Matematyka ubezpieczeń na życie

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 8
3.1.1 Ubezpieczenie od śmierci n-letnie
Rozważamy ubezpieczenie gdzie ubezpieczony nabywa świadczenie w wysokości
1 jednostki pieniężnej wypłacanej mu w chwili jego śmierci, jeśli ta zajdzie w
ciągu n-lat ubezpieczenia. Zastanówmy się nad postacią zmiennej losowej opisującej
wartość obecną tego świadczenia. Jeśli śmierć nastąpi w okresie n-lat
ubezpieczenia to ubezpieczony otrzyma 1 jednostkę pieniężna. W przeciwnym
wypadku nie otrzyma nic. Wartość obecna dla wypłaty 1 jednostki wynosi obecnie
Z(t) = 1 · v t , t ∈ (0, n), gdzie t jest momentem wypłaty. Z kolei wartość
obecna braku wypłaty wynosi oczywiście 0. Pozwala to nam uznać, że nasza
zmienna losowa ma postać
{ v
t
, t ∈ (0, n)
Z(t) =
(3.1)
0 , t n
Rozkład zmiennej losowej T x , opisującej przyszły czas życia, jest rozkładem
ciągłym o gęstości
f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (0,+∞) (t) (3.2)
Zatem składka jednorazowa netto może zostać wyrażona jako
A 1 x:n := E[Z(T x )] =
∫ n
0
Z(t) t p x µ t+x dt =
∫ n
0
v t tp x µ t+x dt (3.3)
Obserwacja 3.2. Zauważmy, że jeżeli chcemy policzyć E[Z k (T X )] to
n∫
n∫
E[Z k (T x )] = Z k (t) t p x µ t+x dt = (v t ) k tp x µ t+x dt =
0
=
0
n∫
(v k ) t tp x µ t+x dt
0
(3.4)
Czyli odpowiada to wartości A 1 x:n ale policzonej przy innym wskaźniku finansowym
(v k zamiast v). Zauważmy, że
v = e −δ , (v k ) = e −δk (3.5)
Oznacza to, że wartość ta odpowiada cenie ubezpieczenia liczonego przy k-krotnie
większym natężeniu. Do oznaczenie tego k krotnie większego natężenia używa się
symbolu k A 1 x:n. Czyli stąd mamy
E[Z k (T x )] = k A 1 x:n (3.6)
Twierdzenie 3.3.
(
V ar[Z(T x )] = 2 A 1 x:n − Ax:n) 1 2
(3.7)
3.1.2 Ubezpiecznie od śmierci wieczyste
Nasze rozważania odnośnie ubezpieczenie na okres n lat można rozszerzyć i
rozważyć ubezpieczenie trwające na resztę życia osobnika. Wtedy naturalnie
mamy zmienną losową postaci:
{ v
t
, t > 0
Z(t) =
(3.8)
0 , t 0