BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC - Trường THPT Chuyên Tiền Giang

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
Dựng t là một trong hai giao điểm của đường tròn đơn vị với đường vuông góc với tia Oz. Tiếp
tuyến với đường tròn tại S cắt tia Oz tại w.
Ta sẽ chứng minh:
1
w , tức chứng minh:
z
1
w
z
.
1
arg w arg
z
1
Hiển nhiên là arg w arg .
z
Hai tam giác Ozt và Otw đồng dạng nên ta có:
w
t
t
z
, hay là
w
1
.
z
Trường hợp z 1, ta hoán vị vai trò của z và w trong hình 4 thì dựng được 1 z .
1 z z
Trường hợp z 1thì z . Hai số phức liên hiệp đối xứng nhau qua trục hoành nên
2
z z.
z z
ta cũng dựng được 1 z .
3.6. Dạng mũ
z
i
re của số phức có dạng lượng giác z rcos
i sin
.
Đây là dạng cực kỳ quan trọng trong giải tích phức, để xây dựng và khảo sát các hàm số biến số
phức.
Trong giải tích phức, hàm số biến số phức nói chung là hàm đa trị, chẳng hạn hàm
n
*
f z z n có n giá trị phân biệt nếu z 0 .
Các nhà giải tích đã xây dựng các hàm số tổng quát như: lũy thừa,căn thức, đa thức, phân thức,
lượng giác, mũ, loga,... sao cho thu hẹp các hàm này trên trường số thực thì chúng chính là các hàm
số thực quen thuộc của chúng ta.
Các công thức khai triển Taylor hàm sin, cos, exp trong giải tích thức chỉ là sự thu hẹp của các
z
công thức khai triển Taylor các hàm phức cos z,sin z,
e như sau đây:
n
2 4 6
1
2n
z z z
cos z z 1 ...
n0
n
3 5 7
1
n1
z z z
sin z z z ...
e
z
n0
n0
2 n ! 2! 4! 6!
2n
1 ! 3! 5! 7!
n
2 3 4
z z z z z
1 ...
n! 1! 2! 3! 4!
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 10