Matematyka ubezpieczeń na życie

ROZDZIAŁ 4. RENTY 14
4.2 Renty dyskretne
Duże szersze zastosowanie mają renty dyskretne. W ubezpieczeniu rentowym
dyskretnym ubezpieczony otrzymuje w jaśnie określonych punktach w liczbie
conajwyżej przeliczalnej
4.2.1 Renty płatne z góry
Pierwszym typem rent są renty płatne z góry. Znacznie rzadziej stosowane w
praktyce stanowią narzędzie pomocnicze
Definicja 4.3. Przez ubezpieczeniową rentę wieczystą płatną z góry nazwiemy
rentę wypłacającą jednostkę pieniężną na początek każdego roku ubezpieczenia
∞∑
ä x = v i ip x (4.5)
i=0
Analogicznie definiuje się n-letnią rentę
n−1
∑
ä x:n⌉ = v i ip x (4.6)
i=0
oraz renty odroczone
k|ä x = v k kp x ä x+k − ä x:k⌉
k|ä x:n⌉ = v k (4.7)
kp x ä x+k:n⌉
Również tu zachodzi twierdzenie
Twierdzenie 4.4. Dla renty płatnej z góry zachodzi równość
4.2.2 Renty płatne z dołu
1 = d · ä x + A x (4.8)
Drugim typem rent są renty płatne z dołu. Znacznie częściej stosowane w praktyce
stanowią istotne narzędzie w zadaniach aktuariusza
Definicja 4.5. Przez ubezpieczeniową rentę wieczystą płatną z dołu nazwiemy
rentę wypłacającą jednostkę pieniężną na koniec każdego przeżytego roku
∞∑
a x = v i ip x (4.9)
i=1
Analogicznie definiuje się n-letnią rentę
n∑
a x:n⌉ = v i ip x (4.10)
i=1
oraz renty odroczone
k|a x = v k kp x a x+k − a x:k⌉
k|a x:n⌉ = v k (4.11)
kp x a x+k:n⌉
Również tu zachodzi twierdzenie
Twierdzenie 4.6. Dla renty płatnej z góry zachodzi równość
1 = ia x + (1 + i)A x (4.12)