Matematyka ubezpieczeń na życie

Matematyka ubezpieczeń na życie
Piotr Kowalski
27 stycznia 2012

Spis treści
1 Elementy matematyki finansowej 1
1.1 Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Związki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Notacja rachunku prawdopodobieństwa 2
2.1 Hipotezy rozkładu życia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Prawa śmiertelności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Prawo de Moivre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 Prawo Weibull’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Hipotezy interpolacyjne - ułamkowe . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.1 UDD hipoteza jednostajności . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.2 CFoM - hipoteza stałej śmiertelności . . . . . . . . . . . . 4
2.3.3 Hipoteza Balducciego - hiperboliczna . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Notacja kohortowa i komutacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4.1 Kohorty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4.2 Notacja komutacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Ubezpieczenia na życie 7
3.1 Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.1 Ubezpieczenie od śmierci n-letnie . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.2 Ubezpiecznie od śmierci wieczyste . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.3 Ubezpieczenie na dożycie n-letnie . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.4 Ubezpieczenie na życie i dożycie n letnie . . . . . . . . . . 9
3.1.5 Ubezpieczenie odroczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.6 Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej . . . . . . . . 10
3.1.7 Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej . . . . . . . . 10
3.1.8 Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie . . . . . . . . 10
3.2 Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci . . . . . . . . . . . . 10
3.2.1 Ubezpieczenie n-letnie płatne na koniec roku śmierci . . . 10
3.2.2 Ubezpieczenie wieczyste płatne na koniec roku śmierci . . 11
3.2.3 Ubezpiecznie na życie i dożycie płatna na koniec roku
śmierci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.4 Ubezpieczenia odroczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.5 Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej, wypłacanym
na koniec roku śmierci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.6 Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej, wypłacanym
na koniec roku śmierci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1

SPIS TREŚCI 2
3.2.7 Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie, wypłacanym
na koniec roku śmierci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.8 Inne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Renty 13
4.1 Renta ciągła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Renty dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.1 Renty płatne z góry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.2 Renty płatne z dołu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Inne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Składki dla polis oraz rezerwy 16
5.1 Składka płatna w sposób ciągły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Składka płatna w sposób dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
A Tabele 19

Streszczenie
Punktem wyjścia w teorii matematyki ubezpieczeń jest matematyka finansowa
wraz z jej wnioskami. Główną tezą matematyki finansowej jest zmiana wartości
pieniądza w czasie oraz wszelkie konsekwencje tegoż faktu. W matematyce
ubezpieczeniowej teza ta jest modyfikowana i aplikowana do niemal wszystkich
modelów matematyki finansowej. Teza ta orzeka, że wartość pieniądza zmienia
się w czasie, lecz nie według deterministycznej funkcji, lecz pewnego prawdopodobieństwa.
Głównym celem rozważań matematyki ubezpieczeniowej jest orzekanie o tzw.
składce netto, która odpowiada uczciwej wycenie pieniądza względem czasu i
prawdopodobieństwa w sensie średniej probabilistycznej.
W tej pracy pragnę zebrać i omówić podstawy tych rozważań. W rozdziale 1
wprowadzamy podstawowe pojęcia matematyki finansowej, natomiast w rozdziale
2 omawiamy denotację oraz wprowadzamy pojęcia z rachunku prawdopodobieństwa
niezbędne do wyceny pieniądza względem czasu i prawdopodobieństwa.
Rozdział 3 poświęcony jest prezentacji modeli ubezpieczeniowych.

Rozdział 1
Elementy matematyki
finansowej
W tym rozdziale zbieżemy najważniejsze oznaczenia matematyki finansowej oraz
łączące je związki
1.1 Oznaczenia
1.2 Związki
Twierdzenie 1.1. Wartość czynnika dyskonta można wyrazić za pomocą natężenia
oprocentowania, przy założeniu stałej kapitalizacji
v t = e −δt (1.1)
Twierdzenie 1.2. Pomiędzy oprocentowaniem efektywnym, a efektywną stopą
dyskonta występuje następująca zależność
d =
i
1 + i
(1.2)
1

Rozdział 2
Notacja rachunku
prawdopodobieństwa
Najważniejsze założenie całej teorii ubezpieczeń polega na uznaniu, że istnieje
rozkład prawdopodobieństwa życia dla wszystkich ludzi na świecie (lub w danej
populacji). Uznajmy zatem, że zmienna losowa T x posiada właśnie taki rozkład
dla obecnego x-latka. Zatem funkcja określona
F x (t) = P (T x t) (2.1)
jest dystrybuatną tego rozkładu życia. Przez f x oznaczać będziemy odpowiadającą
gęstość. Dystrybuanta opisuje jaka część społeczność umrze przed przeżyciem
x-lat życia. Przez
s x (t) = 1 − F x (t) (2.2)
Czyli S będzie funkcją przeżywalności.
oznaczamy prstwo, że x latek nie przeżyje t lat.
oznaczamy prstwo, że x latek przeżyje t lat.
tq x = F x (t) (2.3)
tp x = 1 − F x (t) (2.4)
s|tq x = F x (s + t) − F x (s) = P (s < T x s + t) (2.5)
prawdopodobieństwo przeżycia t lat i śmierci poniżej s następnych
Dysponujemy oczywiście prstwami warunkowymi
Ponadto trzymamy oznaczenie
tp [x]+s = P (T x > s + t | T x > s) = s+tpx
sp x
tq [x]+s = P (T x s + t | T x > s) = s|t q x
sp x
(2.6)
q x := 1 q x ; p x := 1 p x (2.7)
2

ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 3
Dla tych prawdopodobieństw wprowadza się analogicznie charakterystyki prawdopodobieństwa
◦
e x = E [T x ] =
Wartość oczekiwaną pozostałego życia
∫ ∞
0
tf x (t)dt (2.8)
Twierdzenie 2.1. Mamy następujące wyrażenie oczekiwanej długości pozostałego
życia (1) ∫ ∞
◦
ex = tp x dt (2.9)
0
W niektórych przypadkach posługujemy się również dyskretną (całkowitą)
długością przyszłego życia (2) ∞∑
e x = ip x (2.10)
Często posługujemy się pojęciem śmiertelności i jej intensywności
i=0
µ [x]+t = f x(t)
1 − F x (t)
(2.11)
Twierdzenie 2.2. Najważniejszym wzorem dotyczącym śmiertelności jest
tq x =
2.1 Hipotezy rozkładu życia
∫ t
0
sp x µ [x]+s ds (2.12)
Definicja 2.3. Powiemy, że populacja spełnia warunek jednorodnej populacji
kiedy dla dowolnego x latka rozkład warunkowy
P (T x > t) = P (T 0 > x + t | T 0 > x) (2.13)
Definicja 2.4. Natężeniem zgonów nazwiemy
µ t = − s′ (t)
s(t)
(2.14)
Zatem (z teorii równań różniczkowych)
⎛
1 Dowód w całkowaniu przez części
2 Dowód w całkowaniu przez części
s(t) = exp ⎝−
∫ t
0
⎞
µ u du⎠ (2.15)

ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 4
Ponadto można uogólnić i otrzymać poniższe
( )
∫ t
tp x = exp − µ x+s ds
0
(
tq x = 1 − exp −
Twierdzenie 2.5. Przy tej hipotezie zachodzi
∫ t
0
)
µ x+s ds
(2.16)
tp [x]+u = t p x+u
2.2 Prawa śmiertelności
2.2.1 Prawo de Moivre’a
µ [x]+t = µ x+t
(2.17)
Definicja 2.6. Powiemy, że spełnione jest prawo de Moivre’a jeśli natężenie
zgonów wyraża się
µ t = 1
ω − t , 0 t < ω (2.18)
Twierdzenie 2.7. Dla prawa de Moivre’a zachodzi fakt, iż każdy przyszły rozkład
życia x latka ma rozkład jednostajny. Wtedy
2.2.2 Prawo Weibull’a
tp x = 1 −
t
ω − x
2.3 Hipotezy interpolacyjne - ułamkowe
2.3.1 UDD hipoteza jednostajności
(2.19)
Definicja 2.8. Powiemy, że spełniona jest hipoteza jednostajności (UDD, uniform
distribution of deaths), jeśli
s(x + t) = (1 − t)s(x) + ts(x + 1), 0 t < 1, x ∈ N (2.20)
Twierdzenie 2.9. Przy założeniu UDD zachodzi
tq x = tq x
tp x = 1 − tq x 0 t < 1, x ∈ N (2.21)
µ x+t = qx
1−tq x
2.3.2 CFoM - hipoteza stałej śmiertelności
Definicja 2.10. Powiemy, że spełniona jest hipoteza stałego śmiertelności (constant
force of mortality) jeśli
µ x+n+u = µ x+n , 0 u < 1 (2.22)

ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 5
Twierdzenie 2.11. Przy hipotezie CFoM zachodzą
up x = (p x ) u
uq x = 1 − (p x ) u
µ x+t = −logp x
0 t < 1, x ∈ N (2.23)
2.3.3 Hipoteza Balducciego - hiperboliczna
Definicja 2.12. Powiemy, że zachodzi hipoteza Balducciego jeśli
1
s(x + t) =
t
s(x + 1) + 1 − t , 0 t < 1, x ∈ N (2.24)
s(x)
Twierdzenie 2.13. Rozwiązując powyższe otrzymujemy
up x =
uq x =
µ x+u =
p x
1−(1−u)q x
uq x
1−(1−u)q x
0 u < 1 (2.25)
q x
2.4 Notacja kohortowa i komutacyjna
2.4.1 Kohorty
W matematyce ubezpieczeniowej rozważamy pewne klasy abstrakcji dla ubezpieczonych
podzielonych np. wg wieku. Taką grupę nazywa się z reguły kohortą
(3) . Załóżmy, że posiadamy grupę osób urodzonych w jednym roku, np. 100 000
takich osób. Przez
l x (2.26)
Oznaczać będziemy ilość osób w kohorcie, która dożyła wieku x. Przez
nd x = l x − l x+n (2.27)
oznaczać będziemy ilość osób zmarłych pomiędzy x a x+n rokiem życia. Naturalnie
d x = 1 d x
Twierdzenie 2.14. Zachodzą związki
Ponadto
Twierdzenie 2.15. Zachodzą następujące przybliżenia
3 Oddział wojska w starożytnym Rzymie
l x ≈ l 0 · xp 0 (2.28)
nq x = ndx
l x
np x = lx+n
l x
(2.29)

ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 6
2.4.2 Notacja komutacyjna
Definicja 2.16. Funkcja D
D x = v x l x (2.30)
Definicja 2.17. Funkcja C
C x = v x+1 d x (2.31)
Definicja 2.18. Funkcja M
M x =
+∞∑
k=0
C x+k (2.32)
Definicja 2.19. Funkcja R
R x =
+∞∑
k=0
M x+k (2.33)

Rozdział 3
Ubezpieczenia na życie
Ubezpieczenia na życie stanowią istotne uogólnienie w porównaniu do matematyki
finansowej. Główne zadanie polega na adapatacji modeli finansowych do
sytuacja gdzie istotną rolę odgrywa rachunake prawdopodobieństwa. Główne
zadanie polega na wycenie przyszłych płatności pieniężnych w wadze z prawdopodobieństwem.
Przykład 1. Pewien człowiek wykupił pewne ubezpieczenie. To ubezpieczenie
zakłada, że jeśli zajdzie pewna sytuacja to wypłacone zostanie mu pewne odszkodowanie.
Obecną wartość tego odszkodowania pozwolą nam wyjaśnić metody
matematyki finansowej. Jednak zauważmy, że obecna wartość tego świadczenia
wyniesie dokładnie tyle jedynie z pewnym prawdopodobieństwem. Biorąc wyceny
wartości obecnej wszystkich tych świadczeń i łącząc je w pary z prawdopodobieństwami
(lub gęstościami prawdopodobieństwa) tworzymy zmienną losową (ciągłą
lub dyskretną) która łączy pary wartość obecna - prstwo. Czyli wartość obecna
ubezpieczenia jest zmienną losową
Definicja 3.1. Wartość oczekiwaną zmiennej losowej reprezentującej wartość
obecną wypłat nazywam składką jednorazową netto świadczenia.
Rozważmy teraz różne rodzaje ubezpieczeń, czyli de facto różne modele matematyki
finansowej i ich konsekwenscje w matematyce ubezpieczeń na życie.
3.1 Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci
Najprostszymi modelami do zrealizowania są te, gdzie wypłata następuje niemal
natychmiast po śmierci. Z punkty widzenia teorii oznacza to, że zmienna losowa
reprezentująca przyszły czas życia nie podlega dodatkowej ”obróbce” przed
obliczeniami. Model ten jest również dobrze oddający faktyczne działanie ubezpieczeń.
Rodzina zmarłego z reguły nie czeka za długo ze zgłoszeniem tego faktu
i środki przelewane są również natychmiast po wypełnieniu wszelkich formalności.
Można by zatem uznać, że czas wypłaty świadczenia wynosi T + k , gdzie
T jest zmienną losową przyszłego czasu życia + k stałą liczbowa potrzebna do
wypłaty. Pojawienie się wartości stałej w zmiennej losowej nie wprowadza nam
przecież żadnych problemów modelowych.
7

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 8
3.1.1 Ubezpieczenie od śmierci n-letnie
Rozważamy ubezpieczenie gdzie ubezpieczony nabywa świadczenie w wysokości
1 jednostki pieniężnej wypłacanej mu w chwili jego śmierci, jeśli ta zajdzie w
ciągu n-lat ubezpieczenia. Zastanówmy się nad postacią zmiennej losowej opisującej
wartość obecną tego świadczenia. Jeśli śmierć nastąpi w okresie n-lat
ubezpieczenia to ubezpieczony otrzyma 1 jednostkę pieniężna. W przeciwnym
wypadku nie otrzyma nic. Wartość obecna dla wypłaty 1 jednostki wynosi obecnie
Z(t) = 1 · v t , t ∈ (0, n), gdzie t jest momentem wypłaty. Z kolei wartość
obecna braku wypłaty wynosi oczywiście 0. Pozwala to nam uznać, że nasza
zmienna losowa ma postać
{ v
t
, t ∈ (0, n)
Z(t) =
(3.1)
0 , t n
Rozkład zmiennej losowej T x , opisującej przyszły czas życia, jest rozkładem
ciągłym o gęstości
f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (0,+∞) (t) (3.2)
Zatem składka jednorazowa netto może zostać wyrażona jako
A 1 x:n := E[Z(T x )] =
∫ n
0
Z(t) t p x µ t+x dt =
∫ n
0
v t tp x µ t+x dt (3.3)
Obserwacja 3.2. Zauważmy, że jeżeli chcemy policzyć E[Z k (T X )] to
n∫
n∫
E[Z k (T x )] = Z k (t) t p x µ t+x dt = (v t ) k tp x µ t+x dt =
0
=
0
n∫
(v k ) t tp x µ t+x dt
0
(3.4)
Czyli odpowiada to wartości A 1 x:n ale policzonej przy innym wskaźniku finansowym
(v k zamiast v). Zauważmy, że
v = e −δ , (v k ) = e −δk (3.5)
Oznacza to, że wartość ta odpowiada cenie ubezpieczenia liczonego przy k-krotnie
większym natężeniu. Do oznaczenie tego k krotnie większego natężenia używa się
symbolu k A 1 x:n. Czyli stąd mamy
E[Z k (T x )] = k A 1 x:n (3.6)
Twierdzenie 3.3.
(
V ar[Z(T x )] = 2 A 1 x:n − Ax:n) 1 2
(3.7)
3.1.2 Ubezpiecznie od śmierci wieczyste
Nasze rozważania odnośnie ubezpieczenie na okres n lat można rozszerzyć i
rozważyć ubezpieczenie trwające na resztę życia osobnika. Wtedy naturalnie
mamy zmienną losową postaci:
{ v
t
, t > 0
Z(t) =
(3.8)
0 , t 0

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 9
przy rozkładzie zmiennej losowej T x
f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (0,+∞) (t) (3.9)
Zatem
A x := E[Z(T x )] =
∫
+∞
Z(t) t p x µ t+x dt =
∫
+∞
v t tp x µ t+x dt (3.10)
0
0
3.1.3 Ubezpieczenie na dożycie n-letnie
Troszeczkę różne w swej konstrukcji jest ubezpieczenie na dożycie. Opiera się
ono o inny rodzaj umowy ubezpieczeniowej postaci, jeśli ubezpieczony przeżyje
okres n-lat to firma ubezpieczeniowa przekaże mu kwotę równą 1 jednostce
pieniężnej w chwili wygaśnięcia umowy, oraz nic w wypadku śmierci w tym okresie.
Z punktu widzenia modelu, jest to najprostsze do obliczenia ubezpieczenie
Rozważamy tu funkcję wartości obecnej wypłaty postaci
Z(t) =
{
v
n
, t > n
0 , t < 0
(3.11)
gdyż świadczenie jest wypłacone w chwili wygaśnięcia umowy tj. w dokładnie
n-lat po jego podpisaniu. Liczone oczywiscie przy rozkładzie zmiennej losowej
T x
f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (0,+∞) (t) (3.12)
Zatem otrzymujemy
A 1
x:n := E[Z(T x )] =
∫
+∞
0
Z(T x ) t p x µ t+x dt =
∫
+∞
n
v n tp x µ t+x = v n np x (3.13)
Uwaga 3.4. Ubezpieczenie na dożycie jest często stosowane aby wyrazić zmianę
wartości aktuarialnej świadczenia w czasie. Stosuje się do tego alternatywny
symbol o identycznej wycenie
nE x = A 1
x:n = v n np x (3.14)
Czyli cenę w chwili x, świadczenia wartego 1 w chwili x+n
3.1.4 Ubezpieczenie na życie i dożycie n letnie
Kombinacją powyższych ubezpieczeń jest umowa gdzie ubezpieczony otrzymuje
świadczenie 1 jednostki pieniężnej w przypadku śmierci w okresie n lat ubezpieczenia
lub 1 jednostki pieniężnej w chwili wygaśnięcia okresu ubezpieczenia.
Jako, że sytuacje tych wypłat się jawnie wykluczają zastosowanie ma wzór
A x:n = A 1 x:n + A 1
x:n (3.15)

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 10
3.1.5 Ubezpieczenie odroczone
Nietrudno również wyobrazić sobie uogólnienie tych ubezpieczeń na wypadek
odroczenia ich, tzn. przypadku gdy okres ochrony ubezpieczeniem rozpocznie się
dopiero od pewnego momentu w przyszłości. Do określenia wartości tego ubezpieczenia
można łatwo, odwołując się do intuicji, powiedzieć że jest to wartość
obecna odpowiedniego ubezpieczenia nieodroczonego zawartego w przyszłości.
Wartość tę należy jednak zdyskontować zarówno względem wartości finansowej
jak i prawdopodobieństwa.
Przykład 2. Osoba w wieku x lat przychodzi i wykupuje dowolne ubezpieczenie
odroczone o m lat. Gdyby przyszła za m - lat i wykupiła to ubezpieczenie zapłaciła
by za nie kwotę A. Obecna wartość tego ubezpieczenia jest mniejsza z dwóch
przyczyn.
1. Gdyby ta osoba chciała kupić to ubezpieczenie za m - lat musiałaby odłożyć
do banku kwotę mniejszą o oprocentowanie z wkładu
2. Osoba ta nie wie czy dożyje momentu rozpoczęcia ubezpieczenia
Oznacza to, że wartość obecne tego ubezpieczenia jest obniżana i wynosi B
B = v m · mp x · A (3.16)
Określmy zatem odpowiednie składki jednorazowe netto
Twierdzenie 3.5. Zachodzą następujące własności
m|A 1 x:n =
v m · mp x · A 1 x+m:n
m|A x =
v m · mp x · A x+m
(3.17)
m|A 1
x:n = v m 1
· mp x · Ax+m:n
m|A x:n = v m · mp x · A x+m:n
3.1.6 Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej
3.1.7 Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej
3.1.8 Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie
3.2 Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci
Często spotykane są również ubezpieczenia wypłacane na koniec jakiegoś okresu.
Według ogólnego modelu rozważa się płatne na koniec roku, jednakże w sposób
naturalny można przeprowadzić uogólnienia na również inne przypadki.
3.2.1 Ubezpieczenie n-letnie płatne na koniec roku śmierci
Przykładowym ubezpieczeniem płatnym na koniec roku śmierci jest przeniesienie
ubezpieczenia n-letniego płatnego w chwili śmierci na przypadek płatności

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 11
na koniec roku. Do najważniejszych różnic jakie wprowadza wypłata końcoworoczna
należy wartość obecna kwoty wypłaty. Skoro wypłata następuje jedynie
w dokładnie określonych momentach czasu:
{
v
[t]+1
t ∈ (0, n)
Z(t) =
(3.18)
0 p.p.
Liczone oczywiscie przy rozkładzie zmiennej losowej T x
f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (0,+∞) (t) (3.19)
wtedy składka jednorazowa netto jest określona następująco :
= n−1 ∑
i=0
A 1 x:n⌉ := E[Z(T x)] =
i+1 ∫
i
+∞ ∫
v i+1 tp x µ t+x dt = n−1 ∑
0
Z(t) t p x µ t+x dt =
∫
i+1
i+1
v tp x µ t+x dt = (3.20)
i=0 i
v i+1 ip x q x+i
i=0
= n−1 ∑
3.2.2 Ubezpieczenie wieczyste płatne na koniec roku śmierci
Również kolejne ubezpieczenia jesteśmy w stanie przenieść z płatnością na koniec
roku
{
v
[t]+1
t > 0
Z(t) =
(3.21)
0 p.p.
Liczone oczywiscie przy rozkładzie zmiennej losowej T x
f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (0,+∞) (t) (3.22)
wtedy składka jednorazowa netto jest określona następująco :
= ∞ ∑
i=0
A x := E[Z(T x )] =
i+1 ∫
i
+∞ ∫
v i+1 ∑
tp x µ t+x dt = ∞ v
0
Z(t) t p x µ t+x dt =
∫
i+1
i+1
tp x µ t+x dt = (3.23)
i=0 i
v i+1 ip x q x+i
i=0
= ∞ ∑
3.2.3 Ubezpiecznie na życie i dożycie płatna na koniec roku
śmierci
Pomimo, iż (jak nie trudno spostrzec) ubezpieczenie na dożycie jest takim samym
ubezpieczeniem niezależnie czy rozważamy rok śmierci ubezpieczonego czy
dokładny moment śmierci. Jednakże w przypadku ubezpieczenie na życie i dożycie,
ubezpieczenia te będą się różniły w tych dwóch wersjach. Mimo wszystko
dalej utrzymana jest odpowiadająca równość
A x:n⌉ = A 1 x:n⌉ + A 1
x:n (3.24)

ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 12
3.2.4 Ubezpieczenia odroczone
W sposób zupełnie analogiczny jak poprzednio możemy zdefiniować ubezpieczenia
odroczone
Twierdzenie 3.6. Zachodzą następujące własności
m|A 1 x:n⌉ =
vm · mp x · A 1 x+m:n⌉
m|A x = v m · mp x · A x+m
(3.25)
m|A x:n⌉ = v m · mp x · A x+m:n⌉
3.2.5 Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej, wypłacanym
na koniec roku śmierci
3.2.6 Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej, wypłacanym
na koniec roku śmierci
3.2.7 Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie, wypłacanym
na koniec roku śmierci
3.2.8 Inne
Twierdzenie 3.7. Istnieje ważny związek łączący ubezpieczenia płatne w chwili
śmierci i na koniec roku. Zakładając UDD:
A =
i
δ A x
A 1 x:n = i δ A1 x:n⌉
(3.26)
Twierdzenie 3.8. Zachodzą następujące wzory
A x = Mx
D x
A 1 x:n = Mx−Mx+n
D x
(3.27)
A 1
x:n = Dx+n
D x
A x:n = Mx−Mx+n+Dx+n
D x

Rozdział 4
Renty
Troszeczkę inaczej sprawa ma się z rentami ubezpieczeniowymi. Przypomnijmy,
że rentą nazywamy ciąg przyszłych jednakowych płatności. Pod pojęciem renty
ubezpieczeniowej kryje się zatem umowa wedle, której ubezpieczony o ile żyje
otrzymuje wypłatę.
4.1 Renta ciągła
Renta ciągła jest najprostszą, a jednocześnie najtrudniejszą do interpretacji formą
renty ubezpieczeniowej. Świadczenie jest wypłacane w sposób ciągły i stanowi
to przypadek graniczny dla zwiększania ilości okresów kapitalizacji. Świadczenie
jest więc wypłacane o ile tylko świadczeniobiorca żyje, co oddaje poniższy
wzór:
Twierdzenie 4.1. Wartość obecna renty ciągłej wieczystej wynosi (1)
a x =
∫
+∞
0
v t tp x dt (4.1)
Analogicznie
Ponadto
∫ n
a x:n⌉ = v t tp x dt (4.2)
0
Twierdzenie 4.2. Dla renty ciągłej zachodzi równość
1 = δa x + A x (4.3)
Ponadto można też rozważać tę rentę w wersji odroczonej
k|a x = v k kp x a x+k (4.4)
1 dowodzi się dzięki całkowaniu przez części
13

ROZDZIAŁ 4. RENTY 14
4.2 Renty dyskretne
Duże szersze zastosowanie mają renty dyskretne. W ubezpieczeniu rentowym
dyskretnym ubezpieczony otrzymuje w jaśnie określonych punktach w liczbie
conajwyżej przeliczalnej
4.2.1 Renty płatne z góry
Pierwszym typem rent są renty płatne z góry. Znacznie rzadziej stosowane w
praktyce stanowią narzędzie pomocnicze
Definicja 4.3. Przez ubezpieczeniową rentę wieczystą płatną z góry nazwiemy
rentę wypłacającą jednostkę pieniężną na początek każdego roku ubezpieczenia
∞∑
ä x = v i ip x (4.5)
i=0
Analogicznie definiuje się n-letnią rentę
n−1
∑
ä x:n⌉ = v i ip x (4.6)
i=0
oraz renty odroczone
k|ä x = v k kp x ä x+k − ä x:k⌉
k|ä x:n⌉ = v k (4.7)
kp x ä x+k:n⌉
Również tu zachodzi twierdzenie
Twierdzenie 4.4. Dla renty płatnej z góry zachodzi równość
4.2.2 Renty płatne z dołu
1 = d · ä x + A x (4.8)
Drugim typem rent są renty płatne z dołu. Znacznie częściej stosowane w praktyce
stanowią istotne narzędzie w zadaniach aktuariusza
Definicja 4.5. Przez ubezpieczeniową rentę wieczystą płatną z dołu nazwiemy
rentę wypłacającą jednostkę pieniężną na koniec każdego przeżytego roku
∞∑
a x = v i ip x (4.9)
i=1
Analogicznie definiuje się n-letnią rentę
n∑
a x:n⌉ = v i ip x (4.10)
i=1
oraz renty odroczone
k|a x = v k kp x a x+k − a x:k⌉
k|a x:n⌉ = v k (4.11)
kp x a x+k:n⌉
Również tu zachodzi twierdzenie
Twierdzenie 4.6. Dla renty płatnej z góry zachodzi równość
1 = ia x + (1 + i)A x (4.12)

ROZDZIAŁ 4. RENTY 15
4.3 Inne
Twierdzenie 4.7. Zachodzą następujące wzory
a x = Nx+1
D x
ä x = Nx
D x
ä x:n⌉ = Nx−Nx+n
D x
(4.13)
n|ä x = Nx+n
D x
n|a x = Nx+n+1
D x
M x = D x − dN x

Rozdział 5
Składki dla polis oraz
rezerwy
Umowy ubezpieczeniowe podejmowane są w sposób, który do partycypacji w ryzyku
śmierci przyjmuje obie strony. Najczęściej firmy ubezpieczeniowe decydują
się na umowy w których otrzymują okresowe składki, a w zamian wypłacają
świedczenia w wypadku śmierci. Najczęściej jest to więc wymiana gdzie jedna
ze stron wystawia ubezpieczenie na życie, a druga płaci rentę ubezpieczeniową.
Najważniejszym zadaniem postawionym przed tym problemem jest wycena
składki, która powinna być płacona by kompensować dane ubezpieczenie. Czyli
problem posiada postać
A = K · a (5.1)
gdzie A jest pewnym ubezpieczeniem, a rentą ubezpieczeniową, natomiast K
jest poszukiwaną składką. Możliwa do zdefiniowania jest funkcja, która danemu
ubezpieczeniu przypisuje należną za niego składkę.
Drugim istotnym problemem dotyczącym opłacania składek jest tzw. problem
rezerw. Problem rezerw dotyka problemu faktycznego dochodu ubezpieczalni.
W przypadku upłacania składek może się bowiem okazać, że składka za
dany okres faktycznie nie pokrywa się dokładnie z oczekiwaną wypłatą w danym
roku. Oznacza to, że po pewnym okresie, jedynie część z wpłaconych do ubezpieczalni
pieniędzy może być traktowana jako zarobiona przez nią. Resztę należy
odłożyć aby pokryć przyszłe zobowiązania wobec danej umowy ubepieczeniowej.
5.1 Składka płatna w sposób ciągły
Definicja 5.1. Przez składkę w ubepieczeniu, płatną wieczyście w sposób ciągły
dla ubezpieczenia A rozumieć będziemy wartość
P ( A x
)
=
A x
a x
(5.2)
Definicja 5.2. Przez rezerwę po czasie t rozumieć będziemy, wysokość zdeponowanej
kwoty na poczet przyszłym wypłat. Rezerwa po czasie t będzie opisana
symbolem i wzorem
tV ( A x
)
=
(
Ax+t − P ( A x
)
ax+t
)
(5.3)
16

ROZDZIAŁ 5. SKŁADKI DLA POLIS ORAZ REZERWY 17
Zauważmy, że wartość rezerwy jest na osi liczona zawsze w chwili x+t.
Jeśli rozważamy ubepieczenia terminowe składki przyjmują postać
Twierdzenie 5.3. Dla ubezpieczenia na n-lat
( )
P A 1 x:n = A1 x:n
a x:n⌉
( )
( )
(5.4)
tV A 1 x:n = A 1 x+t:n−t − P A 1 x:n a x+t:n−t⌉
Analogicznie wyprowadza się również i inne wzory.
5.2 Składka płatna w sposób dyskretny
W zasadzie wszystkie przypadki (a jest ich mnoga ilość) mogą być łatwo wyprowadzone
z idei przedstawionej w poprzedniej sekcji. W przypadku jednak
składek płatnych w sposób dyskretny dodatkową, istotną uwagą, jest że rezerwy
w takim wypadku mają sens bycia liczonymi jedynie w chwilach wpłaty
dyskretnej składki.
Twierdzenie 5.4. Zachodzą następujące wzory
P x = Ax
ä x
kV x = A x+k − P x ä x+k
P1 = A1 x:n
x:n⌉ ä x:n⌉
kV1 = A 1 x+k:n−k − P1
x:n⌉
x:n⌉ä x+k:n−k⌉
kV 1
x:n⌉
(5.5)
P 1 = A 1
x:n
x:n⌉ ä x:n⌉
1
= Ax+k:n−k − P 1 ä x+k:n−k⌉
x:n⌉

Bibliografia
[1] Bowers Newton L., Gerber Hans U., and Hickman James C. . Actuarial
Mathematics. Society of Actuaries, 1997.
[2] Błaszczyszyn Bartłomiej and Rolski Tomasz. Podstawy matematyki ubezpieczeń
na życie. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2004.
18

Dodatek A
Tabele
wartość UDD CFoM Balducci
tq x tq x 1 − p t x
tq x
1−(1−t)q x
µ x+t
q x
1−tq x
− log p x
q x
1−(1−t)q x
tp x 1 − tq x p t x
p x
1−(1−t)q x
tp x · µ x+t q x −p t x log p x
q x p x
[1−(1−t)q x] 2
Tabela A.1: Założenia o śmiertelnościach między całkowitymi latami
19

DODATEK A. TABELE 20
Model µ x x p t x q t Ograniczenia
Stała śmiertelność µ e −µt 1 − e −µt µ > 0
1
Moivre
ω−x
1 − t
t
ω−x ω−x
0 x < ω.
Gompetz B · c x B > 0, c > 1, x 0.
Makeham A + Bc x B > 0, A −B, c > 1, x 0
Weibull kx n k > 0, n > 0, x 0
Tabela A.2: Modele przeżywalności
Rodzaj okres ubezpieczenia symbol Wzór
+∞ ∫
Wieczyste A x v t tp x µ t+x dt
0
Płatne n-letnie A 1 n∫
x:n v t tp x µ t+x dt
w chwili dożycie A 1
x:n
v n np x
śmierci życie i dożycie A x:n A 1 x:n + A 1
x:n
0
m|A 1 x:n
v m · mp x · A 1 x+m:n
odroczone
m|A x
m|A 1
x:n
v m · mp x · A x+m
v m · mp x · A
1
x+m:n
m|A x:n
v m · mp x · A x+m:n
∞∑
Wieczyste A x v i+1 ip x q x+i
Płatne n-letnie A 1 x:n⌉
i=0
n−1
∑
v i+1 ip x q x+i
na koniec życie i dożycie A x:n⌉ A 1 x:n⌉ + A 1
x:n
i=0
m|A 1 x:n⌉
v m · mp x · A 1 x+m:n⌉
roku śmierci
odroczone
m|A x
v m · mp x · A x+m
m|A x:n⌉
v m · mp x · A x+m:n⌉
Tabela A.3: Ubezpieczenia na życie