Matematyka ubezpieczeń na życie

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 10
3.1.5 Ubezpieczenie odroczone
Nietrudno również wyobrazić sobie uogólnienie tych ubezpieczeń na wypadek
odroczenia ich, tzn. przypadku gdy okres ochrony ubezpieczeniem rozpocznie się
dopiero od pewnego momentu w przyszłości. Do określenia wartości tego ubezpieczenia
można łatwo, odwołując się do intuicji, powiedzieć że jest to wartość
obecna odpowiedniego ubezpieczenia nieodroczonego zawartego w przyszłości.
Wartość tę należy jednak zdyskontować zarówno względem wartości finansowej
jak i prawdopodobieństwa.
Przykład 2. Osoba w wieku x lat przychodzi i wykupuje dowolne ubezpieczenie
odroczone o m lat. Gdyby przyszła za m - lat i wykupiła to ubezpieczenie zapłaciła
by za nie kwotę A. Obecna wartość tego ubezpieczenia jest mniejsza z dwóch
przyczyn.
1. Gdyby ta osoba chciała kupić to ubezpieczenie za m - lat musiałaby odłożyć
do banku kwotę mniejszą o oprocentowanie z wkładu
2. Osoba ta nie wie czy dożyje momentu rozpoczęcia ubezpieczenia
Oznacza to, że wartość obecne tego ubezpieczenia jest obniżana i wynosi B
B = v m · mp x · A (3.16)
Określmy zatem odpowiednie składki jednorazowe netto
Twierdzenie 3.5. Zachodzą następujące własności
m|A 1 x:n =
v m · mp x · A 1 x+m:n
m|A x =
v m · mp x · A x+m
(3.17)
m|A 1
x:n = v m 1
· mp x · Ax+m:n
m|A x:n = v m · mp x · A x+m:n
3.1.6 Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej
3.1.7 Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej
3.1.8 Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie
3.2 Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci
Często spotykane są również ubezpieczenia wypłacane na koniec jakiegoś okresu.
Według ogólnego modelu rozważa się płatne na koniec roku, jednakże w sposób
naturalny można przeprowadzić uogólnienia na również inne przypadki.
3.2.1 Ubezpieczenie n-letnie płatne na koniec roku śmierci
Przykładowym ubezpieczeniem płatnym na koniec roku śmierci jest przeniesienie
ubezpieczenia n-letniego płatnego w chwili śmierci na przypadek płatności