BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC - Trường THPT Chuyên Tiền Giang

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
2. VIỆC XÂY DỰNG SỐ PHỨC
Nhà toán học người Đức là K. Gauss là người đầu tiên, năm 1831, sử dụng thuật ngữ số phức để
chỉ các đại lượng ảo. Tuy nhiên, nhà toán học người Irland là W.Hamilton mới là người có công lao
biến số phức từ một con số giả tưởng với tính chất bí hiểm:
2
i
1 thành một con số có thật.
Năm 1837, G.Hamilton xây dựng lý thuyết số phức một cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề
hóa để từ đó số phức trở thành một số cũng quen thuộc với người làm toán như là số tự nhiên, số
nguyên, số hữu tỉ hay số thực.
G.Hamilton xét tập hợp z a, b
/ a,
b
gồm các cặp số thực z a,
b
bị hai phép toán cộng và nhân thỏa bốn tiên đề T , T , T ,
T dưới đây.
Khi đó, mỗi cặp số thực z a,
b
1 2 3 4
và trên đó trang
được gọi là một số phức, và như vậy thì dáng vẻ của số phức
chẳng còn xa lạ gì với người làm toán nữa bởi vì nó dựa hoàn toàn trên các số quen thuộc là số thực.
Với mỗi z a , b , z a , b
, ta có:
1 1 1 2 2 2
T 1 : (Tiên đề đồng nhất hai số phức) a1 a2
z1 z2
b1 b2
T (Tiên đề phép cộng hai số phức) z z a a , b b
2 :
.
1 2 1 2 1 2
T (Tiên đề phép nhân hai số phức) z z a a b b , a b a b
3 :
T (Tiên đề đồng nhất số thực và số phức)
4 :
.
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
a,0 a,
a
.
Ta hãy xem bốn tiên đề này nói lên điều gì và làm được gì.
Tiên đề T
hai tập hợp.
Tiên đề
1
2
thức chất chỉ là sự lặp lại định nghĩa sự đồng nhất hai phần tử của tích Descartes của
T và T
3
.
về cơ bản cho thấy các phép toán cộng và nhân hai số phức hoàn toán được
xác định: các phép cộng và nhân hai số phức đều có kết quả là một số phức.
Với ba tiên đề T , T ,
T , ta có thể kiểm tra được rằng cấu trúc đại số , ,
gọi là trường số phức.
1 2 3
Trường số phức là , ,
có các tính chất đặc biệt sau đây:
(1) Phần tử không đối với phép cộng là 0,0 .
(2) Phần tử đối của z a,
b
đối với phép cộng là z a,
b
.
là một trường
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 3