BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC - Trường THPT Chuyên Tiền Giang

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
Phần tử không của phép cộng số phức chính là số thực 0.
Phần tử đơn vị của phép nhân số phức chính là số thực 1.
Phương pháp tiên đề hoá để xây dựng khái niệm mới bằng một hệ tiên đề đòi hỏi các tiên đề trong
hệ phải độc lập với nhau và tương thích với nhau, nghĩa là chúng chỉ có thể hỗ trợ lẫn nhau chứ không
được mâu thuẫn với nhau và nhất là không được mâu thuẫn với khái niệm cũ được bao hàm trong
khái niệm mới được xác định bằng hệ tiên đề.
Về cơ bản, mà cũng là quan trọng nhất, điều này phải được thể hiện ở chỗ: các phép toán số học
z a z a phải có kết quả trùng với kết quả của
cộng, trừ, nhân, chia hai số phức và
1 1 ,0
2 2 ,0
các phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia hai số thực a 1
và a 2
.
Ta sẽ thấy rằng yêu cầu nói trên cũng được nhà toán học W.Hamilton đáp ứng đầy đủ trong hệ
T , T , T , T xây dựng trường số phức.
tiên đề
Thật vậy:
1 2 3 4
+ Theo các tiên đề ,
T T , ta có:
2 4
,0 ,0 ,0
a a a a a a (phép cộng số thực được bảo toàn).
1 2 1 2 1 2
+ Theo các tiên đề ,
T T , ta có:
3 4
,0 ,0 0.0, .0 0. ,0
a a a a a a a a a a
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(phép nhân số thực được bảo toàn).
+ Do a, b a,
b
và z z z z
nên cùng với các tiên đề ,
1 2 1 2
,0 ,0 ,0 , 0 ,0 0 ,0
a a a a a a a a a a
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(Phép trừ số thực được bảo toàn).
a b
a b a b
1
+ Do: a, b , , a, b
\ 0,0
và:
2 2 2 2
a , b a a b b a b a b
a b a b a b
1 1 1 2 1 2 2 1 1 2
,
2 2 2 2
2,
2 2
2 2
2
nên cùng với các tiên đề ,
3 4
T T , ta có:
a ,0 a a 00 a 0 a 0 a a
a
1 1 2 2 1 1 1
1
, a2 \ 0 : ,
2 2 2 2 ,0
a2,0 a2 0 a2
0 a2 a2
(Phép chia số thực được bảo toàn).
T T , ta có:
3 4
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 5