BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC - Trường THPT Chuyên Tiền Giang

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC
LỜI NÓI ĐẦU
Thầy: Đinh Công Minh
Trong chương trình toán THPT KHỐI LỚP 12, học sinh biết đến số phức như một biểu thức có
dạng: z a bi , ta gọi là dạng đại số của số phức, trong đó:
a gọi là phần thực của số phức z .
b gọi là phần ảo của số phức z .
i là đơn vị ảo, một con số lạ lẫm với tính chất bí hiểm:
2
i 1.
Cách tiếp cận số phức dưới dạng z a bi giúp cho hầu hết học sinh đều có thể làm được các
phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, khai căn số phức với một suy nghĩ rất tự nhiên là:
Làm toán với số phức hoàn toàn giống như làm toán với số thực, chỉ có một điều đặc biệt cần nhớ là:
2
i 1.
Về cơ bản thì có thể nói là hầu hết học sinh phần nào cũng chạm được vào số phức.
Tuy nhiên, học sinh khó mà hiểu được bản chất của số phức, thậm chí là có thể tin rằng số phức là
con số có thật cũng như là số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ hay số thực.
Số phức trong toán học ngày nay thuộc về một lĩnh vực rộng lớn như lĩnh vực số thực. Với khả
năng hạn chế của mình, người viết bài này hy vọng rằng có thể giúp người đọc thấy ra được vài điều
thú vị về số phức, trong đó điều quan trọng nhất là thấy ra được bản chất của số phức. Nội dung của
bài viết bao gồm:
Sự ra đời của số phức
Việc xây dựng số phức
Cách biểu diễn số phức.
Sơ lược về hàm số biến số phức.
Bài viết này không đi vào các ứng dụng đa dạng của số phức.
Chắc chắn là bài viết không tránh khỏi có sai sót, tác giả xin chân thành đón nhận mọi đóng góp
của người đọc giúp cho tác giả được dịp tự điều chỉnh và học hỏi thêm.
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về:
GV: Đinh Công Minh, Tổ toán tin – trường THPT Chuyên Tiền Giang
Email: tuminhkhoi@yahoo.com Phone: 0958.040.525.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang, ngày 05 tháng 02 năm 2012.
Đinh Công Minh.
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 1

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
SỐ PHỨC (COMPLEX NUMBER)
--------------------------------------------
1. SỰ RA ĐỜI CỦA SỐ PHỨC
1.1. Số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number), con số giả tưởng và tính chất bí hiểm đáng ngờ
của nó
Số phức ra đời từ giữa thế kỷ 16.
Ta biết rằng phương trình bậc hai:
, ,
.
xét trên trường số thực
2
x
1
(1.1) không có nghiệm thực, tức là nó vô nghiệm khi
Các nhà toán học mong muốn rằng phương trình này có nghiệm, họ còn muốn rằng mọi phương
trình đa thức đều phải có nghiệm, và nếu điều này xảy ra thì nghiệm đó không thể là số thực mà phải
thuộc một loại số nào đó. Điều này làm nảy sinh ý tưởng là phải mở rộng trường số thực thành một
trường số , ,
nào đó để trên trường số này thì phương trình (1.1) có nghiệm.
Năm 1545, nhà toán học Italia là G.Cardano đã giải quyết vấn đề nghiệm của phương trình (1.1)
bằng cách dùng ký hiệu 1 , hiển nhiên là 1 , để thể hiện nghiệm hình thức của phương trình
này.
Tiếp tục phương pháp hình thức như vậy, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức của phương trình:
2 2
x b b
là b 1 . Cuối cùng, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức của phương trình:
x a 2 b 2
a,
b
là a b 1.
G. Cardano đã gọi đại lượng a b 1 a,
b
không có thực, tức là một đại lượng giả tưởng.
là đại lượng ảo, ngầm ý rằng nó là đại lượng
Năm 1572, nhà toán học Italia là Bombelli định nghĩa các phép toán số học trên các đại lượng ảo
mà ông gọi là các số ảo (tên gọi số phức là do nhà toán học người Đức là K.Gauss đặt ra vào năm
1831). Ông được xem là người sáng tạo nên lý thuyết các số ảo, và cũng là người đầu tiên thấy được
ích lợi của việc đem số ảo vào toán học như một công cụ hữu ích.
Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ toán học đã diễn ra rất chậm chạp: năm 1545,
G.Cardano đưa ra ký hiệu 1
cho ký hiệu 1
thì mãi đến năm 1777, nhà toán học người Thụy Sĩ là L.Euler đặt tên
là số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number) lài . Điều đó có nghĩa là:
i
2
: 1, i 1
.
Tên gọi đơn vị ảo và ký hiệu i : 1
cũng đã gây ra nhiều tranh cải và nghi ngờ trong giới toán
học. Chẳng hạn, nhà toán học I. Newton đã không thừa nhận số ảo.
Đẳng thức đáng ngờ nhất chính là tính chất lạ lẫm đến bí hiểm:
quan hệ thứ tự trên tập hợp số quen thuộc là .
2
i
1
(1.2) bởi vì nó phá vở
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 2

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
2. VIỆC XÂY DỰNG SỐ PHỨC
Nhà toán học người Đức là K. Gauss là người đầu tiên, năm 1831, sử dụng thuật ngữ số phức để
chỉ các đại lượng ảo. Tuy nhiên, nhà toán học người Irland là W.Hamilton mới là người có công lao
biến số phức từ một con số giả tưởng với tính chất bí hiểm:
2
i
1 thành một con số có thật.
Năm 1837, G.Hamilton xây dựng lý thuyết số phức một cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề
hóa để từ đó số phức trở thành một số cũng quen thuộc với người làm toán như là số tự nhiên, số
nguyên, số hữu tỉ hay số thực.
G.Hamilton xét tập hợp z a, b
/ a,
b
gồm các cặp số thực z a,
b
bị hai phép toán cộng và nhân thỏa bốn tiên đề T , T , T ,
T dưới đây.
Khi đó, mỗi cặp số thực z a,
b
1 2 3 4
và trên đó trang
được gọi là một số phức, và như vậy thì dáng vẻ của số phức
chẳng còn xa lạ gì với người làm toán nữa bởi vì nó dựa hoàn toàn trên các số quen thuộc là số thực.
Với mỗi z a , b , z a , b
, ta có:
1 1 1 2 2 2
T 1 : (Tiên đề đồng nhất hai số phức) a1 a2
z1 z2
b1 b2
T (Tiên đề phép cộng hai số phức) z z a a , b b
2 :
.
1 2 1 2 1 2
T (Tiên đề phép nhân hai số phức) z z a a b b , a b a b
3 :
T (Tiên đề đồng nhất số thực và số phức)
4 :
.
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
a,0 a,
a
.
Ta hãy xem bốn tiên đề này nói lên điều gì và làm được gì.
Tiên đề T
hai tập hợp.
Tiên đề
1
2
thức chất chỉ là sự lặp lại định nghĩa sự đồng nhất hai phần tử của tích Descartes của
T và T
3
.
về cơ bản cho thấy các phép toán cộng và nhân hai số phức hoàn toán được
xác định: các phép cộng và nhân hai số phức đều có kết quả là một số phức.
Với ba tiên đề T , T ,
T , ta có thể kiểm tra được rằng cấu trúc đại số , ,
gọi là trường số phức.
1 2 3
Trường số phức là , ,
có các tính chất đặc biệt sau đây:
(1) Phần tử không đối với phép cộng là 0,0 .
(2) Phần tử đối của z a,
b
đối với phép cộng là z a,
b
.
là một trường
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 3

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
Do đó, trên , ,
ta có thể định nghĩa phép toán trừ hai số phức như sau:
a , b a , b a , b a , b
a , b a , b a a , b b
. (1.3)
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
(3) Phần tử đơn vị đối với phép nhân là 1,0 , tức là
1,0 . a, b a, b. 1,0 a, b, a,
b
.
(4) Phần tử đảo của z a, b 0,0
1
Do đó: zz 1,0 , z \ 0,0
đối với phép nhân là
.
z
1
1 a b
,
z a b a b
2 2 2 2
sau:
Do đó, ta có thể định nghĩa phép chia số phức z a , b cho số phức z a , b 0,0
1 1 1
như
2 2 2
a1,
b1 1
a2 b
2
a1a2 b1b 2
a2b1 a1b
2
a1, b1 a2, b2 a1, b1
, ,
2 2 2 2 2 2 2 2 . (1.4)
a2,
b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
Tiên đề T
4
là một tiên đề khá đặc biệt mà ta cần khảo sát kỹ lưỡng về nó.
Trước tiên, ta thấy rằng ánh xạ sau đây là đơn ánh:
Ngoài ra:
2
a a,0
Do T ,
T nên ta có: a b a b,0 a,0 b,0 a b
2 4
.
Do T ,
T nên ta có: ab ab,0 a. b 0.0, a.0 0. b a,0 b,0 a
b
3 4
.
Do đó, là một đơn cấu trường nên nó là một phép nhúng trường số thực , ,
vào trường số
phức , ,
. Nói cách khác:
Trường số thực
Do đó, ta có thể đồng nhất:
Trường số thực
, ,
đẳng cấu với một trường con của trường số phức , ,
, ,
là một trường con của trường số phức , ,
.
.
Như vậy thì phép đồng nhất số thực a với số phức
a,0
của tiên đề T
4
là hoàn toàn có nghĩa.
Khi đó:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 4

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
Phần tử không của phép cộng số phức chính là số thực 0.
Phần tử đơn vị của phép nhân số phức chính là số thực 1.
Phương pháp tiên đề hoá để xây dựng khái niệm mới bằng một hệ tiên đề đòi hỏi các tiên đề trong
hệ phải độc lập với nhau và tương thích với nhau, nghĩa là chúng chỉ có thể hỗ trợ lẫn nhau chứ không
được mâu thuẫn với nhau và nhất là không được mâu thuẫn với khái niệm cũ được bao hàm trong
khái niệm mới được xác định bằng hệ tiên đề.
Về cơ bản, mà cũng là quan trọng nhất, điều này phải được thể hiện ở chỗ: các phép toán số học
z a z a phải có kết quả trùng với kết quả của
cộng, trừ, nhân, chia hai số phức và
1 1 ,0
2 2 ,0
các phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia hai số thực a 1
và a 2
.
Ta sẽ thấy rằng yêu cầu nói trên cũng được nhà toán học W.Hamilton đáp ứng đầy đủ trong hệ
T , T , T , T xây dựng trường số phức.
tiên đề
Thật vậy:
1 2 3 4
+ Theo các tiên đề ,
T T , ta có:
2 4
,0 ,0 ,0
a a a a a a (phép cộng số thực được bảo toàn).
1 2 1 2 1 2
+ Theo các tiên đề ,
T T , ta có:
3 4
,0 ,0 0.0, .0 0. ,0
a a a a a a a a a a
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(phép nhân số thực được bảo toàn).
+ Do a, b a,
b
và z z z z
nên cùng với các tiên đề ,
1 2 1 2
,0 ,0 ,0 , 0 ,0 0 ,0
a a a a a a a a a a
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(Phép trừ số thực được bảo toàn).
a b
a b a b
1
+ Do: a, b , , a, b
\ 0,0
và:
2 2 2 2
a , b a a b b a b a b
a b a b a b
1 1 1 2 1 2 2 1 1 2
,
2 2 2 2
2,
2 2
2 2
2
nên cùng với các tiên đề ,
3 4
T T , ta có:
a ,0 a a 00 a 0 a 0 a a
a
1 1 2 2 1 1 1
1
, a2 \ 0 : ,
2 2 2 2 ,0
a2,0 a2 0 a2
0 a2 a2
(Phép chia số thực được bảo toàn).
T T , ta có:
3 4
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 5

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
Ngoài ra, do các tiên đề ,
,0 ,0
1 2 1 2
T T , ta còn có:
1 4
a a a a (phép đồng nhất số thực được bảo toàn).
2
Bây giờ, ta sẽ thấy rằng số giả tưởng i , số đơn vị ảo, với tính chất bí hiểm: i 1
được đề cập
trước đây thì khi qua hệ tiên đề của W.Hamilton, nó trở thành con số rất thật, rất quen thuộc và tính
chất trên của nó cũng rất là đúng đắn, rất thú vị chứ không có gì là bí hiểm nữa cả!
Xem i a,
b
thì
2 2
2
a
b 1
a
0
i 1 a, b a, b 1,0 aa bb, ab ba 1,0
.
2ab
0 b
1
Vậy, có thể chọn i 0, 1
hoặc 0,1
i .
W.Hamilton đã đặt tên cho cái mà ta gọi là đơn vị ảo i bởi: i 0,1
.
Vậy, số đơn vị ảo i chỉ đơn giản là cặp thứ tự hai số thực vô cùng quen thuộc 0 và 1.
Thật thú vị là vai trò của hai số thực 0 và 1 ở đây: 0 là phần tử không của phép cộng số thực, và 1
là phần tử đơn vị của phép nhân số thực!
Tính chất bí hiểm:
2
i
1 của số đơn vị ảo i đã được hoá giải, đã được đưa ra ánh sáng!
Kế đến, cũng từ các tiên đề T ,
T , ta có: , ,0 0, ,0 0,1
3 4
a b a b a b a bi .
Đây chính là dạng đại số của số phức mà trong chương trình toán 12 THPT nó được dùng làm
định nghĩa của số phức.
Dạng đại số của số phức rất tiện lợi trong các phép toán số học về số phức. Ta sẽ nói sau về vấn đề
này.
Như vậy là mỗi số phức a,
b
bằng tổng của số thực thứ nhất a với tích của số thực thứ hai b
với đơn vị ảo i . Tiếp nữa, theo các tiên đề ,
T T , ta có:
3 4
a, b ,0 a, b a 0. b, b 0. a
,
tức là: , a, b : a, b a,
b
.
Các phép tính số học đối với các số phức được thực hiện như đối với số thực
Trong phần này, ta sẽ bàn về các phép tính số học cộng, trừ, nhân , chia các số phức dưới dạng đại
số a
bi
được thực hiện như thể chúng là các số thực mà học sinh THPT đang được học.
Ta sẽ thấy rằng:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 6

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
Các phép toán số học trên số phức chính là các phép toán trên các biểu thức thực của biến i ,
trong đó i 2 1.
Để chứng minh điều này, ta sẽ đối chiếu kết quả của việc tính toán một cách hình thức các phép
toán số học đối với các số phức có dạng a
bi
với kết quả của việc tính toán bằng hệ tiên đề
, , ,
T T T T và hai kết quả (1.3), (1.4).
1 2 3 4
a b i a b i a a b b i .
Tính toán hình thức phép cộng:
1 1 2 2 1 2 1 2
a b i a b i a a b b i .
Tính toán hình thức phép trừ:
Tính toán hình thức phép nhân:
1 1 2 2 1 2 1 2
2
a b i a b i a a a b i a b i b b i a a b b a b a b i .
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
Tính toán hình thức phép chia:
a b i a b i a b i a a b b a b a b i
a b i a b i a b i a b
1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
.
Rõ ràng, kết quả của việc tính toán hình thức đối với các số phức có dạng đại số a
bi
toàn trùng khớp với các tính toán các số phức có dạng a,
b
theo hệ tiên đề W.Hamilton.
hoàn
Cửa còn đóng
3. BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Không một ai vào được
Cửa mở rồi
Mọi người cứ tự do.
(Đinh Công Minh)
Quả vậy, nhờ có hệ tiên đề , , ,
T T T T của nhà toán học W.Hamilton mà số phức từ bóng
1 2 3 4
tối bí hiểm đã bước ra ngoài ánh sáng rực rỡ: Cửa đã mở!
Bao nhiêu áp lực, ức chế, hoài nghi về sự tồn tại số phức và cấu trúc số phức của các nhà toán học
đã được giải toả. Các nhà toán học tìm cách trang điểm cho số phức theo nhiều kiểu cách., nói tóm lại
là các nhà toán học đã đưa ra rất nhiều cách thú vị để biểu diễn số phức dưới các dạng: cặp số thực có
thứ tự, dạng đại số, dạng lượng giác, dạng vector, dạng mũ, dạng ma trận.
3.1. Biểu diễn số phức bằng cặp số thực có thứ tự
Đây là cách biểu diễn tự nhiên nhất theo đúng tinh thần của hệ tiên đề về số phức của W.
2
Hamilton, tức là mỗi số phức z là một cặp số thực có thứ tự a,
b
T , T , T ,
T .
1 2 3 4
thỏa mãn hệ tiên đề
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 7

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
3.2. Biểu diễn số phức z a,
b dưới dạng điểm z a,
b
mpOxy .
Vì mỗi số phức là một cặp số thực có thứ tự z a,
b
một điểm z a,
b mpOxy .
nên có thể biểu diễn hình học số phức thành
Khi đó:
mpOxy gọi là mặt phẳng phức.
Trục hoành là tập hợp các điểm a,0
a
Trục tung là tập hợp các điểm 0, . 0,1
Phần tử không là gốc tọa độ O.
Phần tử đơn vị là điểm 1,0 .
Số đơn vị ảo i là điểm 0,1 .
Hai số phức liên hợp z a,
b
và z a,
b
trục thực.
3.3. Biểu diễn số phức z a,
b
gọi là trục thực.
b b bi gọi là trục ảo.
được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng qua
dưới dạng đại số z a bi .
Đây chính là định nghĩa số phức trong chương trình toán THPT là dạng rất tiện lợi trong các phép
toán số học về số phức.
3.4. Dạng lượng giác r cos
i sin
của số phức z a,
b
.
Gọi
r,
là tọa độ cực của điểm z a,
b
thể hiện số phức z a,
b
thì:
a r cos ,
b rsin
,
nên ta có dạng biểu diễn sau đây gọi là dạng lượng giác của số phức:
Chú ý rằng:
z r cos
i sin
.
2 2
r a b z là module của số phức z .
Ox,
Oz
gọi là argument của số phức z , ký hiệu là arg z .
Argument có các tính chất giống như tính chất logarit sau đây:
arg z z arg z arg z .
z
1 2 1 2
arg 1 arg z arg z z
0
1 2 2
z .
2
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 8

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
Dạng lượng giác của số phức rất tiện lợi trong các phép tính nhân, chia, lũy thừa, khai căn số
phức.
3.5. Biểu diễn số phức z a,
b
dưới dạng vector Oz a,
b
trong mpOxy.
Khi đó, module
Oz a,
b .
2 2
. của số phức z a,
b
z z z a b
chính là module của vector
Đây là cách biểu diễn hình học số phức rất tiện lợi trong các tính toán cộng, trừ, nhân, chia các số
phức.
w
y
y w
y
z
z
z2
1 2
z 2
t
O
z 1
x
O
1
z 1
x
O
z
1
x
Hình 1
Hình
2
Hình 3
+ Trước tiên, phép cộng hai số phức chính là phép cộng hai vector như ở hình 1.
+ Phép trừ là phép toán ngược của phép cộng nên phép trừ hai số phức chính là phép trừ hai
vector.
+ Phép nhân hai số phức z 1
và z 2
được cho ở hình 3.
Dựng điểm w sao cho tam giác Oz2w đồng dạng thuận với tam giác O1z 1.
Ta sẽ chứng minh w z1 z2
, tức chứng minh:
arg w arg z . z
w z1 . z2
1 2
.
Thật vậy, ta có:
w
z
2
z
1
w z1 . z2
.
1
arg w Ox, Ow Ox, Oz Oz , Ow arg z arg z argz z
.
2 2 2 1 1 2
+ Phép chia của số phức 1
z cho số phức 0,0
z1
z định bởi
z
1
z1.
z
và do phép nhân biểu diễn
hình học được nên ta chỉ cần xác định được 1 z
là xong.
Hình 4 minh họa hình học cách xác định điểm 1 z với 0,0
z cho trước trong trường hợp z 1 :
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 9

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
Dựng t là một trong hai giao điểm của đường tròn đơn vị với đường vuông góc với tia Oz. Tiếp
tuyến với đường tròn tại S cắt tia Oz tại w.
Ta sẽ chứng minh:
1
w , tức chứng minh:
z
1
w
z
.
1
arg w arg
z
1
Hiển nhiên là arg w arg .
z
Hai tam giác Ozt và Otw đồng dạng nên ta có:
w
t
t
z
, hay là
w
1
.
z
Trường hợp z 1, ta hoán vị vai trò của z và w trong hình 4 thì dựng được 1 z .
1 z z
Trường hợp z 1thì z . Hai số phức liên hiệp đối xứng nhau qua trục hoành nên
2
z z.
z z
ta cũng dựng được 1 z .
3.6. Dạng mũ
z
i
re của số phức có dạng lượng giác z rcos
i sin
.
Đây là dạng cực kỳ quan trọng trong giải tích phức, để xây dựng và khảo sát các hàm số biến số
phức.
Trong giải tích phức, hàm số biến số phức nói chung là hàm đa trị, chẳng hạn hàm
n
*
f z z n có n giá trị phân biệt nếu z 0 .
Các nhà giải tích đã xây dựng các hàm số tổng quát như: lũy thừa,căn thức, đa thức, phân thức,
lượng giác, mũ, loga,... sao cho thu hẹp các hàm này trên trường số thực thì chúng chính là các hàm
số thực quen thuộc của chúng ta.
Các công thức khai triển Taylor hàm sin, cos, exp trong giải tích thức chỉ là sự thu hẹp của các
z
công thức khai triển Taylor các hàm phức cos z,sin z,
e như sau đây:
n
2 4 6
1
2n
z z z
cos z z 1 ...
n0
n
3 5 7
1
n1
z z z
sin z z z ...
e
z
n0
n0
2 n ! 2! 4! 6!
2n
1 ! 3! 5! 7!
n
2 3 4
z z z z z
1 ...
n! 1! 2! 3! 4!
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 10

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
Từ đây, ta có:
iz iz iz
2 4 6
2 4 6
z z z
cos z 1 ... 1 ...
2! 4! 6! 2! 4! 6!
iz iz iz iz
3 5 7
3 5 7
z z z
i sin z iz i i i ... ...
3! 5! 7! 1! 3! 5! 7!
Do đó:
Ta được công thức Euler:
iz iz iz iz iz
2 3 4 5
iz
cos z i sin z 1 ... e .
1! 2! 3! 4! 5!
iz
e cos z isin
z z
là công thức rất quan trong trong lý thuyết hàm biến phức.
Trở lại vấn đề dạng mũ của số phức mà ta đang bàn.
iz
Trong công thức Euler: e cos z i sin zz
, chọn z thì được:
e
i
cos i sin ,
.
Từ đây, với dạng lượng giác của số phức: z rcos
i sin
, ta suy ra:
i
r z
z r cos
isin re , .
arg z
Dạng biểu diễn
z re z e
i
i arg z
gọi là dạng mũ của số phức.
Dạng mũ của số phức rất tiện lợi trong các tính toán về lũy thừa, khai căn số phức nhưng quan
trọng hơn cả là dạng mũ của số phức được sử dụng để xây dựng và khảo sát các hàm số biến số phức
trong lý thuyết hàm biến phức.
3.7. Dạng ma trận
a
b
b
a
của số phức z a,
b
.
Số phức có một dạng biểu diễn thú vị nữa là dạng biểu diễn thành một ma trận vuông cấp hai.
a b
Xét tập M / a,
b
b a
với hai phép toán cộng và nhân ma trận thông thường.
Có thể chứng minh được rằng M , ,
là một trường, trong đó:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 11

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
0 0
Phần tử không là ma trận
0 0
.
1 0
Phần tử đơn vị là ma trận
0 1
.
a b
Phần tử đối của phần tử z b a
là phần tử
a
b
z
b a
.
a b
Phần tử đảo của phần tử z b a
là ma trận nghịch đảo z
1
a
1 a b
b b a
.
2 2
Bây giờ, ta sẽ xác định gương mặt ma trận của phần tử đơn vị ảo i thỏa:
2
i 1.
thực.
Muốn vậy, trước tiên ta sẽ tìm dạng của một ma trận
a
z
b
b
M
a
có thể đồng nhất với một số
Xét tập con
0
a 0
M
/ a M
0 a
với hai phép toán cộng và nhân ma trận cảm sinh trên M.
Nhận xét rằng ta có đẳng cấu:
a
0
M
0
0
a
a
Do đó, có thể đồng nhất mỗi số thực a với ma trận
a
0
0
M
a
0
.
Xem
a
i
0
0
a
thỏa i 2 1, tức là:
a b a b 1 0
b a
b a
0 1
2 2
2 2
a b 2ab
1 0 a
b 1
a
0
2 2
2ab a b 0 1
2ab
0 b
1
Có thể chọn a 0, b 1
thì được đơn vị ảo là ma trận
0 1
i 1 0
.
Khi đó, mỗi số phức z tương ứng với ma trận:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 12

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
a b a 0 0 b a 0 0 1
z b a bi
b a
0 a
b 0
0 a
1 0
.
Ta tìm lại được dạng đại số của số phức!
4. SƠ LƯỢC VỀ HÀM SỐ BIẾN SỐ PHỨC
Tương tự như số thực, ta cũng có các hàm số một hoặc nhiều biến phức nhận giá trị phức.
Mỗi hàm số một biến phức
nhiều giá trị w .
Nói chung, hàm biến phức là một hàm đa trị.
Với z x yi và w u vi
, ,
w f z u x y iv x y .
w f z
là phép đặt tương ứng mỗi giá trị z D với một hoặc
, tức là: x Re z, y Im z, u Re f z, v Im f z
, ta có thể viết:
Do đó, việc cho một hàm phức biến số phức
biến số thực u u x,
y
và v v x,
y
.
w f z
tương đương với việc cho hai hàm thực hai
Việc nghiên cứu về các hàm biến phức thuộc lĩnh vực của Giải tích phứclà một lĩnh vực rộng lớn.
Ta sẽ không đề cập ở đây.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nhập môn giải tích phức, TS. Nguyễn Hữu Anh, ĐH Tổng Hợp TP. HCM, 1979.
[2] Hàm phức và toán tử Laplace, TS. Võ Đăng Thảo, Đ.H.B.K TP. HCM, 2004.
[3] Hàm một biến phức – Lý thuyết và ứng dụng, TS. Đậu Thế Cấp, NXB GD, 1999.
[4] Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace, TS. Phan Bá Ngọc, ĐHBK Hà Nội, 1996
[5] Số phức và ứng dụng, Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Nguyễn Thủy
Thanh, NXB GD, 2009.
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 13