Matematyka ubezpieczeń na życie

Rozdział 2
Notacja rachunku
prawdopodobieństwa
Najważniejsze założenie całej teorii ubezpieczeń polega na uznaniu, że istnieje
rozkład prawdopodobieństwa życia dla wszystkich ludzi na świecie (lub w danej
populacji). Uznajmy zatem, że zmienna losowa T x posiada właśnie taki rozkład
dla obecnego x-latka. Zatem funkcja określona
F x (t) = P (T x t) (2.1)
jest dystrybuatną tego rozkładu życia. Przez f x oznaczać będziemy odpowiadającą
gęstość. Dystrybuanta opisuje jaka część społeczność umrze przed przeżyciem
x-lat życia. Przez
s x (t) = 1 − F x (t) (2.2)
Czyli S będzie funkcją przeżywalności.
oznaczamy prstwo, że x latek nie przeżyje t lat.
oznaczamy prstwo, że x latek przeżyje t lat.
tq x = F x (t) (2.3)
tp x = 1 − F x (t) (2.4)
s|tq x = F x (s + t) − F x (s) = P (s < T x s + t) (2.5)
prawdopodobieństwo przeżycia t lat i śmierci poniżej s następnych
Dysponujemy oczywiście prstwami warunkowymi
Ponadto trzymamy oznaczenie
tp [x]+s = P (T x > s + t | T x > s) = s+tpx
sp x
tq [x]+s = P (T x s + t | T x > s) = s|t q x
sp x
(2.6)
q x := 1 q x ; p x := 1 p x (2.7)
2