BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC - Trường THPT Chuyên Tiền Giang

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
SỐ PHỨC (COMPLEX NUMBER)
--------------------------------------------
1. SỰ RA ĐỜI CỦA SỐ PHỨC
1.1. Số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number), con số giả tưởng và tính chất bí hiểm đáng ngờ
của nó
Số phức ra đời từ giữa thế kỷ 16.
Ta biết rằng phương trình bậc hai:
, ,
.
xét trên trường số thực
2
x
1
(1.1) không có nghiệm thực, tức là nó vô nghiệm khi
Các nhà toán học mong muốn rằng phương trình này có nghiệm, họ còn muốn rằng mọi phương
trình đa thức đều phải có nghiệm, và nếu điều này xảy ra thì nghiệm đó không thể là số thực mà phải
thuộc một loại số nào đó. Điều này làm nảy sinh ý tưởng là phải mở rộng trường số thực thành một
trường số , ,
nào đó để trên trường số này thì phương trình (1.1) có nghiệm.
Năm 1545, nhà toán học Italia là G.Cardano đã giải quyết vấn đề nghiệm của phương trình (1.1)
bằng cách dùng ký hiệu 1 , hiển nhiên là 1 , để thể hiện nghiệm hình thức của phương trình
này.
Tiếp tục phương pháp hình thức như vậy, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức của phương trình:
2 2
x b b
là b 1 . Cuối cùng, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức của phương trình:
x a 2 b 2
a,
b
là a b 1.
G. Cardano đã gọi đại lượng a b 1 a,
b
không có thực, tức là một đại lượng giả tưởng.
là đại lượng ảo, ngầm ý rằng nó là đại lượng
Năm 1572, nhà toán học Italia là Bombelli định nghĩa các phép toán số học trên các đại lượng ảo
mà ông gọi là các số ảo (tên gọi số phức là do nhà toán học người Đức là K.Gauss đặt ra vào năm
1831). Ông được xem là người sáng tạo nên lý thuyết các số ảo, và cũng là người đầu tiên thấy được
ích lợi của việc đem số ảo vào toán học như một công cụ hữu ích.
Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ toán học đã diễn ra rất chậm chạp: năm 1545,
G.Cardano đưa ra ký hiệu 1
cho ký hiệu 1
thì mãi đến năm 1777, nhà toán học người Thụy Sĩ là L.Euler đặt tên
là số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number) lài . Điều đó có nghĩa là:
i
2
: 1, i 1
.
Tên gọi đơn vị ảo và ký hiệu i : 1
cũng đã gây ra nhiều tranh cải và nghi ngờ trong giới toán
học. Chẳng hạn, nhà toán học I. Newton đã không thừa nhận số ảo.
Đẳng thức đáng ngờ nhất chính là tính chất lạ lẫm đến bí hiểm:
quan hệ thứ tự trên tập hợp số quen thuộc là .
2
i
1
(1.2) bởi vì nó phá vở
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 2