Ornamenty

Ornamenty
Zuzana Štauberová (zuzana@kma.zcu.cz)
1. Co je ornament?
Ornament je njaký pravideln se opakující se vzor. Na rozdíl od pouhého dekoru (tj. výzdoby) je
ornament „zpsob výzdoby vytvoený rytmickým a symetrickým opakováním naturalistických nebo
abstraktních prvk, motiv“. Termín „ornament“ pochází ze slova „ornare“ = zdobit, které má pvod ve slov
„ordo“ = poádek, ád. Mžeme proto íci, že ornament vyjaduje ozdobu s jistým vnitním ádem. Ornament
je píkladem, na kterém naše instinkty provádí rozeznávání, vytváení a klasifikaci struktur. Uvidíme, že
množství jednotlivých alternativ nemusí být tak velké, jak by se mohlo zdát.
Z hlediska obsahového dlíme ornamenty na ti druhy:
1. naturalistický
• zvíecí
• rostlinný
• vcný
• figurální
2. abstraktní
• geometrický
• stylizovaný, tj. zobrazování rostlin,
zvíat a lidí je mén skutené
3. kombinace pedchozích bod 1. a 2.
Z hlediska strukturálního dlíme ornamenty na dva druhy:
1. spojitý (kontinuální), který je tvoen souvislou strukturou, nap. vlnovkou
2. nespojitý (diskrétní), který je tvoen ze samostatných prvk, nap. adou bod nebo ar
Z hlediska morfologického dlíme ornamenty na ti druhy:
1. Rozetový vzor (solitér, ržice) 2. Frýzový vzor (vlys, pás) 3. Tapetový vzor (ozdobné pole)
Samotná tvorba ornamentu není jednoduchá, pedpokládá jistou míru abstrakce, fantazie a pedstavivosti. Jde
o zobrazování myšlenek vzniklých abstrakcí a idealizací pírodních útvar (ornament geometrický) nebo
stylizaci rostlinných a živoišných forem. Navíc je dležité mít stále na pamti, že ornament není pouhý dekor
(za který bývá asto zamován), že v ornamentu se motivy pravideln opakují. Díky této pravidelnosti
mžeme zkoumat ornamenty pomocí matematiky, pesnji eeno z hlediska existence shodných zobrazení:
posunutí, stedové a osové soumrnosti, otoení a posunuté osové soumrnosti, píp. identity.

2. Vývoj ornamentu
Pi pohledu na typy dekoru v prbhu vývoje lidské civilizace si uvdomíme, že celé vzory i jednotlivé
motivy jsou dležitým pramenem poznání symboliky a vidní svta jejich tvrc, jejich názor, hodnot
a zpsob myšlení. K jedné ze základních schopností lovka patí schopnost vnímat struktury.
„Všudypítomnost ornamentálních forem v kulturách, které nemly a nemají tušení o jejich matematickém
významu a úplnosti, svdí o vrozené lidské vnímavosti ke strukturám.“. Vznik ornamentu souvisí s poátky
výtvarného umní vbec a je rozšíen po celém svt ve všech lidských kulturách.
Ornament graficky symbolizuje rytmus, proto patil s tancem, tleskáním,
bubnováním a zpvem mezi nejstarší umlecké projevy lovka již v období
stedního paleolitu (starší doba kamenná). Vtšina vzor vznikala údajn
bez zámru, pouze jako výsledek technického procesu ezání kostí, pletení koš,
tkaní. Pro svou estetickou hodnotu pak byly tyto vzory zámrn opakovány. Magické
symboly v ornamentálních strukturách ukazují na vztahy mezi ornamentem a mýtem.
Egypt. Rozkvt výtvarného umní v Nové íši (1580–1085 p. Kr.)
je bohatý. Staví se obrovské chrámy, které byly zdobeny pedevším výjevy
ze života boh a faraón. Hroby královských úedník, správc a knží však byly
vyzdobeny podivuhodnými ornamenty. Egyptský ornament má své zvláštní prvky,
jež zstávaly po staletí i tisíciletí ustálené. Užívány byly motivy z íše rostlinné
i živoišné:
lotos – symbol božstva Nilu, papyrus (obr.), palmové listy – používáno spíše
v pozdjších dobách, bodlák, býk, beran se sluncem – symbol boha Amona, šakal,
krokodýl, kráva, ibis, brouk vruboun posvátný, jestáb – symbol boha Osirida.
Ornamenty se malovaly zpravidla šesti barvami – bílou, ervenou, ernou, žlutou,
zelenou a modrou.
ecký ornament byl, je a asi zstane
nevyerpatelnou studnicí studia vdc a umlc. Jeho
hlavní pínos spoívá ve vzniku nových geometrických
ozdobných tvar: zuboez (obr.), perlovec, vejcovec, …
Naprostá pesnost eckých vzor, jejich krása
a dokonalost se objevuje na památkách ecké architektury,
ale i na nejjednodušších pedmtech ecké domácnosti. Nádoby
z 11.–8. století p. Kr. jsou vyrobeny z nažloutlé nebo naervenalé hlíny,
pomalovány hndými nebo ernými ornamenty: pletenec, palmeta, pásová
ozdoba, meandr, moská vlna, zvíata a lidské postavy z mytologických bájí.
Pvod ímského dekorativního umní vychází z kultury etruské
a ecké. ímané pivedli ornamenty k dokonalosti v mozaikách, kterými
zdobili podlahy a stny budov veejných i soukromých. Využívali k tomu
vzory geometrické, ale i motivy rostlin a plod (réva, bean, aloe, fíky,
palmové listy, vavín), zvíata, bohy, lidské postavy. Vytváeli také rovinné
meandrové vzory psobící prostorovým dojmem (obr.).
Rozhodující vliv na charakter japonské kultury mla zenová filozofie, která pronikla z íny
v 6. století, k rozšíení však došlo až ve 13. století. Na rozdíl od ostatních budhistických sekt byla sekta zen
velkou inspirátorkou umní a emesel. Oblíbeným námtem se stala zvíata, ptáci a rostliny. Z pohledu vývoje
ornamentu se dalším zajímavým obdobím jeví doba Monojama (16. stol.), jejímž symbolem jsou textilie.
Prostý stih šat té doby se zachoval dodnes v kimonu. Vzorování spoívalo v nanášení rýžového škrobu
na látku pes papírovou šablonu. Následným barvení a praním zstával na látce dekorativní vzor.

U japonského ornamentu lze pozorovat jisté nepesnosti v systematickém azení vzor, naopak
arabské ornamenty (8.–15. stol.) se vyznaují pesn a soumrn propletenými ozdobami. Je vidt,
že v arabské kultue bylo ornamentální umní chápáno v tsném spojení s matematikou – s pravidelnou
symetrií. Vta z koránu (tzv. hadith), podle které nebylo vyznavam Muhamedovým dovoleno zobrazovat
lidské postavy i zvíata, zpsobila, že Arabové všechnu
svoji fantazii a umleckou vynalézavost vnovali
ornamentu.
Za základní prvky arabského ornamentu lze jist
považovat symetrické hvzdy – tzv. zalij (obr.). Nejastji
se vyskytují se šesti, osmi, deseti, dvanácti a šestnácti
paprsky. Arabské ornamentální mistrovství dosáhlo vrcholu
v polovin 14. století, jak lze spatit v Asii, Africe,
ale i v Evrop. Pohádkový dojem z ornamentální krásy
vytvoené maurskými umlci mžeme obdivovat v paláci
maurských král v granadské Alhambe
nebo v cordobských mešitách ve Španlsku.
Gotika je název pro období konce stedovku (12. - 15. století). Vedle velkolepých gotických katedrál
však existovala ješt daleko skromnjší „druhá gotika“ mšanských dom. V 15. století se k výzdob stn,
strop a nábytku v mšanských domech používaly z finanních dvod pouze šablony. Obytné ásti dom
byly obkládány prkny a lištami, které se pak pokreslovaly ozdobnými pruhy – frýzy. Motivy „nekonené
tapety“ se ve stední Evrop zaínají prosazovat až v závru 15. století. Je to údajn pedevším díky
dováženým italským textiliím, kterými se zaíná hlásit nastupující renesance.
Názvem anatolské koberce se oznaují barevné orientální koberce, které pocházejí z Anatolie, stepní
oblasti Turecka. Pvodní koovné kmeny Turkmen zde žily ve stanech a v nich používaly koberce vyrobené
z oví vlny. Ty mly krom praktických vlastností také vlastnosti estetické.
Typickým motivem anatolského koberce je kvt „gül“ – turecky „rže, kvtina“ (obr.).
Byl to vtšinou šestiúhelník nebo osmiúhelník s geometricky stylizovaným kvtem.
Nejstarší doklady vázaných koberc nalezené na anatolském území pocházejí
z 1. poloviny 13. století. Jejich lenní je „klasické“: stedové pole pravideln vyplnné
geometrickými rostlinnými vzory, po obvodu široké pásy s dalšími geometrickými tvary
vtšinou živoišného charakteru: slepií stopy, beraní rohy – symbol plodnosti,
hrdinství a moci, hvzdy a hvzdice – symbol štstí a plodnosti apod. Od poloviny
15. století jsou tyto motivy postupn nahrazovány vzory geometrickými.
Zajímavým se jeví užití ornament v ozdobách a špercích amerických Indián. Jako materiál užívali
zlato, stíbro, polodrahokamy, m , bronz, peí pták, schránky mkkýš, v novovku i dovážené sklenné
korálky a knoflíky. Nedílnou souástí celkového vzhledu Indián bylo i ornamentální malování na kži, píp.
tetování oblieje a ostatních ástí tla. Používaly se pedevším geometrické vzory doplnné magickými
symboly. Znalost takového ornamentálního malování byla nezbytná.
Poátkem 15. století se Itálie stala kolébkou reformního umní – renesance. Ornamentika se využívala
v malbách na stny i sklo, v intarziích, výšivkách, kobercích, mramorových mozaikách i filigránových
ozdobách. Objevuje se však ješt jeden druh výzdoby – krajky. Ty byly zhotovovány podle kreseb
nejslavnjších mistr (nap. Rafael) a jejich ceny byly asto závratné. Krajkový ornament té doby využíval
nejvíce motiv rostlinných, jen obas doplnný figurálními dekoracemi.
Konec 19. století byl prodchnut symbolismem, secesí i dalšími historicko-umleckými prvky.
Tato doba patila ke zlatému vku ornamentu. Vycházela ada publikací, ornament se vyuoval i na školách.
V eských školách na pelomu 19. a 20. století neprobíhala práce s ornamenty v rámci výuky matematiky.
Tím je také dán zpsob prezentace ornament. Nebyly používány ve spojení se shodnými zobrazeními, ale
• jako prostedek nácviku pekreslování vzor (pedmt „Kreslení od ruky“),
• skrze n se vychovávalo k tradicím národa a k národnímu odkazu pedk (pedmt „Runí práce“)
S tím také souvisí jednotlivé typy ornamentálních vzor používané ve výuce. Jednalo se pedevším o lidové
vzory z výšivek na krojích – svéráz.

Písmenový typografický styl odolává asu. Jinak je tomu však u nepísmenového typografického
materiálu - linky a ornamenty, jimiž dotváeli výraz svých tisk naši pedkové. Je škoda, že „staré vzorníky
jsou dnes vzácným a peliv steženým pokladem nkolika šastlivc a nové tiskárenské vzorníky vtšinou
neexistují, nebo jsou omezeny jen na písmo“. Mapy znak, jež máme k dispozici v našich poítaových
textových editorech, jsou slabou náhradou za množství linek, ozdobných roh, rámek, samostatných
ornament, dekorativních grafických znak a symbol z pelomu 19. a 20. století.
Na poátku 20. století je možno pozorovat zdánlivý úbytek i zánik ornamentu. Novou vlnu
egyptských vzor v dekorativním umní zvedl až objev Tutanchamonovy hrobky v roce 1922.
Jedním z umlc, kteí propadli kráse ornament -
konkrétn ornament maurských mozaik, byl Maurits Cornelis
Escher (1898 – 1972). Když mladý Escher zvládl rzné grafické
techniky (devoez, devoryt, litografie a mezzontino), zamil se
na obsah svých dl. Chtl v každé své grafice zachytit njakou
myšlenku, nápad i objev. S pomocí pítele matematika B. Ernsta
rozšíil maurské ornamenty o rostliny, živoichy i lidi
a pravidelným vyplnním roviny dokázal ilustrovat patnáct
ze sedmnácti Fjodorovových rovinných grup symetrií – chybí
grupy p4m a p6m. Escherovy grafiky (obr.) jsou velmi populární
nejen mezi laickou veejností, ale i mezi matematiky
a krystalografy.
Giloši (obr.) – tento zajímavý pojem patí do hantýrky tiska, „guillochis“ znamená ornament složený
z ar, které se symetricky protínají. Jsou používány jako
obrazce tvoící podkladový tisk na bankovkách, cenných
papírech a jiných úedních dokumentech. Dnes díky
rozvoji poíta a za použití poítaové grafiky není
píprava takových ornament obtížná. Konstrukce
se obvykle volí pomocí Hermitových, Bézierových
i B-spline kivek. Jejich tvary se mohou mnit volbou
vstupních parametr. Obrazce jsou sice reprodukovatelné, ale poet kombinací jednotlivých parametr je
velký, a proto je napodobení ornamentu velmi obtížné.
Matematická teorie ornament (grup symetrií) zaala být významnji rozvíjena koncem 19. století
spolen s enumeraními teoriemi krystalografických grup. Proto autory základních poznatk byli práv
krystalografové (A. Bravais, E.S. Fjodorov, A. Schoenflies, W. Barlow, H. Hilton), kteí se zabývali vedle
symetrických grup v rovin také grupami ve trojdimenzionálním prostoru.
Je jist zajímavé, že na úpln první urení 17 tíd tapetových ornament ruským krystalografem
E.S. Fedorovem z roku 1891 se pozapomnlo. Bylo totiž publikováno pouze v ruštin. Na znovuobjevení
se pak podílel pedevším americký matematik ma arského pvodu G. Pólya (1924), dále pak P. Niggli
(1924), A. Speiser (1927) a další. Od té doby se zaínají objevovat práce designer a historik studující vývoj
ornamentu v rzných lidských kulturách nejen z hlediska umní, ale také z hlediska znázornní jednotlivých
tíd grup symetrií.

3. Rozety
V terminologii ornamentalistiky se k vyjádení rozetových vzor používají
také výrazy jako solitér i ržice. S rozetami se setkáváme doslova na každém kroku:
ozdobné kvtinové vzory, okna, gotické kružby, pdorysy kostel, erby, šperky,
snhové vloky, pavuiny, kídla motýl, kvtinové záhony, plátky citrónu, zdobené
koláe, knoflíky, ciferník hodin i kolo od auta nebo dopravní znaky. Mnoho
náboženských rituál zaíná vytvoením posvátného kruhu, který má sloužit jako
pozvánka Bohm. Pohyb v kruhu pak vede do stavu extáze. Nap. Eskymáci
vyezávají opakujícími se rytmickými pohyby do kamene kruh, aby se pivedli
do transu. I tibetští mnichové si berou kruhy – mandaly (obr.) na pomoc, když cvií
meditaci a ponoení se do sebe.
Symetrie útvaru je zobrazení, které tento útvar zobrazí na sebe.
Nutná symetrie ornamentu: otoení
Možné symetrie ornamentu: osová a stedová soumrnost
Neobsahuje žádné posunutí.
Množiny symetrií tídy C n
Píklad: Uríme množinu všech symetrií daného útvaru (obr.):
2 pímé symetrie (otoení o úhel 180°, 360°)
žádné nepímé symetrie (neexistuje žádná osa symetrie)
Množina všech symetrií útvaru = množina symetrií tídy C 2 (C – cyklická, 2 - poet
rzných otoení ),
která spolu s operací skládání zobrazení tvoí grupu (C 2 , ).
Nazveme ji cyklická rozetová grupa ádu 2 nebo rozetová grupa tídy C 2 .
Obecn: množina symetrií tídy C n
(C n , ) – cyklická rozetová grupa ádu n (n rzných otoení).
Cn
r
r ; r ;......;
P ° P ° P °
,360
n
,2⋅360
,360
n
=
,
Množiny symetrií tídy D n
n∈N
Píklad: Uríme množinu všech symetrií daného útvaru (obr.):
4 pímé symetrie (otoení o úhel 90°, 180°, 270°, 360°)
4 nepímé symetrie (4 osové soumrnosti)
Množina všech symetrií útvaru = množina symetrií tídy D 4 (D – diedrická, 4 - poet rzných otoení ),
která spolu s operací skládání zobrazení tvoí grupu (D 4 , ).
Nazveme ji diedrická rozetová grupa ádu 4 nebo rozetová grupa tídy D 4 .
Obecn: množina symetrií tídy D n
(D n , ) – diedrická rozetová grupa ádu n (n rzných otoení a n rzných osových soumrností).
D n = o
; o ;......; o ; r ; r ;.......; r ,
n∈N
∧n
> 2
a1
a2
an
P,360°
P,2⋅360
° P,360°
n n
C n je podgrupa grupy D n .

D
D
D
Rozety – 2 tídy (grupy symetrií)
C n
D n
C 1
C 2
C 3
C 4
C C
C
D 1
C
C
D
D
D
D
C
C
C
D 2
D 3
D 4
D
D
D
DD
D
D
D
C
C
D
D
DD
D
Sainte Chapelle – Paíž D 6
Basilica di San Giovanni in Laterno – ím C 4
D 3
C 3

4. Frýzy
Americký etnolog Jan Vansina ve své knize „Dti les“ popisuje mimo jiné kulturu a zpsob života
jednoho ernošského kmene v africkém Zairu. Zde se za hrdinský in považuje vymyšlení nového ornamentu.
Každý náelník musí na poátku své vlády vytvoit nový ozdobný pruh, který je pak vyryt na jeho buben
a stává se symbolem celého panovníkova rodu. Když sem ve dvacátých letech skupina misioná pivezla
poprvé motocykl, vzbudil u domorodc jen velmi malou pozornost. Ale král byl po chvíli okouzlen a poklekl.
Zaujal ho totiž neobvyklý vzor, který pi jízd motocyklu tiskly pneumatiky do písku. Panovník si okamžit
tento pruh obkreslil a nazval ho svým jménem.
F 1
3
Frýz (vlys, ozdobný pruh – obr.) je nekonený ozdobný
ornamentální pruh hladký nebo zdobený motivy
figurálními nebo ornamentálními. Frýz je nekonený
útvar, nakreslený na papíru bude vždy objekt konený.
Jeho nekonenost však zachováme v našem myšlení.
Nutná symetrie ornamentu: posunutí
Možné symetrie ornamentu: osová, stedová a posunutá soumrnost
Množiny symetrií tídy F i
j
F i
j
pro: i = 1 … nemá stedovou soumrnost
i = 2 … má stedovou soumrnost
j = 1 … má osovou soumrnost s osou o
j = 2 … má osovou soumrnost s osou a
j = 3 … má posunutou soumrnost F 2
2
F 1
1
F 1
2
F 1
3
F 1
F
FF
F
F
a
F
F
FF
F
F F F F
FF FF FF o FF
F
F
F
F F F F
F
o
F 2
F 2
1
F 2
2
F
a
FF
a
F
F
FF
F
F
FF
F
F
FF
F
F
FF
F
F
FF
F
o
o
o
F 1
2

Frýzy - 7 tíd
Stedová soumrnost
NE
ANO
Osová soumrnost s osou o
Osová soumrnost s osou o
NE
ANO
NE
ANO
Osová soumrnost s osou a
F 1
1
Osová soumrnost s osou a
F 2
1
NE
ANO
NE
ANO
Posunutá soumrnost
F 1
2
F 2
F 2
2
a
NE
ANO
F 1 F 1
3
FF
FF
FF
FF
FF
FF
o
F 1
1
F 2
1
Alcazar de los Reyes Cristianos - Cordoba
F 1
Banos de la Maria de Padilla, Reales Alcazares - Sevilla
F 2
1
Palacio de Velazquez, Parque de Retiro - Madrid
F 1
2

5. Tapety, rovinné mozaiky
Tapety – pokrývají celou rovinu.
Stejn jako frýzy jsou i tapety nekonené útvary.
Nutná symetrie ornamentu:
dvojice lineárn nezávislých posunutí
Možné symetrie ornamentu:
osová, stedová, posunutá soumrnost i otoení
W 1
2
Bod ádu n = tento bod je sted všech rotací,
které tvoí cyklickou rozetovou grupu Cn
V tapetách se spolu vyskytují pouze body ádu 1, 2, 3, 4 a 6.
Neexistuje tapeta s body ádu 5 !
W 4 W 6
1
W 6 W 2
2
Granada – palác Alhambra

W 1 ...360°
(ád 1)
W 2 ...180°
(ád 1, 2)
Existuje
nepímá
soumrnost
Existuje
nepímá
soumrnost
Tapety – 17 tíd (grup symetrií)
ANO
3
W
NE 1
W
NE 1
ANO
NE W 2
Existuje
osová
soumrnost
Existuje
osová
soumrnost
ANO
NE
ANO
Osy posunutých osových soumrností
jsou totožné s osami osové soumrnosti
Existuje njaký
sted otáení,
který leží na ose
osové soumrnosti
W 2
4
ANO
NE
ANO
NE
Existuje njaký
sted otáení,
který neleží na ose
osové soumrnosti
W 2
3
2
W 1
1
W 1
ANO
1
W 2
2
W 2
NE
W 3 ...120°
(ád 1, 3)
Existuje
nepímá
soumrnost
ANO
Existuje njaký sted otáení,
který neleží na ose osové soumrnosti
W 3
ANO
NE
2
W 3
1
W 3
NE
W 4 ...90°
(ád 1, 2, 4)
Existuje
nepímá
soumrnost
ANO
NE
Existuje njaký sted otáení,
který neleží na ose osové soumrnosti
W 4
ANO
NE
2
W 4
1
W 4
W 6 ...60°
(ád 1, 2, 3, 6)
Existuje
nepímá
soumrnost
ANO
W 6
1
W 6
(Escher
15 - chybí W 41 a W 61 , Alhambra 17)
NE
Sulawesi - Indonésie

Mozaiky
Johanna Keplera známe pedevším díky jeho tem zákonm o drahách planet obíhajících kolem Slunce,
málo se však ví o jeho výzkumech v oblasti rovinných mozaik. Druhá kniha jeho spisu "Harmonice Mundi“
se jmenuje "Kongruence harmonických útvar" a je vnována mj. pravidelnému pokrývání roviny.
Podívejme se na dlažby, mozaiky, parketáže a obklady oima matematiky. Zcela obecn mozaikou
chápeme njakou plošnou výzdobu i obraz, jež je složen z rznobarevných kostiek, stípk apod. Budeme
zkoumat, zda je možné pokrýt neomezen rovinu njakými útvary (dlaždicemi) tak, aby nedocházelo k jejich
vzájemnému pekrývání ani aby nezstávaly v rovin "díry". Pestože tyto rovinné útvary mohou být
libovolných tvar (elipsy, hvzdice, kvtiny), my budeme pro jednoduchost za dlaždici považovat libovolný
mnohoúhelník.
Matematika zkoumá mozaiky z hlediska pokrytí roviny dlaždicemi tak, aby:
- Prnikem libovolných dvou dlaždic nejsou dlaždice (nepekrývají se)
- Sjednocením všech dlaždic mozaiky je celá rovina (nejsou díry).
Mozaika typu „strana na stranu“ – platí práv jedna z možností:
- Dlaždice mají spolenou práv 1 celou stranu. ano
- Mají spolený práv jeden vrchol.
- Nemají žádný spolený bod.
ne
Každému vrcholu X mozaiky typu „strana na stranu“ piadíme
r-tici ísel (n 1 .n 2 ….n r ), uspoádanou po smru hodinových ruiek.
Píklad: Bod 1 (6.3.4.4.), bod 2 (6.4.3.4)
Vrcholy stejného druhu (stejnorodé):
pro r-tice pro oba vrcholy platí rovnost množin, nezáleží na poadí.
Píklad: Bod 1 (6.3.4.4.) a bod 2 (6.4.3.4) jsou stejného druhu (ne
však typu)
3
Vrcholy stejného typu:
- ob r-tice obsahují stejné prvky ve stejném poadí a stejném smru otáení
- ob r-tice obsahují stejné prvky ve stejném poadí ale v opaném smru
otáení
Píklad: Bod 1 (6.3.4.4.) a bod 3 (4.3.6.4) jsou stejného typu
Pravidelná mozaika – jednoprvková mozaika složená z pravidelných n-úhelník, jejíž všechny vrcholy
jsou stejného typu.
Polopravidelná mozaika – víceprvková mozaika složená z pravidelných n-úhelník, jejíž všechny vrcholy
jsou stejného typu.
Kepler jako první matematicky popsal pravidelné a polopravidelné mozaiky složené z rovnostranných
mnohoúhelník (nap. hvzdic). My budeme zkoumat pouze mozaiky složené z pravidelných n-úhelník
s vrcholy stejného typu.

Vyšetování mozaik:
1) Stanovíme omezení pro n i a r
2) Uríme všechny možné druhy a typy vrchol
3) Vybereme jen ty mozaiky, které mají vrcholy stejného typu
4) Pravidelné a polopravidelné mozaiky a pohled na n z hlediska ornamentálních vzor.
ad 1) Omezení pro n i a r
Pro pravidelné a polopravidelné mozaiky musí platit: n i ≥ 3 ∧ 3 ≤ r ≤ 6
180 (n 1 - 2) 180 (n 2 - 2)
n
+
n + ......... +
2
1 1 1 r − 2
+ + +
= (1)
n n n 2
1
2
r
180 (n - 2) r
n r
= 360
ad 2) Druhy a typy vrchol
Postupným dosazováním r = 3, 4, 5, 6 do rovnice (1) získáme celkem 17 rzných celoíselných ešení,
tj. 17 typ vrchol:
r = 3: (3.7.42), (3.8.24), (3.9.18), (3.10.15), (3.12,12), (4.5.20), (4.6.12), (4.8.8), (5.5.10), (6.6.6)
r = 4: (3.3.4.12), (3.3.6.6), (3.4.4.6), (4.4.4.4)
r = 5: (3.3.3.3.6), (3.3.3.4.4)
r = 6: (3.3.3.3.3.3)
Zohledníme-li poadí r-tic, musíme pidat vrcholy typu
(3.12.3.4), (3.6.3.6), (3.4.6.4), (3.3.4.6.4) a dostaneme 21 typ vrchol.
ad 3) Vrcholy stejného typu
Ukažme si, že ne každá z jedenadvaceti pedložených možností typu vrcholu mže tvoit pravidelnou
i polopravidelnou mozaiku. Nestaí totiž znát jen typ vrcholu, potebujeme mít zajištno, aby všechny
vrcholy byly stejného typu. Jednotlivé výše vypsané možnosti musíme proto podrobnji vyšetit se zetelem
na naše uvažované požadavky:
Píklad: úvaha pro r = 3
Z obrázku je patrné, že dva
vrcholy jsou typu (3.x.y), ale typu
(3.x.x). Aby byly všechny
vrcholy stejného typu, musí platit
x = y.
Tudíž nám vyhovuje pouze možnost (3.12.12), ale nevyhovují (3.7.42), (3.8.24), (3.9.18) a (3.10.15).
Analogickými úvahami vylouíme další nevyhovující r-tice pro r = 3, 4, 5, 6.
Závr: Z jedenadvaceti možných typ vrchol jich jen jedenáct tvoí základ pro pravidelnou
i polopravidelnou mozaiku (viz pehled v tab. 1).
r = 3 r = 4 r = 5 r = 6
vyhovující
ešení
nevyhovující
ešení
vyhovující
ešení
nevyhovující
ešení
vyhovující ešení nevyhovující
ešení
vyhovující ešení nevyhovující
ešení
(3.12.12) (3.7.42) (3.4.6.4) (3.3.4.12) (3.3.3.3.6) (3.3.3.3.3.3)
(4.6.12) (3.8.24) (3.6.3.6) (3.4.3.12) (3.3.3.4.4)
(4.8.8) (3.9.18) (4.4.4.4) (3.3.6.6) (3.3.4.3.4)
(6.6.6) (3.10.15) (3.4.4.6)
(4.5.20)
(5.5.10)
Tab. 1

4. Pravidelné a polopravidelné mozaiky
Naše výsedky zaznamenané do tabulky 1 odpovídají znní vty, která bývá obas nazývána vtou
Keplerovou: "Neuvažujeme-li podobnost, existuje práv jedenáct rzných mozaik typu "strana na stranu", kde
všechny vrcholy jsou stejného typu a dlaždice ve tvaru pravidelných mnohoúhelník."
Jedenáct mozaik z tabulky 1 (= Archimedovy mozaiky) mžeme jednoznan rozdlit na dv skupiny:
na pravidelné a polopravidelné.
a) Pravidelné mozaiky jsou 3:
• složené z rovnostranných trojúhelník, tj. všechny vrcholy typu (3.3.3.3.3.3),
• složené ze tverc, tj. všechny vrcholy typu (4.4.4.4),
• složené z pravidelných šestiúhelník, tj. všechny vrcholy typu (6.6.6).
W 6
1
W 4
1
W 6
1
b/ Polopravidlených mozaik je 8:
Symetrie pravidelných a polopravidelných mozaik tvoí pt rzných tapetových grup:W 2
1 ,W4 1 ,W4 2 ,W6 ,W 6
1 .
W 6
1
1
(3.12.12) W 6 (4.6.12)
W 4
1
1
(4.8.8) W 6 (3.4.6.4)
W 6
1
(3.6.3.6) W 6 (3.3.3.3.6)
W 4
2
(3.3.3.4.4) 2 (3.3.4.3.4)
W 4

Literatura:
RNDr. Jana Pradlová, CSc.,
Karl Levitin: Geometrická rapsodie
Mario Livio: Zlatý ez, Dokoán, Praha 2006
Alena Šarounová: Soumrnosti v rovin, Veset, Plze 1993
V. Heroldová: Šovíková, Dr. J. Kandert ,Csc.: Africký ornament a tvar, Náprstkovo muzeum, Praha 1993
J. Skuhravý: Barevný ornament, nakladatel: I.L. Kober knihkupectví, Praha 1906
Text pednášky:
http://geometrie.kma.zcu.cz/index.php/www/content/view/full/279/
Ornamenty:
http://www.emis.de/monographs/jablan/
http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/washington/tile/
Mozaiky, M.C.Escher:
http://www.mcescher.com/
http://www.tessellations.org/eschergallery26.htm
http://ieng9.ucsd.edu/~ma155f/FINAL/cfinalescherpost05.pdf
http://www.combinatorics.org/Volume_4/PDF/v4i2r17.pdf
http://www.mccallie.org/myates/Symmetry/wallpaperescher.htm
http://gwydir.demon.co.uk/jo/tess/sqtile.htm
http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.pattern/lesson1math.html