pro n i a r<br />
2) Uríme všechny možné druhy a typy vrchol<br />
3) Vybereme jen ty mozaiky, které mají vrcholy stejného typu<br />
4) Pravidelné a polopravidelné mozaiky a pohled na n z hlediska ornamentálních vzor.<br />
ad 1) Omezení pro n i a r<br />
Pro pravidelné a polopravidelné mozaiky musí platit: n i ≥ 3 ∧ 3 ≤ r ≤ 6<br />
180 (n 1 - 2) 180 (n 2 - 2)<br />
n<br />
+<br />
n + ......... +<br />
2<br />
1 1 1 r − 2<br />
+ + +<br />
= (1)<br />
n n n 2<br />
1<br />
2<br />
r<br />
180 (n - 2) r<br />
n r<br />
= 360<br />
ad 2) Druhy a typy vrchol<br />
Postupným dosazováním r = 3, 4, 5, 6 do rovnice (1) získáme celkem 17 rzných celoíselných ešení,<br />
tj. 17 typ vrchol:<br />
r = 3: (3.7.42), (3.8.24), (3.9.18), (3.10.15), (3.12,12), (4.5.20), (4.6.12), (4.8.8), (5.5.10), (6.6.6)<br />
r = 4: (3.3.4.12), (3.3.6.6), (3.4.4.6), (4.4.4.4)<br />
r = 5: (3.3.3.3.6), (3.3.3.4.4)<br />
r = 6: (3.3.3.3.3.3)<br />
Zohledníme-li poadí r-tic, musíme pidat vrcholy typu<br />
(3.12.3.4), (3.6.3.6), (3.4.6.4), (3.3.4.6.4) a dostaneme 21 typ vrchol.<br />
ad 3) Vrcholy stejného typu<br />
Ukažme si, že ne každá z jedenadvaceti pedložených možností typu vrcholu mže tvoit pravidelnou<br />
i polopravidelnou mozaiku. Nestaí totiž znát jen typ vrcholu, potebujeme mít zajištno, aby všechny<br />
vrcholy byly stejného typu. Jednotlivé výše vypsané možnosti musíme proto podrobnji vyšetit se zetelem<br />
na naše uvažované požadavky:<br />
Píklad: úvaha pro r = 3<br />
Z obrázku je patrné, že dva<br />
vrcholy jsou typu (3.x.y), ale typu<br />
(3.x.x). Aby byly všechny<br />
vrcholy stejného typu, musí platit<br />
x = y.<br />
Tudíž nám vyhovuje pouze možnost (3.12.12), ale nevyhovují (3.7.42), (3.8.24), (3.9.18) a (3.10.15).<br />
Analogickými úvahami vylouíme další nevyhovující r-tice pro r = 3, 4, 5, 6.<br />
Závr: Z jedenadvaceti možných typ vrchol jich jen jedenáct tvoí základ pro pravidelnou<br />
i polopravidelnou mozaiku (viz pehled v tab. 1).<br />
r = 3 r = 4 r = 5 r = 6<br />
vyhovující<br />
ešení<br />
nevyhovující<br />
ešení<br />
vyhovující<br />
ešení<br />
nevyhovující<br />
ešení<br />
vyhovující ešení nevyhovující<br />
ešení<br />
vyhovující ešení nevyhovující<br />
ešení<br />
(3.12.12) (3.7.42) (3.4.6.4) (3.3.4.12) (3.3.3.3.6) (3.3.3.3.3.3)<br />
(4.6.12) (3.8.24) (3.6.3.6) (3.4.3.12) (3.3.3.4.4)<br />
(4.8.8) (3.9.18) (4.4.4.4) (3.3.6.6) (3.3.4.3.4)<br />
(6.6.6) (3.10.15) (3.4.4.6)<br />
(4.5.20)<br />
(5.5.10)<br />
Tab. 1
Change language