Matematyka ubezpieczeń na życie

ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 4
Ponadto można uogólnić i otrzymać poniższe
( )
∫ t
tp x = exp − µ x+s ds
0
(
tq x = 1 − exp −
Twierdzenie 2.5. Przy tej hipotezie zachodzi
∫ t
0
)
µ x+s ds
(2.16)
tp [x]+u = t p x+u
2.2 Prawa śmiertelności
2.2.1 Prawo de Moivre’a
µ [x]+t = µ x+t
(2.17)
Definicja 2.6. Powiemy, że spełnione jest prawo de Moivre’a jeśli natężenie
zgonów wyraża się
µ t = 1
ω − t , 0 t < ω (2.18)
Twierdzenie 2.7. Dla prawa de Moivre’a zachodzi fakt, iż każdy przyszły rozkład
życia x latka ma rozkład jednostajny. Wtedy
2.2.2 Prawo Weibull’a
tp x = 1 −
t
ω − x
2.3 Hipotezy interpolacyjne - ułamkowe
2.3.1 UDD hipoteza jednostajności
(2.19)
Definicja 2.8. Powiemy, że spełniona jest hipoteza jednostajności (UDD, uniform
distribution of deaths), jeśli
s(x + t) = (1 − t)s(x) + ts(x + 1), 0 t < 1, x ∈ N (2.20)
Twierdzenie 2.9. Przy założeniu UDD zachodzi
tq x = tq x
tp x = 1 − tq x 0 t < 1, x ∈ N (2.21)
µ x+t = qx
1−tq x
2.3.2 CFoM - hipoteza stałej śmiertelności
Definicja 2.10. Powiemy, że spełniona jest hipoteza stałego śmiertelności (constant
force of mortality) jeśli
µ x+n+u = µ x+n , 0 u < 1 (2.22)